Credit  Spreads und implizite Ausfallwahrscheinlichkeiten  

I.  Inhaltsangabe  

I.  Inhaltsangabe  1

II.  Abbildungs- und Tabellenverzeichnis  2

1.  Einleitung.  3

2.  Credit Spreads und implizite Ausfallwahrscheinlichkeiten.  4

2.1.  Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten.  5

2.2.  Rahmenbedingungen der Untersuchung.  5

2.3.  Die fundamentale Beziehung.  9

2.4.  Die implizite Überlebenswahrscheinlichkeit  11

2.5.  Bedingte Überlebenswahrscheinlichkeiten und implizite Hazard Rates  13

2.6.  Beziehungen zu Forward Spreads  18

3.  Recovery Modelling  21

4.  Building Blocks für die Bewertung vo n Kreditderivaten.  25

5.  Bewertung mit den Building Blocks.  30

5.1.  Ausfallgefährdeter Fixed - Coupon Bond  31

5.2.  Ausfallgefährdeter Floater  32

5.3.  Produkte im Markt für Kreditderivate  34

5.4.  Credit Default Swaps  36

5.5.  Forward Start CDSs  40

5.6.  Default Digital Swaps  40

5.7.  Asset Swap Packages.  41

6.  Zusammenfassung  44

Literaturverzeichnis   46

1

II. Abbildungs- und Tabellenverzeichnis

Abbildung 1: Building Blocks und die Knoten in denen sie auszahlen 25

Abbildung 2: Die wichtigsten Kreditderivate 34

Abbildung 3: Credit Default Swap 36

Abbildung 4: Asset Swap 41

2

1. Einleitung

Ein Kreditderivat ist ein Finanzkontrakt, dessen Wert sich von einem anderen ableitet, dessen Höhe von einem Kreditrisiko abhängt ¹ .

Kreditderivate sind Finanzkontrakte, die Kreditrisiken isolieren und in unterschiedlicher Form handelbar machen. In diesem Zusammenhang geht es im Folgenden um die Bewertung des Kreditrisikos, welches einem Kreditderivat zugrunde liegt. In den folgenden Ausführungen werden Bondpreise eines ausfallgefährdeten Schuldners mit Preisen von ähnlichen ausfallrisikofreien Instrumenten verglichen, dabei wird auf das Ausfallrisiko des Schuldners Bezug genommen. Diese Analyse führt zu einer Fristigkeitsstruktur von Credit Spreads ² . Da der Preis eines Kreditderivates prinzipiell dem Credit Spread entspricht, dient die Fristigkeitsstruktur von Credit Spreads der Bewertung von Kreditderivaten. Der Credit Spread ergibt sich aus der Differenz zwischen einem risikolosen und einem risikobehafteten Aktivum. Im ersten Teil unserer Arbeit betrachten wir den einfachen Fall von ausfallrisikofreien und ausfallgefährdeten Zero-Coupon-Bonds. Die Preise dieser Bonds enthalten alle benötigten Informationen, vorausgesetzt, dass die ausfallgefährdeten Bonds bei Ausfall Zero R ecovery aufweisen. Diese Bonds sind in der Realität nicht beobachtbar. Aus diesem Grund wählen wir eine andere Vorgehensweise und zwar in die entgegengesetzte Richtung: wir konstruieren eine Methode, um einen Modellpreis für wirklich gehandelte Assets wie aus fallgefährdete Coupon-Bonds oder Credit Default Swaps für eine gegebene Fristigkeitsstruktur von ausfallgefährdeten Zero-Bonds, zu ermitteln. Dann drehen wir die Preisbeziehung um, damit wir die Fristigkeitsstruktur von ausfallgefährdeten ZeroBonds erhalten, welche Modellpreise abwerfen, die den beobachteten Marktpreisen entsprechen. Diese Fristigkeitsstruktur entspricht dann der impliziten Fristigkeitsstruktur des Ausfallrisikos ³ . Im zweiten Teil wird auf die Recovery Modellierung eingegangen. Es existieren mehrere unterschiedliche Ansätze, die das Ziel haben solch eine Recovery zu modellieren. Wir gehen jedoch nur kurz auf diese Ansätze ein und konzentrieren uns

¹ vgl. Das (1998) S.7ff. / für andere Definitionen s. Whittaker (1996) S. 595

² vgl. Schönbucher (2003) S.51

³ vgl. Schönbucher (2003) S. 52f.

3

vielmehr auf die grundlegende und ausführliche Darstellung des Auszahlungswertes, welcher bei einem Ausfall gezahlt wird.

