ˆ β mit KQ-Methode geschätzter Wert

ˆ β ^ML mit Maximum Likelihood Methode geschätzter Wert

ˇ β mit unbestimmter Methode geschätzter Wert

y t (h) lineare Prognose für Periode t + h auf Basis von Daten aus t

φ j Parameter einer Differenzengleichung oder AR Prozesses

Φ j Parametermatrix eines VAR Prozesses

Φ Parametermatrix eines transformierten VAR(p) Prozesses

w Konstanter Term eines AR Prozesses

v Konstanter Term eines VAR Prozesses

B Blockmatrix aus den Φ j und v eines VAR Prozesses

B Blockmatrix aus B(1, 1) = 1, B(·, 1) = B(1, ·) = 0 sonst und B

β mit vec-Operator transformierte B-Matrix

ψ j Parameter eines MA Prozesses

Ψ j Parametermatrix eines Vektor MA Prozesses

Π Matrix der Parameter der endogenen Variablen im SEM

Ξ Matrix der Parameter der exogenen Variablen im SEM

π i Vektor mit Parametern der endogenen Variablen im SEM

ξ i Vektor mit Parametern der exogenen Variablen im SEM

δ i Vektor mit allen Parametern einer Zeile eines SEM

Π Matrix aus Kointegrations- und Ladungsmatrix eines VECM

Γ i Parametermatrix eines VECM

Ende eines Beweises

ii

Zur Notation

Die Notation in dieser Arbeit orientiert sich im Wesentlichen an Hamilton (1994) und in Teilen an Lütkepohl (1993) sowie Stahlecker und Kröh (2009). Skalare werden kursiv notiert, Vektoren und Matrizen durch Buchstaben in normaler L ^A T E X Schrift und Blockmatrizen bzw. Vektoren in Fettschrift. Beispiel:

α t =

Zur besseren Unterscheidbarkeit werden Indizes und Potenzen, sofern es Buchstaben sind, entsprechend mitformatiert. Von dieser Notation wird allerdings bei der Schätzung der Parameter von VAR-Prozessen abgewichen. Für die Schätzung werden für das Datenmodell Blockmatrizen mit Hilfe des vec-Operators transformiert. Dort gilt: normale Schrift für alle Matrizen, Fettschrift für transformierte Matrizen.

Die Kovarianz zwischen Element i in t und Element j in t − h, d.h. ^{(i) (j)} t − μ ⁽ⁱ⁾ )(y t−h − μ ^(j) )] wird als γ ij (h) notiert, folglich ist die h-te Auto- E[(y

kovarianz von Element i γ ii (h). In dieser Logik ist die Varianz γ ii (0), diese Notation wird auch im Rahmen von Stationaritätsbeweisen genutzt. Ist h jedoch, wie bei normalen Varianz-Kovarianz Matrizen, Null, wird für Varianzen und Kovarianzen die klassische Notation, d.h. σ ² i für die Varianz von

Variable i und σ ij für die Kovarianz von i und j, verwendet. Die Matrix aller h-ten Autokovarianzen einer mehrdimensionalen Zeitreihe wird als Γ(h) notiert. Für eine zweidimensionale Zeitreihe wäre das z.B.:

Ist eine Menge von Zufallsvariable statistisch unabhängig und identisch verteilt, wird dies mit i.i.d. (independent and identically distributed) abgekürzt. Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden wie üblich mit dem ersten Buchstaben des Verteilungsnamens gekennzeichnet, z.B. N (μ, σ ² ) für die Normal-oder χ ² (q, 0) für die Chi-Quadrat-Verteilung. Negative Indices bezeichnen Werte, die bei mehrdimensionalen stochastischen Prozessen für den Startwert des Prozesses - gekennzeichnet mit dem Index 0 - vorliegen müssen. Positive Indices bezeichnen Werte, die nach dem Start des Prozesses beobachtet werden.

iii

Inhaltsverzeichnis

1  Einführung und Überblick  1

2  Grundlagen  4

2.1  Zeitreihen  4

2.1.1  Definition  4

2.1.2  Stationarität  5

2.2  Asymptotische Verteiltungstheorie  6

2.3  Lineare Differenzengleichungen  7

2.3.1  Differenzengleichungen erster Ordnung  7

2.3.2  Differenzengleichungen p-ter Ordnung  9

2.4  Stationäre AR und MA Prozesse  12

2.4.1  Annahmen  12

2.4.2  MA Prozesse  13

2.4.3  AR Prozesse  16

3  Stationäre VAR Prozesse  19

3.1  Grundlegende Eigenschaften  19

3.2  Schätzung der Parameter  21

3.2.1  KQ Schätzung  22

3.2.2  Maximum Likelihood Schätzung von Σ ε  25

3.2.3  Eigenschaften des KQ-Schätzers  26

3.2.4  Das Problem der Fast-Multikollinearität  30

3.3  Prognosen  31

3.3.1  Prognosen mit gegebenen Parametern  31

3.3.2  Prognosen mit geschätzten Parametern  33

3.4  Bestimmung der Ordnung  35

3.4.1  Ein Likelihood Quotienten Test für die Ordnung  35

3.4.2  Informationskriterien  37

3.5  Kausalitätstests  38

3.5.1  Kausalitätstests mit gegebenen Parametern  38

3.5.2  Kausalitätstests mit geschätzten Parametern  41

iv

3.6 Impuls-Antworten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6.1 Impuls-Antworten bei gegebenen Parametern . . . . . . 42 3.6.2 Impuls-Antworten bei geschätzten Parametern . . . . 44 3.7 Lineare Parameterrestriktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.7.1 Restriktionen der Parametermatrizen . . . . . . . . . . 45 3.7.2 Bestimmung von Restriktionen ohne Vorinformationen 46

