Stand: 13. Oktober 2003

Hiermit versichere ich, diese Arbeit selbst¨ andig verfaßt und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt zu haben.

Karlsruhe, den

Zusammenfassung

Gegenstand dieser Arbeit ist die Simulation von bildgebenden Verfahren auf der Basis von Ultraschall. Diese Aufgabe gliedert sich in drei Teile: Erstens, man finde ein mathematisches Modell der Wellenausbreitung, welches geeignet ist, die Ausbreitung von Ultraschall zu simulieren. Zweitens ist eine Versuchsumgebung zu implementieren, die unter Zuhilfenahme des mathematischen Modells erlaubt, m¨ oglichst universelle simulierte Ultraschall-Untersuchungen durchzuf¨ uhren. Zum dritten ist die Brauchbarkeit der Simulation zu ¨ uberpr¨ ufen anhand von Effekten, die in der medizinisch-diagnostischen Anwendung der Ultraschalltechnik zu beobachten sind.

Den Einstieg bildet in Teil I eine kurze Zusammenfassung der notwendigen physikalischen Grundlagen sowie der technisch gebr¨ auchlichen Ger¨ ate und Verfahren. Mit der geforderten Modellbildung und den daraus zu entwickelnden Simulationsverfahren befaßt sich Teil II. Wesentliches Ergebnis ist die Entscheidung, die Simulation auf einer finite-Differenzen-Approximation der Wellendifferentialgleichung aufzubauen.

Die Implementierung dieses Verfahrens wird im Rahmen des vorliegenden Dokuments nur am Rande behandelt und findet sich im wesentlichen im Anhang. Dort wird zum einen die Steuersprache zur Definition von Ultraschall-Experimenten beschrieben, zum anderen die zugrundeliegende Bibliothek von in C++ implementierten Klassen. Erw¨ ahnt werden sollte aber, daß die Ultraschall-Simulation zudem einen Bestandteil der TomAS-Software [ZRMB97] f¨ ur ” Tomographische Algorithmen und Ultraschall-Simulation“ darstellt. Mit dem dritten Problembereich, der ¨ Uberpr¨ ufung anhand von Effekten in

der medizinischen Diagnostik, befaßt sich schließlich Teil III. Dieser beinhaltet zudem eine experimentelle Verifikation des der Simulation zugrundeliegenden Modells und eine Beschreibung der zus¨ atzlich implementierten Bildgebungs- und Bildverbesserungsverfahren.

Inhalt

I  Physikalische und technische Grundlagen  1

1  Grundlagen der Wellenlehre  2

1.1  Der harmonische Oszillator  2

1.2  Entstehung von Wellen  3

1.3  Das Huygenssche Prinzip  4

1.4  Die Energie der Welle  5

1.5  D ampfung  6

1.6  Medien  6

1.7  Reflexion und Transmission  7

1.8  Brechung  9

1.9  Dopplereffekt  10

1.10  Hinweise zur Literatur  11

2  Ultraschalltechnik  12

2.1  Einfache Schallquellen  12

2.2  Phased-Arrays  13

2.3  Linear-Arrays  15

2.4  Signale  17

2.5  Bildgebende Verfahren  18

II  Simulationsverfahren  23

3  Faltung mit Kugelwellen  24

3.1  Datenstruktur und Wellenfunktion  24

3.2  Evolution der Wellenfunktion  24

3.3  Die Elementarwellen im Ortsbereich  28

3.4  Diskreter Raum: Das Problem der Informationsdichte  29

3.5  Die Elementarwellen im Frequenzbereich  29

3.6  Bewertung der Faltungsmethode  30

i

4 Eine Randelementemethode 31

5 Vom Federmodell zur Wellengleichung 41

6 Numerisches L¨ osen der Wellengleichung 46

III Anwendung der Simulationssoftware 55

7 Experimentelle Verifikation 56

8 Bildgebung 63

9 Artefakte 71

9.1 Physikalische Artefakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.2 Technische Artefakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9.3 Simulative Artefakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

IV Anhang 85

A Alternative Diskretisierungen der Wellengleichung 86

A.1 Finite Differenzen verfeinert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.2 Andere Approximationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

B Beschreibungssprache f¨ ur Schallexperimente 92

B.1 Syntax der Experimentbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

B.2 Simulationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

B.3 Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

B.4 Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

B.5 Phantomerzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

B.6 Schallquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

B.7 Datengewinnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

B.8 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

C Referenz der Klassenbibliothek 107

C.1 Basisklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

C.2 Containerklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

C.3 Klassen f¨ ur geometrische Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

C.4 Klassen f¨ ur Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

C.5 Klassen f¨ ur Ultraschallger¨ ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

C.6 Der Beschreibungsparser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

C.7 Lexikalische Scanner-Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

C.8 Klassen f¨ ur Sonarexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

C.9 Klassen f¨ ur die Randelementemethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

C.10 Headerdateien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

C.11 Externe Pakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

iii

D Datenformate 124

E Laufzeiten der Simulationen 129

Teil I

Physikalische und technische

Kapitel 1

Grundlagen der Wellenlehre

Betrachten wir zun¨ achst einige grundlegende Prinzipien und Effekte, die bei der Ausbreitung von Wellen von Bedeutung sind. Dies ist gleichsam als Einstieg f¨ ur diejenigen Leser zu verstehen, die auf diesem Gebiet ¨ uber keine ausreichenden Vorkenntnisse verf¨ ugen.

