Modellbildung und Simulation einer Pipeline und Entwurf einer Lecküberwachung

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  3

2  Strömungslehre  7

2.1  Grundbegriffe der Strömungslehre  7

2.1.1  Stromlinienmodell  7

2.1.2  Kontinuität  8

2.2  Reibungsfreie (ideale) Fluide  9

2.2.1  Bernoulli-Gleichung  9

2.3  Reibungsbehaftete Strömungen  11

2.3.1  Innere Reibung und Viskosität  12

2.3.2  Reynolds-Zahl  13

2.3.3  Geschwindigkeitsprofile von Rohrströmungen  14

3  Mathematisch-physikalisches Modell  19

3.1  Erhaltungssätze  19

3.1.1  Impulserhaltung  19

3.1.2  Masseerhaltung  22

3.1.3  Energieerhaltung  23

3.2  Anwendung der Erhaltungssätze auf Rohrströmung  24

3.3  Modellgleichungen  27

3.3.1  Herleitung aus den Erhaltungssätzen  27

3.3.2  Analyse der Modellgleichungen  28

3.4  Numerische Lösung  33

3.4.1  Anwendung des Charakteristikenverfahrens  34

3.4.2  Bestimmtheitsgebiete und Randbedingungen  36

3.4.3  Lösungsalgorithmus für MATLAB  37

3.4.4  Beispiel einer Modellpipeline  39

3.5  Parameterschätzung des Reibungsbeiwertes  44

3.6  Simulation des leckfreien Pipeline-Betriebs  46

4  Leckage-Fall  53

4.1  Leckmodell  53

4.2  Leckerkennung und Leckflussschätzung  57

4.2.1  Dynamische Massenbilanz  57

4.2.2  Kreuzkorrelationsverfahren  58

4.2.3  Modifiziertes Kreuzkorrelationsverfahren  59

4.3  Leckortung  60

4.4  Simulation  63

4.4.1  Leckmodell  63

4.4.2  Leckerkennung und Leckflussschätzung  66

4.4.3  Leckortung  69

5  Zusammenfassung  75

Anhang MATLAB  Quellcodes  77

  Abkürzungsverzeichnis  89

  Literaturverzeichnis  93

1 Einleitung

Bei modernen Anlagen und Apparaten treten überwachungstechnische Aspekte mehr und mehr in den Vordergrund. Das Ziel ist nicht mehr nur die Entwicklung funktionierender und zuverlässig arbeitender Systeme, sondern immer häufiger auch die Implementierung einer raschen und verlässlichen Fehlererkennung und Auswertung. Nur dadurch ist gewährleistet mögliche Verluste im Fehlerfall – durch zu langen Funktionsausfall oder etwaige Folgeschä- den – gering zu halten.

Als Beispiel genügt bereits ein kurzer Blick auf die Veränderungen in der Kraftfahrzeugtech- nik. Immer komplexere Aggregate und Fahrzeugsysteme erfordern eine genauso komplexe Überwachung. Beschränken sich in älteren Fahrzeugen Warnsysteme meist nur auf Öltempe- ratur und -druck, so finden sich bei modernen Kraftfahrzeugen eine Vielzahl von Warn- und Fehleranzeigen. Aufgetretene Fehler werden gar zusammen mit verschiedenen Parametern wie Geschwindigkeit und Drehzahl in einem Fehlerspeicher abgelegt und können zur Analyse mit Computern (Bild 1.1) ausgelesen werden. Bei schwerwiegenden Fehlern im Fahrbetrieb aktiviert eine Steuereinheit ein so genanntes Notlaufprogramm und schützt den Motor so vor Beschädigung.

Bild 1.1: Kraftfahrzeug-Diagnosegerät KTS650 (Bosch)

Besonders wichtig ist eine automatisierte Fehlererkennung bei Systemen, die weitgehend au- tark – also ohne bedienendes Personal vor Ort – arbeiten. Solche Systeme können weit abge- legen sein und von einer Zentralen Schaltwarte kontrolliert und gesteuert werden. Im Fehler- fall ist hier ein schnelles Eingreifen – gegebenenfalls über Fernleittechnik – entscheidend, um größere Schäden zu verhindern.

Solch ein weitgehend autark arbeitendes System stellt auch eine Pipeline dar (Bild 1.2). Hier werden über weite Strecken – häufig gar über hunderte von Kilometern hinweg in abgelege- nen Gebieten – verschiedenste Stoffe transportiert.