4 Simultane Gleichungsmodelle 48

4.1 Scheinbar unverbundene Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2 Interdependente Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.1 Das Identifikationsproblem bei simultaner Schätzung . 52 4.2.2 Identifikation über lineare Restriktionen . . . . . . . . 55 4.2.3 Konsistente Schätzmethoden . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.4 Testen in SEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3 Verbindungen zwischen VAR und SEM . . . . . . . . . . . . . 63 4.3.1 Ein VAR als reduzierte Form des SEM . . . . . . . . . 63 4.3.2 Structural VARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5 Die Kritik von C. Sims 66

5.1 Kritikpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.1.1 Problematische a priori Restriktionen . . . . . . . . . . 66 5.1.2 Identifikation bei dynamischer Modellspezifikation . . . 69 5.1.3 Auswirkungen rationaler Erwartungen . . . . . . . . . 72 5.2 Sims Vorschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.3 30 Jahre nach Sims Kritik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3.1 Die heutige Bedeutung von VARs . . . . . . . . . . . 77 5.3.2 VARs und die Lucas Kritik . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.3.3 Das Problem der ungenauen Schätzungen . . . . . . . . 80 5.3.4 Ein erstes Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6 VARs für die Makroökonometrie 83

6.1 Instationäre Zeitreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.1.2 Einheitswurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1.3 Kointegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.2 Vergleichende Anwendung von VAR und SEM . . . . . . . . . 89 6.2.1 Spezifikation des SEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.2.2 Spezifikation des VAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7 VAR und die Realität 97

v

Literaturverzeichnis 101

A Ergänzungen i

A.1 Äußere Produkte von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . i

A.2 Die Identität von KQ und Maximum Likelihood Schätzer bei stationären VARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

A.2.1 Bestimmung der Likelihood-Funktion . . . . . . . . . . i

A.2.2 Nachweis nach Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . iii A.3 Optimale lineare Prognosen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v A.4 Der Lag-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

B Details zur Spezifikation des SEM vii

B.1 Konsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii B.2 Produktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii B.3 Vermögen der Haushalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x B.4 Identitäten der volkswirtschaftlichen Gesamtrechnung . . . . . xi

C Ergebnisse der Modellschätzungen xiv

C.1 Schätzung des SEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv C.2 Schätzung des VAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii C.3 Schätzung des VECM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii

vi

Kapitel 1

Einführung und Überblick

Die Arbeit von C. Sims (1980) Macroeconomics and Reality, die den Titel dieser Arbeit inspirierte, kann als Plädoyer für die Verwendung von theoriearmen Zeitreihenmodellen anstelle von klassischen makroökonometrischen Modellen, die in erheblichem Umfang auf theoretische Überlegungen aufbauen, verstanden werden.

Die Veröffentlichung des Artikels von C. Sims fällt in das Ende einer Umbruchsphase makroökonomischer Theorie, in der angesichts der Kombination von hohen Inflationsraten und steigender Arbeitslosigkeit bzw. stagnierendem Wirtschaftswachstum (Stagflation) in England und den USA ein Paradigmenwechsel von der keynesianisch geprägten Makroökonomie zurück zu Ansichten der Klassik, erweitert um das Konzept rationaler Erwartungen bzw. einer umfangreichen mikroökonomische Fundierung, einsetzte (vgl. Blanchard, 2006, S. 578ff).

Eng mit diesem Umbruch verbunden ist der Bedeutungsverlust klassischer makroökonometrischer Mehrgleichungsmodelle. Diese waren vornehmlich keynesianisch geprägt und wurden seit Beginn der 1980er Jahre immer mehr von theoriearmen Zeitreihenmodellen verdrängt. Sims Artikel scheint diesen Wendepunkt zu markieren, eventuell trug er sogar zu dieser Veränderung mit bei. 1

Die Klasse der Zeitreihenmodelle, für deren Verwendung C. Sims plädiert, ist die der vektorautoregressiven stochastischen Prozesse (VAR Prozesse, auch: VAR Modelle). Bei diesen Modellen wird ein Vektor von Variablen, z.B. die prozentualen Veränderungen wichtiger makroökonomischer Aggrega- ¹ EinHinweis hierauf könnte sein, dass der Artikel bei praktisch allen für diese Ar-

beit genutzten ökonometrischen Lehrbüchern, d.h. in Lütkepohl (1993), Lütkepohl (2005), Judge et al. (1985) und Hamilton (1994), im Literaturverzeichnis steht und dem Artikel, z.B. in Hamilton (1994, S. 291) Lütkepohl (1993, S. 58) oder Lütkepohl (2005, S. 66) eine wichtige Rolle zugesprochen wird.

1

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG UND ÜBERBLICK 2

te wie Konsumausgaben, Im- und Exporte und der Inflationsrate, ausschließlich durch eine lineare Funktion der eigenen früheren Werte erklärt. Bei der Diskussion der Eigenschaften eines solchen Modells muss auf Konzepte aus dem Kontext von Differenzengleichungen, einige Ergebnisse der asymptotischen Verteilungstheorie und anderer Zeitreihenmodelle zurückgegriffen werden. Diese Grundlagen werden folgenden Kapitel vorgestellt. Angesichts von Ergebnissen jahrzehntelanger Forschung muss sich die Diskussion aber eine Auswahl von Aspekten beschränken, die für die weitere Diskussion unbedingt nötig sind.