Gleichzeitig geben die betrachteten Modelle Hinweise darauf, wie eine physikalisch fundierte Simulation der Wellenausbreitung vonstatten gehen k¨ onnte. Insofern dient dies auch als Rechtfertigung und Referenz f¨ ur die den implementierten Verfahren zugrundeliegenden Modellannahmen. Wir werden in den entsprechenden Kapiteln jeweils darauf zur¨ uckkommen.

Schließlich definieren die beschriebenen beobachtbaren Ph¨ anomene noch den Rahmen dessen, worauf die zu entwickelnden Modelle sich maximal werden st¨ utzen k¨ onnen. Allerdings werden nicht alle Modelle auch tats¨ achlich von allen Voraussetzungen Gebrauch machen. Weitere, insbesondere hier nicht erw¨ ahnte Effekte wie beispielsweise die Beugung von Schallwellen, sollten sich dann in der Simulation als Konsequenz einer korrekten Modellierung gleichsam ” von selbst“ einstellen.

1.1 Der harmonische Oszillator

Gegeben sei ein System, in dem ein Teilchen eine Kraft F erf¨ ahrt, die linear mit seinem Abstand s von einem bestimmten Punkt zunimmt. Es gelte also zu jeder Zeit t

F (t) = −K · s(t) (1.1)

mit einer geeigneten Konstante K > 0. Dies k¨ onnte etwa die Federkonstante der Kinematik sein. Wird das betrachtete Teilchen ausgelenkt, so erf¨ ahrt es durch diese Kraft entsprechend der Bewegungsgleichung F (t) = m · a(t) = m · d ² dt 2 s(t) eine Beschleunigung

a. Da beide Kr¨ afte gleich groß sein m¨ ussen, erh¨ alt man so die Differentialgleichung

3 1.2. Entstehung von Wellen

Deren allgemeine L¨ osung ist

Dies ist eine harmonische Schwingung, weshalb das so schwingende System als harmonischer Oszillator bezeichnet wird.

1.2 Entstehung von Wellen

Kraft und Gegenkraft sind betragsm¨ aßig gleich. Die gleiche Kraft, die den Schwinger im vorigen Abschnitt in die Gleichgewichtslage zur¨ uckzieht, wirkt also in umgekehrter Richtung auch auf das anziehende Objekt. Ist dieses nicht fixiert sondern selbst ein Schwinger, so werden offensichtlich beide aufeinander zu beschleunigt.

Die Auslenkung eines Schwingers wird, wenn viele derartige Objekte miteinander gekoppelt sind, somit jeweils zu dessen Nachbarn ¨ ubergeben (und von diesen weiter an ihre Nachbarn).

Ein St¨ orung pflanzt sich also durch die gesamte Anordnung fort, Energie und damit Information wird transportiert. Man sagt auch: Es breitet sich eine Welle aus. Die Gesamtheit der gekoppelten Schwinger bildet hierf¨ ur das Medium.

Die Geschwindigkeit, mit der der Energie der Welle durch den Raum weitergeleitet wird, heißt Ausbreitungsgeschwindigkeit oder auch Phasengeschwindigkeit der Welle. Diese Bezeichnungen - die im folgenden synonym verwendet werden - verdeutlichen den konzeptionellen Unterschied zu der Geschwindigkeit, mit der die einzelnen Schwinger um ihre Ruhelage oszillieren.

Ein anderer Kennwert f¨ ur die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung ist die Wellenzahl k. F¨ ur eine Welle mit der Wellenl¨ ange λ ist

Die Wellenl¨ ange λ wiederum l¨ aßt sich unter Verwendung der Phasengeschwindigkeit c und der Frequenz ν schreiben als

Damit ist nun k insbesondere von c abh¨ angig: Ist k 0 die Wellenzahl zu einer Phasengeschwindigkeit c 0 , so ist f¨ ur eine andere Geschwindigkeit c die zugeh¨ orige Wellenzahl

denn die Frequenz ν bleibt beim ¨ Ubergang der Welle in ein anderes Medium konstant.

