Inhaltsverzeichnis

1.  Einleitung  

a.  Was ist eine Option?  2

b.  Wie kann eine Option ausgestaltet sein?  2

c.  Wert einer Kaufoption zum Verfallzeitpunkt  3

2.  Das Binomialmodell  

a.  Erklärung  4

b.  Ein - periodiges Binomialmodell  5

c.  Zwei - periodiges Binomialmodell  9

d.  n - periodiges Binomialmodell  10

e.  Grenzfallbetrachtung  10

3.  Fazit  11

4.  Abkürzungsverzeichnis  12

5.  Abbildungsverzeichnis  13

6.  Literaturverzeichnis  14

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1. Einleitung

Mit dieser Literaturarbeit wird zunächst allgemein erklärt, was unter einer Option verstanden wird, ebenso wie diese ausgestaltet sein kann und welche Werte sie annehmen kann. Im zweiten Kapitel werden die Grundzüge des Binomialmodells erläutert und anhand mehrerer, einfacherer Rechenbeispiele dem Leser verständlich nahegebracht. Ausgehend von einem ein - periodigen Binomialmodell, wird auf ein zwei - periodiges Modell übergegangen und dann die allgemein gültige Wertbestimmung für n - Perioden aufgezeigt. Gegen Ende des dritten Kapitels wird ein kurzer Abriss gegeben, wie sich das Binomialmodell für n -> ∞ verhält. Beendet wird diese Arbeit mit einem Fazit, dem dritten Kapitel.

a. Was ist eine Option?

Spätestens seit der Finanzkrise kommt Instrumenten zur Absicherung von Risiken eine erhöhte Aufmerksamkeit zu. Im Folgenden werden spezielle Termingeschäfte (Derivate) betrachtet - hierbei ist typisch, dass der Zeitpunkt des Vertragsschlusses und der Zeitpunkt der Realisierung nicht zusammenfallen.

Eine Option ist demnach ein Instrument der Finanzmathematik, welches dem Inhaber der Option (long position) das Recht einräumt, zu einem bestimmten zukünftigen Zeitpunkt einen Basiswert (Underlying) von seinem Vertragspartner (short position) zu einem festgelegten Preis (Ausübungspreis) zu erwerben. Kommt es zur Erfüllung dieser Forderung spricht man von Ausübung der Option. (vgl. Bär (1998), S. 7)

b. Wie kann eine Option ausgestaltet sein?

Es wird zwischen Kaufoptionen (Call - Optionen) und Verkaufsoptionen (Put - Optionen) unterschieden.

Des Weiteren spricht man von amerikanischen Optionen, wenn die Ausübung der Option jederzeit, während eines festgelegten Zeitraums (Kontraktlaufzeit), möglich ist - wird das Recht jedoch nur einmal, und zwar am Ende der Laufzeit, eingeräumt spricht man von sogenannten europäischen Optionen. Diese unterschiedlichen Bezeichnungen haben jedoch keinerlei regionalbedingten Hintergrund - beide Arten werden überall gehandelt. Der Aussteller einer Option (Schreiber, Stillhalter) verlangt für die Abgabe seines Wahlrechts eine Prämie - den sogenannten Optionspreis. In dieser Arbeit wird immer eine dividendenlose Aktie als Underlying gewählt. 2 | S e i t e

c. Wert einer Kaufoption zum Verfallzeitpunkt

Der Wert f einer europäischen Kaufoption, mit Ausübungspreis K, hängt zum Verfallzeitpunkt (T=0) nur noch vom Aktienkurs S des Underlyings ab. Die Option wird nur ausgeführt, wenn der Ausübungspreis kleiner ist als der Aktienkurs (K < S) - in diesem Fall wird der Inhaber der Option sein Recht ausüben, da er die Aktie anstatt zum höheren Kurs S, nun für den vereinbarten Preis K beziehen kann. Das Recht der Ausübung hat in diesem Fall den Wert S-K. Allgemein lässt sich der Wert einer Kaufoption zum Verfallzeitpunkt darstellen als: f(S, T=0) = max {0, S-K}

Zudem kann der Optionswert f(S, T) in die Summe seines inneren Werts max {0, S-K} und dem Zeitwert f(S, T) - max {0, S-K}; ≥0 zerlegt werden.

1 Abbildung 1 - Optionspreis, Zeitwert und innerer Wert einer Kaufoption in Abhängigkeit vom Aktienkurs

Der Optionspreis C(S) in Abbildung 1 ist gleichzusetzen mit dem bereits genannten Optionswert f(S, T=0). Es werden nun drei verschiedene Fälle unterschieden: 1. Aktienkurs S > Ausübungspreis K, dann spricht man davon, dass die Kaufoption im Geld ist.

2. Aktienkurs S < Ausübungspreis K, bedeutet die Kaufoption ist aus dem Geld. 3. Aktienkurs S = Ausübungspreis K, so ist die Option am Geld.

¹ Quelle: http://finanzportal.wiwi.uni-saarland.de/opt/Folie2.GIF

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Als Vorüberlegung wird festgehalten, dass eine Verkaufsoption folgenden Wert aufweist: f(S, T=0) = max {K-S, 0} (vgl. Bär (1998), S. 9)

2. Das Binomialmodell

a. Erklärung

Das Binomialmodell, entwickelt von Cox, Ross und Rubinstein aus dem Jahre 1979, geht davon aus, dass der Aktienkurs S innerhalb einer Zeitperiode T genau einen von zwei Zuständen annehmen kann. Mit der Wahrscheinlichkeit von q einen Aufwärtstrend zu S U und mit der Gegenwahrscheinlichkeit von 1-q den Abwärtstrend zu S D . Als alternative Darstellung kann S U auch als u·S geschrieben werden - diese Schreibweise wird später wieder aufgegriffen. (1.) q, u, d const. für alle Δt

Diese Aneinanderreihung von verschiedenen Bernoulli - Experimenten, welche voneinander unabhängig sind und deren Wahrscheinlichkeit für die beiden jeweiligen Zustände in jeder Periode gleich ist, ist als ausreichende Bedingung für eine Binomialverteilung zu verstehen (vgl. Schira (2003), S. 340).

Voraussetzung für das Binomialmodell ist die sogenannte Nicht - Existenz von Arbitrage; In Anlehnung an die Definition von Bär, liegt Arbitrage dann vor, wenn es möglich ist, Preisdifferenzen auf Märkten gewinnbringend auszunutzen. Das bedeutet, dass der Kauf einer bestimmten Anzahl von Wertpapieren, die gleiche Summe Geld erfordert, wie der gleichzeitige Leerverkauf derselben (vgl. Bär (1998), S. 10).

Zusätzlich wird die Existenz des Duplikationsprinzips für die Anwendung des Binomialmodells angenommen. Dieses Prinzip besagt, dass es möglich ist ein Alternativportfolio zu erstellen, welches bezogen auf den Wert zum Endzeitpunkt T, den gleichen Wert annimmt wie die Call - Option.

Basierend auf den Überlegungen von Fischer Black und Myron Samuel Scholes, welche 1973, gemeinsam mit Robert Merton, ebenfalls ein Modell zur Optionspreisbestimmung hervorgebracht haben werden nachfolgende Marktbedingungen, für die Anwendung des Duplikationsprinzips, gefordert:

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