In Kapitel 3 werden, aufbauend auf den Ergebnissen aus Kapitel 2, VAR Prozesse und eine Auswahl ihrer Eigenschaften vorgestellt. Auch hier sind bei der Diskussion angesichts der umfangreichen Forschungsergebnisse Beschränkungen nötig. Es werden nur Prozesse mit konstantem Erwartungswert und Varianz vorgestellt, da diese Art von VAR Prozessen von Sims (1980) ebenfalls verwendet wurde und auch heute genutzt wird. Zudem werden keine Verfahren zur Diagnose eingeführt, ob die Daten die in Definiton 10 notierten Standardannahmen erfüllen. Des weiteren wird die Technik der Varianzzerlegung der Prognosefehler eines VAR nicht eingeführt, da die eingeführten Techniken der Impuls-Antworten und der Kausalitätstests bereits genügend Stoff für die Diskussion bieten und, wie in Abschnitt 5.3.1 beschrieben, vor allem Impuls-Antworten heute eine wichtige Rolle zukommt. Wie der Titel der Arbeit vermuten lässt, ist ihr Anliegen eine kritische Würdigung der Argumente von Sims im Lichte der heutigen Möglichkeiten und Probleme der von ihm als Alternative vorgeschlagenen VAR Modelle. Es existiert bereits eine umfangreiche Literatur zu Kritikpunkten an VARs, siehe Abschnitt 6 in Canova (1999) für einen Überblick. Diese Arbeit erhebt jedoch nicht den Anspruch, einen aktuellen Überblick über die in der Literatur bereits vorgebrachten Kritikpunkte zu geben. Vielmehr versucht sie auf dem Weg der systematischen Erarbeitung einiger zentraler Eigenschaften von VARs einen eigenständigen Blickwinkel auf die mit der makroökonomischen Anwendung dieser Modelle verbundenen Probleme einzunehmen. Mit dieser Herangehensweise konnten zwei Eigenschaften bzw. Problemfelder dieser Modelle identifiziert werden, die in der vorliegenden Literatur nicht oder nur indirekt erwähnt werden. Der Anspruch einer systematischen Erarbeitung schlägt sich darin nieder, dass Kapitel 2 und 3 im Wesentlichen in Satz-Beweis Struktur gehalten sind. Zur Vermeidung von Redundanzen werden jedoch, mit einigen Ausnahmen, nur die Beweise geführt, die in der Literatur nicht oder nur abgewandelter Form zur Verfügung stehen.

Für das Verständnis der Kritik von Sims an den klassischen makroöko- nometrischen Modellen ist eine Diskussion der Spezifikation und Schätzung

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG UND ÜBERBLICK 3

solcher Modelle unerlässlich. Da auch hier eine große Literatur existiert, beschränkt sich das entsprechende Kapitel dieser Arbeit auf eine ausführliche konzeptionelle Vorstellung dieser Modellklasse sowie der Vorstellung der klassischen Schätzmethoden, wobei nur der 2SLS bzw. 3SLS Schätzer ausführlich diskutiert werden. Im darauf folgenden Kapitel 5 wird die Kritik von Sims an diesem Modellen detailliert vorgestellt und die Eigenschaften von VARs im Lichte der theoretischen Ergebnisse dieser Arbeit und von Sims Argumenten für VARs diskutiert.

Kapitel 6 widmet sich der praktischen Anwendung von VARs in der Makroökonomie. Hierfür wird zunächst ein kurzer Überblick über die Techniken gegeben, mit denen der fehlenden Konstanz des Erwartungswertes bei vielen makroökonomischen Zeitreihen begegnet werden kann. Auf diesen Überblick folgt eine vergleichende empirische Anwendung eines klassischen simultanen Gleichungsmodells und eines VAR bzw. eines methodisch eng verwandten Modell für Zeitreihen ohne konstanten Erwartungswert. Dabei wird der Frage nachgegangen, ob ein Forscher im Frühjahr 2007 mit Hilfe der einen oder der anderen Modellklasse klarere Aussagen über die makroökonomischen Auswirkungen eines Einbruchs am amerikanischen Immobilienmarkt machen konnte. Alle für diese Untersuchung verwendeten Daten sowie das GAUSS Programm zu Schätzung des Simultanen Gleichungsmodells und die JMulTi Datei zur Schätzung des VARs finden sich auf der beiliegenden CD. Kapitel 7 schließt mit einer Diskussion der zusätzlichen Erkenntnisse über die VAR Methodik, die bei der empirischen Arbeit gewonnen werden konnten.

Kapitel 2

Grundlagen

2.1 Zeitreihen

2.1.1 Definition

Die Zeitreihenanalyse ist wie die klassische Ökonometrie ein Teilgebiet der mathematischen Statistik. In beiden Gebieten ist der Ausgangspunkt aller Überlegungen, dass die untersuchten Daten Ergebnisse eines (häufig einmaligen und nicht kontrollierten) Zufalls-„Experimentes“ sind. Ein elementares Konzept ist dabei das der Zufallsvariable. Eine Zufallsvariable ¹ ist eine Abbil-

dung, die den Raum Ω aller möglichen Elementarereignisse ω (die Augenzahl eines Würfels) in eine Bildmenge Ω (z.B. das Produkt der Augenzahl) ab-bildet und damit eine Funktion, notiert als X(ω) (vgl. Stahlecker und Kröh, 2009, S. 281ff).

Ein Zeitreihe kann als Sequenz von Zufallsvariablen, deren Ordnung durch die zeitliche Beobachtung entsteht, verstanden werden. Dabei wird das gerade geschilderte Konzept um die Indexmenge T = {0, ±1, ±2, . . . } erweitert. Eine Zeitreihe ist somit eine Funktion X(t, ω), die auf T × Ω definiert ist.

Siehe Fuller (1996, S. 3f) für genauere Ausführungen hierzu. Bei stetigen Zufallsvariablen beschreibt die Dichtefunktion f (x) die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen spezifischen Wert annimmt, d.h. f (x) = P (X = x). Eine gemeinsame Dichtefunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariablen X t , X t+1 , . . . , X t+n , aus denen z.B.

¹ Des weiteren bei Skalaren notiert als kursiv geschriebene Großbuchstaben, die Reali-

sationen als Kleinbuchstaben. Bei mehrdimensionalen Größen wird in der Notation nicht zwischen Zufallsvariable und Realisation unterschieden. Ab Kapitel 4 wird von dieser Notation der Skalare zugunsten der traditionellen Notation makroökonomischer Modelle abgewichen

4

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 5

eine Zeitreihe besteht, eine spezifische Wertkombination annehmen, d.h.:

f (x t , x t+1 , . . . , x t+n ) = P (X t = x t , X t+1 = x t+1 , . . . , X t+n = x t+n )

(vgl. dazu ebenfalls Fuller, 1996, S. 3). Mit diesen Ausführungen ist die Basis für ein im Kontext von Zeitreihen wichtiges Konzept gelegt:

2.1.2 Stationarität

Die folgenden Ausführungen orientieren sich an Hamilton (1994, S. 45f) und Fuller (1996, S. 3f).