4 Kapitel 1: Grundlagen der Wellenlehre

1.3 Das Huygenssche Prinzip

Das Huygenssche Prinzip erkl¨ art auf elementarer Ebene die Ausbreitung von Wellen. Zentrales Element dieses Modells sind die sogenannten Elementarwellen. Es handelt sich hierbei um Kugelwellen, die von infinitesimal dicht liegenden Punkten im Raum ausgehen. Die Kernaussage des Huygensschen Prinzips in der Formulierung nach [Str90, S.313] ist die folgende:

Will sagen: Wird ein Punkt durch eine Schwingung in seiner Umgebung ebenfalls zu einer Schwingung angeregt, so wird er f¨ ur seine Nachbarn hierdurch selbst zum Erreger. Er ist also gleichsam Ausgangspunkt einer Kugelwelle.

1.3.1 Kugelwellen

Mathematisch betrachtet ist eine Kugelwelle eine sich ausbreitende St¨ orung, deren Form zur Zeit t an einem beliebigen Ort x allein durch dessen Abstand r von einem festen Punkt ^x 0 bestimmt wird. Man kann eine solche Welle daher als eine Funktion ψ der folgenden Form darstellen:

Hierbei ist f eine beliebige Funktion, die den Signalverlauf der Erregung definiert. Ist t die Zeit und c die Phasengeschwindigkeit der Welle, so ist ψ offensichtlich auf konzentrischen Kugeloberfl¨ achen jeweils konstant. Hierdurch erkl¨ art sich auch der Name ” Kugelwelle“.

Der Faktor A 0 heißt Quellst¨ arke der Kugelwelle und ist die Amplitude der Schwingung im Abstand 1 vom Zentrum. Der Quotient ^{A 0} r gibt somit die Amplitude im Abstand r

an. Wie dies zustande kommt, ist unter anderem Thema von Abschnitt 1.4.

1.3.2 Komplexe Wellenfronten

Eine Frage bleibt noch zu kl¨ aren: Wie entstehen nach diesem Modell Wellen, die nicht kugelsymmetrisch sind? Die einfache Antwort: Durch die nicht-symmetrische Anordnung vieler Kugelwellen.

Exakter: Makroskopische, komplexe Wellenfronten entstehen durch ¨ Uberlagerung

von Kugelwellen der gleichen Phase. Entlang der Wellenfront verst¨ arken sich die Elementarwellen dabei gegenseitig, in allen anderen Richtungen l¨ oschen sie sich aus. Dies ist die Aussage des zweiten Teils des oben zitierten Prinzips.

Beliebige Wellen lassen sich aufgrund der Linearit¨ at der Wellenausbreitung in Elementarwellen zerlegen, die dann jede f¨ ur sich betrachtet werden k¨ onnen. Alle Wellenph¨ anomene lassen sich durch die Anwendung dieses Verfahrens erkl¨ aren. Allerdings geschieht das um den Preis, daß die Anzahl der zu betrachtenden Einzelwellen geradezu explosionsartig anw¨ achst, je weiter eine St¨ orung sich ausbreitet.

5 1.4. Die Energie der Welle

1.4 Die Energie der Welle

Wie aus der eingangs dieses Kapitels dargestellten mechanistischen Erkl¨ arung der Wellenausbreitung ersichtlich, ist diese eng mit dem Transport von Energie verbunden. Im Federmodell etwa tritt ein st¨ andiger Wechsel zwischen kinetischer Energie der Schwingerbewegung und potentieller Energie der gespannten Federn auf.

Eine wesentliche Frage ist nun, wie sich dies auf andere Energieformen ¨ ubertragen

l¨ aßt. Solche k¨ onnten zum Beispiel elektrische und magnetische Feldenergie bei elektromagnetischen Wellen oder das Produkt aus Druck und Volumen bzw. Druck und Volumen¨ anderung bei Schallwellen sein.

Betrachten wir den Spezialfall des harmonischen Schwingers. Die allgemeine L¨ osung seiner Schwingungsgleichung ist in (1.3) angegeben. Da Energieerhaltung gilt, muß die Gesamtenergie des Systems eine Invariante dieser Gleichung sein.

F¨ ur jeden der beiden Summanden ist sein Betragsquadrat eine solche Invariante, denn es gilt

|A exp(iωt)| ² = A ² | exp(iωt)| ² = A ² f¨ ur alle t. (1.8)

Da A die Amplitude der Schwingung ist, hat man damit einen heißen Kandidaten f¨ ur ein Energiemaß, n¨ amlich das Amplitudenquadrat:

E ∼ A ² . (1.9)

Dies ist auch physikalisch insofern plausibel, als etwa die potentielle Energie einer gespannten Feder und die kinetische Energie einer bewegten Masse jeweils proportional zum Quadrat von Auslenkung bzw. Geschwindigkeit sind. F¨ ur andere Energieformen gilt entsprechendes.

