1 EINLEITUNG 1

2 GRUNDLEGENDES ZUR LICHTAUSBREITUNG 8

2.1 SKALARE OPTISCHE WELLEN- DIE HELMHOLTZ-GLEICHUNG 8

2.2 EIGENSCHAFTEN DES LASERLICHTS 11

2.2.1 TRANSFORMATION ^VON WELLENFELDERN ^{DURCH OPTISCHE} ELEMENTE 15

2.3 EIKONALGLEICHUNG UND GEOMETRISCHE OPTIK 19

2.4 BEUGUNG 21

3 DAS TEMPERATURFELD DER THERMISCHEN LINSE 27

3.1 DIE WÄRMELEITUNGSGLEICHUNG 27

3.2 GREENSCHE FUNKTIONEN 28

3.3 BEKANNTE UND NEUE LÖSUNGEN 31

3.4 AXIALER WÄRMEFLUß 39

3.5 FAZIT 48

4 GEOMETRISCHE OPTIK DER TL 50

4.1 ANWENDUNG DER STRAHLFORMEL AUF DIE THERMISCHE LINSE 50

4.2 ABERRANTE RINGBILDUNG 54

5 BEUGUNGSINTEGRAL DER THERMISCHEN LINSE 60

5.1 FORMULIERUNG DES BEUGUNGSINTEGRALS DER TL 60

5.2 DIE ZENTRALE INTENSITÄT 68

5.3 POSITITON DES INTERFERENZRINGES 76

5.4 ABERRANTES GESAMTPROFIL 79

6 ZUSAMMENFASSUNG 84

ANHANG A NUMERISCH GERECHNETES TL-BEUGUNGSINTE-GRAL ZUM

VERGLEICH MIT CHEN ET AL (1991) 87

ANHANG B ELEKTROMAGNETISCHE ASPEKTE DER LASER-AUSBREITUNG

IN MEDIEN MIT THERMISCHER LINSE 88

B.1 FELD- UND MATERIALGRÖßEN 88

B.2 DIE TEMPERATURABHÄNGIGKEIT DER SUSZEPTIBILITÄT. 91

B.3 FELDAUSBREITUNG IM SCHACH INHOMOGENEN MEDIUM 92

B.4 ÜBERGANG ZUR MONOCHROMATISCHEN WELLE 95

B.5 OPTISCHE INTENSITÄT UND ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN 95

LITERATUR 101

In den sechziger Jahren wurde bei Laser-Experimenten mit im Strahlengang

Gordon et al (1965) haben das Phänomen damit erklärt, daß im Medium ein

Aus der Tatsache, daß der Laser einerseits das Temperaturfeld erzeugen soll

^{thermal lens effect using an He-Ne-laser", Appl. Phys. Letters,} 4,7,141-143,(1964).

J. P. Gordon, R. C. C. Leite, R. S. Moore, S. P. S. Porto and J. R. Whinnery, "Long- Transient

Effects in Lasers with Inserted Liquid Samples," J. Appl. Phys.,36,3-8 (1965).

² G. Eden, W. Schröer, "Nonlinear effect in light scattering of thermal lensing systems", Opt.

^Comm. 63, 2, 135-140, (1987).

^{3 D. C. Smith, "High-power laser propagation: thermal blooming", Proc. of the IEEE,} 65, 12, 1679-

1714, (1977).

⁴ C. Hu and J. R. Whinnery,"New Thermooptical Measurement Method and a Comparison with

^{Other Methods," Appl. Opt.} 12, 72-79 (1973).

N. J. Dovichi and J. M. Harris, "Laser induced thermal lens effect for calorimetric trace analysis",

^{Anal. Chem.} 51, 6, 728-731 (1979).

Das von Gordon et al (1965) und Hu/Whinnery (1973) gegebene Modell, das

Die Abschätzungen bei Hu/Whinnery, bis zu welchen absorbierten Leistungen die

Das Unbehagen mit der Verwendung des parabolischen Modells rechtfertigt sich

822A (1986).