Definition 1 (strikte Stationarität). Eine Zeitreihe ist strikt stationär, wenn die gemeinsame Dichtefunktion von Y t , Y t+h 1 , Y t+h 2 , . . . , Y t+hn mit t ∈ T nur

vom zeitlichen Abstand der Daten h 1 , . . . , h n , nicht aber vom Zeitpunkt t selbst abhängt.

Definition 2 (schwache Stationarität). Eine Zeitreihe ist schwach stationär, wenn der Erwartungswert und die Autokovarianz von Y t , Y t+h 1 , Y t+h 2 , . . . , Y t+hn mit t ∈ T endlich sind und nur vom zeitlichen Abstand der Daten h 1 , . . . , h n ,

nicht aber vom Zeitpunkt t selbst abhängen. Es ist also E[Y t ] = μ für alle t und E[(Y t − μ)(Y t−h − μ)] = γ(h) für alle t und ein beliebiges h. Im Folgenden

ist mit Stationarität stets schwache Stationarität gemeint.

Bei skalaren Zeitreihen ist darüber hinaus auch γ(h) = γ(−h), d.h. das zweite Moment hängt nur vom Betrag des Abstandes ab. Bei mehrdimensionalen Zeitreihen ist hingegen Γ(h) = Γ(−h) , denn:

Γ(h) =E [(y τ − μ)(y τ −h − μ) ]

Wenn Stationarität vorliegt, ändert sich durch τ := t + h Γ(h) nicht:

Bei einigen stationären Prozessen ist die Forderung “t und h beliebig“ streng genommen nicht erfüllt. Wie in Abschnitt 2.4.3 gezeigt wird, gibt es bei autoregressiven Prozessen, die für hinreichend große t stationär sind, eine Startphase, in der zumindest die Autokovarianz nicht konstant ist. Hier gilt folglich die Einschränkung „t und h beliebig, solange der Prozess bei t − h

außerhalb der Startphase liegt“.

Bei der Überprüfung der Stationarität stellt sich das Grundproblem wei- ter Teile der Ökonometrie: Es liegt nur eine Stichprobe vor. Folglich ist für

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 6

die Überprüfung von E[Y t ] = μ für alle t und E[(Y t − μ)(Y t−h − μ)] = γ(h)

für alle t und h beliebig eine weitere Anforderung nötig: Der Prozess muss ergodisch sein, d.h. die aus einer endlichen Stichprobe gewonnenen Momente müssen bei wachsendem Stichprobenumfang gegen die Momente der Grundgesamtheit konvergieren. Andernfalls wäre es nicht möglich, aus einer hinreichend großen Stichprobe Rückschlüsse auf die Stationaritätseigenschaften der Zeitreihe zu ziehen.

2.2 Asymptotische Verteiltungstheorie

Dieser Abschnitt folgt im Wesentlichen Judge et al. (1985, S. 143ff), Hamilton (1994, Kapitel 7) sowie Lütkepohl (1993, Anhang C).

Definition 3 (Konvergenz in der Verteilung). Eine Folge von vektoriellen Zufallsvariablen {x t } ∞ t=1 mit den Verteilungsfunktionen {F (x t )} ∞ t=1 konver-

giert in der Verteilung gegen die Verteilung der Zufallsvariable c, wenn ein T 0 existiert, so dass für alle T > T 0 und ein beliebiges > 0 in allen Stetig- ^d keitspunkten von F gilt: |F T (x) − F (c)| < <. Dies wird abgekürzt mit: x t → c.

Man nennt die Verteilung von c auch asymptotische Verteilung oder Grenzverteilung von x.

Definition 4 (Konvergenz in Wahrscheinlichkeit). Eine Folge von vektoriellen Zufallsvariablen {x t } ∞ t=1 konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen die Zufallsvariable c, wenn für alle > 0 gilt:

(x t − c) (x t − c) > ε) = 0 lim P (

t→∞ ^p → c, oft schreibt man auch plim x t = c. Abkürzung: x t

Handelt es sich in einem Spezialfall von Definition 4 bei den Zufallsvariablen um Schätzungen und bei c um die konstanten Modellparameter, spricht man auch von (schwacher) Konsistenz des Schätzers. Strenge Konsistenz er-fordert die hier nicht weiter behandelte fast sichere Konvergenz, im Folgenden ist mit Konsistenz also schwache Konsistenz gemeint.

Definition 5 (Konvergenz im quadratischen Mittel). Eine Folge von vek-toriellen Zufallsvariablen {x t } ∞ t=1 konvergiert im quadratischen Mittel gegen

die Zufallsvariable c, wenn E[x t x lim T →∞ E[(x t − c) (x t − c)] = 0 ist. Abkürzung: x t

Unter den hier definierten Kriterien ist Konvergenz im quadratischen Mit- ^{q.m. p d} → c ⇒ x t → c ⇒ x t → c (vgl. tel das stärkste Kriterium, es gilt: x ^t Lütkepohl, 1993, S. 486).

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 7

Ein bekanntes Ergebnis aus der statistischen Grundausbildung ist das Gesetz der großen Zahl. Ist im skalaren Fall Y t eine i.i.d. Zufallsvariable, ist das arithmetische Mittel einer Stichprobe ein konsistenter Schätzer des Erwartungswertes μ der Zufallsvariable.