Bleibt noch zu kl¨ aren, wie sich die Energie bei der Ausbreitung der Welle auf den Raum verteilt. Der wichtigste Spezialfall wurde bereits im vorhergehenden Abschnitt angek¨ undigt: Die Kugelwelle.

Es d¨ urfte unmittelbar einleuchten, daß die Energieverteilung einer kugelsymmetrischen Welle sich ebenfalls kugelsymmetrisch verh¨ alt. Das heißt, auf einer geschlossenen Kugeloberfl¨ ache um das Zentrum der Welle ist die Energieflußdichte, die transportierte Energie pro Fl¨ ache, ¨ uberall gleich.

Die Ober߬ ache A r einer solchen Kugel ist nun proportional zum Quadrat des Radius r. Damit nimmt die Energiedichte E Ar umgekehrt proportional dazu ab:

Da, wie oben erl¨ autert, E ∼ A ² gilt, folgt daraus insbesondere

1

A ∼ . (1.11)

r

Dies liefert die versprochene Rechtfertigung f¨ ur die Amplitudenverteilung der Kugelwelle aus Gleichung (1.7). Allerdings sind wir bisher stillschweigend von der Annahme ausgegangen, die Welle verliere w¨ ahrend ihrer Fortpflanzung keinerlei Energie. In der Realit¨ at allerdings ist diese Vereinfachung nicht gerechtfertigt.

6 Kapitel 1: Grundlagen der Wellenlehre

1.5 D¨ ampfung

Mit der Fortpflanzung in einem realen Medium verliert eine Welle fortw¨ ahrend Energie, die etwa durch die Reibung der Molek¨ ule aneinander in W¨ arme umgewandelt wird. Dieser Verlust erfolgt zumeist exponentiell mit der zur¨ uckgelegten Entfernung und wird als D¨ ampfung bezeichnet.

Betrachten wir exemplarisch die Intensit¨ at (auch Energieflußdichte) des Wellenfeldes an einer bestimmten Position. Dies ist die Leistung, die durch ein Fl¨ achenst¨ uck ¨ ubermittelt

wird. Ist I(0) die Intensit¨ at am Ausgangspunkt der Welle und I(x) diejenige im Abstand x, so gilt I(x) = I(0) exp(−µx). (1.12)

Der durch das Medium bestimmte Parameter µ heißt D¨ ampfungskoeffizient und kann umgekehrt definiert werden durch

Zwei Dinge sind in diesem Zusammenhang zu beachten:

1.6 Medien

Die Ausbreitung von Wellen wird ganz erheblich davon bestimmt, in welchem Medium sie erfolgt. Die hierbei bestimmenden Parameter sind

7 1.7. Reflexion und Transmission

Tabelle 1.1: Parameter der Wellenausbreitung in verschiedenen K¨ orpergeweben (Quellen: [Mor95], [Nat96]).

Medizinisch interessant sind als Medien nat¨ urlich in erster Linie die verschiedenen K¨ orpergewebe. F¨ ur einige von diesen sind in Tabelle 1.1 die relevanten Parameter zusammengefaßt. Der Parameter Z ist der sogenannte Wellenwiderstand und wird im n¨ achsten Abschnitt eingef¨ uhrt werden.

Zu beachten ist, daß der D¨ ampfungskoeffizient µ von der Frequenz der Schwingung

abh¨ angig ist. F¨ ur die uns interessierenden Gewebearten ist dieser Zusammenhang n¨ aherungsweise linear. Dies erkl¨ art auch das Auftreten der Einheit MHz im Nenner der Maßeinheit.

1.7 Reflexion und Transmission

An der Grenzschicht zwischen zwei Medien wird nur ein Teil der Energie einer Welle von einem Medium ins andere ¨ ubertragen oder transmittiert. Ist E 0 die gesamte Energie der Welle, so breitet sich eine Welle der Energie

E T = T E 0 (1.16)

in das andere Medium aus. Der Faktor T heißt Transmissionskoeffizient. Andererseits wird aber auch ein Teil E R der Energie an der Grenzschicht reflektiert. Analog zur Transmission sei hierbei E R = R E 0 . (1.17)

Der Reflexionskoeffizient R ist also der Bruchteil der Energie, der an der Grenzschicht reflektiert wird und somit im Ausgangsmedium verbleibt. Da bei dem gesamten Vorgang nat¨ urlich keine Energie verlorengeht, ergibt sich aufgrund der Energieerhaltung an Grenzschichten die Beziehung T = 1 − R. (1.18)

8 Kapitel 1: Grundlagen der Wellenlehre

Die tats¨ achlichen Werte f¨ ur T und R h¨ angen von einem Kennwert der beiden beteiligten Medien ab. Dieser wird als Wellenwiderstand (oder Impedanz) Z bezeichnet und ist wie folgt definiert:

Z = ̺c. (1.19)

Der Wellenwiderstand ist also proportional sowohl zur Dichte des Materials als auch zur Phasengeschwindigkeit der Welle.

