2

   2

Gliederung   

A)  Abbildungsverzeichnis  

B)  Verzeichnis der Anhänge  

  )C Theorieteil  

1.  Einleitung  7

2.  Die Geschichte der Prozentrechnung  8

2.1.  Erste Ansätze  8

2.2.  Wort- und Symbolherkunft  9

3.  Prozentrechnung: Eine Sachanalyse  10

3.1.  Prozentrechnung als Spezialfall der Bruchrechnung  10

3.2.  Prozentrechnung als Spezialfall der Schlussrechnung  11

3.3.  Die drei Grundaufgaben  14

3.3.1.  Berechnung des Prozentwertes  15

3.3.2.  Berechnung des Grundwertes  17

3.3.3.  Berechnung des Prozentsatzes  19

4.  Aktuelle Studien zu Kompetenzen Gewichtung der  Prozentrechnung21

4.1.  Erkenntnisse aus PISA und TIMSS  21

4.2.  Ergebnisse der Untersuchung von Christina Völkl-Wolf  23

4.3.  Erkenntnisse aus der Bildungsstudie Deutschland 2007  26

5.  Prozentrechnung im Alltag  27

5.1.  Relevanz für bestimmte Berufsfelder  27

5.2.  Alltagsproblematik  28

3   

6. Prozentrechnung in der Hauptschule 32

6.1. Einführung in den Prozentbegriff 32

6.2. Methoden zur Berechnung der 3 Grundaufgaben 37

6.3. Typische Schülerfehler bei der Berechnung 43

6.4. Prozentrechnung im Lehrplan 44

7. Zusammenfassung 45

D) Praxisteil

1. Schulprofil 46

2. Charakteristika der unterrichteten Klasse 47

3. Lehrplanbezug 48

4. Lernvoraussetzungen der Schüler 48

5. Die erste Unterrichtsstunde 48

5.1. Methodisch-didaktische Vorüberlegungen 49

5.2. Lernziele 50

5.3. Geplanter Unterrichtsverlauf 50

5.4. Reflexion 52

6. Die zweite Unterrichtsstunde 54

6.1. Methodisch-didaktische Vorüberlegungen 54

6.2. Lernziele 55

6.3. Geplanter Unterrichtsverlauf 56

6.4. Reflexion 57

4    7. Auswertung der Tests 59

7.1. Der erste Test 59

7.2. Der zweite Test 60

7.3. Beurteilung und Vergleich der Ergebnisse 61

7.4. Betrachtung der Schülerfehler 63

8. Auswertung des Lehrerzeugnisses 63

9. Zusammenfassung 66

E) Quellenverzeichnis 67

F) Anhang 70

A)  Abbildungsverzeichnis  

Abbildung  1: Aufgabe K6 der TIMS-Studie  

Abbildung  2: Lösungswahrscheinlichkeit der Aufgabe K6  

Abbildung  3: Aufgabe O2 der TIMS-Studie  

Abbildung  4: Lösungswahrscheinlichkeit der Aufgabe O2  

Abbildung  5: Lösungsquoten der Aufgaben (in )  

Abbildung  6: Aufgabe „Verdreifachen“ mit Lösungshäufigkeit  

Abbildung  7: Vermittlung Allgemeinwissen durch die Schule (Auszug)  

Abbildung  8: Zufriedenheit mit der schulischen Vermittlung (Auszug)  