Die Vorraussetzung i.i.d. ist bei den im Folgenden behandelten Zeitreihenmodellen jedoch nicht gegeben. Das Gesetz der großen Zahl kann jedoch auf stationäre Prozesse übertragen werden, bei denen die Autokovarianzen absolut summierbar sind.

Definition 6 (Absolute Summierbarkeit). Eine Folge von Skalaren {ψ t } ∞

∞ t=0

j=0 |ψ j | < ∞ ist. Eine Folge von Vektoren ist absolut summierbar, wenn

oder Matrizen ist absolut summierbar, wenn jedes ihrer Elemente absolut summierbar ist.

Diese Forderung ist für die in Abschnitt 2.4.2 vorgestellten MA Prozesse mit endlich vielen Elementen gemäß Satz 5 erfüllt. Für die in Abschnitt 2.4.3 vorgestellten AR Prozesse erfordert dies, dass die Autokovarianz für große h gegen Null geht, was gemäß dem Beweis von Satz 7 für stationäre AR Prozesse der Fall ist.

Satz 1 (Gesetz der großen Zahl für skalare Prozesse). Für eine stationäre skalare Zeitreihe mit absolut summierbaren Autokovarianzen gilt:

q.m. a) a) ¯ → μ Y t Y T − μ) 2 ∞

( ¯ b) lim T →∞ T E = h=−∞ γ(h)

Beweis. Hamilton (1994, S. 186ff).

Satz 2 (Gesetz der großen Zahl für vektorielle Prozesse ). Für eine stationäre mehrdimensionale Zeitreihe mit absolut summierbaren Autokovarianzen gilt:

T p → μ a) ¹ t=1 y t =: ¯ y T

T ∞

b) lim T →∞ T E[(¯ y T − μ)(¯ y T − μ) ] = h=−∞ Γ(h)

Beweis. Hamilton (1994, S. 186ff und S. 279f).

2.3 Lineare Differenzengleichungen

2.3.1 Differenzengleichungen erster Ordnung

Die im Fokus dieser Arbeit stehenden autoregressiven Prozesse sind ihrer Struktur nach lineare stochastische Differenzengleichungen. Da in erhebli- chem Umfang auf ihre Eigenschaften bezüglich Stabilität, Impuls-Antworten

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 8

usw. zurück gegriffen wird, ist es zweckmäßig, zunächst normale, d.h. nichtstochastische Differenzengleichungen zu betrachten. 2

Definition 7 (gewöhnliche Differenzengleichung). Gegeben sei eine Folge von Zahlen y t+1 , . . . , y t+n . Mittels des Differenzenoperators Δ können die Differenzen von Zahlen dieser Folge notiert werden als: Δy t := y t − y t−1 , Δ ² y := Δy t − Δy t−1 usw. Eine Funktion f (Δy, Δ ² y, . . . , ) heißt gewöhnliche

Differenzengleichung. Die Ordnung einer Differenzengleichung entspricht der maximalen Zeitdifferenz bzw. der höchsten Potenz des Differenzenoperators (vgl. Gandolfo, 1997, S.8).

Im Folgenden werden die Differenzen in Differenzengleichungen ausgeschrieben. Eine lineare Differenzengleichung erster Ordnung mit einem konstanten Parameter hat damit z.B. die Form y t = φy t−1 + w t und kann durch rekursives Einsetzen auf einen Anfangswert y 0 und eine Funktion der Parameter und der vergangenen Zeit zurückgeführt, d.h. gelöst werden.

y t =φ(φy t−2 + w t−1 ) + w t = φ(φ(φy t−3 + w t−2 ) + w t−1 ) + w t = . . .

⇒ y t =φ t y 0 +

Ist also w t , φ und der Startwert y 0 sowie die Dauer des Prozesses t bekannt, ist y t durch (2.3.1) eindeutig bestimmt. Das Verhalten der Gleichung für wachsende t wird durch den Parameter φ bestimmt. Für |φ| > 1 verschwin-

det der Einfluss weit zurück liegender w t−h nicht, so dass für w t > 0 oder w t < 0 lim t→∞ |y t | = ∞ ist, die Gleichung „explodiert“. Auch bei einem sto-

chastischen w t mit E [w t ] = 0 kann man in aller Regel ein „Aufschaukeln“ von y t beobachten, da sich für ein stabiles y t die Störungen exakt ausgleichen müssten.

Definition 8 (Dynamischer Multiplikator). Der Einfluss von w t−h auf y t wird „dynamischer Multiplikator“ genannt und kann z.B. über die Ableitung von (2.3.1) nach w t−h bestimmt werden, man erhält: ∂yt /∂w t−h = φ h

Mit Hilfe des dynamischen Multiplikators kann die Impuls-Antwort (Impulse Response) von y t untersucht werden. Dafür wird w τ = 1 für τ = t und 0 sonst gesetzt und die Wirkung auf y τ , τ = t, t + 1, . . . beobachtet.

² Die Ausführungen in diesem Abschnitt folgen Hamilton (1994, Kapitel 1 und 2) wo-

bei bei der Behandlung von Differenzengleichungen p-ter Ordnung teilweise eine eigene Darstellung in Anlehnung an die Behandlung von Differenzengleichungen erster Ordung gewählt wurde.

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 9

Die Impuls-Antwort ergibt sich dann als Sequenz der dynamischen Multipli-katoren ∂yt /∂wt, ∂y t+1 /∂wt, . . . . Bei einer Differenzengleichung erster Ordnung wäre dies: ∂yt /∂wt = 1 , ∂y t+1 /∂wt = φ , ∂y t+2 /∂wt = φ ² usw. Abbildung 2.1 zeigt Impuls-Antworten für eine stabile und eine explosive Differenzengleichung erster Ordnung.

Abbildung 2.1: Impuls-Antworten von Differenzengleichungen erster Ord-

nung, links für φ = −0,6 und rechts für φ = 1,1

Mittels der Impuls-Antworten lässt sich das im Rahmen dieser Arbeit wichtige Konzept der Stabilität von Differenzengleichungen genauer fassen:

Definition 9 (Stabilität). Ein System ist (asymptotisch) stabil, wenn es nach einem Impuls für t → ∞ wieder zum Ausgangszustand konvergiert (vgl.

