Danksagung

An dieser Stelle möchte ich mich für die vielseitige Unterstützung bei der Erstellung meiner Diplomarbeit bedanken.

Mein erster Dank geht an Herrn Professor Dr. Rolf Rogge für die Bereitstellung des Themas.

Diese Arbeit widme ich meinen Eltern, Liane und Dr. Michael Winterstein, da sie mich während meines gesamten Studiums materiell und moralisch unterstützt haben und es mir dadurch überhaupt erst ermöglicht haben. Ich danke insbesondere meinem Vater für die vielen interessanten fachlichen Diskussionen und Anregungen zur Diplomarbeit.

Danken möchte ich ebenfalls meinen Freunden, Melanie Zimmermann, Sascha Bätz, Jörg Grabowsky und Dipl.-Wirtsch.-Inf. Karsten Helbig, für ihr offenes Ohr, für die kritischen Gespräche zur Diplomarbeit und vor allem für ihre Bereitschaft zum Korrekturlesen.

Weiterhin danke ich Herrn Peter Junkermann für die professionelle Unter- stützung beim Drucken und Binden der Diplomarbeit.

II

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis   IV

Abk  ürzungsverzeichnis  V

1  Einleitung  1

1.1  Motivation.  1

1.2  Zielsetzung der Arbeit  1

1.3  Aufbau der Arbeit  2

2  Grundlagen von Neuro-Fuzzy  3

2.1  Grundidee von Neuro-Fuzzy-Systemen  3

2.2  Integration von Fuzzy-Logik und Neuronalen Netzen  4

3.  Neuro-Fuzzy-Systeme  6

3.1  Fuzzifizierte Neuronale Netze  6

3.2  Gleichberechtigte Neuro-Fuzzy-Modelle  7

3.3  Kooperative Neuro-Fuzzy-Systeme  7

3.3.1  Fuzzy-Assoziativspeicher  9

3.3.2  Interpretation der Lernergebnisse.  10

3.3.3  Adaptive Bestimmung von Fuzzy-Mengen  11

3.4  Hybride Neuro-Fuzzy-Systeme  12

3.4.1  Neural Network Driven Fuzzy Reasoning (NNDFR)  14

3.4.2  Adaptive-Network-based Fuzzy Inference System (ANFIS)  15

3.4.3  Approximate Reasoning based Intelligent Control (ARI)C  17

3.4.4  Generalized ARIC (GARI)C  19

3.4.5  Neural Fuzzy Controller (NEFCON)  21

3.4.6  Neuro Fuzzy Classification (NEFCLASS)  22

3.4.7  Neuro Fuzzy Function Approximation (NEFPROX)  24

III

4  Neuro-Fuzzy-Anwendungen  26

4.1  Explorative Datenanalyse.  26

4.2  Unternehmenskrisenmanagement  29

4.2.1  Bestandsfestigkeit von Unternehmen  30

4.2.2  Unternehmenssanierung  33

4.3  Verkehrsmanagement  37

4.3.1  Verkehrsprognose  38

4.3.2  Verkehrssteuerung  41

4.4  Umwelttechnologien  44

4.4.1  Betriebsoptimierung von Kläranlagen  45

4.4.2  Optimierung der Zellstoffkochung  48

4.5  Industrie und Technik  50

4.5.1  Robotersteuerung  52

4.5.2  Schadensdiagnose bei Abwasserkanälen  55

5  Entwicklungstendenzen.  58

6  Diskussion und Ausblick.  61

Literaturverzeichnis   VII

IV

Abbildungsverzeichnis   

Abbildung  1: Kooperative Neuro-Fuzzy-Systeme  

Abbildung  2: Fuzzy-Assoziativspeicher.  

Abbildung  3: Selbstorganisierende Karte.  

Abbildung  4: Schematische Darstellung eines hybriden Neuro-Fuzzy-  

Systems   

Abbildung  5: NNDFR-Modell.  

Abbildung  6: ANFIS-Modell.  

Abbildung  7: ARIC-Modell.  

Abbildung  8: Handlungsnetzwerk im GARIC-Modell.  

Abbildung  9: NEFCON-Modell  

Abbildung  10: NEFCLASS-Modell  

Abbildung  11: NEFPORX-Modell  

Abbildung  12: Funktionsweise des hybriden Neuro-Fuzzy-Systems.  

