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Das RC-Glied als Hochpass

Ein Hochpassfilter läßt Frequenzen oberhalb einer Grenzfrequenz f c passieren und sperrt die Frequenzen die kleiner sind als die Grenzfrequenz. Hochpässe werden nicht nur verwendet, um den Klang z u verbessern, also um die Bässe in einem Audio-Signal abzuschwächen: Sie dienen auch zur Unterdrückung extrem tiefer Geräusche, die unter Umständen zu einer Beschädigung der Boxen führen können. Zur Zeit der „Vinylscheiben“, die per Analog-Plattenspieler zu Gehör gebracht wurden, waren solche Hochpässe mit Grenzfrequenzen von wenigen Hertz unter dem Namen „Rumpelfilter“ sehr beliebt, da sie die durch den mechanischen Antrieb des Plattenspielers hervorgerufenen Rumpelgeräusche unterdrückten. Das gemessene Übertragungsverhalten eines RC-Hochpassfilters ist im Bild 1 zu sehen.

Bild 1: Beispiel für einen gemessenen Verlauf des Amplitudenganges eines RC-Hochpasses

Die zugehörige Schaltung ist im Bild 2 dargestellt. Es handelt sich um einen frequenzabhängigen Spannungsteiler. Der Widerstand des Kondensators ändert sich in Abhängigkeit von der Frequenz.

= f f X C (

π ω 2 = oder mit f

= ω f X C ) (

Wünschenswert ist es, das Übertragungsverhalten des Filters ohne aufwändige Messung, mit Hilfe von Formeln berechnen und vorhersagen zu können.

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U in

Die Herleitung des Frequenzgangs für ein Filter erfolgt immer nach dem gleichen Schema:

1. Aufstellen der komplexen Gleichung aus dem Spannungsteileransatz heraus (Informationen zur komplexen Rechnung findet man z.B. in [1], [2 ], [3] und [4]). Dies erbringt den komplexen Frequenzgang. 2. Trennen von Real- und Imaginärteil.

3. Betragsbildung durch quadratische Addition führt zum Amplitudengang. 4. Bei Bedarf: Der Arcustangens des Quotienten aus Imaginärteil und Realteil ergibt den Phaseng ang.

5. Bei Bedarf: Amplitudengang gleich 2 ^-0,5 setzen führt zur Grenzfrequenz.

Beim RC-Hochpass erhält man mit Hilfe des Spannungsteileransatzes:

Betragsbildung liefert den Amplitudengang. Dazu werden Real - und Imaginärteil getrennt und quadratisch addiert:

bzw. mit ω = 2πf

In einem Tabellenkalkulationsblatt von Excel könnte die Formel wie folgt aussehen:

=1/WURZEL(1+1/(2*PI()*A10*R*C)^2)

Dabei stehen in der Spalte A die Frequenzen. R und C sind Namen von Zellen, die die zugehörigen Bauteilwerte enthalten.

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Der Phasengang ergibt sich aus dem Arcus -Tangens des Verhältnisses Imaginärteil zum Realteil :

 = ϕ  arctan

 Bei Audioanwendungen muss der Phasenverlauf nur in Ausnahmefäll beachtet werden, denn das menschliche Gehör kann die Phasenlage im Signal nicht direkt wahrnehmen.

Bei der Grenzfrequenz ist die Amplitude des Eingangssignals um den Faktor 2 ^-0,5 abgesenkt. Die Grenzfrequenz läßt sich also berechnen, indem man setzt:

und daraus rechnet:

ω ^{2 2 2} 1 1 C R

1 = 1 ω ^{2 2 2} 1 1 C R

1 = 1 ⋅ ⋅ π 1 1 2 C R f c

1 = π Gl. {4} f c ⋅ ⋅ 1 1 2 C R

Im Bild 3 ist der Amplituden- und Phasengang eines Hochpassfilters nach Bild 2 dargestellt.

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Bild 3: Amplitudengang (oben) und Phasengang (unten) eines RC-Hochpassfilters gemäß Bild 2 mit einer Grenzfrequenz von 34 Hz.Bei der Grenzfrequenz beträgt die Phasenverschiebung 45°.

Die Dimensionierung eines RC-Hochpassfilters beginnt in der Regel mit der Festlegung der Grenzfrequenz f c . Als nächsten Punkt sind die an den Ein- und Ausgängen wirsamen Impedanzen zu berücksichtigen. Soll das Filterverhalten von Quelle und Senke nicht beeinflußt werden, dann muss für den Generatorwiderstand R i der Quelle gelten:

R i << R1

Und für die angeschlossene Senke R s (also die nachfolgende Stufe - z.B. ein Verstärkereingang):

R s >> R1

Beispiel:

Gefordert ist ein Hochpass mit f c = 100 Hz. Dabei ist R i = 10 O und R s = 22000 O.