4 1 Einleitung

Solche Pipelinesysteme sind heute aus Industrie und Wirtschaft kaum noch wegzudenken. Bei abgelegenen Rohstoffförderanlagen bieten Pipelines eine Möglichkeit des günstigen Trans- ports zu Verlade- oder Verarbeitungsstätten. In großflächigen und trockenen Gebieten dienen sie zum Trinkwassertransport von Entsalzungsanlagen oder abgelegenen Brunnen hin zu Zwi- schenspeichern; sogar unter Wasser in Meeren und Ozeanen werden Pipelines eingesetzt. Hier transportieren sie Erdgas oder Rohöl von Offshore-Förderanlagen zum Festland.

Ganze Pipelinenetze kommen zur Anwendung, wenn kleinere Brunnen oder Förderanlagen miteinander zu verbinden sind um folgende größere Pipelines zu nutzen. Auch hier handelt es sich meist um Anlagen, die nur mit wenig oder ganz ohne Bedienpersonal arbeiten.

Bei einer Pipeline ist eine einwandfreie Funktion von hoher Wichtigkeit. Kommt es hier zu einem Leck, das möglicherweise gewisse Zeit unentdeckt bleibt, so ist immer mit einem ho- hen Schaden zu rechnen. Austretendes Rohöl oder andere chemische Stoffe führen innerhalb kürzester Zeit zu einer starken Verschmutzung der direkten Umwelt und ziehen hohe Kosten für die Dekontaminierung des betroffenen Bodens nach sich. Im Meer ist ein möglicher Scha- den an einer Pipeline ebenfalls mit schweren Folgen für die in dem Bereich befindliche Tier- und Pflanzenwelt verbunden. Selbst wenn es sich lediglich um eine Trinkwasserpipeline han-

1 Einleitung 5

delt, ist die schnelle Erkennung eines Fehlers wichtig. Gerade in trockenen Gebieten ist Trinkwasser ein wichtiger und teurer Rohstoff.

Die Entwicklung einer Möglichkeit zur Überwachung solcher Pipelines mit Hilfe von Fern- leittechnik ist langfristiges Ziel der Behandlung dieses Themenkomplexes. Vor dem Entwurf eines Überwachungssystems für Pipelines oder ganze Pipelinesysteme gilt es jedoch die strö- mungstechnischen Vorgänge in einer Rohrleitung hinreichend genau zu untersuchen und zu verstehen. Eine grundlegende Einführung in den Komplex der Strömungsmechanik gibt hier- zu Kapitel 2.

Wie bei jedem Systementwurf muss zur Beschreibung der Vorgänge zuerst eine genaue ma- thematische Modellbildung erfolgen. Dies ist Ziel des Kapitels 3 dieser Arbeit und wird dort vorgenommen. Besonderer Wert wird bei der Modellbildung auf die Beschränkung der zur Verfügung stehenden Parameter gelegt. So ist es das Ziel, lediglich mit den zur Verfügung stehenden Druck- und Durchflussmesswerten von Anfangs- und Endpunkt, sowie den gege- benen Parametern der Pipeline und des Fluids das Druck- und Durchflussverhalten der Pipeli- ne über die gesamte Länge zu berechnen. Dazu muss zunächst ein geeignetes Lösungsverfah- ren für die Modellgleichungen gefunden und in MATLAB implementiert werden. Außerdem wird ein Verfahren benötigt, dass während des Pipeline-Betriebes Modellparameter kalibriert. Im Abschnitt 3.4.4 wird eine Modell-Trinkwasserpipeline eingeführt, die für alle folgenden Simulationen als Beispiel dient.

Während in Kapitel 3 der Normalbetrieb der Pipeline behandelt wird, widmet sich Kapitel 4 mit dem Störfall, dem Auftreten eines Lecks. Zuerst müssen die Auswirkungen einen Lecks auf die Pipeline und auf das Modell theoretisch untersucht werden. Im Störfall müssen dann zwei Phasen ablaufen, die Fehlererkennung und die Fehlerdiagnose. Auftretende Lecks müs- sen so schnell wie möglich erkannt werden ohne Fehlalarme zu produzieren. Auch kleine Lecks, also solche, die unter der Messgenauigkeit der Sensoren liegen, dürfen nicht unerkannt bleiben. Zur Fehlerdiagnose gehören die Leckflussschätzung und die möglichst genaue Leck- ortung um Gegenmaßnahmen einleiten zu können. Für beide Phasen der Fehlerbehandlung werden Verfahren hergeleitet, vorgestellt und durch Simulationen überprüft. Alle diese Ver-

6 1 Einleitung

fahren beruhen auf dem transiente Pipeline-Modell. Andere Verfahren (z.B. Druckfallverfah- ren, Line Balancing, Auswertung der Druckwellen beim Leckauftritt) werden in dieser Arbeit nicht behandelt.