Abbildung  13: Transformation von Fuzzy-Regeln in ein RBF-Netz  

Abbildung  14: Wertschöpfungskettendiagramm.  

Abbildung  15: Ablauf und Aufbau des Neuro-Fuzzy-Systems  

Abbildung  16: Ablaufstruktur von C-BIRDS  

Abbildung  17: Aufbau des Neuro-Fuzzy-Modells zur Reisezeitermittlung  

Abbildung  18: Neuro-Fuzzy-Verkehrssteuerung  

Abbildung  19: Bewertungsnetz  

Abbildung  20: Neuro-Fuzzy-Netz für den ersten Regelsatz der Fuzzy-  

Regelbasis   

Abbildung  21: Durchschnittliche Wartezeit vor und nach dem Lernen  

Abbildung  22: Neuro-Fuzzy-System in einer Kläranlage.  

Abbildung  23: Aufbau des Neuronalen Prognose-Netzes.  

Abbildung  24: Neuro-Fuzzy-System in der Zellstoffkochung  

Abbildung  25: Neuronales Netz zur Berechnung der Kochzeit  

Abbildung  26: NEFCLASS für Robotersteuerung  

V

Abkürzungsverzeichnis

AEN Action-state Evaluation Network ANFIS Adaptive-Network-based Fuzzy Inference System ARIC Approximate Reasoning based Intelligent Control ASN Action Selection Network BP Backpropagation C-BIRDS Computer Based Intelligent Restructing Decision Support COG Center Of Gravity EKG Elektrokardiogramm FAM Fuzzy Associative Memory FCD Floating Car Data FIR Finite Impulse Response FNN Fuzzy Neuronal Network FuNe Fuzzy-Neural Controller GARIC Generalized Approximate Reasoning based Intelligent Control ITS Intelligent Transport Systems LR Links-Rechts LSE Least Squares Estimation MgO Magnesiumoxid MLP Multi-Layer Perceptron MOM Mean Of Maximum NEFCLASS Neuro Fuzzy Classification NEFCON Neural Fuzzy Controller NEFPROX Neuro Fuzzy Function Approximation NH 4 Ammonium NNDRF Neural Network Driven Fuzzy Reasoning NO 3 Nitrat PLS Partial Least Squares RBF Radiale Basisfunktionen SENN Software-Entwicklungsumgebung für Neuronale Netze SO 2 Schwefeldioxid SOM Self-Organized Map

VI

VIP Verkehrsinformationsprojekt XPS Expertensystem z. B. zum Beispiel

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1 Einleitung

1.1 Motivation

In der Wirtschaft werden seit vielen Jahren computergestützte Systeme zur Entscheidungsfindung eingesetzt. Die komplexe Umwelt des Menschen erschwert es allerdings, alle Entscheidungen in nur zwei Kategorien einzuordnen. Gerade für die Computerunterstützung ergeben sich dadurch neue Herausforderungen. Können die Handlungen, Denkweisen und Entscheidungsmuster des Menschen nachgeahmt werden, lassen sich damit auch komplexe Probleme lösen, ohne Kenntnis der formalen Modelle.

In der Forschung haben sich in dieser Richtung zwei Bereiche herauskristallisiert. Zum einen sind das die künstlichen Neuronalen Netze, mit denen versucht wird, kognitive Leistungen des Menschen nachzubilden. ¹ Zum anderen ist das die Fuzzy Logik, mit der unscharfe Begriffe aus dem menschlichen Alltag wie „wenig“, „sehr“ oder „viel“ modelliert werden können. ² Die Verknüpfung dieser beiden Methoden hat sich unter Neuro-Fuzzy etablieren können.

1.2 Zielsetzung der Arbeit

Diese Arbeit verfolgt das Ziel, einen aktuellen und umfassenden Überblick über die Thematik der Neuro-Fuzzy-Systeme zu liefern. Dabei wird auf die Theorie der Neuronalen Netze ³ und der Fuzzy Logik ⁴ nicht weiter eingegangen, sondern auf die einschlägige Literatur verwiesen. Der Fokus liegt allein auf den Neuro-Fuzzy-Systemen und deren Entwicklungstendenzen. Das heißt zum einen, dass die theoretischen Konzepte aus der Literatur vorgestellt werden und verlangt zum anderen, dass die praktische Rele-

¹ Vgl.Schöneburg et al. (1990), S. 13.

² Vgl. Böhme (1993), S. 1.

