3D-Simulation für die Übertragung von Schallsignalen auf Mikrofon-Arrays

Gerson Berndt

Thema der Diplomarbeit

3D- Simulation für die Übertragung von Schallsignalen auf Mikrofon-Arrays

Stichworte

Schallfeldsimulation, Spiegelquellenverfahren, MATLAB, Raumakustik

Kurzzusammenfassung

Diese Arbeit befasst sich mit der Programmierung einer 3D- Schallfeldsimulation in MATLAB®.

Die Simulation bildet die akustischen Übertragungseigenschaften eines Quaderraumes nach. Dazu kommt das aus der geometrischen Raumakustik stammende „Spiegelquellenverfahren“ zum Einsatz. Es lassen sich verschiedene Szenarien einstellen, wie z.B. eine Richtcharakteristik oder Bewegung einer Schallquelle. Frequenzabhängige Absorptionseigenschaften der Wände ermöglichen die Nachbildung verschiedener Wandeigenschaften, z.B. Wände aus Beton oder Tapete. Ein abschließender Vergleich des simulierten Schallfeldes mit einem Schallfeld, das in einem realen Raum gemessen wurde, stellt Übereinstimmungen bzw. Abweichungen dar.

Gerson Berndt

Title of the paper

3D- simulation for the transmission of sound signals on microphone arrays

Keywords

sound field simulation, image source method, MATLAB, room acoustics

Abstract

This thesis describes how to program a 3D- sound field simulation in MATLAB®. In this simulation the acoustic transmission characteristics of a right parallelepiped area are simulated. For that purpose the “image source method” known from geometrical room acoustics is used. Different scenarios can be adjusted, e.g. a directional characteristic or a movement of an acoustic source. Setting up the frequency dependent absorptive properties of the walls allow the simu- lation of different wall characteristics, e.g. walls of concrete or wallpaper. A compari- son of the simulation with the reality, represents agreements or deviations.