Gandolfo, 1997, S. 333ff).

Nach dieser Definiton ist eine Differenzengleichung mit φ = ±1 instabil, da sie nach einem Impuls dauerhaft zwischen 1 und −1 oszilliert.

2.3.2 Differenzengleichungen p-ter Ordnung

Eine lineare Differenzengleichung p-ter Ordnung mit konstanten Parametern hat die Form:

Hier ist das Lösen durch rekursives Einsetzen sehr mühsam, daher ist eine Transformation in eine Differenzengleichung erster Ordnung sinnvoll. Dafür

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 10

schreibt man:

⎤ ⎡

⎡

⎢

⎢

⎢

⎣

Die Transformation hat an dem Informationsgehalt der Gleichung nichts geändert. In Zeile 1 steht die Differenzengleichung und in den Zeilen 2 bis p Identitäten wie z.B. y t−h = y t−h .

In dieser Schreibweise kann die Gleichung wieder rekursiv gelöst werden:

Die Lösung durch rekursives Einsetzen ist damit nun leichter möglich, bleibt jedoch noch sehr rechenaufwendig. Durch das Potenzieren der F Matrix werden die Elemente der potenzierten Matrix schnell zu relativ komplexen Funktionen der Modellparameter.

Beispiel 1. (Differenzengleichung 2. Ordnung nach 2 Perioden Laufzeit)

Wie das Beispiel zeigt, ist der dynamische Multiplikator bei einer transformierten Differenzengleichung das (1,1)-Element der potenzierten F-Matrix, z.B. ist ∂yt /∂w t−2 = φ 2 1 + φ 2 das (1,1) Element von F ² .

Ein Weg, den Rechenaufwand für Differenzengleichungen mit großem p und weit zurück liegendem y 0 zu reduzieren, führt über die Diagonalisierung der Matrix F. ³ Eine Matrix A ∈ R n×n mit n unterschiedlichen Eigenwerten

kann in die Diagonalmatrix der Eigenwerte Λ und eine Matrix W, deren Spalten die Eigenvektoren von A sind, zerlegt werden gemäß A = WΛW −1 .

³ Diese ist für alle quadratischen Matrizen mit unterschiedlichen Eigenwerten möglich,

siehe dazu Abadir und Magnus (2007, S. 171 (Exercise 7.32)).

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 11

Satz 3 (Eigenwerte von F). Die Eigenwerte der oben definierten Matrix F sind die Lösungen von

0 = λ p − φ 1 λ p−1 − φ 2 λ p−2 − · · · − φ p−1 λ − φ p (2.3.5)

Beweis. Hamilton (1994, S.21f)

Da Polynome mehrfache Nullstellen haben können, kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Eigenwerte stets verschieden sind. Ein stets gültiger Ansatz zur Zerlegung kann über die Jordansche Normalenform gefunden werden, denn zu jeder n × n Matrix A existiert eine Matrix J = M −1 AM. Damit kann A zerlegt werden gemäß A = MJM −1 (vgl. Ansorge und Oberle,

2000, S. 182).

Diese „Jordan-Zerlegung“ ist für jede Matrix A mit s ≤ n unterschied-

lichen Eigenwerten ohne Weiteres möglich. Allerdings werden die Elemente der Diagonalmatrizen der Matrix J durch die Potenzierung zu komplexen

Funktionen der Eigenwerte, so dass weiterführende Aussagen auf Basis dieser Zerlegung schwierig sind. Siehe Hamilton (1994, S. 18f) für eine Darstellung der Diagonalmatrizen.

Bei unterschiedlichen Eigenwerten können hingegen relativ leicht nützliche Aussagen gewonnen werden. Es sei also im Folgenden unterstellt, dass alle Eigenwerte von F verschieden sind. Dann ist: −1 F = WΛW −1 ⇒ F ^j = WΛW −1 × WΛW −1 × · · · = WΛ ^j W

Λ ist die Diagonalmatrix der Eigenwerte, somit erhält man: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

−1 = WΛ ^j W

Hierbei wurden Elemente von W als il und Elemente von W −1 als il no-

tiert. Neben einer einfachen Bestimmung von y t bzw. y t können über die Zerlegung weitere nützliche Informationen gewonnen werden. Gemäß der Konstruktion von F ist nur die erste Zeile von Interesse, diese ist:

p p p

i=1 w 1i i1 λ j i=1 1i i2 λ j i=1 1i ip λ j i . . . i i

Die Summen ohne Eigenwerte müssen wegen W × W −1 = I p die erste Zeile

der Einheitsmatrix ergeben, d.h. es muss gelten:

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 12

Wie anhand von Beispiel 1 leicht zu erkennen ist, bedeuten auch bei Differenzengleichungen p-ter Ordnung dynamische Multiplikatoren, deren Betrag größer als eins ist, dass lim t→∞ |y t | = ∞ ist, da der Effekt von weit zurück p

i=1 1i i1 λ j liegenden w t−h niemals verschwindet. Durch die Struktur i bei p

i=1 1i i1 = 1 des dynamischen Multiplikators reicht ein |λ i | > 1, damit p

i=1 1i i1 λ j bei großem j i > 1 ist und die Gleichung mit wachsendem t

„explodiert“. Diese Überlegung gilt auch für komplexe Eigenwerte (bei p > 1 können die Nullstellen von (2.3.5) auch komplex sein). Eine Differenzengleichung ist immer dann stabil, wenn ihre Eigenwerte im Einheitskreis auf der Gauß’schen Zahleneben liegen (für weitere Erläuterungen dazu siehe z.B. Gandolfo (1997), Kapitel 7.4). Stabilität bedeutet insbesondere, dass gilt:

⎡ ⎤

F ^t = lim lim

t→∞

Lütkepohl (1993, S.460) stellt fest, dass dies auch für Matrizen mit identischen Eigenwerten gilt.