³ Überblick zu Neuronalen Netzwerken in: Schönburg et al. (1990).

⁴ Grundlagen der Fuzzy-Logik in: Böhme (1993) und Tilli (1991).

2

vanz anhand ausgewählter Beispiele aus wirtschaftswissenschaftlicher Sicht aufgezeigt wird.

1.3 Aufbau der Arbeit

Im 2. Kapitel dieser Arbeit werden die Grundlagen von Neuro-Fuzzy umrissen, welchen Konzepten sie zugrunde liegt und wie sich Neuronale Netze und Fuzzy-Systeme miteinander kombinieren lassen.

Darauf aufbauend werden im 3. Kapitel die Neuro-Fuzzy-Systeme nach der Art ihrer Kopplung in kooperative und hybride Systeme unterschieden und die gängigsten Neuro-Fuzzy-Ansätze aus der Literatur vorgestellt.

Die Einsatzmöglichkeiten von Neuro-Fuzzy-Systemen in der Praxis werden im 4. Kapitel aufgezeigt. Dazu werden Anwendungen in der explorativen Datenanalyse, im Unternehmenskrisenmanagement, im Verkehrsmanagement, in den Umwelttechnologien sowie in der Industrie und Technik angeführt, da in diesen Bereichen häufig Neuro-Fuzzy-Methoden eingesetzt werden. Es gibt überdies noch weitere Anwendungsgebiete, wie etwa die Medizin ⁵ , die jedoch nicht im Fokus dieser Arbeit stehen.

Im 5. Kapitel werden anhand der theoretischen Überlegungen aus Kapitel 3 und den praktischen Umsetzungen aus Kapitel 4 die bisherigen Entwicklungsmöglichkeiten dargestellt.

Im abschließenden 6. Kapitel werden die Ergebnisse der Arbeit zusammengefasst.

⁵ Entwicklung von Methoden zur Echtzeitanalyse von EKG-Signalen mit Neuro-Fuzzy-

Systemen für Anwendungsszenarien der Telemedizin in: Wagner (2006).

3

2 Grundlagen von Neuro-Fuzzy

Neuro-Fuzzy stellt ein recht junges Forschungsgebiet dar. Erst seit Ende der 80er Jahre wird an der Symbiose von Fuzzy-Systemen und Neuronalen Netzen geforscht. Dabei wird nach Möglichkeiten gesucht, beide Methoden miteinander zu verbinden. ⁶ Es handelt sich bei beiden um Ansätze aus dem Bereich Soft Computing mit dem Ziel der Modellierung von Expertenverhalten. 7

In diesem Kapitel wird zunächst die Grundidee vorgestellt, die sich hinter den Neuro-Fuzzy-Systemen verbirgt. Anschließend werden die Integrationsmöglichkeiten der Fuzzy-Systeme und Neuronalen Netze in ein Neuro-Fuzzy-System erklärt.

2.1 Grundidee von Neuro-Fuzzy-Systemen

Die Techniken der Neuronalen Netze und die der Fuzzy-Systeme orientieren sich am menschlichen Verhalten. Mit ihrer Hilfe werden bevorzugt nichtlineare und teilweise mehrdimensionale Zusammenhänge modelliert. Das Ziel von Neuro-Fuzzy besteht darin, von beiden Verfahren die komplementären Vorteile zu nutzen und zugleich die jeweiligen Nachteile auszuschalten. 8

Der entscheidende Vorteil der Neuronalen Netze ist die Lernfähigkeit durch verschiedene Lernalgorithmen. Es ist kein Regelwissen notwendig, auch muss kein mathematisches Prozessmodell aufgestellt werden. Der Hauptnachteil ist das Black-Box-Verhalten. Dadurch bleibt unklar, was die verdeckte Schicht und deren Verbindungen repräsentieren. Die Wissensrepräsentation erfolgt also auf subsymbolischer Ebene, da keine Symbole verarbeitet werden, sondern elementare Signale. ⁹ Die Anfangsinitialisierung des Netzes und Korrekturen bzw. Anpassungen an veränderte Pa-

⁶ Vgl.Bothe (1998), S. 196.

⁷ Vgl. Nauck et al. (2003), S. 179.

⁸ Vgl. Wittmann (2000), S. 121.

⁹ Vgl. Nauck et al. (2003), S. 4.