⁷ Vgl. R. Gupta, "The theory of photothermal effect in fluids", J. A. Sell, ed., Photothermal

Investigations of Solids and Fluids, (Academic Press, San Diego, 1989).

⁸ S. A. Akhmanov, D. P. Krindach, A. V. Migulin, A. P. Sukhorukov and R. V. Khokhlov,

"Thermal Self-Actions of Laser Beams," IEEE. J. Quantum Electron., QE-8, 568-575 (1968).

C. Hu and J. R. Whinnery (1973) a.a.O.

⁹ Selbst wenn man die Prämisse der geometrischen Optik gelten läßt, ist, wie noch gezeigt wird, die

Argumentation, die bei Hu/Whinnery zur Vernachlässigung von Aberration führt, nicht stichhaltig.

¹⁰ C. A. Carter and J. M. Harris,"Comparison of models describing the thermal lens effect," Appl.

Opt. 23, 476-481 (1984).

Im Jahre 1982 veröffentlichten Sheldon et al ¹² ein alternatives Modell, das keine

Carter/Harris (1984) haben das neue Modell von Sheldon et al zusammen mit dem

Schließlich haben Shen et al (1992) ¹⁴ neben einer Erweiterung der Formel von

R. T. Bailey, F. R. Cruickshank, D. Pugh, A. McLeod and W. Johnstone, "Gas phase thermal

diffusivities by a thermal lens technique", Chem. Phys. 68, 351-357 (1982).

¹¹ H. L. Fang and R. L. Swofford,"The Thermal Lens in Absorption Spectroscopy," in

Ultrasensitive Laser Spectroscopy, D. S. Kliger,ed.,(Academic Press, New York 1983), pp. 175-232.

¹² S. J. Sheldon, L. V. Knight and J. M. Thorne,"Laser-induced thermal lens effect: a new

theoretical model," Appl. Opt. 21, 1663-1669 (1982).

¹³ W. R. Callen, B. G. Huth, and R. H. Pantell, "Optical patterns of thermally self-defocused light",

11, 3, 103-105 (1967).

¹⁴ J. Shen, R. D. Lowe and R. D. Snook,"A model for cw laser induced mode-mismatched dual-

beam thermal lens spectrometry," Chem. Phys. 165, 385-396 (1992).

Ziel dieser Arbeit ist es u. a., den vorhandenen Modellen für die zentrale Intensität

eine neue Lösung gegenüberzustellen, die ihnen insbesondere bei starken TL überlegen ist.

Ferner sollen dieses und die vorhandenen Modelle mit der numerischen

Besonders bei stärkeren TL ist nicht nur die zentrale Intensität, sondern das

In der vorliegenden Arbeit wird die geometrisch optische Analyse des

¹⁵ S. A. Akhmanov et al (1968) a.a.O.

F. W. Dabby, T. W. Gustafson, J. R. Whinnery and Y. Kohanzadeh,"Thermally self-induced phase

modulation of laser beams," Appl. Phys. Letters 16, 9, 363-365 (1970).

¹⁶ T. Chen, S.-J. Sheih and J. F. Scott,"Phase modulation and far-field spatial patterns due to the

transformational thermal-lens effect," Phys. Rev. B 43,1,615-622 (1991).

Nun ist allerdings ein Laserstrahl nur unter ganz bestimmten Bedingungen exakt

So berechtigt die Zweifel von Chen et al an der Richtigkeit der numerischen

In dieser Arbeit wird nur die radialsymmetrische TL behandelt, wie sie in

(1966).

D. Marcuse,Light transmission optics, (Van Nostrand Reinhold Company, New York 1972),

Kap.3.6, S.111

J. Arnaud,"Representation of gaussian beams by complex rays", Appl. Opt. 24, 4, 538-543 (1885)

¹⁸ Die Vermutung von Chen et al, daß das bei Dabby et al angegebene, von Akhmanov et al

¹⁹ R. D. Boyd and C. M. Vest,"Onset of convection due to horizontal laser beams", Appl. Phys.

Lett., 26,6,287-288 (1975).