Betrachten wir konkret zwei Medien mit den Wellenwiderst¨ anden Z 1 und Z 2 . Eine Welle treffe auf die Grenzschicht zwischen diesen beiden Medien. Dann berechnet sich R als

Offensichtlich ist R (und damit nach (1.18) auch T ) invariant unter Vertauschung von Z 1 und Z 2 . Es macht also keinen Unterschied, in welcher Richtung die ¨ Ubertragung der

Energie erfolgt. In Tabelle 1.2 ist daher f¨ ur jedes Medienpaar nur ein Wert f¨ ur Reflexions-und Transmissionskoeffizient angegeben.

Tabelle 1.2: Reflexionskoeffizienten (linke untere H¨ alfte) und

Transmissionskoeffizienten (rechte obere H¨ alfte).

Es ist von gr¨ oßter Wichtigkeit zu beachten, daß R und T sich auf Bruchteile der

Energie der Welle beziehen. Rechnet man jedoch mit Amplituden, sind anstelle von (1.16) und (1.17) folgende Gleichungen zu verwenden:

√

Dies folgt aus der im Abschnitt 1.4 hergeleiteten Beziehung A ² = ϑE mit Proportionalit¨ atsfaktor ϑ, denn es gilt

A ² R = ϑE R = R · ϑE 0 = RA 2 0 . (1.23)

9 1.8. Brechung

Reflexion am festen Ende

Betrachtet man Wellen, die ein Seil entlanglaufen, so beobachtet man, daß an dessen Ende die Wellen reflektiert werden und zur¨ ucklaufen. Es macht hierbei einen wesentlichen Unterschied, ob das Seilende fixiert ist oder frei schwingen kann.

Im Fall eines fixierten Endes n¨ amlich l¨ oschen sich - da das Ende ja unbewegt bleibthin- und r¨ ucklaufende Welle dort aus. Daraus folgt, daß bei der Reflexion am festen Ende ein Phasensprung auftritt, bzw. die Amplitude negiert wird.

Nun gibt es bei der Ausbreitung von optischen und akustischen Wellen im engeren Sinne kein festes Ende. Allerdings haben die Medien, in denen sich diese Wellen fortpflanzen, eine Eigenschaft, die als akustische Dichte ¹ bezeichnet wird. Diese entspricht dem Brechungsindex n (auch Brechzahl) des jeweiligen Mediums, der wie folgt definiert ist:

Der Brechungsindex ist also der Quotient aus der Phasengeschwindigkeit c 0 in einem Referenzmedium, in der Optik etwa die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, und derjenigen im interessierenden Medium. Da praktisch in allen denkbaren Problemen nur Quotienten von Brechungsindizes auftreten, ist die Wahl des Referenzmediums dabei belanglos.

Ein Medium mit h¨ oherer Brechzahl heißt akustisch dichter als eines mit niedrigerer Brechzahl. Analog zu Seilwellen zeigt sich nun, daß auch bei Schallwellen (und ebenso bei Licht) ein Phasensprung auftritt, wenn eine Welle am akustisch dichteren Medium reflektiert wird.

10 Kapitel 1: Grundlagen der Wellenlehre

F¨ ur den reflektierten Anteil ist die Antwort einfach: Nach der bekannten Regel Reflexionswinkel gleich Einfallswinkel“ wird die Welle im gleichen Winkel reflektiert,

”

mit dem sie auf die Grenzfl¨ ache trifft.

Die Betrachtung des transmittierten Anteils erfordert mehr Aufwand: Hier h¨ angt die Richtung von den Brechzahlen der beiden beteiligten Medien ab. Sind diese n 1 bzw. n 2 , so gilt zwischen den Winkeln der beteiligten Wellen zum Einfallslot bei Brechung die Beziehung

n 1 sin α 1 = n 2 sin α 2 (Snelliussches Brechungsgesetz). (1.25)

Ein interessanter Spezialfall tritt ein, wenn in Abb. 1.1 einfallende und gebrochene Welle vertauscht werden und α 2 eine gewisse Grenze ¨ uberschreitet. Gilt n¨ amlich

so kann wegen sin α 1 ≤ 1 das Brechungsgesetz (1.25) offensichtlich f¨ ur kein α 1 erf¨ ullt sein. In diesem Fall kommt es daher gar nicht zur Brechung der Welle. Diese wird stattdessen an der Grenzschicht vollst¨ andig zur¨ uckgeworfen; es erfolgt eine sogenannte Totalreflexion.

1.9 Dopplereffekt

Wellen, die von bewegten K¨ orpern reflektiert wurden, sind in ihrer Frequenz in Abh¨ angigkeit von der Relativgeschwindigkeit des Reflektors verschoben. Dieses Ph¨ anomen tr¨ agt den Namen Dopplereffekt.