4

rameter im Fall von Fehlverhalten sind schwierig. Fehlende Interpretierbarkeit des Netzverhaltens führt zu Akzeptanzproblemen. Es kann kein a-priori-Wissen verwendet werden. Hinzu kommt die fehlende Garantie, dass der Lernvorgang konvergiert. 10

Die Fuzzy-Systeme haben den entscheidenden Vorteil, dass die Wissensrepräsentation auf symbolischer Ebene erfolgt. ¹¹ A-priori-Wissen, also menschliches Erfahrungswissen, ist in linguistisch formulierten Zusammenhängen nutzbar. Fuzzy-Systeme lassen sich einfach implementieren und interpretieren. Der Nachteil besteht in der fehlenden Lernfähigkeit. Es müssen Zugehörigkeitsfunktionen und Regelwissen verfügbar sein. 12

2.2 Integration von Fuzzy-Logik und Neuronalen Netzen

Für die Kombination der beiden Verfahren gibt es verschiedene Ansätze, von denen in Kapitel 3 einige näher beschrieben werden. Durch die Kombination wird ermöglicht, dass das System Zugehörigkeitsfunktionen oder linguistische Variablen erlernen bzw. verbessern kann. Die Regeln können vom System auf unterschiedliche Weise erzeugt werden. Das geschieht entweder clusterbasiert, destruktiv oder konstruktiv. Clusterbasiert heißt, die Regeln werden durch die Partitionierung des Eingangsbereiches abgeleitet. Im Kapitel 3.3.1 und 3.4.1 wird je ein Vertreter ¹³ vorgestellt. Destruktiv ¹⁴ bedeutet, das System beginnt mit sämtlichen Regeln und sortiert schrittweise unbrauchbare aus. Bei der konstruktiven Erzeugung startet das System dagegen ganz ohne Regeln und fügt nach und nach brauchbare Regeln für die Lösung der Lernaufgabe hinzu ¹⁵ . Ein verbreiteter Vertreter wird im Kapitel 3.4.6 ¹⁶ vorgestellt. Weitere Möglichkeiten für die Kopplung liegen im Erlernen der Fuzzy-Mengen bei einer vordefinierten

¹⁰ Vgl. Nauck et al. (2003) S. 185.

¹¹ Vgl. Wittmann (2000), S. 122.

¹² Vgl. Nellessen (2005), S. 35.

¹³ Vorgestellte clusterbasierte Ansätze sind FAM (Kapitel 3.3.1) und NNDRF (Kapitel

3.4.1).

¹⁴ Destruktive Ansätze werden in dieser Arbeit nicht vorgestellt. Ein bekannter Vertreter

ist das FuNe (Fuzzy-Neural Controller), vertiefend nachzulesen in: Wittmann (2000), S.

147-150.

¹⁵ Entspricht der Bottom-up-Induktion, vgl. Wittmann (2000), S. 113.

¹⁶ Der vorgestellte konstruktive Ansatz ist NEFCLASS (Kapitel 3.4.6).

5

Regelbasis (siehe Kapitel 3.3.3) und im Adaptieren von Regelgewichten (siehe Kapitel 3.4.2). 17

Ein Neuro-Fuzzy-System wird oft als mehrschichtiges, vorwärtsgerichtetes Neuronales Netz verwendet, bei dem das Fuzzy-System dadurch entweder vom Typ Sugeno ¹⁸ oder vom Typ Mamdani ¹⁹ repräsentiert wird. Es kann auch durch andere Architekturen repräsentiert werden, wie etwa als Fuzzy-Assoziativspeicher oder als selbstorganisierende Karte. Wiederum muss ein Fuzzy-System auch nicht durch ein Neuronales Netz interpretiert werden, wenn z. B. nur Parameter dem Lernprozess unterzogen werden oder diese durch ein Neuronales Netz bestimmt werden sollen. In dem Fall wird nur das Lernverfahren angewandt. 20

¹⁷ Vgl. Wittmann (2000), S. 131-134.

¹⁸ Vgl. Nauck et al. (2003), S. 167.

¹⁹ Vgl. Nauck et al. (2003), S. 163.

²⁰ Vgl. Nauck et al. (2003), S. 188.