Neben der Fragwürdigkeit der quantitativen Brauchbarkeit geometrisch-optischer

In dieser Arbeit soll deshalb die Möglichkeit und Notwendigkeit der Korrektur des

P.M. Livingston,"Thermally induced modifications of a high power cw laser beam", Appl. Opt. 10,

2, 426-436 (1971).

²² S. Wu and N. J. Dovichi, "Fresnel diffraction theory for steady-state thermal lens measurements

in thin films," J. Appl. Phys. 67, 1170-1182 (1990).

In Kapitel 2 werden bekannte Grundlagen der Ausbreitung von Laserlicht

2 Grundlegendes zur Lichtausbreitung

In diesem Kapitel werden die grundlegenden Beziehungen über die

Ausbreitung von (Laser-)licht präsentiert, auf die in der Theorie der thermischen

Linse zurückgegriffen wird. Die Beziehungen sind wohlbekannt und wurden, wenn

nicht gesondert vermerkt, aus Saleh/Teich(1991), Born/Wolf(1980),

Petykiewicz(1992) und Marcuse(1972) entnommen. 23

2.1 Skalare optische Wellen- Die Helmholtz-Gleichung

In der vorliegenden Untersuchung wird die Ausbreitung eines Laserstrahls in

einer Flüssigkeit als die einer skalaren Welle analysiert. Wir postulieren zunächst

eine monochromatische Wellenfunktion

& & &

so daß

und eine optische Intensität

²³ B. E. A. Saleh and and M. C. Teich, Fundamentals of Photonics, (John Wiley & Sons,

New York, 1991).

M. Born and E. Wolf,Principles of Optics,6th ed.(Pergamon Press,Oxford 1980).

J. Petykiewicz,Wave Optics,(Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1992).

D. Marcuse,Light transmission optics, (Van Nostrand Reinhold Company, New York 1972).

& ϕ( ) r ist die Phase, ω die Kreisfrequenz und U m die komplexe Amplitude

und Phase der monochromen Welle. Intensität und komlexe Amplitude können

durchaus zeitabhängig sein, in der Zeitskala der optischen Schwingungszeit müssen

diese Änderungen allerdings vernachlässigbar klein sein.

Die skalare optische Welle ist zunächst ein Konzept, dessen physikalische

Angemessenheit aus der elektromagnetischen Theorie hergeleitet werden muß. 24

Wenn wir die Wellenfunktion zeitunabhängig machen

erhalten wir die Helmholtz-Gleichung:

& & ^{2 2} ∇ + = ( ( ) ) U ( ) 0 2-5 k r r m

& & = ω ( ) / ( ) mit k r als der Wellenzahl. Lösung ist unter anderen die ebene c r

Welle:

& & & = − U ( ) exp( i ) 2-6 m r A k r

& & &

= ( ) der Wellenvektor ist (Normalenvektor der Wellenfront). Um wobei k k r

& &

die Helmholtzgleichung zu erfüllen muß

komplexe Amplitude (abs(A)) und Phase (arg(A)).

Eine weitere wichtige Lösung ist die Kugelwelle

²⁴ Einige grundlegende Zusammenhänge der elektromagnetischen Theorie sind im Anhang 2

zusammengestellt.

wobei r der Abstand von der Quelle ist.

& r = 0 an den Betrachtet man ein sphärische Welle mit Ausgangspunkt bei

&

= ( , , ) nahe der z-Achse und weit vom Ursprung, so daß Punkten r x y z

erhält man mit der Binomialentwicklung für

Substituiert man diese Näherung für r in der Phase der Kugelwelle und für

= , erhält man die Fresnel-Approximation den weniger empfindlichen Vorfaktor r z

der Kugelwelle, die parabolische Welle:

− 0 exp( i ) Das kann auch als ebene Welle A mit einer Modulation k z

Welle zu paraboloiden Wellenfronten umgebogen werden. Die paraxiale Näherung

&

( ) kann, wie dieses Beispiel zeigt, als von einer komplexen Amplitude u. Phase A r

modulierte ebene Welle ausgedrückt werden, so daß

& & = − U ( ) ( ) exp( i ) 2-10 m r A r k z

& sich nur langsam in z-Richtung ändert, so daß die Wellenfront-( ) wobei A r

Normalen paraxiale Strahlen bleiben: Die allgemeine Anforderung an diese

modulierende komplexe Amplitude ist (getrennt gültig für die Beträge des Real- und