Abbildung  9: Falsche grafische Darstellung  

Abbildung  10: Absoluter und relativer Vergleich  

Abbildung  11: Bruch und Prozent  

Abbildung  12: Vergleich von Bruch, Dezimalbruch, Prozent  

Abbildung  13: Prozentsätze darstellen  

Abbildung  14: Prozentsätze darstellen: Säulendiagramm  

Abbildung  15: Prozentsätze darstellen: Kreisdiagramm  

6   

B) Verzeichnis der Anhänge

Anhang 1: Artikulationsschema zur 1. Doppelstunde 70

Anhang 2: Überarbeitetes Artikulationsschema zur 1. Doppelstunde 72

Anhang 3: Karten für die Tafel (verkleinert) 74

Anhang 4: Folie 1 - Berechnung des Prozentwertes 75

Anhang 5: Folie 2 - Berechnung des Grundwertes 76

Anhang 6: Folie 3 - Berechnung des Prozentsatzes 77

Anhang 7: Lerntheke (Stufe 1) 78

Anhang 8: Lerntheke (Stufe 2) 79

Anhang 9: Lerntheke (Stufe 3) 80

Anhang 10: Lerntheke (Stufe 1) Lösung 81

Anhang 11: Lerntheke (Stufe 2) Lösung 82

Anhang 12: Lerntheke (Stufe 3) Lösung 83

Anhang 13: Artikulationsschema zur 2. Doppelstunde 84

Anhang 14: Überarbeitetes Artikulationsschema zur 2. Doppelstunde 86

Anhang 15: Stationentraining (Aufgaben) 88

Anhang 16: Stationentraining (Lösung) 91

Anhang 17: Stationentraining (Laufzettel) 92

Anhang 18: 1. Test 93

Anhang 19: 2. Test 94

Anhang 20: Zeugnis 95

Anhang 21: Urkunde 96

7    C) Theorieteil

1. Einleitung

Prozentrechnen gehört wohl zu dem Themenbereich, der für unsere Schüler den größten Alltagsbezug hat. Belegen lässt sich dies auch durch zahlreiche Untersuchungen: Eckert (1980) und Stollberg (1981) haben beispielsweise bei der Analyse unterschiedlicher Tageszeitungen herausgefunden, dass das Thema Prozent auf jeder Seite durchschnittlich etwa sechsmal in irgendeiner Form vorkommt. Davon vor allem im Wirtschafts- und Politikteil. Außerdem hat das Prozentrechnen auch im Berufsleben entscheidende Bedeutung. Wolf (1973) fragte dazu 80 Berufstätige, welche mathematischen Kenntnisse aus der Schule sie in ihrem Beruf tatsächlich bräuchten. Von den 40%, die mathematisches Wissen benötigten, gaben die meisten das Prozentrechnen an. Was nun für unsere Schüler ¹ besonders wichtig ist, sind die Einstellungstests der Betriebe. Allgemein lässt sich sagen, dass fast alle Betriebe das Beherrschen der Prozentrechnung voraussetzen. Schulz (1988) hat dazu etwa 600 betriebliche Ausbilder gebeten, die verschiedenen Teilgebiete der Mathematik nach ihrer Bedeutung für die betriebliche Ausbildung zu ordnen. Das Prozentrechnen landete dabei auf Platz zwei hinter den Grundrechenarten. Konkret auf Einstellungstests bezogen fand Mäder (1977) beim Vergleich von sechs Betrieben heraus, dass die Tests bei kaufmännischen Betrieben zu 25% aus Prozent- und Zinsrechnung bestehen. Selbst bei handwerklichen Betrieben wird sie noch mit 8% berücksichtigt (Berger 1989: S.1-2). Auf die Relevanz der Prozentrechnung in den einzelnen Berufsfeldern wird später genauer eingegangen. Somit wird deutlich, dass man dieses mathematische Gebiet nicht nur beim Vergleichen von Preisen im Supermarkt braucht. Vielmehr ist es ein wichtiger Bestandteil für ein erfolgreiches Leben. Deswegen ist eine ausführliche Behandlung und regelmäßige Wiederholung in der Schule unabdingbar.

Die nachfolgende Arbeit soll nun zunächst die theoretischen Grundlagen der Prozentrechnung vermitteln. Dabei wird neben der Geschichte auch auf aktuelle Studien zur Prozentrechnung eingegangen. Außerdem wird das                                                              

¹  Mit „Schüler“ sind stets auch Schülerinnen gemeint. Dies dient lediglich der einfacheren Lesbarkeit. 

8   

Prozentrechnen im Alltag und in der Schule dargelegt. Der darauffolgende Praxisteil soll zwei Unterrichtsbeispiele zum effektiven Üben der Prozentrechnung liefern. Der dadurch erreichte Lernfortschritt soll durch einen kurzen Test belegt werden.