2.4 Stationäre AR und MA Prozesse

2.4.1 Annahmen

Definition 10 (Standardannahmen). Im Rahmen der Ausführungen der nächsten Kapitel wird für alle diskutierten Zeitreihenmodelle angenommen, dass:

1. die Störgröße White Noise gemäß Definiton 11 ist und

2. die Parameter des Prozesses nichtstochastisch sind.

Definition 11 (White Noise). In der Zeitreihenliteratur bezeichnet White Noise eine Störgröße, die die Annahmen i) und ii) des Datenmodells für das lineare Regressionsmodell ⁴ erfüllt. Für die Störgrößen skalarer Prozesse muss

also gelten:

E [ε t ] = 0 für alle t

E [ε t−i ε t−j ] =

⁴ Vgl. Stahlecker und Kröh (2009, S6. für skalare und S. 91 für vektorielle Störgrößen).

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 13

Für die Störgrößen von skalaren Prozessen, die analog zu (2.3.3) transfor- ∈ R k ),muss gelten:

miert wurden (˜ ε t = ε t 0 . . . 0

E [˜ ε t ] = 0 k für alle t

⎤ ⎡ ⎧

t−j ] =

Für die Störgrößen vektorieller Prozesse (ε t =

E [ε t ] = 0 k für alle t

⎤ ⎡ ⎧

E t−j

Dabei ist Σ ε gemäß Lemma 21 in Anhang A.1 positiv definit. Für einige Ergebnisse (vor allem Lemma 12) wird zusätzlich die Annahme benötigt, dass die höheren Momente der Störgröße, insbesondere das 4. Moment, endlich sind. Auch dies wird im Folgenden unterstellt.

2.4.2 MA Prozesse

Definition 12 (MA Prozess). In einem Moving Average Prozess der Ordnung q (kurz: MA(q) Prozess) wird Y t unter Standardannahmen aus den gewichteten q letzten Störgrößen, der gegenwärtigen Störung ε t und einem nichtstochastischen Term, der wegen E [ε t ] = 0 zugleich der Erwartungswert von Y t ist (siehe Beweis unten), gebildet:

Satz 4 (Stationarität von MA(q) Prozessen ). Ein MA(q) Prozess ist für beliebige endliche ψ 1 . . . ψ q stationär.

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 14

Beweis. Analog zum Beweis von Satz 5.

Eine Verallgemeinerung dieses Prozesses ist der Vektor Moving Average Prozess, ein solcher Prozess der Ordung q hat die Form: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢

⎣

Satz 5 (Stationarität von Vektor MA(q) Prozessen ). Ein Vektor Moving Average Prozess der Ordnung q ist für beliebige endliche Ψ j ∈ R k×k stationär.

Beweis. Dies folgt unmittelbar aus den White Noise Eigenschaften von ε t :

E [y t ] = E

Wie in Abschnitt 2.1.2 beschrieben, gilt für die Autokovarianzen mehrdimensionaler Prozesse Γ(h) = Γ(−h) : q q

Γ(h) = E [(y t − μ)(y t−h − μ) ] = E

= E

. . . + E

Γ(−h) = E

= E

. . . + E

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 15

für alle t gilt also:

Γ(h) = Γ(−h) =

Sind die Koeffzienten eines MA Prozesses mit q = ∞ absolut summierbar,

ist eine endliche Varianz und damit gemäß Definiton 2 Stationarität für diesen Prozess sichergestellt. Damit sind nun einige nützliche Aussagen zu Vektor MA(∞) Prozessen möglich.

Satz 6 (Eigenschaften von Vektor MA(∞) Prozessen). Es sei der Vektor MA(∞) Prozess

∞

unter Standardannahmen und mit absolut summierbaren Parametermatrizen. Für diesen ∞

a) ist die Autokovarianz: Γ(h) = j .

b) ist die Folge der Autokovarianzen {Γ(h)} ∞ h=0 absolut summierbar.

⁽ⁱ 1 ⁾ t ε c) ist E[ε ⁽ⁱ 1 ^{) (i} 2 ⁾ E[y t 1 y t 2 y T

p ^{(i) (j) (i) (j)} → E[y d) ist ¹ /T t=1 y t y t y t−h ] für alle i, j = 1, . . . , k und h beliebig.

t−h

Beweis. a) entspricht (2.4.4) mit q = ∞. Beweise für b), c) und d) sind zu finden in Hamilton (1994, S. 287ff).

b) ist eine Vorraussetzung von Satz 2, der die Ergodizität des ersten Momentes eines vektoriellen Prozesses feststellt. Die Ergodizität von Vektor MA(∞) Prozessen wird im Rahmen der Analyse von VAR Prozessen eine wichtige Rolle spielen.

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 16

2.4.3 AR Prozesse

Definition 13 (AR Prozess). Bei einem autoregressiven Prozess der Ordnung p (kurz: AR(p) Prozess) wird Y t unter Standardannahmen aus den gewichteten p letzten Y t , einem nichtstochastischen Term w und einer Störgröße ε t gebildet:

Ein AR(p) Prozess ist somit eine Differenzengleichung p-ter Ordung mit w t = w + ε t analog zu (2.3.2). Es sei w t ∈ R p = (w t , 0, . . . , 0) aus (2.3.3) nun w t = w + ˜ ε t mit w ∈ R p = (w, 0, . . . , 0) und ˜ ε t ∈ R p = (ε t , 0, . . . , 0) . Dann

ist die Lösung eines AR(p) Prozesses gemäß (2.3.4):

Satz 7 (Stationarität von AR-Prozessen). Ein AR(p) Prozess, der stabil ist (alle Eigenwerte von F liegen im Einheitskreis), ist auch stationär, sofern der Prozess hinreichend lange gelaufen ist.

