Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis   

1.  Bedingungsanalyse  1

1.1.  Analyse der Rahmenbedingungen  1

1.2.  Situation der Klasse  1

2.  Sachanalyse  2

3.  Didaktische Reflexion und Entscheidungen  3

3.1.  Bezug zum Bildungsplan  3

3.2.  Einbettung der Stunde in die Unterrichtseinheit  4

3.3.  Didaktische Analyse nach Klafki  5

3.4.  Schwierigkeitsanalyse  6

3.5.  Didaktische Reduktion  7

4.  Methodische Reflexion und Entscheidungen  8

4.1.  Einstieg  8

4.2.  Erarbeitungs und Sicherungsphase  8

4.3.  Gelenkstelle  9

4.4.  Übungsphase  10

4.5.  Sicherung/ Lernzielkontrolle  12

5.  Kompetenzerwerb/ Lernziele  14

6.  Verlaufsskizze  15

7.  Literaturangaben  17

8.  Abbildungsverzeichnis  17

9.  Anhang  18

9.1.  Einstieg  18

9.2.  Lerntheke  19

9.3.  Lernzielkontrolle  29

9.3.   29

1. Bedingungsanalyse

1.1. Analyse der Rahmenbedingungen

Die Realschule besteht aus elf Klassen, durchschnittlich befinden sich 23 Schüler ¹ in einer Klasse. Derzeit besuchen ca. 250 Schüler diese Schule. Der Ausländeranteil ist sehr gering.

Das Einzugsgebiet der Realschule erstreckt sich über den Kernort O. und seine Teilgemeinden. Ca. 10% der Schüler kommen von außerhalb des Einzugsgebietes, da sie von umliegenden Realschulen aus verschiedenen Gründen an diese Realschule gewechselt haben.

1.2. Situation der Klasse

In der siebten Klasse befinden sich 24 Schüler, davon sind 16 männlich und acht weiblich. Es ist eine aufgeweckte, aber freundliche Klasse, die einige leistungsstarke Schüler besitzt. Vor allem die mündlichen Beiträge von A., D., J., K., L. und M. Schw. bringen den Unterricht voran. Die Mädchen der Klasse sind im Vergleich zu den Jungen eher zurückhaltend und still. Gute Beiträge kommen aber auch von J., L., N. und C.. Na. kam nach den Winterferien neu in die Klasse und hat sich sehr schnell integriert. Sie wechselte vom Gymnasium W. an unsere Schule. Die Themen, die wir derzeit behandeln, kennt sie bereits. Sie nutzt diese Wiederholungen, um Wissenslücken zu minimieren und arbeitet im Unterricht stets aktiv mit.

Während des Mathematikunterrichts kommt es hin und wieder zu Störungen, weil einige Jungen Schwierigkeiten haben, sich an Regeln zu halten. Vor allem J. ist sehr gesprächig und stört den Unterricht häufig durch Zwischenrufe. Auch M. St. hat Schwierigkeiten sich auf den Unterricht zu konzentrieren und beschäftigt sich mit anderen Dingen. Weiterhin ist D. zu nennen, der aufgrund seiner bisherigen Störungen von der Klassenlehrerin umgesetzt wurde. L. zeigt in Situationen, in denen sie nicht folgen kann, sporadisch auffälliges Verhalten, indem sie weint, schreit und ihre derzeitige Arbeit abbricht. Zu Beginn des Schuljahres versuchte ich noch mit ihr darüber zu sprechen und sie aufzubauen. Durch Gespräche mit Kollegen erkannte ich, dass es für sie und die Klasse besser ist, Lisa in diesem Moment in Ruhe zu lassen, da sie sich nach einigen Minuten wieder in das

¹  Aus Gründen der besseren Lesbarkeit verwende ich im Folgenden nur die maskuline Form. 

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Unterrichtsgeschehen integriert. Falls durch ihr auffälliges Verhalten Mitschüler und Sachgegenstände gefährdet sind, werde ich sofort intervenieren.