Im dritten Teil geht es um Building Blocks für die Bewertung von Kreditderivaten. Hierzu wird zuerst das so genannte “Baummodell“ besprochen. Dies ist eine Darstellung von Building Blocks, den Umweltzuständen und den Zeitpunkten der Auszahlung. Nachdem das Grundlegendste aufgezeigt wurde, werden wir die Preisbildung der Building Blocks erörtern. Zum Abschluss dieses Kapitels, werden wir noch kurz auf das Recovery-Modell für Kalibrierungswertpapiere eingehen. Der letzte Teil ist der Bewertung von Kalibrierungswertpapieren mit der Building Blocks Methode gewidmet. Unter der Verwendung unserer Ergebnisse aus den vorherigen Kapiteln, werden die Modellpreise eines Fixed-Coupon-Bonds und eines ausfallgefährdeten Floaters ermittelt. Zudem gehen wir kurz auf die drei wichtigsten Produk tgruppen im Markt für Kreditderivate ein: Total Return Swap, Credit Spread Derivate und Credit Default Swaps und bewerten abschließend dazu noch weitere Kreditderivate.

Am Ende dieser Arbeit werden wir die wichtigsten Ergebnisse nochmals zusammenfassen.

2. Credit Spreads und implizite Ausfallwahrscheinlichkeiten

Der Credit Spread ist ein Kreditrisikomaß, das zukunftsgerichtete Erwartungen über die Ausfallwahrscheinlichkeit und über die Recovery Rate bei Kreditausfall enthält. Wörtlich übersetzt bedeutet Spread Differenz bzw. Aufschlag. Allgemein bezeichnet ein Spread eine absolute Renditedifferenz zwischen zwei Nominalzinssätzen oder Rend iten ⁴ .

Unter einem Credit Spread versteht man genauer die Differenz zwischen der Rendite einer ausfallrisikobehafteten Anleihe und der Rendite einer quasi-risikolosen Benc hmark, wobei die Annahme ansonsten gleicher Konditionen und gleicher Laufzeit gelten soll. Der Credit Spread wird auch oftmals als Differenz der Rendite einer

⁴ vgl. Grill/Gramlich/Eller, S. 142

4

ausfallrisikobehafteten Anleihe und einem entsprechendem Referenzzinssatz definiert (z.B. LIBOR) ⁵ .

Das Risiko der Veränderung der Bonität eines Schuldners (Bonitätsänderungsrisiko) spiegelt sich in der Veränderung des Credit Spread wider ⁶ . Das Credit Spread Risiko beschreibt folglich das Risiko einer Änderung der Bonität des Emittenten, d.h. das Ris iko einer Veränderung des Credit Spread ⁷ .

2.1. Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten

Die Analyse diese Abschnittes findet in einem Wahrscheinlichkeitsraum mit Filtrierung/Filtration statt, dieser wird oftmals als gefilterter Wahrscheinlichkeitsraum

( ) ( ) Ω bezeichnet unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß, dem ,,, t t JJQ ≥

0

Martingalmaß Q . Wir ne hmen an, dass die Filtration ( ) 0

J ≥ die üblichen Bedingungen

t t

erfüllt ⁸ .

2.2. Rahmenbedingungen der Untersuchung

Für die Analyse benötigen wir die folgende Notation.

Ω Definition 1 (,(),,) tt JJQ ≥

0

Ω : Wahrscheinlichkeitsraum, der die möglichen Umweltzustände beinhaltet (a) (b) () tt J ≥ : Filtration/Filtrierung, welche die Informationsstruktur des Aufbaus

0

repräsentiert 9

(c) J : Information zum Zeitpunkt t erhältlich

t

⁵ vgl. Burghof (2000) S. 651

⁶ vgl. Burghof (2000) S. 648

⁷ vgl. Burghof (2000) S. 651

⁸ vgl. Jacod and Shiryaev (1988) S.2

⁹ vgl. Duffie (1998) S.5

5

(d) Q : risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß, Martingalmaß; Martingal bezeichnet einen Prozess, dessen erwarteter zukünftiger Wert, bedingt durch die Vergangenheit, seinem gegenwärtigen Wert entspricht ¹⁰ .

Bei der Anwendung d es risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaßes sind folgende Punkte zu beachten:

(a) Der Preis eines fairen oder marktgerechten Preises von komplexen Finanzprodukten ist unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß besonders leicht, weil sich unter diesem Maß der Marktpreis eines Produktes einfach als Erwartungswert der diskontierten Zahlungsströme ergibt. Ist Vollständigkeit der Märkte gegeben, d.h. dass jede synthetische und vom Zufall abhängende Auszahlung eines hierzu geschaffenen Finanzproduktes durch bereits vorhandene Finanzinstrumente mit einer selbstfinanzierenden Portfoliostrategie dupliziert werden kann, und ist der Markt arbitragefrei, gibt es ein eindeutiges risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß Q (Martingalmaß). Es wird Martingalmaß genannt, weil unter diesem Maß der diskontierte Preisprozess eines beliebigen Finanzproduktes ein Martingal ist, d.h. die mathematische Struktur einer zu jeden Zeit fairen Wette aufweist.

(b) Das risikoneutrale Martingalmaß Q ist lediglich eine Hilfskonstruktion und trifft keine Aussagen über reale Wahrscheinlichkeiten.