2. Die Geschichte der Prozentrechnung

Die Prozentrechnung wird genutzt, um einen relativen Vergleich zweier Mengen herzustellen. Dabei wird der Prozentbegriff in der Literatur ganz unterschiedlich aufgefasst: als Spezialfall der Schluss- oder Bruchrechnung (Strehl 1979: 119/120), als „standardized ratio comparison that is often used to describe relative amounts of increase and decrease“ (Parker 1997: 406), zur Beschreibung quantitativer Beziehungen (Breinlinger/Schlesinger 1983: 44) oder auch als Operator, der zwei Größen miteinander verknüpft (Kilian 1977: 68). Das Rechnen in Prozent ermöglicht die Angabe von Zahlenverhältnissen, also keine absoluten Zahlen, sondern nur abstrakte Größen, die man vergleichen kann. Diese beziehen sich auf einen bekannten oder unbekannten Grundwert. Und eben durch diese Abstraktion kann sie in vielen alltäglichen Bereichen zum Einsatz kommen: Im Bank- oder Finanzwesen wenn es um Steuern oder Zinsen geht, bei Statistiken während eines Fußballspiels oder bei Umfrage- und Wahlergebnissen oder auch in der Chemie oder Physik, wenn es um Zellwachstum, Flüssigkeitsgemische oder Wachstums-und Zerfallsprozesse geht.

2.1. Erste Ansätze

In den heutigen Schulbüchern wird den Schülern vermittelt, dass das Wort Prozent aus dem lateinischen pro centum (vgl. z.B. Formel 7 2007: 23) oder dem italienischen pro cento kommt und die Vermutung liegt somit nahe, dass die Wurzeln der Prozentrechnung in Italien liegen könnten. Einige verbinden sie mit der Zeit des Kaisers Augustus.

Tatsächlich stammen die ersten Ideen der Prozentrechnung aus der Zeit der Babylonier. Damals, etwa 2100 vor Christus, gaben sie bereits Zinssätze in

9   

Form von Brüchen an. Die Law of Hammurabi schrieb damals vor, dass der Zins einer geliehenen Menge Getreide 1/3 betrug. Die geliehene Menge wurde also in drei gleichgroße Teile geteilt, wobei einer dieser Teile der zu zahlenden Zinsen entsprach. Hierbei ging es jedoch noch nicht um Verhältnisrechnungen, sondern es beruhte lediglich auf der Äquivalenz von Mengen (Parker/Leinhardt 1995: 429). Erste konkretere Hinweise für die Berechnung „nach Hundert“ lassen sich ebenfalls in der babylonischen Zeit finden. Damals war von einer Aufgabe die Rede, bei der der Anteil der Lämmer prozentual zur gesamten Herde ausgedrückt wurde (Tropfke 1980: 530). Ebenso kann man erste Vorläufer der Prozentrechnung in Indien finden. Um 700 vor Christus wurde in der indischen Grammatik Regeln für die Nachsilbe ka verfasst. So bedeutete beispielsweise panca satam „fünf Hundert“. Fügte man die Nachsilbe ka hinzu, wurde daraus pancakam satam, was so viel bedeutet wie „fünf in Hundert“. Daraus kann man schließen, dass man bereits mit relativen Vergleichen gearbeitet hat und die Zahl 100 als Vergleichsgröße benutzt wurde (Berger 1989: 7), ganz in der Tradition der heutigen Prozentrechnung. Den italienischen Kaiser Augustus (63 v.Chr. - 14 n.Chr.) zu nennen ist dennoch nicht verkehrt. Im römischen Reich wurden zu seiner Regierungszeit ebenfalls Hundertstelbrüche verwendet, um Steuern festzusetzen. Als im Mittelalter die Bedeutung des Geldes wuchs, wurde die Zahl 100 zur allgemeinen Berechnungsgrundlage. Außerdem wurden die Anwendungsgebiete der Prozentrechnung um die Berechnung von Zinsen, Verlusten und Gewinnen erweitert (Berger 1989: 8). Die Entwicklung der Prozentrechnung, wie wir sie heute kennen, begann jedoch erst ab 1860 (Parker/Leinhardt 1995: 434). Seitdem hat sie Einkehr in mehr und mehr Berufsfelder gefunden (vgl. Abschnitt 5.1.).