Im Laufe des Schuljahres führte ich ein „Helfersystem“ ein, da ich erkannte, dass die Schüler in den Erarbeitungs- und Übungsphasen nur sporadisch die ausliegenden Hilfen nutzten. Stattdessen nahmen sie die Unterstützung von Mitschülern sehr gerne an. Die Schüler, die die Aufgaben in den Erarbeitungs- und Übungsphasen frühzeitig lösen, erhalten eine „Helfer-Karte“ und platzieren sich vorne neben der Tafel. Sobald ein Mitschüler Hilfe bei der Bearbeitung von Aufgaben benötigt, meldet sich dieser. Die „Helfer“ lösen, falls sie niemandem helfen müssen, leichte oder schwere Kopfrechenaufgaben. Nach den Osterferien erweiterte ich die Kopfrechenaufgaben durch Aufgaben aus den Themenbereichen „Brüche“ und „Terme“. Dies erschien mir äußerst sinnvoll, da die beiden Themenbereiche in kommenden Themenbereichen integriert bzw. vorausgesetzt werden und somit dem Vergessen entgegengewirkt werden kann.

Diese Unterrichtsstunde findet nicht nach regulärem Stundenplan statt. Die vierte Stunde schließt direkt an die große Pause an.

2. Sachanalyse

Bei der Behandlung der Thematik in dieser Klassenstufe liegt das Hauptaugenmerk auf den linearen Gleichungen mit einer Unbekannten, die im Folgenden näher betrachtet werden. Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten werden erst ab der Klassenstufe acht thematisiert.

„In der Mathematik ist eine Gleichung eine Aussage, in der die Gleichheit zweier Werte oder Terme durch mathematische Symbole ausgedrückt wird. Dies wird durch das Gleichheitszeichen („=“) symbolisiert.“ (http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichung, vom 6.05.11) Terme sind Rechenausdrücke, die aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen bestehen können. Beispiele: x+3; 2 (5+4); 7.

Man kann Gleichungen nach folgendem Kriterium einteilen. Eine Gleichung ohne Variable wird als Aussage, die entweder wahr oder falsch sein kann, betrachtet.

Falsche Aussage: 5 + 3  9

Wahre Aussage: 5 + 3 = 8

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Gleichungen hingegen, die eine Variable enthalten, werden als Aussageformen betrachtet. Beispiele: x + 4 = 8; 3  (x+2) = x -12.

Wird für die Variable eine Zahl eingesetzt, so erhält man entweder eine wahre oder falsche Aussage. (Vgl. Vollrath, 1994, S. 184)

Um eine Gleichung mit einer Unbekannten zu lösen, sind Äquivalenzumformungen notwendig, dabei entstehen Gleichungen, die äquivalent zueinander sind, d.h. die Lösung der Gleichung bleibt unverändert. Ziel dieses Rechenverfahrens ist es, die Variable zu isolieren, um somit die Lösung der Gleichung zu erhalten. „Die Werte der Variablen, für die die Gleichung erfüllt ist, heißen Lösungen der Gleichung.“ (http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichung, vom 6.05.11) Die Lösungsmenge der Gleichung ist immer abhängig von der entsprechenden Grundmenge. Ist eine Lösung der Gleichung in der Grundmenge nicht enthalten, so gehört diese nicht zur Lösungsmenge.

Neben den Äquivalenzumformungen spielen beim Lösen einer Gleichung auch die Termumformungen eine wichtige Rolle. „Bei Termumformungen von Gleichungen wird immer nur eine Seite umgeformt. Beispiel: 2x + 3 + 5x - 2 = 15 7x + 1 = 15“ (Vollrath, 1994, S.202)

Hingegen werden bei einer Äquivalenzumformung auf beiden Seiten der Gleichung Rechenoperationen durchgeführt, so dass äquivalente Gleichungen entstehen, die schrittweise zur Lösung der Gleichung führen.

