Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  1

2  Reflektion der schriftlichen Division in der Primarstufe  

2.1  Allgemeine Merkmale schriftlicher Rechenverfahren  2

2.2  Didaktischer Stellenwert  

2.2.1  Argumente entsprechend allgemeiner Rechenverfahren  3

2.2.2  Argumente entsprechend der schriftlichen Division  5

3  Vorzeitige Behandlung der schriftlichen Division in der Primarstufe  

3.1  Vorteile  7

3.2  Nachteile  9

3.3  An der Schwelle zur weiterführenden Schule  11

4  Fazit  14

Literaturverzeichnis   16

Anhang   17

1 Einleitung

Die Charakteristika des Mathematikunterrichts in der Primarstufe veränderten sich in den letzten Jahrzehnten stark. Stand früher noch der traditionelle lehrerzentrierte, formale Rechenunterricht im Vordergrund, so folgte aufgrund des Kognitivismus und des Pisa-Schocks im Jahre 2000 eine deutliche Zielverlagerung zum lernerzentrierten, kompetenzorientierten Mathematikunterricht. Die Denkprozesse, Strategien und die zu erwerbenden Kompetenzen des Schülers stehen nun im Zentrum der Aufmerksamkeit. Eine besondere Veränderung erlebt hierbei der Bereich der schriftlichen Rechenverfahren:

Mit dem Rückgang der lebenspraktischen Bedeutung der schriftlichen Rechenverfahren ändern sich [mitunter, v. Verf.] die Ziele sowie die Art und Weise ihrer Behandlung im Unterricht. (Schipper 2009: 119)

Nun stehen die Entwicklung und die Festigung des mathematischen Verständnisses von Schülern im Mittelpunkt, anstatt einer vollkommenen Automatisierung von Rechenverfahren. Die Algorithmen sind derzeit selbst

Gegenstand der unterrichtlichen Betrachtung […], indem zum Beispiel die schriftlichen mit den nicht schriftlichen Verfahren verglichen, Vor- und Nachteile erörtert oder Variationen der Algorithmen untersucht werden. (ebd.) Dies geht besonders deutlich aus dem Beschluss der Kultusministerkonferenz (KMK) vom 15. Oktober 2004 hervor. Laut den Standards für inhaltsbezogene und mathematische Kompetenzen sollen die Schüller alle

vier Grundrechenarten und ihre Zusammenhänge verstehen, […] mündliche und halbschriftliche Rechenstrategien verstehen und bei geeigneten Aufgaben anwenden, verschiedene Rechenwege vergleichen und bewerten […] (KMK 2004: 11).

Die schriftlichen Rechenverfahren dienen dem Schüler zur Erleichterung im Umgang mit großen Zahlen, um den Rechenprozess zuverlässig und ökonomisch zu gestalten. Jedoch erfährt das schriftliche Divisionalverfahren eine Einschränkung durch diesen KMK-Beschluss, denn die Schüler müssen lediglich die schriftlichen Verfahren der „Addition, Subtraktion und Multiplikation verstehen, geläufig ausführen und bei geeigneten Aufgaben anwenden“ (ebd.). Daraus resultierend entsteht in der Mathematikdidaktik eine Diskussion über die Notwendigkeit der Behandlung der schriftlichen Division.

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In der vorliegenden Seminararbeit werden die verschiedenen Argumente der Mathematikdidaktiker zunächst zusammengetragen. Im darauffolgenden Kapitel erfolgt deren Kategorisierung durch die Autorin, wobei sie diese mit Kommentaren bzw. Wertungen ergänzt und sie sich infolgedessen eine eigene Positionierung erarbeitet. Abschließend wird die Fragestellung bearbeitet, was die Schüler am Ende der vierten Klasse leisten müssen und ob die schriftliche Division als Bestandteil des Lehrplans der Primarstufe einheitlich in allen Bundesländern Deutschlands zu intergieren ist.