Inhalt

Inhaltsverzeichnis

1  EINLEITUNG  2

2  GRUNDLAGEN DER AKUSTIK  2

2.1  SCHALL  2

2.2  SCHALLINTENSITÄT  3

2.3  SCHALLFELD  3

2.4  STREUUNG UND REFLEXION  4

2.5  BEUGUNG  5

3  GRUNDBEGRIFFE DER RAUMAKUSTIK  5

3.1  RAUMIMPULSANTWORT  5

3.2  NACHHALL  6

3.3  DIREKTSCHALL  7

3.4  HALLRADIUS  8

3.5  SCHALLABSORPTION  9

3.6  RAUMAKUSTIK  11

3.6.1  GEOMETRISCHE RAUMAKUSTIK  11

4  COMPUTER-SCHALLFELDSIMULATION  13

4.1  SPIEGELQUELLENVERFAHREN  13

4.2  SCHALLTEILCHENVERFAHREN  13

4.3  VERGLEICH HINSICHTLICH DER SIMULATION IN MATLAB  14

5  3D-SIMULATIONSMODELL  15

5.1  BERECHNUNG DER SPIEGELQUELLEN  15

5.2  GRUNDSÄTZLICHER PROGRAMMABLAUF  20

5.3  SICHTBARKEITSTEST  22

5.4  BERECHNUNG DES FREQUENZABHÄNGIGEN REFLEXIONSGRADES  29

5.5  SCHALLDRUCKABNAHME UND FALTUNG MIT WAND  37

5.6  RICHTCHARAKTER SPRACHQUELLE  42

5.7  MEHRERE SCHALLQUELLEN UND MEHRERE SENSOREN  51

5.8  BEWEGUNG DER QUELLE  53

5.9  BEWEGTE UND RUHENDE QUELLEN UND MEHRERE SENSOREN  63

5.10  SNR  64

5.11  REFLEXIONSORDNUNG  68

Inhalt

6  GUI (GRAPHICAL USER INTERFACES)  70

6.1  GUIDE CONTROL PANEL  70

6.2  ZUORDNUNG DER GRAPHISCHEN OBJEKTE IM PROGRAMM  71

7  VERGLEICH UND TEST MIT REALITÄT  74

7.1  EINFACHE BEISPIELE  74

7.1.1  LAUFZEIT  74

7.1.2  TEST DES RICHTCHARAKTERS  79

7.1.3  TEST DER BEWEGUNG  82

7.2  REALE MESSUNG IN EINEM RAUM  84

7.2.1  VERSUCHSBESCHREIBUNG  84

7.2.2  REALE MESSUNG 1  85

7.2.3  REALE MESSUNG 2  90

8  ZUSAMMENFASSUNG  96

9  LITERATUR  97

10  ANHANG  98

  A1 PROZEDURBAUM  98

  A2 LISTE MIT PROGRAMMVARIABLEN  99

  A3 ABSORPTIONSTABELLEN  107

  A4 BEDIENUNGSANLEITUNG  109

  A5 SIMULATIONSPROGRAMM CD  122

Grundlagen der Akustik

1 Einleitung

Eine 3D-Simulation eines Schallfeldes in einem Quaderraum ermöglicht, unter Benutzung mehrerer Mikrofone und entsprechender Auswertung der Mikrofonsignale, die exakte Richtungsbestimmung bzw. Ortung einer Schallquelle. Das Ziel ist es, eine reale 3D-Nachbildung des in einem Quaderraum stattfindenden Schallfeldes zu programmieren.

In dieser Diplomarbeit wird neben akustischen und raumakustischen Grundlagen ein Verfahren zur Berechnung des Schallfeldes in einem Quaderraum dargestellt. Es handelt sich dabei um das sogenannte „Spiegelquellenverfahren“, mit dem durch virtuelle Quellen eine Berechnung des Schallfeldes möglich wird. Es folgt eine Erläuterung der Programmierung der Schallfeldsimulation in MATLAB®, d. h. mit allen zu beachtenden Faktoren, wie z. B. eine Richtcharakteristik einer Quelle. Ein anschließender Vergleich des simulierten Schallfeldes mit einem Schallfeld, das in einem realen Raum gemessen wurde, stellt Übereinstimmungen bzw. Abweichungen dar.

2 Grundlagen der Akustik

2.1 Schall

Unter Schall versteht man mechanische Schwingungen, die Frequenzanteile im Hörbereich, also etwa von 16 Hz–16 kHz enthalten. Solche Schwingungen entstehen, wenn die kleinsten Teilchen eines elastischen Stoffes, seine Moleküle, durch äußere Kräfte aus ihrer Gleichgewichtslage herausbewegt und anschließend sich selbst überlassen werden. Falls die Schwingungen in Luft oder einem anderen Gas erfolgen, spricht man von Luftschall, bei Flüssigkeitsschwingungen von Flüssigkeitsschall und bei Festkörperschwingungen von Körperschall. Im Rahmen der Raumakustik spricht man hauptsächlich von Luftschall, worauf im Folgenden näher eingegangen werden soll.

Der Luftschall ist die uns im Leben am häufigsten begegnende Form des Schalls. Er entsteht durch Anregung von Schwankungen der Luftdichte, wobei Über- und Unterdruck entsteht, der sich örtlich und zeitlich auszugleichen versucht. Schall, der durch periodische Schwingungen entsteht, z. B. durch ein Musikinstrument, wird als Ton oder Klang empfunden [3].

Luftteilchen, die zum Schwingen angeregt worden sind, regen ihrerseits die benachbarten Luftteilchen zum Schwingen an usw. Es tritt dabei eine Folge von Luftteilchenverdichtung und –verdünnung auf, die sich wellenartig ausbreitet [3].

Grundlagen der Akustik

Bei der Schallwelle in Luft findet aber die Hin- und Herbewegung der

Teilchen nur in der Richtung der Ausbreitung statt, was man allgemein als

Längs- oder Longitudinalwelle bezeichnet. Um die auftretenden

Geschwindigkeiten der einzelnen Luftteilchen nicht mit der üblicherweise

als „Schallgeschwindigkeit“ bezeichneten Fortpflanzungsgeschwindigkeit

der Schallwellenbewegung zu verwechseln, hat man dafür die Bezeichnung

„Schallschnelle“ eingeführt.

Die Schallgeschwindigkeit ist von den Eigenschaften des Mediums, in dem

sich der Schall ausbreitet, abhängig. In Luft kann die

Schallgeschwindigkeit berechnet werden durch [4]:

° +

= s m c L / 3 . 331

T...Temperatur in °C

Also bei Raumtemperatur (20°C) etwa 343m/s.

2.2 Schallintensität

Die Schallintensität oder auch Schallstärke beschreibt die pro Zeiteinheit

durch ein Flächenelement hindurchtretende Schallenergie.

~ ~ ⋅

=

v ~ ...Effektivwert der Schallschnelle

Somit charakterisiert die Schallintensität im Wesentlichen den

Energieinhalt eines Schallfeldes.