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Es würde sich anbieten R1 zunächst auf 2200 O festzulegen. Dann sind beide Bedingungen erfüllt. Der notwenige Kondensator ergibt sich mit Hilfe von Gleichung {4} zu

= C 1

Einen derartigen Kondensator kann man nicht kaufen. Ausgehend von z.B. dem nächsten Normwert von 680 nF bietet es sich an, mit Hilfe der Gleichung {2} und einem Tabellenkalkulationsprogramm die endgültigen Bauteilwerte zu bestimmen.

Mit den Standardwerten: R1 = 2400 O und C1 = 680 nF erhält ma n eine Grenzfrequenz von etwa 97,5 Hz.

RC-Glied als Tiefpass

Ein Tiefpassfilter läßt Frequenzen unterhalb einer Grenzfrequenz passieren und sperrt die Frequenzen die höher sind als die Grenzfrequenz.

Im Bild 4 ist die Schaltung eines RC-Tiefpassfilters dargestellt. Für dieses Filter gilt für den komplexe n Frequenzgang, hergeleitet durch Spannungsteileransatz:

Daraus wieder der Amplitudengang durch Trennung von Real - und Imaginärteil und anschließender quadratischer Addition:

Auch hierfür ein Beispiel für den Eintrag der Formel (allerdings mit direkter Abhängigkeit von der Frequenz: |H(f)| ) in ein Tabellenblatt von MS-Excel:

=1/WURZEL(1+(2*PI()*A9*R*C)^2)

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Auch hier stehen die Frequenzen in der Spalte A. R und C sind wieder Zellbezüge über Namen.

Weiterhin gilt der Phasengang :

( ) Gl. {7} R ⋅ ⋅ − = ω ϕ 1 1 arctan C

Die Grenzfrequenz ergibt sich genau wie beim Hochpassfilter direkt a us den Bauteilewerten. Entsprechend gilt wie beim Hochpass:

1 = π Gl. {8} f c ⋅ ⋅ 1 1 2 C R

Der Amplituden und Phasengang der Schaltung nach Bild 4 ist im Bild 5 dargestellt.

Bild 5: Amplitudengang (oben) und Phasengang (unten) eines RC-Tiefpassfilters gemäß Bild 4 mit einer Grenzfrequenz von 34 Hz.Bei der Grenzfrequenz beträgt die Phasenverschiebung 45°.

Für die Dimensionierung gilt das Gleiche wie für den RC-Hochpass. Zunächst ist normalerweise die geforderte Grenzfrequenz bekannt. Mit Kenntnis der

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Abschlusswiderstände am Ein- und Ausgang kann man dann den ohmschen Widerstand festlegen, den Kondensator berechnen und die so gewonnenen Werte mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms noch optimieren.

Ein RC-Tiefpassfilter läßt sich gemäß dem Bild 6 duch Austausch der Bauteile (Kondensator gegen Widerstand und vis versa) in ein RC -Hochpassfilter überführen

- und umgekehrt natürlich.

Bild 6: Tiefpass (links) versus Hochpass (rechts). Oben in normaler Darstellung - unten in einer Darstellung, die den frequenzabhängigen Spannungsteiler nochmals hervorhebt.

RC-Bandpass

Wie die beschriebenen Hoch- und Tiefpassfilter gehören auch Bandpässe zu den Filter-Grundtypen. Ein bestimmter, durch eine obere- und untere Grenzfrequenz festgelegter Frequenzbereich kann das Filter passieren. Alles andere wird gesperrt.

Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten Bandpassfilter aus RC -Gliedern aufzubauen:

a) durch Hintereinanderschaltung von Tief - und Hochpass (am besten wenn diese voneinander entkoppelt sind)

b) durch eine in sich selbst frequenzselektive Schaltung

Im Fall a) wird ein Frequenzband festgelegt, in dem die Übertragung möglichst ohne Beeinflussung stattfindet. Ober- und Unterhalb dieses Bandes werden die

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eingehenden Signale unterdrückt. Die untere und obere Grenzfrequenz sind frei wählbar.

Im Fall b) hat das Filter die Eigenschaft nur eine einzelne Frequenz passieren zu lassen. Alle anderen werden mehr oder weniger unterdrückt. Die Grenzfrequenzen ergeben sich automatisch durch die Filtercharaktertistik selbst. Filter gemäß Fall a) verhalten sich wie im Fall b), wenn die Grenzfrequenz en von Tief- und Hochpass den gleichen Wert haben.

Ein Filter gemäß b) läßt sich auch ohne Entkoppelverstärker aufbauen. Im Bild 7 ist dazu die in der Literatur weit verbreitete Schaltung abgebildet. Es handelt sich um die Reihenschaltung eines passiven Hoch- und Tiefpasses, wobei die Grenzfrequenz für beide gleich ist.

Die Formel für den unbelasteten Spannungsteiler li efert dafür in komplexer Schreibweise:

⋅ ⋅ ω

Trennung von Real- und Imaginärteil mit anschließender quadratischer Addition liefert wieder den Betrag des Frequenzgangs also den Amplitudengang:

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