2 Reflektion der schriftlichen Division in der Primarstufe

2.1 Allgemeine Merkmale schriftlicher Rechenverfahren

Das markanteste Merkmal schriftlicher Rechenverfahren ist das Rechnen mit Ziffern statt Zahlen. Für die Verfahren sind die Größe der Zahl und ihre Nachbarschaftsbeziehung zu anderen Zahlen nicht von Relevanz. Entscheidend ist die Position der Stelle, an der sie steht. Dieses Rechnen mit Stellen basiert auf einem Algorithmus, ein

für seine spezifischen Anwendungsfälle [...] allgemein gültiges, in seiner Abfolge festgelegtes, eindeutig beschriebenes Verfahren, das nach endlich vielen Schritten und unabhängig von der Person, die diesen Algorithmus durchführt, zur Lösung führt. (Krauthausen/Scherer 2003: 46)

Somit arbeitet das schriftliche Rechnen nach festen Normen, weshalb es ohne Verständnis durchgeführt werden kann. Ebenfalls werden die Anforderungen an das Kopfrechnen und das Kurzzeitgedächtnis als auch der Schreibaufwand minimiert, sodass die Aufmerksamkeit der Schüler eher auf den Sachgehalt gelenkt werden kann, statt auf den Rechenprozess. (vgl. Schipper 2009: 120 ff.)

Daraus ergibt sich letztlich eine besondere Problematik, die für alle vier Grundrechenarten gleichermaßen zutrifft: Die Flexibilität zwischen Kopfrechnen und schriftlichem Rechnen geht verloren. Die Schüler wenden ein schriftliches Rechenverfahren nach dessen Einführung vermehrt an, obwohl sich das halbschriftliche Rechnen in bestimmten Aufgabenstellungen vorteilhafter eignet. Mithilfe von Rechenkonferenzen können die Schüler jedoch auf bestimmte Aufgaben aufmerksam gemacht werden, in denen ein halbschriftliches Rechenverfahren ökonomischer wäre. Dadurch soll „der Blick der Kinder für flexibles Rechnen geschärft werden“ (ebd.: 121). Zudem bleibt das

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Verständnis für das Zahlenrechnen nach Einführung des schriftlichen Rechenverfahrens erhalten. (vgl. ebd.: 120 f.)

2.2 Didaktischer Stellenwert

2.2.1 Argumente entsprechend allgemeiner Rechenverfahren

Eines von vielen Argumenten in der Diskussion über die Lehre schriftlicher Rechenverfahren beinhaltet die rasante technische Entwicklung unserer Zeit. „Im Berufs- und Alltagsleben wird das Rechnen inzwischen im Wesentlichen von elektronischen Rechnern ausgeführt“ (ebd.: 123), weshalb die Frage berechtigt ist, ob das schriftliche Rechnen angesichts des umfangreichen Lehrplans eingeschränkt werden sollte. Besonders die schriftliche Division erscheint „im Mathematikunterricht der Grundschule überflüssig“ (ebd.).

Die moderne Grundvorstellung des Mathematikunterrichts basiert auf dem Lernen als „ganzheitliche[n], sozial vermittelte[n] Prozess der eigenen Konstruktion von Wissen“ (ebd.: 123 f.). Während der Bearbeitung von Aufgabenstellungen stehen der Schüler und seine Lernprozesse im Fokus. Individuelle Lösungswege sind erwünscht und „werden daher wegen ihrer Chancen für die Entwicklung rechnerischer Flexibilität als didaktisch hochwertiger angesehen als starre Algorithmen“ (ebd.: 124).