2.3 Schallfeld

Als Schallfeld bezeichnet man einen mit Materie (z. B. mit Luft) erfüllten

Raum, in dem sich Schall ausbreitet. Man benutzt zur quantitativen

Beschreibung eines Schallfeldes i. Allg. die örtliche und zeitliche

Verteilung des Schalldrucks p oder der Schallschnelle v [3].

Um dem menschlichen Lautstärkeempfinden besser nachzukommen, wird in

der Akustik üblicherweise mit dem absoluten Schalldruckpegel gearbeitet.

- 3 -

Grundlagen der Akustik

Dieser entspricht dem 20-fachen logarithmierten Verhältnis des Schalldrucks.

Der Bezugsschalldruck für die Definition des Schalldruckpegels beträgt 20uN/m². Dabei handelt es sich um [3]:

~

⋅ =

/ 10 2 m N p

...Effektivwert Bezugsschalldruck

0

2.4 Streuung und Reflexion

Treffen Schallwellen auf ein großes, ebenes oder beinahe ebenes Hindernis (also ein Hindernis, dessen Krümmungsradius wesentlich größer als die Wellenlänge ist), dann werden die Schallwellen ähnlich wie bei der Reflexion eines Lichtstrahls, der auf einen Spiegel fällt, so reflektiert, dass der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel ist (siehe Bild 2-1).

Bild 2-1 Reflexion von Schallwellen an einer Reflexionsfläche

Wenn das Hindernis klein ist, d. h., wenn die Wellenlänge ungefähr gleich oder größer ist als die Reflexionsfläche, so kommt es zu einer Streuung der Reflexion (diffuse Reflexion, siehe Bild 2-2) [3].

- 4 -

Grundlagen der Akustik

einfallende Welle

Reflexionsfläche

Bild 2-2 Diffuse Reflexion

2.5 Beugung

Trifft eine Schallwelle auf ein Hindernis, welches relativ groß ist, so kann eine Schattenwirkung beobachtet werden. Das Gleiche gilt für eine Wand, die eine Öffnung besitzt, durch die der Schall hindurchtreten kann. Wie aus der Optik bekannt, wirft jeder lichtundurchlässige Gegenstand, der im Strahlengang einer Lichtquelle steht, einen seinen Umrissen entsprechenden Schatten. Schattenwirkungen gibt es bei Schallwellen nicht immer. Hindernisse, die man dem Licht entgegenstellt, sind im Gegensatz zur Akustik sehr viel größer als die Lichtwellenlänge. Einem Frequenzbereich von 100 Hz bis 10 kHz entspricht beim Luftschall ein Wellenlängenbereich von etwa 3 m bis 3 cm.

Das ist aber genau der Größenordungsbereich, in dem auch die Abmessungen der meisten Gegenstände unserer Umgebung liegen. In diesem Falle wird die Wellenausbreitung durch die Gesetze der Beugung bestimmt[3].

3 Grundbegriffe der Raumakustik

3.1 Raumimpulsantwort

Werden in einem geschlossenen Raum Schallwellen von einer Schallquelle ausgesendet, so treffen diese bald auf Wände, Decke und Boden. Dort werden sie als Schallreflexion zurückgeworfen. Die Rückwürfe treffen wieder und wieder auf die Raumbegrenzungen. Dabei erhöht sich die zeitliche Dichte der Rückwürfe, die an einem Ort im Raum, z. B. Mikrofon, eintreffen, immer mehr (siehe Bild 3-1).

- 5 -

Grundlagen der Raumakustik

Zeit

Bild 3-1 Raumimpulsantwort, Zeitfolge der Rückwürfe in einem Rechteckraum

Die ersten Reflexionen werden als Echo wahrgenommen. Nach den ersten Reflexionen folgt der Nachhall, der die zeitlich sehr dichten Reflexionen beschreibt (siehe Bild 3-1).

3.2 Nachhall

Hall setzt sich aus einer großen Anzahl von Reflexionen zusammen, die um so schwächer werden und um so dichter aufeinander folgen, je später nach dem Direktschall sie beim Mikrofon eintreffen. Die Nachhallzeit ist das wichtigste Merkmal des Nachhalls. Sie ist definiert als diejenige Zeit, innerhalb derer nach Ende der Schallaussendung der Schallpegel um 60 dB abfällt. Die Nachhallzeit lässt sich aus der Geometrie des Raumes und den absorbierenden Teilflächen des Raumes angeben [3], [1]:

⋅

=

T

T...Nachhallzeit in s

V...Volumen in m 3 A k ...Teilflächen in m 2 A...Gesamtfläche in m 2 α k ...Schallabsorptionsgrad der Teilfläche A k