Die auskommentierten Programmcodes befinden sich abschließend im Anhang.

2 Strömungslehre

In diesem Kapitel wird eine Basis für alle weitergehenden Betrachtungen gebildet und ein Grundwissen über das Themengebiet vermittelt. Alle späteren Vertiefungen stützen sich auf die folgenden Grundsätze.

2.1 Grundbegriffe der Strömungslehre

Während bei festen Körpern die Atome fest aneinander gebunden sind, sind sie bei Flüssig- keiten (Fluiden) frei verschiebbar und können so ihren Ort mit dem der Nachbaratome vertau- schen. Fluide haben daher ein bestimmtes Volumen, aber keine bestimmte Form. Bei einer exakten Betrachtung von strömenden Fluiden ist jedes einzelne Atom einzubeziehen, was mit vertretbarem Aufwand nicht möglich ist. Aus diesem Grund müssen für ein mathematisch beschreibbares Modell Vereinfachungen getroffen werden.

Eine Möglichkeit zur Beschreibung strömender Fluide stellt das im Folgenden beschriebene Stromlinienmodell dar.

2.1.1 Stromlinienmodell

Strömungen, bei denen alle Geschwindigkeiten überall nach Betrag und Richtung zeitlich konstant sind, heißen stationär. Das Stromlinienmodell erlaubt eine einfache Visualisierung r durch die von Strömungsvorgängen. Dabei wird die Richtung des Geschwindigkeitsvektors v

r durch die Dichte der Tangente an einer Stromlinie definiert, während der Betrag von v Stromlinien angegeben wird. Da es in einer Strömung unendlich viele Stromlinien gibt, wird nur ein Teil der Stromlinien zur Darstellung verwendet. Ein ausgewähltes Stromlinienbündel bildet dann eine Stromröhre (Bild 2.1) und die darin befindliche Flüssigkeit heißt Stromfaden.

8 2 Strömungslehre

Bild 2.1: Stromlinienbild einer stationären Strömung

In der Strömungslehre unterscheidet man zwei Arten von Strömungen: Kreuzen sich die

Stromlinien einer Strömung nicht, spricht man von einer laminaren Strömung. Praktisch be-

deutet dies, dass keine Verwirbelung des Fluids stattfindet. Im Gegensatz dazu heißt eine

verwirbelte Strömung turbulent. Unter welchen Bedingungen sich laminare oder turbulente

Strömungen ausbilden, wird im Abschnitt 2.3.2 behandelt. Vorerst werden laminare Strömun-

gen betrachtet.

2.1.2 Kontinuität

Laut Definition des Stromlinienmodells tritt durch die Wände einer Stromröhre weder Flüs-

sigkeit ein noch aus. Der Massestrom dm/dt durch die Stromröhre ist demnach konstant:

d m

= = . (2.1) const. m &

d t

Mit der Dichte ρ als das Verhältnis der Masse m eines Fluids zu seinem Volumen V gilt:

d d V s

ρ ρ ρ = = = = . const. m A A v (2.2) &

d d t t

Geht man von einem inkompressiblen Fluid aus, bleibt die Dichte konstant und damit auch

der Volumenstrom dV/dt:

d d V s

= = = const. A Av . (2.3)

d d t t

2.2 Reibungsfreie (ideale) Fluide 9

Diese Kontinuitätsgleichung lässt unter den genannten Einschränkungen folgende Schlüsse zu [4]: Wenn die Geschwindigkeit entlang einer Stromlinie zunimmt, muss sich der Querschnitt der Stromröhre verengt haben. Umgekehrt gilt ebenso, dass eine Verengung der Röhre mit einer Erhöhung der Fließgeschwindigkeit einhergeht.