Des Weiteren gibt es allgemeingültige Gleichungen wie beispielsweise die Kommutativität, die Assoziativität, aber auch die binomische Formel. Bei diesen Gleichungen ergeben sich für alle Einsetzungen von Zahlen aus dem gegebenen Bereich wahre Aussagen. (Vgl. Vollrath, 1994, S. 193)

3. Didaktische Reflexion und Entscheidungen

3.1. Bezug zum Bildungsplan

Die gesamte Unterrichtseinheit zum Thema Gleichungen ist im Bildungsplan inhaltlich unter der Leitidee Zahl zu verorten. Die aufgeführten Kerninhalte „Termumformungen“, „Äquivalenzumformungen“ und „lineare Gleichungen“ werden in dieser Unterrichtseinheit thematisiert. Term- und Äquivalenzumformungen werden

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unter anderem in dieser Stunde geübt, so dass eine Entlastung für höhere mathematische Denkprozesse ermöglicht werden kann.

In meiner Unterrichtsstunde werden folgende Kompetenzen gefördert:

„Die Schülerinnen und Schüler können …

 symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt,

 Rechenoperationen in verschiedenen Darstellungen sicher ausführen,  durch die Wahl angemessener Verfahren effektiv vorgehen,  mit Variablen als typisch mathematischem Element umgehen und arbeiten,  verwendete Begriffe, Regeln, Sätze erläutern  und Ergebnisse hinterfragen.“ (Bildungsplan 2004, S.63)

Allgemeine mathematische Kompetenzen wie das mathematische Argumentieren, das mathematische Kommunizieren und Probleme mathematisch zu lösen, werden in dieser Unterrichtsstunde durch gezielte Arbeitsaufträge bzw. Methoden weiterentwickelt.

Weiterhin können die Schüler geometrische Zusammenhänge mithilfe von bekannten Strukturen erschließen und sie algebraisch veranschaulichen und darstellen.

3.2. Einbettung der Stunde in die Unterrichtseinheit

Die Unterrichtseinheit „Gleichungen“ umfasst circa zehn Stunden, in denen die Grundvorstellungen zu Gleichungen entstehen und gefestigt werden sollen. Des Weiteren spielt das Lösen der Gleichungen durch Äquivalenzumformungen eine bedeutende Rolle.

Um dem kumulativen Lernen gerecht zu werden, wurde zu Beginn der Unterrichtseinheit der Aspekt „Gleichungen lösen durch Probieren“ aus Klasse 6 aufgegriffen, so dass die neu gelernten Inhalte an das Vorverständnis angeknüpft werden konnten. Darauf folgte die Einführung „Gleichungen lösen durch Äquivalenzumformungen“. Dieses Verfahren wurde mithilfe der Waage bildlich dargestellt. Ich habe mich für dieses Modell entschieden, weil mir es wichtig schien, den Schülern die Bedeutung des Gleichheitszeichens noch einmal bewusst zu machen. Zudem lässt sich hiermit die Umformungsregel leicht veranschaulichen. Das Waagemodell ist jedoch auch kritisch zu betrachten. Negative Zahlen, aber auch die Multiplikation mit negativen Zahlen lassen sich mit dem Waagemodell nicht

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veranschaulichen (Vgl. Vollrath, 1994, S.186). In der darauffolgenden Doppelstunde wurden verschiedene Aufgaben geübt, um das Verständnis für Gleichungen und im speziellen der Umformungsregel zu vertiefen und zu erweitern. Den Schülern gelang ohne große Schwierigkeiten das mehrfache Umformen von Gleichungen, so dass ich in der nächsten Stunde Gleichungen mit Klammern einführte. Das Auflösen der Klammern ist den Lernenden bereits von der Themeneinheit Terme bekannt, dennoch ist es wichtig in dieser Einheit das Auflösen der Klammern zu wiederholen, da die Schüler vor allem beim Ausmultiplizieren und beim Auflösen der Minusklammer Schwierigkeiten haben. In der letzten Stunde übten wir gezielt Gleichungen mit Klammern zu lösen. Weiterhin lernten die Schüler an wenigen Beispielaufgaben einfache Gleichungen mit Klammern im Kontext Flächeninhalt und Volumen von ebenen und räumlichen Figuren aufzustellen. In dieser Unterrichtsstunde findet eine Übungsstunde statt, in der sowohl Gleichungen mit als auch ohne Klammern aufgestellt, gefunden und gelöst werden. Um das Verständnis zum Umgang mit Gleichungen zu vertiefen, findet eine breite Variation der Aufgaben statt (Finde den Fehler, fülle die Lücken, Umkehraufgaben…).