- 6 -

Grundlagen der Raumakustik

3.3 Direktschall

Der Direktschall wird auf dem Weg von einer Schallquelle zu einem Mikrofon in seinem Pegel gedämpft. Den größten Einfluss hat dabei die geometrische Ausbreitungsdämpfung. Also mit zunehmender Entfernung von der Schallquelle nimmt der Pegel ab. Es kommt aber auch zu einer Dämpfung durch die Luft, abhängig von ihrer Feuchtigkeit und Temperatur. Bei Schallquellen, die klein gegenüber der Wellenlänge des abgestrahlten Schalls sind, verteilt sich die Schallenergie auf Kugelschalen, deren Oberfläche mit Entfernung von der Quelle sehr groß wird. Damit muss sich die Schallenergie großflächig verteilen und es kommt zu einer Abschwächung des Schalldrucks. Auf jede Verdopplung der Entfernung halbiert sich der Schalldruck. Also nimmt der Schalldruck mit 1/r von der Quelle ab (Bild 3-2).

Abnahme des Schallpegels mit 1/r

r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 r r ( R a d i u s )

-6

-12

-18

Schalldruck

in dB

Bild 3-2 Geometrische Ausbreitungsdämpfung

Allgemein steigt die Ausbreitungsdämpfung durch Luft, die zur geometrischen Ausbreitungsdämpfung hinzukommt, mit der Frequenz an. Im mittleren Bereich nimmt die Dämpfung mit zunehmender relativer Luftfeuchtigkeit ab, ebenso mit steigender Temperatur. Kalte, trockene Luft hat bei hohen Frequenzen eine höhere Absorption als warme, feuchte Luft. Die Änderungen sind aber im Allgemeinen gering. Bei der heute üblichen Klimatisierung von Räumen sind die Einflüsse ohne praktische Bedeutung [4].

- 7 -

Grundlagen der Raumakustik

3.4 Hallradius

Der Hallradius ist ein wichtiges Kriterium für den Mikrofonabstand, da im Allgemeinen der Direktschall der Schallquelle von Bedeutung ist. Schall erreicht einerseits von der Schallquelle aus als Direktschall einen Hörer bzw. ein Mikrofon, andererseits treten in einem Raum nach dem Direktschall die Reflexionen auf. Die Reflexionen kommen dabei aus allen Richtungen und werden somit als Diffusschall bezeichnet. Der Direktschall nimmt mit Entfernung von der Schallquelle mit 1/r ab. Hingegen ist der Diffusschall über den ganzen Raum verteilt. Somit verändert sich das Verhältnis von Direkt- zu Diffusschall mit dem Abstand von der Schallquelle.

Der Hallradius (Bild 3-3) gibt an, an welchen Orten im Raum der Direktschall und der Diffusschall genau gleich groß sind.

r H

r H ...Hallradius in m

T 6 0 ...Nachhallzeit in s V...Volumen in m 3

Schallpegel

Bild 3-3 Hallradius

Im Allgemeinen sollten also Mikrofone innerhalb des Hallradius aufgestellt

werden.

In der Praxis lässt sich der Hallradius jedoch nur schwer abschätzen [5].

- 8 -

Grundlagen der Raumakustik

3.5 Schallabsorption

Unter Schallabsorption wird die Umwandlung von Schallenergie in Wärmeenergie (Schallschluckung) beim Auftreffen des Schalls auf Raumbegrenzungen verstanden. Schallabsorption wird in der Praxis oft verwechselt mit der Schalldämmung. Die Schalldämmung beschreibt die Behinderung der Schallausbreitung durch schallreflektierende Hindernisse, also durch Reflexion.

Zur Charakterisierung der Schallabsorption dient meistens der Absorptionsgrad:

− J J Energie e absorbiert _

α

=

α...Schallabsorptionsgrad

J e ...einfallende Schallintensität J r ...reflektierte Schallintensität

Absorptionsgrad 1 bedeutet also, dass kein Schall reflektiert wird. Hingegen bedeutet Absorptionsgrad 0 totale Reflexion [3]. Die Wirkungsweise von Absorbern ist stark frequenzabhängig. Es gibt keinen Universalabsorber, der in allen Frequenzbereichen in gleicher Weise wirksam ist. Dieses wird durch die Unterschiede zwischen den Wellenlängen tiefer Töne und hoher Töne hervorgerufen. In der Praxis unterscheidet man so genannte Höhen-, Tiefen- und Mittenabsorber. Höhenabsorber wirken im höheren Frequenzbereich von ca. 500 bis 1000 Hz an aufwärts (Bild 3-4).