Beweis. Der Erwartungswert ist:

E [y t ] = E

Liegen die Eigenwerte von F im Einheitskreis, ist für große t gemäß (2.3.6) F ^t ≈ O p . Damit ist E [y t ] ≈ (I p − F) −1 w für beliebige t, so lange t groß genug

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 17

bleibt. Die h-te Autokovarianz ist:

Γ(h) =E [(y t − E[y t ])(y t−h − E[y t−h ]) ]

⎤ ⎡

⎣ =E

Γ(−h) =E [(y t+h − E[y t+h ])(y t − E[y t ]) ]

=E

Es sei Γ ∗ (0) die Varianz-Kovarianzmatrix des Vektors der Startwerte y 0 . Aus

(2.4.2) folgt dann:

Die Varianz ist der Fall h = 0:

Auch hier gilt: Liegen die Eigenwerte von F im Einheitskreis, ist für große t gemäß (2.3.6) F ^t ≈ O p . Weiterhin werden auch die potenzierten F-Matrizen

in der Summe mit wachsenden t immer kleiner - d.h. Eigenwerte im Einheits- t−1

kreis bedeuten hier zusätzlich die absolute Summierbarkeit von bei t → ∞. Insgesamt ist die Varianz / Autokovarianz eines stabilen AR(p) Prozesses also endlich und strebt gegen einen festen Wert.

Allerdings ist die Zahl an Perioden, die nötig ist, bis der Erwartungswert eines stabilen AR Prozesses konstant ist, auch vom Startwert abhängig.

Satz 8 (Erwartungswert eines AR Prozesses bei günstigem Startwert). Ein stabiler AR(p) Prozess, dessen Startwert y 0 = E[y t ] ist, hat sofort einen konstanten Erwartungswert.

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 18

Dies folgt direkt aus (2.4.3):

E [y t ] =F ^t E[y t ] + (I p − F) −1 (I p − F ^t )w +

Jedoch ist, auch wenn in (2.4.9) Γ ∗ (0) = O p ist, eine bestimmte Anzahl an

Perioden nötig, bis die Varianz bzw. die Autokovarianzen konstant ist. Somit existiert auch bei günstigem Startwert eines AR(p) Prozesses eine Startphase, in der der Prozess instationär ist.

In der Literatur begegnet man dieser Problematik häufig mit einer extremen Annahme: Lütkepohl (2005, S. 14) schreibt zum VAR Prozess: „... it is often convenient to assume that it has been started in the infinite past“. Auch, wenn diese Annahme die Arbeit mit AR und VAR Prozessen sehr erleichtert, sollte dem Anwender klar sein, dass mit einer solchen Annahme eine Fundierung des ökonometrischen Vorgehens in ökonomischen Überlegun- gen aufgegeben wird.

Kapitel 3

Stationäre VAR Prozesse

3.1 Grundlegende Eigenschaften

Das Konzept eines autoregressiven Prozesses der Ordnung p kann in Analogie zu MA Prozessen auf eine mehrdimensionale Variable y t verallgemeinert werden. 1

Definition 14 (VAR Prozess). Bei einem vektorautoregressiven Prozess der Ordung p (kurz: VAR(p) Prozess) wird y t unter Standardannahmen aus den gewichteten p letzten y t , einem nichtstochastischen Vektor v und der vektoriellen Störgröße ε t gebildet:

⎤ ⎤ ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ⎡

⎢

⎣

Ein VAR(1) Prozess ist somit y t = v + Φy t−1 + ε t und entspricht damit in

der Struktur dem transformierten AR(p) Prozess, wie er in (2.4.6) verwendet wurde. Auch hier ist eine Lösung durch rekursives Einsetzen möglich:

y t = Φ ^t y 0 + (I k − Φ) −1 (I k − Φ ^t )v +

Zur Analyse von VAR(p) Prozessen wird das Vorgehen bei Differenzengleichungen p-ter Ordnung wiederholt. Aus den Koeffizientenmatrizen Φ i , i =

¹ Dieser Abschnitt stützt sich neben den Ergebnissen des letzen Kapitels vor allem auf

Lütkepohl (1993, Kapitel 2).

19

KAPITEL 3. STATIONÄRE VAR PROZESSE 20

1, . . . , p wird eine Blockmatrix analog zu F in Abschnitt 2.3 gebildet und alle anderen Größen in Blockvektoren „gestapelt“: ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

Mit der Matrix J := [I k , O k , . . . , O k ] ∈ R k×kp können mittels y t = Jy t Aussa-gen über die Wirkung auf den untransformierten Prozesse gemacht werden.

Satz 9 (Eigenwerte der Blockmatrix Φ). In Analogie zu Satz 3 sind die Eigenwerte von Φ die Lösungen von

0 = det(I k λ p − Φ 1 λ p−1 − Φ 2 λ p−2 − · · · − Φ p )

Beweis. Hamilton (1994, S. 285f)

Ein so transformierter VAR(p) Prozess kann wie der VAR(1) Prozess durch rekursives Einsetzen gelöst werden. Damit überträgt sich ein wesentliches Ergebnis aus der Diskussion der AR Prozesse: Auch bei einem VAR(p) Prozess ist für t → ∞ nur dann Φ t → O kp , wenn alle Eigenwerte von Φ im Einheitskreis liegen. Für einen solchen stabilen bzw. stationären ² VAR(p)

Prozess können Erwartungswert und Autokovarianz mit Hilfe des Ergebnisses von Satz 7 ermittelt werden:

∞

E [y t ] =μ = (I kp − Φ) −1 v +

⇒ y t =μ +

(3.1.5) wird auch die Moving Average (MA-) Darstellung des VAR Prozesses genannt. Mittels der oben definierten J-Matrix kann eine MA-Darstellung ohne Blockvektoren gewonnen werden:

y t =Jy t = Jμ+

² Im Folgenden wird nur noch von stationären VAR Prozessen gesprochen, womit stets

stabile Prozesse, die hinreichend lange gelaufen sind, gemeint sind.