Mit den Bezeichnungen aus Bild 1.2 berechnet sich die Frequenzverschiebung ν D eines Signals der Wellenl¨ ange λ als 2v F cos θ

ν D = . (1.27)

λ

Offensichtlich tritt also nur die Komponente der Fließgeschwindigkeit v F bei diesem Effekt in Erscheinung, welche in Richtung der Wellenausbreitung verl¨ auft.

11 1.10. Hinweise zur Literatur

1.10 Hinweise zur Literatur

Detailliertere Einf¨ uhrungen in die Materie dieses Kapitels bietet allgemeine physikalische Literatur wie [Str90]. Insbesondere der mechanistische Ansatz ¨ uber gekoppelte Schwinger

kann hier nachgelesen werden. Tiefer gehen speziell auf Schwingungen und Wellen ausgerichtete Werke, etwa [Cra89].

Eine verst¨ andliche Einf¨ uhrung in die mathematischen Methoden zur Behandlung von Wellen mit einer ausf¨ uhrlichen Darstellung der Kugelwellen findet man in [Hec89, S.13ff]. Kompakt und sehr empfehlenswert als Sammlung von Werkzeugen und Resultaten aus den verschiedensten Gebieten der Wellenlehre ist [CJ77]. Hier finden sich auch Listen mit L¨ osungen der homogenen und inhomogenen Wellendifferentialgleichung (vgl. Kapitel 5) mit oder ohne D¨ ampfung.

Speziell auf die Ph¨ anomene bei der Ausbreitung von Ultraschall ausgerichtet ist das entsprechende Kapitel in [Mor95, S.191ff]. Anders als bei den vorgenannten Quellen werden hier auch die technischen und medizinischen Randbedingungen der Ultraschalltechnik dargestellt.

Kapitel 2

Ultraschalltechnik

2.1 Einfache Schallquellen

Die gebr¨ auchlichste technische Ultraschallquelle sind sogenannte Schallwandler, oder kurz Wandler. Hierbei handelt es sich um Kolbenschwinger, die den Ultraschall mit Hilfe einer bewegten Membran abgeben. Zum Bewegen der Membran bedient man sich zumeist des piezoelektrischen Effekts: Bestimmte Kristalle dehnen sich aus oder ziehen sich zusammen, wenn eine Spannung an sie angelegt wird. Den h¨ ochsten Wirkungsgrad erzielt man dabei, wenn die Frequenz der anliegenden Wechselspannung gerade die Eigenfrequenz des verwendeten Kristalls ist.

Umgekehrt entstehen elektrische Spannungen, wenn piezoelektrische Kristalle deformiert werden. Diese Spannungen lassen sich ¨ uber dieselben Kontakte abgreifen, mit denen der

Kristall sich in Schwingungen versetzen l¨ aßt. Wird ein Wandler gerade nicht angeregt, kann er daher wahlweise auch als Meßger¨ at f¨ ur den Schalldruck im angrenzenden Medium eingesetzt werden.

Schallfeld

Bei der Abstrahlcharakteristik von Wandlern ist zwischen Nahfeld und Fernfeld zu unterscheiden: Das Nahfeld unterliegt starken r¨ aumlichen Schwankungen, w¨ ahrend das Fernfeld einen relativ gleichm¨ aßigen Kegel bildet. Dabei ist auch das Signal von Bedeutung, mit dem der Wandler angeregt wird.

Bei kontinuierlicher harmonischer Anregung entstehen starke Intensit¨ atsschwankungen im Nahfeld sowie ausgepr¨ agte Nebenkeulen im Fernfeld. Diese Effekte lassen sich durch Aussenden eines gepulsten Signals verringern, denn die Interferenz der Schallwellen von unterschiedlichen Punkten auf der Wandlermembran ist dann auf ein enges zeitliches Fenster beschr¨ ankt. Details zu den verschiedenen Signalformen folgen in Abschnitt 2.4.

Bild 2.1 zeigt Schnitte durch die simulierten Schallfelder eines ebenen, runden Wandlers f¨ ur beide Signalformen. Man erkennt deutlich den nat¨ urlichen Fokus beim ¨ Ubergang vom

Nah- zum Fernfeld sowie die gleichm¨ aßigere Energieverteilung bei gepulster Anregung.

12

Bei einer einzustellenden Abstrahlrichtung α gilt f¨ ur die notwendige Verz¨ ogerung τ j des j-ten gegen¨ uber dem ersten Wandler (j = 0) im Array

Wie in Abbildung 2.2 illustriert, ist s der Abstand der beiden ¨ außersten Wandler zueinander. Weiter bezeichnet c die Phasengeschwindigkeit des Signals im jeweiligen Medium. Nun ist allerdings selten bekannt, in welches Medium das Signal weitergeleitet wird, bzw. es ist sogar zu erwarten, daß verschiedene Medien sich abwechseln werden. Daher w¨ ahlt man im allgemeinen fest die Phasengeschwindigkeit des Signals in Wasser, also c ≈ 1500 m/s. Abbildung 2.3 zeigt die Simulation der von einem Phased-Array ausgehenden Wellenfronten.