Absorptionsgrad

1

0,5

Bild 3-4 Höhenabsorber

Höhenabsorber sind immer poröse Materialien, wie z. B. Filze- und Mineralfaser.

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Grundlagen der Raumakustik

Die Absorption geschieht dadurch, dass die schwingenden Luftteilchen in ihrer Bewegungsgeschwindigkeit (Schnelle) gebremst werden. Tiefenabsorber sind im Frequenzbereich unter 300 bis 500 Hz wirksam (Bild 3-5).

Absorptionsgrad

1

0,5

Bild 3-5 Tiefenabsorber

Diese Absorber bestehen meist aus Helmholz-Resonatoren oder aus mitschwingenden Platten, z. B. Holzverkleidungen. Die so genannten Mittenabsorber wirken vor allem zwischen 300 und 1000Hz (Bild 3-6).

Absorptionsgrad

1

0,5

Bild 3-6 Mittenabsorber

Mittenabsorber bestehen aus einer Kombination aus porösen Absorbern mit Tiefenabsorber, z. B. aus einer porösen Schicht mit perforierter Abdeckung.

- 10 -

Grundlagen der Raumakustik

3.6 Raumakustik

Die Raumakustik lässt sich im Prinzip in 3 Teilbereiche gliedern: in die Wellentheoretische Raumakustik, die Geometrische Raumakustik und die Statistische Raumakustik. Es soll hier nur auf die Geometrische Raumakustik eingegangen werden, weil das 3D-Simulationsprogramm in MATLAB® auf diesem Prinzip beruht.

3.6.1 Geometrische Raumakustik

Die Geometrische Raumakustik geht von einer strahlenförmigen Schallausbreitung aus. Dabei werden die Gesetze der Optik angewandt. Die Gesetze der Optik sind dann anwendbar, wenn es sich um große und glatte Reflexionsflächen handelt, d. h., ihre Gesamtabmessungen müssen groß, die Rauigkeiten müssen klein im Verhältnis zur Wellenlänge sein. Da mit jeder Reflexion das Beobachten der Schallstrahlen komplexer wird, beschränkt man sich auf die Zeit unmittelbar nach der Schallabstrahlung, d.h. Direktschall und erste Reflexionen.

Die Strahlverfolgung und die Positionsbestimmung der Spiegelquellen passiert in einfachster Weise auf dem Papier. Denkt man sich eine Schallquelle, die einen Impuls aussendet, und in einem bestimmten Abstand dazu eine Wand, so gehen zunächst die Schallstrahlen von der Schallquelle geradlinig ab. Die Wellenfront bildet dabei in der zweidimensionalen Darstellung einen Kreis (Bild 3-7), dessen Radius sich mit fortschreitender Zeit vergrößert. Trifft die Welle auf die Wand, so gilt: Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel. Die rückwärtigen Verlängerungen der Strahlen müssen sich alle in einem Punkt schneiden, dessen Abstand von der Wand gleich dem des ursprünglichen Sendepunktes ist. Dieser Punkt wird als Spiegelquelle, genauer gesagt in diesem Fall als Spiegelquelle 1.Ordung bezeichnet. Er wirkt nun als neue Schallquelle, sendet also Schallstrahlen ab, die gesamte Wellenfront besteht nun aus der Überlagerung von zwei Kreisbögen.

Bild 3-7: Spiegelung an einer ebenen W and[1]

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Grundlagen der Raumakustik

Geht man davon aus, dass es noch eine zweite Spiegelwand gibt (z. B. zwei parallele Wände), so entstehen Spiegelquellen höherer Ordnung. Die Quelle erzeugt in diesem Fall zwei Spiegelquellen 1. Ordnung, eine an der linken Wand und eine an der rechten Wand (siehe Bild 3-8).

Bild 3-8 Spiegelung an zwei parallelen W änden[1]

Die linke Spiegelquelle 1. Ordnung wird in weiterer Folge an der rechten Wand gespiegelt, die rechte Spiegelquelle 1. Ordnung an der linken Wand. Diese erzeugt also Spiegelquellen 2. Ordnung. Fährt man analog fort, so erhält man die Spiegelquellen dritter und höherer Ordnung. Es sind quasi unendlich viele solcher scheinbarer Sender möglich. Im praktischen Fall wird jedoch jeder Strahl bei der Reflexion durch den der Wand eigenen Absorptionsgrad gedämpft und nimmt daher in der Amplitude ab. Nach einer gewissen Anzahl an Reflexionen wird der Schallstrahl in seiner Amplitude so gedämpft, dass er nicht mehr von Bedeutung ist [1].