6

3. Neuro-Fuzzy-Systeme

In der Literatur finden sich verschiedene Klassifikationsmöglichkeiten. Es kann nach der Art der Kopplung der Neuronalen Netze mit den Fuzzy-Systemen unterschieden werden. Weiterhin kann nach der Art der Generierung der Regeln ²¹ und nach der benötigten Modellierung der Zugehörigkeitsfunktionen für das Fuzzy-System differenziert werden. Dies ist für die Praxis relevanter, allerdings eignet sich die Kopplungsmöglichkeit besser für die Abgrenzung der Begrifflichkeiten. 22

Die größte Bedeutung wird in der Literatur hierbei den kooperativen (siehe Kapitel 3.3) und den hybriden Neuro-Fuzzy-Systeme (siehe Kapitel 3.4) beigemessen. Ebenfalls zu den Neuro-Fuzzy-Systemen werden noch Fuzzifizierte Neuronale Netze (siehe Kapitel 3.1) und gleichberechtigte Neuro-Fuzzy-Systeme (siehe Kapitel 3.2) gezählt. Auf diese beiden wird im Folgenden der Vollständigkeit halber kurz eingegangen.

3.1 Fuzzifizierte Neuronale Netze

Das Fuzzifizierte Neuronale Netz (FNN) ist ein Funktionen ersetzender Ansatz (1994). Gemäß der Taxonomie von Buckley/Hayashi ²³ lässt er sich in drei Typen von FNN unterscheiden. 1) Das FNN besitzt scharfe Inputdaten, dafür aber Fuzzy-Gewichte. 2) Als Input werden Fuzzy-Signale und reelle Zahlen als Gewichte verwendet.

Der Input und die Gewichte bestehen aus Fuzzy-Zahlen. ²⁴ 3)

Die Besonderheit bei FNN ist die generelle Verwendung von Fuzzy-Zahlen. Somit kann ein Neuron mehr Informationen verarbeiten, da im Gegensatz zu den reellen Zahlen die Fuzzy-Zahlen auch mehr Informatio-

²¹ Siehedazu Kapitel 2.2.

²² Vgl. Wittmann (2000), S. 129.

²³ Vertiefend in: Buckley/Hayashi (1994) und Hayashi et al. (1993).

²⁴ Vgl. Buckley/Hayashi (1995), S. 267.

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nen tragen. FNN gelten als Erweiterung der Neuronalen Netze. Für die Transformation der Fuzzy-Mengen werden Fuzzy-Neuronen eingeführt. Die Eingänge des Fuzzy-Neurons bestehen aus Fuzzy-Mengen. Diese werden gewichtet und mit einem Operator aggregiert ²⁵ , wodurch eine Fuzzy-Zahl erzeugt wird. 26

Im Neuronalen Netz werden Fuzzy-Regeln dazu benutzt, die Gewichte und weiteren Netzparameter anzupassen bzw. zu initialisieren. Es werden die Topologie, die Art der Gewichte und die Transformation innerhalb der Neuronen angepasst. Diese Netze eignen sich zur direkten Programmierung von Fuzzy-Mengen. 27

3.2 Gleichberechtigte Neuro-Fuzzy-Modelle

Beim gleichberechtigten Neuro-Fuzzy-Modell handelt es sich um einen kommunizierenden Ansatz, bei dem das Neuronale Netz und das Fuzzy-System voneinander unabhängig an derselben Aufgabe arbeiten. Hierbei werden durchaus Schwächen des einen Systems durch Stärken des anderen kompensiert, allerdings wird dabei nicht das Ziel verfolgt, Fuzzy-Systeme anzupassen oder Neuronale Netze deuten zu können. Zu diesen Modellen zählen partielle Modelle mit der Funktion eines Kritikers zur Korrektur von Fuzzy-Outputs und sequentielle Modelle für Regelungsaufgaben, zur Datenanalyse oder zur Funktionsersetzung. 28

3.3 Kooperative Neuro-Fuzzy-Systeme

Die kooperativen Neuro-Fuzzy-Systeme lassen sich in zwei Kategorien unterscheiden. Entweder speist das Neuronale Netz Input ins Fuzzy-System oder das Fuzzy-System gibt dem Neuronalen Netz den Input. Es werden also entweder Teile von einem Fuzzy-System durch ein Neurona- ²⁵ Vgl.Tizhoosh (1998), S. 161.

²⁶ Vgl. Lippe (2005), S. 524-526.

²⁷ Vgl. Wittmann (2000).

²⁸ Vgl. Wittmann (2000), S.127-128.