In der medizinischen Anwendung ¨ ublich sind Phased-Arrays mit etwa folgenden Parametern:

• Scanwinkel: 40-45 ◦

• Apertur: 14-28 mm

(a) t = 10 µs (b) t = 20 µs

(c) t = 30 µs (d) t = 40 µs

15 2.3. Linear-Arrays

• Anzahl der Elemente: 48-128

• Frequenz: 2,5-7 MHz

2.2.1 Fokussierter Empfang

Wie erw¨ ahnt dienen Wandler nicht nur als Schallquellen, sondern auch als Meßeinrichtung. Ebenso l¨ aßt sich auch eine Anordnung mehrerer Wandler zu einem Meßger¨ at zusammenfassen. Verz¨ ogert man die Meßwerte der einzelnen Wandler geeignet, so kann das Phased-Array auch beim Empfang von Signalen eine bestimmte Richtung fokussieren.

Die hier g¨ ultige Beziehung zwischen Winkel der Fokusachse und notwendiger Verz¨ ogerung ist die gleiche wie beim Aussenden von Signalen.

2.2.2 Dynamische Tiefenfokussierung

Durch geeignete Verz¨ ogerung der empfangenen Ultraschallsignale kann nicht nur die Richtung sondern auch die Tiefe des Empfangsfokus variiert werden. So ist es zum Beispiel m¨ oglich, w¨ ahrend des Scanvorganges die Verz¨ ogerungszeiten st¨ andig so anzupassen, daß der Fokus der virtuellen Empf¨ angeranordnung sich immer in der Tiefe befindet, aus der gerade die Echos einlaufen.

Abbildung 2.4: Dynamische Tiefenfokussierung. Die τ i bezeichnen die

2.3 Linear-Arrays

¨ Ahnlich wie beim Phased-Array sind auch beim Linear-Array mehrere Wandler nebeneinander angeordnet. Jedoch sind hierbei nicht alle gleichzeitig phasenverschoben aktiv, sondern nur einer oder h¨ ochstens eine Gruppe aus (i.a. wenigen) benachbarten Elementen. Da diese dabei in Phase aktiviert werden, senden Linear-Arrays parallele

Gebr¨ auchliche Dimensionen f¨ ur Linear-Arrays sind:

17 2.4. Signale

2.4 Signale

An die piezoelektrischen Elemente der Schallwandler k¨ onnen beliebige Spannungsverl¨ aufe angelegt werden. Es lassen sich deshalb damit fast ebenso beliebig modulierte Schallsignale aussenden.

2.4.1 Kontinuierliches harmonisches Signal

Die einfachste Signalform ist eine permanente Sinusschwingung mit zeitlich konstanter Amplitude. Ein solches Signal ist f¨ ur bildgebende Verfahren aber kaum geeignet.

Zum einen wird das Schallfeld derart angeregter Wandler durch die zeitlich unbegrenzte Interferenz sehr unregelm¨ aßig und erh¨ alt starke Nebenkeulen, wie dies in Abbildung 2.1 (linkes Bild) zu erkennen ist.

Wichtiger noch ist aber, daß auch die Echos von Grenzschichten innerhalb der untersuchten Objekte zeitlich nicht begrenzt sind. Hierdurch vermehren sich wiederum die Interferenzen, und eine Laufzeitbestimmung wird zumindest schwierig.

2.4.2 Gauß-Pulse

Die L¨ osung f¨ ur die im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen Probleme ist die Verwendung gepulster Signale: Außerhalb eines eng begrenzten Zeitfensters werden die Wandler nicht angeregt. Das Resultat ist das zum Beispiel von der U-Boot-Ortung bekannte ” Ping“.

Um hochfrequente St¨ oranteile zu Beginn und Ende eines Pulses zu vermindern, moduliert man die Amplitude der Sinusschwingung mit einer Gaußglocke. Der zeitliche Verlauf des so erhaltenen gepulsten Signals ist in Bild 2.6 dargestellt. Bei einer Periodendauer T folgt die Auslenkung der Membran der folgenden Gleichung:

Die Dauer eines solchen Pulses betr¨ agt - wie dies in der technischen Anwendung ¨ ublich ist - das 2 1 2 -fache der Periodendauer des Signals. Der Parameter σ beeinflußt die Steilheit der Flanken der Einh¨ ullenden. Je gr¨ oßer σ, umso sch¨ arfer ist das Signal lokalisiert, umso h¨ oherfrequente Anteile sind aber auch enthalten.