Computer-Schallfeldsimulation

4 Computer-Schallfeldsimulation

Auf Basis eines dreidimensionalen Raummodells haben sich bis heute zwei Verfahren zur Schallfeldsimulation durchgesetzt: zum einen das Spiegelquellenverfahren und zum anderen das Schallteilchenverfahren [2].

4.1 Spiegelquellenverfahren

Das Spiegelquellenverfahren (cone tracing) basiert auf der in Abschnitt 3.6.1 beschriebenen Geometrischen Raumakustik. Mit dem Spiegelschallquellenverfahren entstehen virtuelle Schallquellen, indem man durch Spiegelung der Schallquelle an den Wänden alle möglichen Reflexionen nachempfindet.

Die Anzahl der Spiegelquellen N S S Q , die zur Berechnung der Raumimpulsantwort eines Raumes mit x Reflexionsflächen benötigt werden, berechnet sich folgendermaßen [7]:

[ ]

−

1 n

∑

⋅ =

x x N

(

SSQ

−

2 x

=

0 k

Beispiel: Somit folgt für einfache Reflexion (n=1) und 6 Wände eine Anzahl von 6 Spiegelquellen. Bei n=2 folgt eine Anzahl von 36, bei n=6 folgt eine Anzahl von 23436 Spiegelquellen usw. Es ist aus der Gl. (4.1) zu erkennen, dass die Anzahl der erzeugten Spiegelquellen mit großem n sehr stark steigt.

4.2 Schallteilchenverfahren

Eine weitere Methode ist das Schallteilchenverfahren (particle tracing), was als eine rein statistische Methode einige 100.000 Schallpartikel mit einem bestimmten räumlichen Impuls von der Schallquelle aussendet. Während die Partikel an den Wänden reflektiert werden, wird der Energieverlust der einzelnen Partikel anhand von zurückgelegter Strecke und Absorptionsgrad der Wände berechnet. Unterschreitet ein Partikel ein vorher bestimmtes Energieniveau, wird der weitere Weg nicht mehr verfolgt. In einem Raum werden über so genannte kubische Detektoren an allen möglichen Hörerstandpunkten die Einfallswinkel und das Energieniveau der einzelnen Partikel erfasst, die dann jeweils einer Statistik zugeordnet werden.

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Computer-Schallfeldsimulation

Weiterhin kann man jedem Teilchen ein bestimmtes Frequenzband zuordnen, sodass auch die spektrale Absorptionscharakteristik des Raumes nachgebildet werden kann.

Beim Schallteilchenverfahren hängt der Rechenaufwand von der Anzahl der Partikel und der Detektoren ab, wobei die Leistung dieses Verfahrens zusätzlich durch Kollisionserkennungsalgorithmen begrenzt wird, die sehr rechenintensiv sind. Diese unterscheiden, ob ein Teilchen an einer Wand reflektiert wird oder ob es auf einen Detektor trifft [2].

4.3 Vergleich hinsichtlich der Simulation in MATLAB®

Ein Vergleich der beiden Verfahren zeigt auf, dass beim

Schallteilchenverfahren der Rechenaufwand nicht durch die Reflexionstiefe, sondern im Wesentlichen durch die Anzahl der Schallpartikel und die Anzahl der Detektoren bestimmt wird. Mit zunehmender Partikel- und Detektorzahl wird das Verfahren zwar genauer, es wächst aber im gleichen Maße der Rechenaufwand. Somit bietet es den Vorteil, dass es im Vergleich zum Spiegelquellenverfahren eine effizientere Berechnung höherer Reflexionsordnungen ermöglicht. Ebenso ist es möglich im Schallteilchenverfahren zusätzlich diffuse Reflexionen, d. h., wenn eine Schallwelle auf eine Wand trifft und von dort in verschiedene Richtungen gestreut wird, mit einzubeziehen. Der Einsatz des Spiegelquellenverfahrens hingegen ist besonders geeignet für quaderförmige Räume mit einer niedrigen Ordnung der Reflexionstiefe. Der Rechenaufwand steigt zwar exponentiell an, mit

tiefe Reflexions

Wände ~ Aufwand

,da aber beim Schallteilchenverfahren mit einigen 100.000 Partikeln gearbeitet wird, ist der Aufwand somit für niedrige Reflexionsordnungen geringer. Ein weiterer Vorteil des Spiegelquellenverfahrens ist die Berechnung in Quaderräumen, weil dort ein relativ einfaches Bildungsgesetz für die Spiegelquellen (siehe Abschnitt 5.2) existiert. Ebenso fällt ein so genannter „Sichtbarkeitstest“ (siehe Abschnitt 5.3) , mit dem überprüft wird, ob eine Spiegelquelle im Raum sichtbar ist, nicht zu aufwendig aus.