Trotz dieser Argumente, die gegen schriftliche Rechenverfahren sprechen, gilt das schriftliche Rechnen als Kulturgut. Die Verfahren geben den Grundschulkindern die Möglichkeit „für eigene Aktivitäten, Einsichten und (Wieder)entdeckungen“ (ebd.) und unterstützen deren Versuche bei der Optimierung eigener Rechenwege. Die Rechenverfahren können ohne Probleme auf mehrstellige Zahlen übertragen werden. Daneben lernen die Kinder ihre Techniken im Umgang mit den Rechenverfahren zu variieren und für sich eine eigene ökonomische Schreibweise zu finden. (vgl. ebd.) Hierfür ist jedoch ein Verständnis der Algorithmen fundamental. Es gilt: Verständnis, statt Beherrschung der Prozeduren. Eine Voraussetzung hierfür ist die Aufhebung künstlich geschaffener Grenzen:

Statt für scheinbar existierende Aufgabenklassen [Kopfrechnen, (halb-)schriftliches Rechnen, v. Verf.] spezielle Rechenverfahren unterrichten zu wollen, sollte die Vielfalt möglicher Rechenwege und ihre flexible Nutzung durch die Schülerinnen und Schüler im Mittelpunkt des Unterrichts stehen. (ebd.: 125)

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Aus diesen Ausführungen geht nun eine deutliche Verlagerung zu einer revidierten mathematisch-didaktischen Sichtweise hervor. Das Kopfrechnen ist stärker betont und das halbschriftliche Rechnen besitzt den Charakter „als ökonomische Rechenart für eine Vielzahl von Rechenanforderungen. […] Aus der Erfahrung mit halbschriftlichen Strategien können […] die schriftlichen Normalverfahren hervorgehen“ (Krauthausen 2009: 101 f.). Laut Padberg können so Synergieeffekte ausgenutzt werden, die zwischen dem halbschriftlichen und dem schriftlichen Rechenverfahren bestehen (vgl. Padberg 2009: 205).

Vorteilhaft sei auch die Entlastung des kognitiven Arbeitsspeichers, da „sich die Schüler bei der Lösung von Sachaufgaben auf die Sachsituation konzentrieren“ (ebd., Hevorheb. i.O.) können, da während der Entwicklung der Rechenwege überflüssige Teilschritte eliminiert wurden. Dies entlastet das Gedächtnis und fördert die mechanische Durchführung der Einzelschritte. Letztlich können Algorithmen „exemplarisch verdeutlichen, wie komplexe Rechnungen […] stark vereinfacht werden. Diese Ziel- setzungist im Computerzeitalter von besonderer Bedeutung“ (ebd.: 206, Hervorheb. i.O.). Ein weiterer Vorteil ist das Schaffen von Anlässen zum Argumentieren, Analysieren und Vergleichen. Mit der Erarbeitung und Entwicklung von Rechenwegen durch die Grundschüler ist dies gegeben. (vgl. ebd.: 205)

Dessen ungeachtet ist nicht allein die Erarbeitung von Rechenwegen ein zufriedenstellendes Argument für die Behandlung von Algorithmen im Mathematikunterricht der Primarstufe. Mittels des Rechnens mit natürlichen Zahlen entsteht die Grundlage für „das spätere Rechnen in den umfassenderen Zahlbereichen der rationalen bzw. reellen Zahlen“ (ebd.: 206). Padberg spricht hier von einer sogenannten Curriculumspirale. Bei der Unterweisung des Curriculums durch den Lehrer bauen die Schüler auf ihr Vorwissen auf. Zielgebend ist die Erarbeitung des gesamten, formalen Apparats.

Zusammenfassend geht die Erarbeitung von Algorithmen von einem umfassenden Verständnis seitens der Schüler aus. Folglich führt ein Unverständnis des Algorithmus zu Fehlern, die für das jeweilige Rechenverfahren typisch sind (vgl. ebd.: 207). Daraus ergibt sich ein weiterer Nachteil: die Akzeptanz falscher Lösungen. Werden diese blind akzeptiert, da letztlich die „schriftlichen Rechenverfahren bei korrekter Anwendung stets richtige Ergebnisse liefern“ (ebd.: 206), treten Fehler auf, die für den Schüler nicht auf Anhieb ersichtlich sind.

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