2.2 Reibungsfreie (ideale) Fluide

Zur Entwicklung grundlegender Gesetze ist es zunächst vorteilhaft von einem idealen Fluid auszugehen. Eine mathematisch zulässige, aber praktisch nie erreichbare Vereinfachung für eine Strömung ist die Annahme der völligen Reibungsfreiheit und Inkompressibilität. Wäh- rend letztere noch in großen Bereichen für Fluide und teilweise sogar für Gase Gültigkeit be- sitzt, ist die Reibungsfreiheit praktisch nicht annähernd realisierbar. Verfeinerungen des Mo- dells können danach eingearbeitet werden.

Ein Fluid, das als reibungsfrei und inkompressibel betrachtet wird, heißt ideal.

Bei Vernachlässigung der Reibung ist bei strömenden Fluiden genau wie in der Mechanik starrer Körper keine äußere Kraft notwendig um eine konstante Geschwindigkeit zu erhalten. In anderen Worten: Eine Strömung durch ein Rohr mit konstantem Querschnitt kann bei Rei- bungsfreiheit ohne Druckdifferenz an den Enden aufrecht erhalten werden [9].

2.2.1 Bernoulli-Gleichung

Gemäß Abschnitt 2.1.2 muss sich bei einer Verengung des Rohres die Fließgeschwindigkeit erhöhen. Dazu ist eine Druckdifferenz notwendig, wobei der Druck p als eine auf eine Fläche A bezogene Normalkraft F n definiert ist. Bild 2.2 stellt eine solche Verengung des Rohres dar.

10 2 Strömungslehre

Bild 2.2: Drücke und Geschwindigkeiten in einem Rohr mit Verengung bei idealer Strömung

−∆ beschleunigt: Ein Flüssigkeitselement ∆m wird durch eine Kraft

(2.4)

−∆ = ∆ .

Mit

v d = (2.5) a

t d

und

ρ ρ ∆ = ∆ = ∆

m

folgt

ρ −∆ = ∆ .

Ersetzen von ∆ durch d und anschließendes Integrieren von (1) nach (2) führt zu

1 ( ) ρ

2 2 − = − . (2.8)

2

Durch Umstellen erhält man die Bernoulli-Gleichung:

1 ρ

2 + = = . (2.9) p v p const.

ges

2

Die Differenz aus dem statischen Druck p und dem Gesamtdruck p ges ist der Staudruck

2

1 2 pv . Die Bernoulli-Gleichung in Form von (2.9) vernachlässigt jedoch einen möglichen

Schweredruck, der z.B. aus der potenziellen Energie resultiert (Bild 2.3).

2.3 Reibungsbehaftete Strömungen 11

Bild 2.3: Erweiterung des Gesamtdrucks um den Schweredruck

Die Addition dieses Schweredrucks ρgh zum statischen und Staudruck führt zur verallgemei-

nerten Bernoulli-Gleichung:

1

ρ ρ

2 + + = = p gh v p const. . (2.10)

ges

2

Durch Umformen lässt sich (2.10) auch in Höhengrößen oder massenbezogenen (spezifi-

schen) Energiegrößen ausdrücken. In diesem Fall wird sie zur Energiegleichung für ideale

Flüssigkeiten – die Summe der spezifischen Strömungsenergieformen ist konstant [5]:

p gh

1

2 + + =

v const. . (2.11)

ρ

2

Die hier dargestellte Bernoulli-Gleichung und ihre Umwandlungen gelten nur für ideale

Strömungen, allmähliche Querschnittsveränderungen und ohne Wärmeaustausch mit der Um-

gebung.

2.3 Reibungsbehaftete Strömungen

Im Gegensatz zu idealen Fluiden treten in der Realität Reibungseffekte auf. Durch diese Rei-

bungseffekte wird kinetische Energie in Wärme umgewandelt; die theoretischen Gesetzmä-

ßigkeiten des idealen Fluids müssen dementsprechend zum realen Fluid hin erweitert werden.

Hiervor ist es notwendig einige Begriffsbestimmungen vorzunehmen.

12 2 Strömungslehre

2.3.1 Innere Reibung und Viskosität

Bewegen sich Volumenelemente einer Flüssigkeit mit einer Geschwindigkeitsdifferenz ∆ v

aneinander vorbei, tritt Reibung als Folge von Kohäsionskräften auf. Diese Reibung nennt

man innere Reibung. Sie ist eine volumenbezogene Kraft und zur Geschwindigkeit proportio-

nal.