Ein Vergleich hinsichtlich der Programmierung in MATLAB® führt somit zum Spiegelquellenverfahren, da es sich bei der Simulation um einen quaderförmigen Raum handelt.

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3D- Simulationsprogramm

5 3D-Simulationsmodell

Das Simulationsmodell sollte, zwecks eventueller Veränderungen, eine hohe Flexibilität aufweisen. Dieses wurde durch einen modularen Aufbau erreicht. Nach dem Modell der geometrischen Raumakustik, also nach dem Spiegelquellenprinzip, werden Reflexionen bis zur 6. Ordnung berücksichtigt. Wie das Simulationsprogramm im Detail funktioniert, soll in den folgenden Kapiteln erläutert werden.

5.1 Berechnung der Spiegelquellen

Als Erstes müssen die Spiegelquellen für den gegebenen Raum konstruiert werden, indem die Originalquelle an allen Wandebenen gespiegelt wird. Die so entstandenen Spiegelquellen müssen ebenfalls an allen Wandebenen gespiegelt werden (siehe Bild 5-1). Die dadurch entstehenden Quellen repräsentieren Strahlen, die mehrere Wände getroffen haben, unter Berücksichtigung aller möglichen Permutationen der Reihenfolge der Wände. Eine aufeinander folgende Spiegelung an ein und derselben Wand ist von vornherein auszuschließen (siehe Bild 5-2) [7], d. h. die blaue Spiegelquelle in Bild 5-2 erzeugt mit jeder Wand die rosa Spiegelquellen 2. Ordnung außer mit der Wand, aus welcher sie selber erzeugt wurde.

Bild 5-1 Spiegelquellen bis 2. Ordnung im 2D-Raum

3D- Simulationsprogramm

Spiegelquelle 2. Ordnung

Bild 5-2 Ausschluss von Spiegelung an ein und derselben W and

Diese Erzeugung der Spiegelquellen ist bis zu einer vorher definierten höchsten Ordnung fortzuführen. Somit repräsentiert z. B. eine Spiegelquelle 4. Ordnung einen Schallstrahl, der vier Wandreflexionen erfahren hat.

Wie schon erläutert, gestaltet sich die Berechnung der Spiegelschallquellen in rechteckigen Räumen (Quader) relativ einfach, weil dort die Spiegelquellen gleichmäßig angeordnet sind. Bild 5-3 und Bild 5-4 zeigen die Anordnung der Spiegelschallquellen bis 2. Ordnung in zweidimensionaler und dreidimensionaler Ansicht.

Bild 5-3 Spiegelquellen bis 2. Ordnung in 2D-Darstellung

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3D- Simulationsprogramm

Bild 5-4 Spiegelquellen bis 2. Ordnung im 3D-Raum

In Räumen, deren Form nicht rechteckig ist, ist die Berechnung sehr viel

komplizierter und mit viel größerem Aufwand verbunden.

Die Berechnung der Spiegelschallquellen innerhalb des 3D-

Simulationsprogramms kann nach den aus der Analytischen Vektorrechnung

bekannten Rechenformeln gelöst werden.

Beispiel: Gegeben sei eine reflektierende Wand und eine Schallquelle

(Bild 5-5).

y

0 n x

rQ,rS,r1,n Vektoren

Bild 5-5 Spiegelung eines Punktes mit einer Ebene

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3D- Simulationsprogramm

Wie bereits erläutert, befindet sich die Spiegelschallquelle im selben

Abstand von der Wand entfernt wie die Schallquelle, jedoch auf der

gegenüberliegenden Seite.

Als Erstes kann der Abstand von der Schallquelle (Punkt) zur Wand

(Ebene) bestimmt werden. Mit Hilfe einer Formel aus der Vektorrechnung:

[6]:

r r r

− ⋅

d

d....Abstand Quelle zur Wand

1

2

berechnet, so ist durch Bestimmung des Ortvektors von S

(Bild 5-5) die Spiegelquellenposition leicht zu berechnen:

r r

v

⋅ ⋅ + =

r

Lösung im Quelltext (spiegelquellen3d.m/main3d.m):

Bild 5-6 Programmausschnitt / Berechung der Spiegelquellen

stehender Vektor n (Gibt hier die

Richtung vor, in der sich die W and zum Ursprung befindet).