2.4.3 Codierte Signalfolgen

Mittels gepulster Signale lassen sich (eine Abstraktionsebene ¨

codierte Signalfolgen ¨ ubertragen. Hierzu k¨ onnte man etwa einen Bin¨ arcode definieren, der durch die im vorigen Abschnitt dargestellten Pulse ¨

Im Falle fehlerkorrigierender Codes ließen sich damit m¨ oglicherweise Echos von Rauschen unterscheiden. Bisher wird dies in der Praxis allerdings noch nicht angewandt.

18 Kapitel 2: Ultraschalltechnik

2.5. Bildgebende Verfahren

Die Amplitude des einlaufenden Echos wird nun in einem Bildgebungsprozeß in die Helligkeit von geeignet angeordneten Bildpunkten umgesetzt. Daher erkl¨ art sich auch der Name des Verfahrens, denn ”

In der Bildebene entsprechend den Richtungen der einzelnen Sichten angeordnet, ergeben die Einzelmessungen ein Schnittbild durch das untersuchte Objekt. Jeder Sicht wird also eine Gerade im Raum zugeordnet und jeder Ankunftszeit eines Echos ein Punkt auf dieser Geraden.

F¨ uhrt man mehrere B-Scans nacheinander durch, wobei die Schnittebene jeweils verschoben oder gekippt wird, lassen sich so auch dreidimensionale Informationen gewinnen.

Interpretation von B-Bildern

Zum Verst¨ andnis von B-Bildern ist es wichtig, sich eines st¨ andig vor Augen zu halten: Die Aufzeichnung der Reflexionen eines Ultraschallsignals erfolgt gegen die bis zum Eintreffen der Echos verstrichene Zeit, nicht gegen die (unbekannte!) Tiefe der reflektierenden Struktur im Objekt.

Wenn also ein Echo aufgezeichnet wird, so heißt das nicht, daß in der entsprechenden Tiefe im Objekt tats¨ achlich eine Mediengrenze vorhanden w¨ are. Vielmehr ist dies so zu interpretieren, daß es einen Weg durch das Objekt zur¨ uck zum Sender gibt, den zur¨ uckzulegen der Schall genau so lange braucht, wie Zeit bis zum Eintreffen des Echos verstrichen ist.

Dies ist eigentlich selbstverst¨ andlich, f¨ uhrt aber immer wieder zu Verwirrung. Bestimmte Arten von Objekten f¨ ordern diese Art von Fehlinterpretation durch besonders angeordnete Reflektoren. In Kapitel 9 werden einige solche Ph¨ anomene mit der noch vorzustellenden Simulationssoftware nachgebildet.

Das Gesagte gilt nat¨ urlich v¨ ollig analog f¨ ur den A-Mode. Allerdings ist dieser zum einen in der medizinischen Diagnostik nicht ann¨ ahernd so verbreitet, zum anderen ist die Gefahr der Fehlinterpretation bei B-Bildern durch ihre weitgehend intuitive Verst¨ andlichkeit wesentlich gr¨ oßer.

21 2.5. Bildgebende Verfahren

2.5.4 Tiefenabh¨ angige Verst¨ arkung

Je l¨ anger ein Ultraschallsignal K¨ orpergewebe oder andere d¨ ampfende Medien durchl¨ auft, umso mehr Energie geht ihm verloren. Je sp¨ ater darum Echos aus der Tiefe eines Objektes beim Empf¨ anger eintreffen, umso schw¨ acher sind sie.

Diesen Effekt auszugleichen ist die Aufgabe der tiefenabh¨ angigen Verst¨ arkung. Eine solche Einrichtung verst¨ arkt einlaufende Echos auf elektronischem Wege mit zeitlich wachsendem Verst¨ arkungsfaktor. Dieser Faktor V wird festgelegt als Kehrwert der angenommenen D¨ ampfung. Wie in Gleichung (1.12) verwendet ist dies also

V = exp(µct) (2.3)

mit der Phasengeschwindigkeit c und der Signallaufzeit t. Wie in Abschnitt 1.5 eingef¨ uhrt, ist µ auch hier der durch (1.13) definierte D¨ ampfungskoeffizient des durchlaufenen Mediums. In Abbildung 2.11 sind die resultierenden B-Bilder mit verschiedenen Einstellungen f¨ ur µ gezeigt.

Um die gew¨ unschte Funktion zu gew¨ ahrleisten, m¨ ussen offenbar Annahmen ¨ uber die

D¨ ampfung der durchlaufenen Medien gemacht werden. Da dies exakt praktisch nicht machbar ist, kommt es zu unkorrekten Darstellungen, wenn Medien im Signalweg liegen, deren D¨ ampfungskoeffizienten stark von der Sch¨ atzung abweichen. Solche Artefakte sind Gegenstand von Abschnitt 9.1.2 im Teil III dieser Arbeit.