2.2. Wort- und Symbolherkunft

Das Wort perceto taucht zum ersten Mal in Italien im Jahre 1481 auf (Parker/Leinhardt 1995: 431). Es hat sich zu pro cento weiterentwickelt und ist im 17. Jahrhundert zu procento verschmolzen. Das daraus abgeleitete deutsche Wort „Prozent“ findet erstmals im 18. Jahrhundert Erwähnung (Tropfke 1980: 531).

10   

Das Prozentsymbol „%“, so wie wir es heute kennen, kommt ursprünglich ebenfalls aus Italien. Lange Zeit wurden Rechenaufgaben nicht durch Symbole sondern nur durch Worte ausgedrückt. Nachdem das Wort pro cento im 17. Jahrhundert zu procento verschmolz und auch offiziell anerkannt wurde, wurde es in den mittelalterlichen italienischen Handschriften häufig durch p.c., p cento,

p 100 oder pc° abgekürzt. Ebenso üblich war

vermutlich aus drucktechnischen Gründen in der zweiten Hälfte des 17.

Jahrhunderts das Symbol

wurde das per und pro nur noch durch p abgekürzt und schließlich wurde es in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts ganz weggelassen. In der Folgezeit

des 19. Jahrhunderts wurde dann allmählich der Bruchstrich in

sodass unser heute geläufiges %-Symbol entstand (Tropfke 1980: 532).

3. Prozentrechnung: Eine Sachanalyse

Im nachfolgenden Textabschnitt soll nun Klarheit in das „Definitionschaos“ (Berger 1989: S.10) Prozentrechnung gebracht werden. Sie soll als Spezialfall der Bruch- sowie der Schlussrechnung dargestellt werden. Außerdem werden die drei Grundaufgaben und ihre Lösungsmöglichkeiten gezeigt.

3.1. Prozentrechnung als Spezialfall der Bruchrechnung

Für das oben bereits auftauchende Symbol p% kann man genauso den Bruch

schreiben. Also entspricht p% einer Bruchzahl mit dem Nenner 100 und dem

Zähler p. Ebenso wie der Bruchoperator × einer Größe ihren m-fachen n-ten

Teil zuordnet, ordnet auch dieser Prozentoperator × einer Größe ihren p-

fachen 100-ten Teil zu. Diese Ausgangsgröße wird als Grundwert G bezeichnet und die Größe, die ihr zugeordnet wird, nennt man Prozentwert P. Der Zähler

des Bruches , also p, wird Prozentsatz genannt. Hier noch einmal

zusammengefasst nach Strehl (1979):

G Grundwert (Größe)

11   

Zuordnung: G P

(Strehl 1979: S.119)

Man sieht also, dass sich der Prozentoperator ebenso verhält wie der Bruchoperator. Er bildet nämlich einen Größenbereich auf sich selbst ab. In der Schule ist dieser Prozentoperator besser bekannt unter dem Namen Prozentsatz (Strehl 1979: S.119-120). Mathematisch lässt sich der Begriff Größenbereich wie folgt definieren:

Ist G eine Menge, auf der eine innere Verknüpfung + und eine strenge Ordnungsrelation < erklärt sind, so nennt man (G,+,<) einen Größenbereich, wenn für alle x,y,z ϵ G folgendes gilt:

1. (x+y)+z=x+(y+z) (Assoziativgesetz der Addition) 2. x+y=y+x (Kommutativgesetz der Addition)

3. Es gilt genau einer der Fälle x ϵ G gibt, für das x+z=y gilt (Lösbarkeitsgesetz). (Groß 2011: Kapitel 4 „Größen“, Folie 42)

Die in der Schule behandelten Größenbereiche der Flächeninhalte, Rauminhalte, Geldwerte, Längen, Gewichte und Zeitspannen sind Beispiele für so eine Struktur eines mathematischen Größenbereichs.