Die Viskosität eines Fluids gibt an, wie stark das Medium Formänderungen widersteht. Sie

wird durch innere Schubspannungen verursacht und ist vom Druck und vor allem von der

Temperatur abhängig. Zur mathematischen Definition der Viskosität stellt man sich ein Fluid

zwischen zwei parallelen, unendlich großen Platten vor (Bild 2.4). Die untere befindet sich in

Ruhe, die obere bewegt sich mit der Geschwindigkeit v. In Folge der Adhäsion bleibt an jeder

der Platten eine dünne Schicht des Mediums haften, so dass ein Geschwindigkeitsgefälle

dv/dx über den Abstand x entsteht.

Bild 2.4: Zur Herleitung der inneren Reibung

Da dieser Reibungswiderstand eine verzögernde Wirkung ausübt, wird zur Aufrechterhaltung

der Geschwindigkeit v eine beschleunigende Kraft F benötigt. Nach Newton ist die Kraft pro-

portional dem Geschwindigkeitsgefälle dv/dx und der Fläche A. Mit dem noch benötigtem

Proportionalitätsfaktor η folgt:

v d

η = F A x . (2.12)

Setzt man die Kraft ins Verhältnis mit der Fläche, erhält man die Schubspannungτ :

F v d

τ η = = . (2.13)

2.3 Reibungsbehaftete Strömungen 13

Der Proportionalitätsfaktor η gibt die Zähigkeit eines Fluids an und wird die dynamische

Viskosität oder auch nur kurz Viskosität genannt. Sie gilt nur für newtonsche Flüssigkeiten

und ist wie folgt definiert:

F A

/ Schubspannung

η =

= . (2.14)

v x

d / d Schergefälle

Neben der dynamischen Viskosität wird in der Strömungstechnik auch häufig mit der kinema-

tischen Viskosität ν gearbeitet, welche die dynamische Viskosität bezogen auf die Dichte

angibt:

η

ν ρ

= .

2.3.2 Reynolds-Zahl

Die Reynolds-Zahl Re sagt aus, ob und wie stark eine Wirbelbildung stattfindet. Sie entsteht

mit Hilfe der Ähnlichkeitsmechanik, da bei Strömungsproblemen realer Fluide eine analyti-

sche Lösung nur in wenigen Fällen möglich ist. Um Ergebnisse experimenteller Untersuchun-

gen auf zu behandelnde Strömungsvorgänge beziehen zu können, ist zwischen Versuchs- und

Originalströmung physikalische Ähnlichkeit notwendig. Diese Forderung ist erfüllt, wenn

Proportionalität der äußeren Abmessungen, Proportionalität der Oberflächenbeschaffenheit

sowie Proportionalität aller an der Strömung beteiligten mechanischen Größen und Stoffei-

genschaften gegeben sind [5].

Die Reynolds-Zahl Re berechnet sich aus der Strömungsgeschwindigkeit v, der kinematischen

Viskosität ν und der charakteristischen Dimension d, welche bei Rohren dem Durchmesser D

entspricht:

ρ

= Re

Durch die Reynolds-Zahl wird das Verhältnis von Trägheits- und Reibungskräften ausge-

drückt. Bedeutet eine kleine Reynolds-Zahl weitestgehend laminare Strömung und somit ein

Überwiegen der Reibungskräfte, weist dagegen eine große Reynolds-Zahl auf turbulente

Strömung und überwiegende Trägheitskräfte hin. Die kritische Reynolds-Zahl Re krit gibt an,

wann laminare in turbulente Strömung umschlägt. In einer glatten Röhre mit dem strömenden

Fluid Wasser liegt Re krit bei ca. 2300.

14 2 Strömungslehre

Das Umschlagen von laminarer zu turbulenter Strömung wird im folgenden Beispiel näher erläutert: In einem geraden Rohr mit konstantem Querschnitt ist das Strömungsverhalten ei- nes Fluids mit konstanter Viskosität zunächst laminar. Trifft eine Stromlinie auf einen Wider- stand, wird sie nach oben verdrängt. Eine darüber liegende Stromröhre wird dadurch verengt; die Flüssigkeit dort muss schneller fließen. Da auf Grund des Trägheitsgesetzes eine Erhö- hung der Geschwindigkeit ein Abfallen des Drucks nach sich zieht, steigt der Druck unterhalb der gestörten Stromlinie an. Als Folge davon vergrößert sich die Störung. Die Strömung wird „instabil“ und demzufolge turbulent [4]. Der Übergang von laminarer zu turbulenter Strö- mung ist in Bild 2.5 dargestellt und wird Umschlag genannt.