Ortsvektor : Er führt vom Koordinatenursprung 0 zum jeweiligen Punkt

3D- Simulationsprogramm

Das Ergebnis beinhaltet auch ungültige nicht sichtbare Spiegelschallquellen (siehe Abschnitt 5.3). Die Menge der zur Berechnung tatsächlich benötigten Spiegelschallquellen stellt im Allgemeinen nur einen kleinen Teil der Gesamtmenge dar. In Bild 5-7 und Bild 5-8 sind als Beispiel Spiegelquellen bis zur 5. Ordnung zu erkennen.

Bild 5-7 Spiegelquellen bis 5. Ordnung in 2D-Darstellung

Bild 5-8 Spiegelquellen bis 5. Ordnung in 3D-Darstellung

3D- Simulationsprogramm

blau... Spiegelquellen 1.Ordung, rosa.... Spiegelquellen 2.Ordnung, grün...

Spiegelquellen 3.Ordnung, cyan....Spiegelquellen 4.Ordnung,

schwarz...Spiegelquellen 5.Ordnung.

5.2 Grundsätzlicher Programmablauf

Das Ziel der Spiegelquellenberechnung ist letztendlich das Finden der

Impulsantwort. Dazu wird angenommen, dass eine Schallquelle einen

Impuls aussendet und dessen weiterer „Spiegelweg“ im Raum verfolgt wird

(siehe Bild 5-9).

Spiegelquelle

0 hinten x

Bild 5-9 Spiegelweg

Der Schalldruck in einer bestimmten Entfernung zur Schallquelle berechnet sich aus dem Modell eines Kugelstrahlers (siehe Abschnitt 5.5), d.h., der Schalldruck nimmt mit der Entfernung zur Schallquelle mit 1/Radius ab. Der Zeitpunkt, zu dem ein Impuls am Sensor eintrifft, berechnet sich aus der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit/Schallgeschwindigkeit c und dem Radius r von der jeweiligen Quelle bzw. Spiegelquelle zur Sensorposition:

m r

=

Zusätzlich wird der Impuls aber noch durch die Wandeigenschaften beeinflusst, es findet eine Absorption statt (siehe Abschnitt 5.4). Sind die Impulse für alle Spiegelquellen berechnet, können sie zu den passenden Zeitpunkten platziert werden.

3D- Simulationsprogramm

Die Platzierung wird im Simulationsprogramm durch Addition aller

Impulse der Spiegelquellen durchgeführt (siehe Bild 5-10). Da die Signale

in MATLAB® die gleiche Länge aufweisen müssen, um diese addieren zu

können, werden sie mit Nullen erweitert. Also besteht das jeweilige zu

addierende Signal (in diesem Beispiel ein Impuls) aus einer Laufzeit, aus

dem Signal selbst und zum Schluss eventuell aus zusätzlichen Nullen (Bild

5-10).

Lösung im Quelltext (bewschritte.m)

Bild 5-10 Programmbeispiel / Addition zum Gesamtsignal

Beispiel: Addition der Impulse von den Spiegelquellen 1.Ordung

In Bild 5-11 ist ein Quaderraum zu erkennen, mit einer Quelle und 6

erzeugten Spiegelquellen (blaue Kreise) und einem Sensor.

3D- Simulationsprogramm

Bild 5-11 Beispiel

Sendet die Originalquelle nun einen Impuls aus, so wird der Impuls an jeder Wand gespiegelt und man erhält ein Sensorsignal, wie in Bild 5-12 gezeigt.

Bild 5-12 Addition der Schallreflexionen

Der erste Impuls stellt den Direktschall dar, die weiteren Impulse entsprechen den Reflexionen an den jeweiligen Wänden.

5.3 Sichtbarkeitstest

Sind nun die Spiegelquellen alle erzeugt, ist für jeden Empfangspunkt (Sensorposition) zu überprüfen, ob eine formal existierende Spiegelquelle „hörbar“ ist, d. h., ob ihr ein sinnvoller Strahlengang überhaupt zugeordnet werden kann [7].

Einige Spiegelquellen sind schon bei der Bestimmung von dem Abstand der Schallquelle (Punkt) zur Wand (Ebene), anhand der Gl. (5.1), als ungültig anzusehen, wenn das Ergebnis negativ ist. Ein negatives Ergebnis führt zu falschen Ergebnissen (siehe Bild 5-13).