3.2. Prozentrechnung als Spezialfall der Schlussrechnung

Als Schlussrechnung werden Aufgaben bezeichnet, bei denen von drei gegebenen Größen aus, auf eine vierte unbekannte Größe geschlossen werden muss. Viele Aufgaben zu proportionalen Funktionen sind nach diesem Prinzip

12   

aufgebaut (Groß 2011: Skript 8 „Funktionen“, Folie 23). Neben dem Prozentoperator kann man nun also auch eine andere Zuordnung betrachten, nämlich die eben erwähnte proportionale Zuordnung/Funktion:

(Proportionale) Funktionen sind Abbildungen zwischen Mengen (Schreibweise: f: A  B), bei denen jedem Element aus der linken Menge (A), genau ein Element aus der rechten Menge (B) zugeordnet wird. Speziell die proportionalen Funktionen weisen zudem noch folgende beiden Eigenschaften auf:

1. Summeneigenschaft

Eine Abbildung f: G 1  G 2 zwischen zwei Größenbereichen G 1 und G 2 heißt proportionale Funktion, wenn folgende Gleichung für alle x,y ϵ G 1 erfüllt ist:

f(x + y) = f(x) + f(y)

Beispiel: Eine Kugel Eis kostet 60 Cent.

Wertetabelle:

Laut Summeneigenschaft gilt hier f(1 + 2) = f(1) + f(2), also f(3) = f(1) + f(2). Da f(3) hier 180 Cent entspricht und sich dies aus f(1) = 60 Cent und f(2) = 120 Cent zusammen addiert, ist die Summeneigenschaft erfüllt.

2. Vervielfachungseigenschaft

Eine Abbildung f:G 1  G 2 zwischen zwei Größenbereichen G 1 und G 2 heißt

proportionale Funktion, wenn folgende Gleichung für alle x ϵ G 1 und alle q = ϵ Q ⁺ erfüllt ist:

13   

Beispiel: Eine Kugel Eis kostet 60 Cent.

Wertetabelle:

Hier wird in der zweiten Zeile die Anzahl der Kugeln verfünffacht. Laut Vervielfachungseigenschaft gilt somit f(5 × 1) = 5 × f(1), also f(5) = 5 × f(1). Beide Seiten der Gleichung sind äquivalent, da sowohl f(5) als auch 5 × f(1) 300 Cent entspricht. Also ist auch die Vervielfachungseigenschaft erfüllt.

Nehmen wir nun also die proportionale Zuordnung f: G 0  Q ⁺ , die einen Größenbereich G 0 in die Menge Q ⁺ der positiven rationalen Zahlen abbildet. Dabei wird einem gegebenen Grundwert G die Zahl 1, also 100% zugeordnet. Nun muss man sich fragen, welche Zahl p% dem Prozentwert P zugeordnet wird. Aus der Vervielfachungseigenschaft der direkt proportionalen Funktionen ergibt sich die Ausgangsgleichung:

P = G ×

sich also: p% =

Schematisch lässt sich dies wie folgt festhalten:

^f G 100%

×

^f P p%

(Strehl 1979: S.120)

14   

Analog dazu kann man auch dem Grundwert G die Zahl 100 und dem Prozentwert P die Zahl p zuordnen:

^f G 100

×

^f P p

(Strehl 1979: S. 121)

Somit wurde die Prozentrechnung auf die Schlussrechnung zurückgeführt. Dies ermöglicht, alle Lösungsverfahren für die Schlussrechnung auch auf die Prozentrechnung anzuwenden. Dazu zählen unter Anderem der Zwei- und der Dreisatz, die Tabellen sowie die Quotienten- und Verhältnisgleichungen. Hier ein kurzer Blick auf die Quotientengleichung:

= oder umgeformt P : p = G : 100

Im Unterschied zur Schlussrechnung, bei der diese Division zu zusammengesetzten Größen führt wie zum Beispiel € pro kg, handelt es sich bei der Prozentrechnung stets um eine einfache Division. P und G haben dabei die gleiche Einheit und ihre Division führt im Sinne des Aufteilens oder Messens auf eine Zahl wohingegen die Quotienten P : p und G : 100 Divisionen im Sinne des Verteilens darstellen (Strehl 1979: S.121).

3.3. Die drei Grundaufgaben

Die Prozentrechnung weist drei Problemstellungen auf, wie sie in Sachaufgaben auftauchen können. Nun sollen verschiedene Möglichkeiten aufgezeigt werden, die drei Grundaufgaben zu lösen. Es ist als Lehrer wichtig, nicht nur einen Lösungsweg anzubieten. Vielmehr soll sich der Schüler selbst die Methode auswählen, die ihm am besten gefällt.

