Inhaltsverzeichnis

Grundlegendes  zu den rationalen Zahlen  1

  Äquivalenzrelation: Beweise  3

Dazu  ein Beispiel  3

Definition  der rationalen Zahlen  4

Veranschaulichung  als Äquivalenzklassen  4

Definition  der Addition und Multiplikation  5

Rechenregeln  : Beweise  6

Literaturverzeichnis   8

Grundlegendes zu den rationalen Zahlen

Die ganzen Zahlen haben die Eigenschaft, dass jede Additionsgleichung mit Koeffizienten aus » lösbar ist. Bei der Definition der rationalen Zahlen geht es nun darum, eine Entsprechung für Multiplikationsgleichungen zu finden. Nachfolgend wollen wir in die rationalen Zahlen einführen und den Umgang mit diesen deutlich machen. Wir halten uns dabei stark an REISS/SCHMIEDER (2007) und verweisen auf deren Publikation. In vorangegangenen Kapiteln bzw. Vorlesungen wurden die natürlichen Zahlen aus den Peano-Axiomen entwickelt und die ganzen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen hergeleitet. Durch eine ganz ähnliche Überlegung wird man nun die rationalen Zahlen auf der Grundlage der ganzen Zahlen bekommen.

Es sei noch einmal daran erinnert, dass die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen

hergeleitet wurden, indem zunächst Gleichungen der Form a = b + x mit a,b ∈ » betrachtet wurden. Die Gleichungen a 1 = b 1 + x und a 2 = b 2 + x (mit a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 ∈ » ) wurden als gleichwertig (äquivalent) bezeichnet, wenn sie dieselbe Lösung x ∈ » hatten. Selbstverständlich durfte man erst nach der Einführung von » von einer solchen ganzzahligen Lösung x sprechen. Man kann analog zu den ganzen Zahlen nun auch

die multiplikative Gleichung a = b ⋅ x betrachten, wobei a und b ganze Zahlen bezeichnen. Es ist offenbar vernünftig, b ≠ 0 anzunehmen, denn für b = 0 kann diese Gleichung ohnehin entweder nicht lösbar sein (für a ≠ 0 ), oder aber sie ist nicht eindeutig lösbar (wenn auch a = 0 ist, so ist jede ganze Zahl eine Lösung). Von den angestrebten ”Lösungen“ x im Fall b ≠ 0 und a = 0 wird natürlich erwartet, dass sie unter Anderem das Distributivgesetz erfüllen. Aus diesem Gesetz und dem (auch für die zu definierenden rationalen Zahlen wünschenswerten) nach eindeutiger Lösbarkeit von Gleichungen ergibt sich, dass die Multiplikation mit 0 immer das Er-

gebnis 0 haben muss. Aus x ⋅ 0 + x ⋅ 0 = x ⋅ (0 + 0) = x ⋅ 0 folgt x ⋅ 0 = 0.

Um zur eigentlichen Definition der rationalen Zahlen zu kommen, wird wieder die schon beim Erzeugen der ganzen Zahlen verwendete Methode benutzt, die zu beschreibenden Objekte (also die rationalen Zahlen) mit Gleichungen (diesmal des Typs

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a = b ⋅ x ) zu identifizieren. Dabei sollen entsprechend Gleichungen als äquivalent angesehen werden, die (später einmal, wenn die rationalen Zahlen zur Verfügung stehen) für ein und dasselbe x erfüllt sind. Die Gleichungen 3 = 4x und 6 = 8x und 24 = 32x werden vernünftigerweise äquivalent sein. Zu sagen, wann ganz genau Gleichungen äquivalent sind, muss allerdings ein wesentlicher Bestandteil der anstehenden Definition sein. ¹ Ebenso bringt es nicht weiter, sich die rationalen Zahlen als die

”Brüche“

diesem Begriff nichts anderes als die Paare (a,b). Dann müsste man allerdings noch (a,b) und beispielsweise (5a,5b) als äquivalent identifizieren und danach die Rechenoperationen für diese Paare erklären. Es läuft alles darauf hinaus, die Gleichungc = d ⋅ x mit c,d ∈ », d ≠ 0 als gleichbedeutend (äquivalent) mit a = b ⋅ x einzustufen, falls ad = bc gilt. 2

Man beachte, dass die dort definierte Äquivalenzrelation nicht dieselbe ist wie die in Kapitel 6 definierte Relation zur Einführung der ganzen Zahlen. Diese Relation dient ja auch einem ganz anderen Ziel. Man möchte im Ergebnis so etwas wie gleich große Brüche beschreiben, also wissen, wann (a,b) und (c,d) derselben Zahl entsprechen, also (a,b) ~ (c,d) sind. Die für Lösungen aus » gefundene Setzung für ~ wird dann auf alle (a,b), (c,d) ∈ » × (» \ {0}) übertragen.

¹ Dazu sei angemerkt: „Es wäre nun nicht in Ordnung, an dieser Stelle eine rationale Zahl als das Er-

gebnis der Division einer ganzen mit einer natürlichen Zahl zu erklären, da eben diese Division in den

vorangegangenen Kapiteln nicht eingeführt wurde.“, REISS/SCHMIEDER (2007), S. 300.

² Das lässt sich begründen, wenn man sich auf x ∈ » beschränkt.

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