Bild 2.5: Strömungsumschlag bei Auftreten einer Störung

2.3.3 Geschwindigkeitsprofile von Rohrströmungen

Dieser Abschnitt befasst sich mit der Frage, mit welcher Geschwindigkeit ein Fluid durch ein Rohr strömt. Ein reibungsbehaftetes Fluid fließt im Gegensatz zum idealen Fluid nicht mit über dem Querschnitt konstanter Geschwindigkeit. Stattdessen wird sich ein – je nach Strö- mungstyp unterschiedliches – Geschwindigkeitsprofil ausbilden.

Laminare Rohrströmung

Die Berechnung des Geschwindigkeitsprofils bei laminaren Strömungen ist mathematisch einfach und qualitativ leicht zu verstehen. Direkt an der Rohrwand bleiben die Moleküle des

2.3 Reibungsbehaftete Strömungen 15

Fluids haften. Dort, wo sie am weitesten von der Rohrwand entfernt sind, also in der Rohrmit-

te, können sie am schnellsten fließen (Bild 2.6).

p p

Bild 2.6: Geschwindigkeitsprofil einer laminaren Rohrströmung

Für die mathematische Herleitung geht man z.B. nach [9] von einem Kräftegleichgewicht aus:

Die treibende Kraft F tr entspricht im stationären Fall der Reibungskraft F R :

= .

F F (2.17)

tr R

Es ist nicht nötig mit Vektoren zu arbeiten, da die Ausbreitungsrichtung der Strömung im

laminaren Fall stets parallel zur Rohrwand ist. Die treibende Kraft entsteht durch einen

π , wobei r der Abstand von der Rohrmitte ist: Druckunterschied p 1 -p 2 auf die Kreisfläche 2 r

π

2 = ∆ .

F r p (2.18)

tr

Die Reibungskraft wird mit dem Newtonschen Reibungsgesetz (2.12) berechnet:

v d ηπ = − F r L r

2 . (2.19)

R d

Zu beachten ist, dass als Fläche nicht der Rohrquerschnitt eingesetzt wird, sondern die be-

π . Das Kräftegleichgewicht zwischen Reibungs- und treibender trachtete reibende Fläche 2 rL

Kraft ergibt nach Umformungen

∆ p − =

v r r d d . (2.20)

η L

2

Die Integration über r liefert das parabolische Geschwindigkeitsprofil laminarer Rohrströ-

mungen:

16 2 Strömungslehre

∆ p ( ) ( )

2 2 = − v r R r . (2.21)

R η L

4

lässt sich der Volumen-

nach (2.3) berechnen:

= =

V Av A

A

Mit

(2.23)

0

wird

π

=

. (2.24)

L

8

Diese Gleichung ist das Hagen-Poiseuille-Gesetz, das den Volumenstrom bei laminarer Roh-

η

beschreibt. Anwendung findet sie z.B. beim Durchfluss-Viskosimeter, das zur experimentel-

len Bestimmung der Viskosität verwendet werden kann.

Turbulente Rohrströmung

Auf Grund der in einer turbulenten Strömung vorkommenden Wirbel findet eine Durchmi-

schung einzelner Strömungsfäden statt und es entsteht eine starke Querbewegung. Dadurch

erhöht sich die innere Reibung im Fluid. Unterschiede in der Fließgeschwindigkeit, ausge-

hend von der Rohrmitte, gehen fast gänzlich verloren. Wie im laminaren Fall bleibt die Fließ-

geschwindigkeit an der Rohrwand null. Bild 2.7 stellt qualitativ das Geschwindigkeitsprofil

2.3 Reibungsbehaftete Strömungen 17

Bild 2.7: Geschwindigkeitsprofil einer turbulenten Rohrströmung

Das quantitative Geschwindigkeitsprofil ist jedoch nicht wie beim laminaren Fall mit einer einfachen mathematischen Beziehung auszudrücken. Hierfür ist es notwendig weitergehende Betrachtungen durchzuführen.