(c) Das risikoneutrale Maß ist dadurch gekennzeichnet, dass alle am Markt beobachteten Preise und Auszahlungen wie faire Spiele erscheinen, d.h. der Einsatz bzw. Preis entspricht dem mittleren erwarteten Gewinn des Spiels. Diese Eige nschaft wird genutzt, um aus den beobachteten Preisen und Erlösen von Finanzprodukten das risikoneutrale Maß zu synthetisieren.

¹⁰ vgl. Baxter (1996) S.223

6

Das risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß darf hie r nicht mit der Annahme von Ris ikoneutralität gleichgesetzt werden. Falls wir im Folgenden von

Wahrscheinlichkeiten sprechen, sind damit Zustandspreise ge meint. Bei konstanten Zinssätzen entspricht die Q -Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A zum Zeitpunkt T tatsächlich dem Preis des Wertpapiers, welches 1 in T auszahlt, falls A eintrifft. Sind

die Zinssätze stochastisch, ist der Preis dieses Contingent Claims

Definition 2

bezeichnet die Indikatorfunktion von A , für alle AJ ∈ , falls ω ∈ nimmt A (a) 1 { }

A

ω . sie den Wert 1 an, ansonsten nimmt sie den Wert 0 an, da 1 { } ( )

A

Der Zeitpunkt des Ausfalls der Anleihe wird mit τ bezeichnet; die (b)

Überlebensindikatorfunktion wird mit I(t) bezeichnet:

(c) BtT ist der Preis eines ausfallrisikofreien Zero-Coupon-Bonds zum Zeitpunkt (,)

t , der bei Fälligkeit () T eine Geldeinheit auszahlt ¹² .

τ > (d) B ( ,) tT ist der Preis eines ausfallgefährdeten Zero-Coupon-Bonds wenn t

Ein Zero-Coupon-Bond ist ein Bond, der keinen Coupon oder Zinszahlung über die Laufzeit aufweist. Er wird zu einem Eingangspreis gekauft und der Zins bestimmt sich nach der Auszahlung am Ende der Laufzeit. Die Beziehung zwischen Zero-Coupon-Bond Preisen und ihren Laufzeiten () T , nennt man Fristigkeitsstruktur v on Zero-Coupon-Bond Preisen und diese impliziert die Fristigkeitsstruktur der Zinssätze ¹³ .

¹¹ vgl. Schönbucher (2003) S. 52

¹² vgl. Burghof (2000) S. 529

¹³ vgl. Jarrow (1995) S. 23

7

Um Arbitrage auszuschließen, müssen ausfallgefährdete Zero-Coupon-Bonds immer weniger wert sein als ausfallrisikofreie Zero-Coupon-Bonds der gleichen Fälligkeit:

0(,)(,) BtTBtT

Außerdem sind die Bond Preise eine abnehmende, nicht-negative Funktion der BttBtt == Fälligkeit, beginnend bei (,)1(,) :

BtTBtT ≥> und τ > BtTBtT ≥≥ ∀<< (,)(,)0 t (,)(,)0 tTT

12 12 12,

Annahme 1

• Informationen: Zum Ze itpunkt t , sind die ausfallgefährdeten und ausfallrisikofreien Preise der Z ero-Coupon-Bonds aller Fälligkeiten Tt ≥ bekannt.

• Fehlende Arbitragemöglichkeiten: die Bondpreise sind arbitragefrei.

• Zero Recovery: die ausfallgefährdeten Zero-Coupon-Bonds haben keine Rückgewinnung bei Ausfall. Daher schreiben wir den Preis des ausfallgefährdeten Bonds mit Fälligkeit T als:

τ > feststeht ¹⁴ . Die Überlebensindikatorfunktion wird weggelassen für den Fall, dass t

Annahme 2 (Unabhängigkeit)

¹⁴ vgl. Schönbucher (2003) S. 53

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Unter dem Martingalmaß Q gilt Unabhängigkeit vo n Ausfällen und der Dynamik des

ausfallrisikofreien Zinssatzes; { (,) } Tt ≥ und τ sind unabhängig unter ( ,,) JQ Ω BtT .

Unabhängigkeit bezieht sich auch auf die abgeleiteten Größen unter Q ¹⁵ .

2.3. Die fundamentale Beziehung 16

Arbitragemöglichkeiten sind ausgeschlossen, wenn es ein risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß (auch Martingalmaß) Q gibt. Bei Geltung von Arbitragefreiheit ist der Wert eines jeden marktfähigen Derivats gleich dem Erwartungswert der abgezinsten Ausza hlungen unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß. Equation Section 2

Der Preis des ausfallrisikofreien Zero-Coupon-Bonds beträgt unter dem Martingalmaß:

r(t) : die Short Rate r(t) dient der Diskontierung der finalen Ausza hlung von 1

T

Die Auszahlung eines ausfallgefährdeten Zero-Coupon-Bonds beträgt nur für den Fall 1, dass der Schuldner nicht bis T ausgefallen ist:

¹⁵ vgl. Burghof (2000) S. 580

¹⁶ vgl. Duffie (1999) S. 2

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