15   

3.3.1. Berechnung des Prozentwertes

Bei der ersten Grundaufgabe ist die Ausgangsgröße und der Operator gegeben. Gesucht ist die zugeordnete Größe. Sie hat folgendes Schema, das bereits aus Abschnitt 3.1. bekannt ist:

×

G ?

Gegeben sei nun eine einfache Aufgabe, in der der Prozentwert gesucht wird:

Aufgabe: Wie viel sind 15% von 550 Euro?

Gegeben sind hier der Grundwert G = 550 € sowie der Prozentsatz p = 15%.

a) Lösung als Tabelle

b) Lösung als Dreisatz

Bei beiden Ansätzen ergibt sich die Lösung im rechten untersten Feld. Wie oben bereits erwähnt wird, entspricht der Grundwert G 100%. Es wird auch von einer Eigenschaft der direkten Proportionalität Gebrauch gemacht (Vervielfachungseigenschaft).

16   

c) Lösung mit der Formel

Die Formel kann man aus der letzten Zeile des Dreisatzes und der Tabelle ablesen (fett gedruckt). Für den Prozentwert gilt hier P = 550 € : 100 × 15. Verallgemeinert ergibt dies:

P = G : 100 × p

d) Lösung mit dem Hunderterblatt (Prozentblatt)

Hierbei wird den Schülern ein Blatt mit 100 gleichgroßen Kästchen vorgelegt und anhand dessen wird berechnet:

15% ≙5,50 € × 15 = 82,50 €

e) Lösung mit der Operatormethode

Diese Methode erweist sich als sehr schnell mit dem Taschenrechner zu bewältigen, ist jedoch für Schüler nicht so einfach zu durchschauen.

17    550 €

Allgemein: Kurz:

G

Der Bruch wird üblicherweise als Dezimalbruch geschrieben, um ihn

schneller im Taschenrechner eingeben zu können.

3.3.2. Berechnung des Grundwertes

Die zweite Grundaufgabe hat folgendes, aus Abschnitt 3.1. bekanntes Schema

- hier ist die Ausgangsgröße gesucht und der Operator und die zugeordnete Größe gegeben:

? P

Gegeben sei auch hierzu eine einfache Aufgabe, bei der der Grundwert gesucht und der Prozentwert und Prozentsatz gegeben sind.

Aufgabe: 15% entsprechen 82,50 €. Wie hoch ist der Grundwert?

a) Lösung mit der Tabelle

18   

b) Lösung mit dem Dreisatz

Die Lösung funktioniert also genauso wie bei der Berechnung des Prozentwertes, nur dass in der ersten Zeile der Prozentwert dem entsprechenden Prozentsatz entspricht und man auf 100% „hochrechnen“ muss. Erneut wird hier die Vervielfachungseigenschaft der direkten Proportionalität gebraucht.

c) Berechnung mit der Formel

Die Formel kann man erneut aus der letzten Zeile des Dreisatzes und der Tabelle ablesen. Für den Grundwert gilt hier G = 82,50 € : 15 × 100. Verallgemeinert ergibt dies:

G = P : p × 100

Ebenso ergibt sich die Formel durch Äquivalenzumformung der Formel für den Prozentwert:

P = G : 100 × p / : p

P : p = G : 100 / × 100

P : p × 100 = G

19   

d) Berechnung mit dem Operator

Nehmen wir als Ausgangspunkt erneut das Schema von eben:

G

Um nun die Ausgangsgröße G zu bestimmen, muss man dieses Schema umkehren:

G

In unserem konkreten Beispiel wäre die Rechnung 82,50 € : 0,15 = 550 €. Der Einfachheit halber wird hier der Bruch erneut als Dezimalbruch geschrieben.

3.3.3. Berechnung des Prozentsatzes

Auch hier wird wieder Bezug zu dem Schema aus Abschnitt 3.1. genommendie Ausgangs- und die zugeordnete Größe sind gegeben und der Operator ist gesucht:

× ? G P

Auch hier betrachten wir eine einfache Aufgabe, bei der der Grundwert und der Prozentwert gegeben sind. Nun ist der Operator gesucht.

Aufgabe: Wie viel Prozent von 550 € sind 82,50 €?