In den Folgestunden - sofern keine Schwierigkeiten/Unklarheiten in dieser Stunde auftreten- wird verstärkt die Herangehensweise an Textaufgaben geübt, bei denen das Aufstellen einer Gleichung zur Lösung führt. In diesen Stunden lege ich großen Wert auf das Einsetzen heuristischer Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien wie zum Beispiel das Anfertigen einer Skizze.

3.3. Didaktische Analyse nach Klafki

Gegenwarts- und Zukunftsbedeutung:

Innermathematisch spielen Gleichungen eine große Rolle. In Klasse 7 wird das Grundverständnis für Gleichungen gelegt, so dass in den oberen Klassen gemäß des Spiralprinzips darauf aufgebaut werden kann. Themen wie beispielsweise „Lineare Gleichungssysteme“ oder „quadratische Gleichungen“ bauen auf diesem Grundverständnis auf. Weiterhin ist die Bearbeitung dieses Themas wichtig für den späteren Umgang mit Formeln, bei denen eine Unbekannte durch Äquivalenzumformungen isoliert wird, so dass eine Berechnung dieser ermöglicht werden kann. Gleichungen im Alltag sind von den Schülern auf den ersten Blick nicht erkennbar, weil diese nicht direkt sichtbar sind. Gleichungen helfen in komplexeren Situationen das systematische Lösen eines komplexen Problems.

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Exemplarische Bedeutung:

Das Lösen von Gleichungen steht exemplarisch für komplexe bzw. mehrschrittige Rechnungen, welche in den oberen Klassen zunehmend an Bedeutung gewinnen. Dies fördert und fordert vor allem personale Kompetenzen wie die Konzentrationsfähigkeit und Ausdauer. Das Aufstellen von Gleichungen in gewissen Kontexten steht vor allem exemplarisch für das Mathematisieren, d.h. die Schüler lernen hierbei natürliche Sprache in formale Sprache zu übersetzen und umgekehrt. Es ist ein zentrales Ziel des Mathematikunterrichts, die Realwelt mit der Welt der Mathematik zu verbinden und Beziehungen zwischen den beiden Welten zu erkennen. Dadurch lernen die Schüler an komplexere Aufgaben wie z.B. Modellierungsaufgaben systematisch heranzugehen.

Zugänglichkeit:

Den Zugang erhalten die Schüler durch eine problemorientierte Einstiegsaufgabe. Zu Beginn stelle ich die Frage, wer von den Schülern ein Aquarium zuhause hat und weiß, wie viel Liter Wasser in ein solches Aquarium passen. Anschließend berichte ich, dass ich mir auch ein Aquarium zulegen möchte und in einem Katalog vom Händler zwei Modelle favorisiere. Ich möchte wissen, wie viel Liter Wasser die beiden Aquarien fassen können. Jedoch habe ich aus Versehen Kaffee über den Prospekt geleert, so dass jeweils die erste Maßangabe nicht mehr lesbar ist. Durch einen Anruf beim Händler erfahre ich, dass beide Aquarien dasselbe Volumen aufweisen und das linke Aquarium um 5dm länger ist als das rechte. Anhand dieser Geschichte wirkt die eingekleidete Aufgabe authentischer und die Schüler gehen motiviert an die Aufgabe heran.

In der Übungsphase erhält die Lerngruppe weiteren Zugang zum mathematischen Inhalt durch ansprechende Aufgaben, ein Spiel und der Methode Filmdosenrechnen.

3.4. Schwierigkeitsanalyse

Bei der Einstiegsaufgabe können mehrere Schwierigkeiten auftreten, weil sie für die Schüler kein Routineproblem ist. Die Schwierigkeit wird vor allem darin liegen, die Gleichung aufzustellen, in der beide Volumina gleichgesetzt werden müssen. Weiterhin wird durch die Fragestellung ein mehrschrittiges Vorgehen der Lernenden verlangt, weil sie zuerst die Gleichung aufstellen, anschließend lösen, um die Länge beider Aquarien zu erhalten und dann das Volumen der Aquarien berechnen

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