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les Netz ersetzt oder das Neuronale Netz wird zur Bestimmung der Fuzzy-Parameter eingesetzt. ²⁹ In der Regel erfolgt die Kopplung durch das Bestimmen der Zugehörigkeitsfunktionen, der Regeln oder der Gewichts-faktoren des Fuzzy-Systems. Beide Systeme arbeiten voneinander unabhängig. Die Anpassungen erfolgen entweder offline vor dem Betrieb des Fuzzy-Systems oder online während des Betriebs. Ein gleichzeitiges Anpassen ist nicht möglich. 30

Abbildung 1: Kooperative Neuro-Fuzzy-Systeme

Quelle: Nauck et al. (2003), S. 195.

In Abbildung 1 sind beispielhaft vier mögliche kooperative Neuro-Fuzzy-Ansätze schematisch dargestellt. Im Fall (a) werden Beispieldaten in ein Neuronales Netz eingespeist, welches nach dem Trainingsprozess für den Fuzzy-Regler die Fuzzy-Mengen als Input stellt. Dieser erhält die Fuzzy-Regeln separat. Im Fall (b) verhält es sich genau umgekehrt. Das Neuronale Netz speist die erlernten Fuzzy-Regeln in den Fuzzy-Regler und die Fuzzy-Mengen werden separat zugeführt. Im Fall (c) ermittelt das Neuronale Netz die Parameter zur Anpassung der Zugehörigkeitsfunktionen. Der Trainingsprozess im Neuronalen Netz erfolgt mit dem Fehlermaß vom

²⁹ Vgl. Nauck et al. (2003), S. 194.

³⁰ Vgl. Nellessen (2005), S. 43.

9

Fuzzy-Regler als Input. Im Fall (d) ermittelt das Neuronale Netz die Ge-wichtsfaktoren für die Fuzzy-Regeln. Ebenfalls wird es durch ein Fehlermaß vom Fuzzy-Regler für den neuronalen Trainingsprozess gespeist. 31

In diesem Kapitel werden drei kooperative Ansätze vorgestellt: der Fuzzy-Assoziativspeicher von Kosko (1992), der Ansatz von Pedrycz/Card (1992) zur Interpretation des Lernergebnisses mittels selbstorganisierenden Karten und der Ansatz von Nomura (1992) zur Bestimmung von Fuzzy-Mengen.

3.3.1 Fuzzy-Assoziativspeicher

Der Fuzzy-Assoziativspeicher FAM (Fuzzy Associative Memory) nach Kosko ³² (1992) bietet eine Möglichkeit, Fuzzy-Regeln zu kodieren und zu erlernen. Die linguistische Regel gilt hier als Verknüpfung zwischen Antezedenz (Ursache) und Konsequenz (Wirkung). ³³ Die Fuzzy-Mengen werden als Punkte im n-dimensionalen Hyperwürfel dargestellt, wodurch der Bezug zur zweidimensionalen Eingangsebene hergestellt wird. ³⁴ Es erfolgt eine Abbildung einer endlichen Fuzzy-Menge in eine andere Fuzzy-Menge. 35

Das Neuronale Netz ist ein zweischichtiges Perzeptron. Hierbei ist die Eingabeschicht vollständig mit der Ausgabeschicht verbunden, bei der das Informationsmuster durch die Aktivierungen der Ausgabeeinheiten dargestellt wird. ³⁶ Die Größe der Ausgabeschicht entspricht der Anzahl der linguistischen Terme für die Eingabe- und Ausgabeeinheiten. Durch das Training des Neuronalen Netzes erhält man die Regeln mit starker und mit schwacher Bedeutung. ³⁷ Wie in Abbildung 2 zu sehen ist, bildet der FAM ein Fuzzy-System nach. Jeder FAM speichert genau eine Fuzzy-Regel (z.

³¹ Vgl. Nauck et al. (2003), S. 194-196.

³² Vertiefend nachzulesen in: Kosko (1992).

³³ Vgl. Nauck et al. (2003), S. 201.

³⁴ Ein Hyperwürfel ist ein regulärer Würfel mit mindestens vier Dimensionen, in diesem

Fall besitzt er n Dimensionen, vgl. Walser (2003).

³⁵ Vgl. Baeumle-Courth (2004), S. 77.

³⁶ Vgl Nauck et al. (2003), S. 202.

³⁷ Vgl. Baeumle-Courth (2004), S. 77-78.