<< innerhalb von ∆z = λ . Imaginärteils): ∆A A

Somit

Setzt man den paraxialen Ansatz Gl. 2-10 in die Helmholtz-Gleichung Gl. 2-5

ein, ergibt sich unter Vernachlässigung von

Diese Gleichung wird für die Charakterisierung von Laserlicht im folgenden

benötigt.

2.2 Eigenschaften des Laserlichts

Ein Laser ist ein optischer Resonator, der ein (via stimulierter Emission)

kohärent lichtverstärkendes Medium enthält. Der Resonator liefert die

Randbedingungen, mit denen die Helmholtzgleichung diejenigen Wellenfunktionen

ergibt, die im Resonator als kohärent verstärkte Moden existieren können.

Der einfachste Resonator ist das Fabry-Perot Etalon, alsozwei planparallele

Spiegel. Die Moden sind Linearkombinationen ebener Wellen, deren Amplituden an

den Spiegeloberflächen verschwinden. Weitaus unempfindlicher gegen Dejustierung

sind sphärische Spiegel. Eine stehende Welle in solch einem Resonator muß

sphärisch bzw. parabolisch gekrümmte Wellenfronten entsprechend der

Spiegeloberflächen haben. Ferner soll der Resonator einen gerichteten paraxialen

Strahl erzeugen. Folglich ist Gl. 2-10

& & = − U ( ) ( ) exp( i ) 2-13 m r A r k z

anzuwenden mit der paraxialen Helmholtz-Gleichung Gl. 2-12

Wir betrachten die einfachste Lösung ²⁵ indem wir den Ansatz

ρ ² 2 = − + exp( i[ ( ) / ( )]) 2-15 A p z k q z

in Gl. 2-14 einsetzen. k ist eine Konstante, d.h. wir betrachten zunächst ein

homogenes Medium. p z ( ) ist die mit der Ausbreitung in z-Richtung verbundene

^{2 2 2} ρ x + = komplexe Phasenverschiebung. ist das Abstandsquadrat zur optischen y

Achse und q z ( )ist ein komplexer Strahlparameter, der (als komplexe Größe) gleich

zwei Informationen beherbergen kann: den Parameter für die gaussförmige

Änderung der Intensität mit dem Abstand ρ von der optischen Achse und die

Krümmung der Wellenfront, die nahe der opt. Achse sphärisch ist.

Nach dem Einsetzen von Gl. 2-15 in Gl. 2-14

und Vergleich der Koeffizienten mit gleicher Potenz in ρ erhält man die z-

Ableitungen:

′ = q 1 und ′ = − i/ . 2-17 p q

Integration der zweiten Gleichung ergibt

= − + ( ) i ln( / ) 1 2-18 p z z q 0

wobei die Integrationskonstante, die eine willkürliche Phasenkonstante ist,

Null gesetzt wurde.

Die Integration der ersten Beziehung ergibt

²⁵ Für die vollständige Lösung s. z.B. Jin Au Kong, Electromagnetic Wave Theory, (Wiley &

Sons New York 1986), S. 439.

was den Strahlparameter q 1 in einer Bildebene mit dem Parameter q 0 in einer

vorherigen Ebene (Objektebene) in Beziehung setzt - mit dem Abstand der Ebenen z

als Differenz.

Es ist bequem (und bietet sich bei Betrachtung von Gl. 2-15 an , zwei reelle

( ) und ω( ) Strahlparameter R z z einzuführen, die mit dem komplexen Parameter

folgendermaßen verknüpft sind:

Setzt man Gl. 2-20 in Gl. 2-15 ein,

^{2 2 2} ρ ρ ω = − + − exp[ i( ( ) ) ( )] 2 2-21 A p z R

und erinnert sich an die Form der paraxialen Kugelwelle (Herleitung von Gl.

2-9), so erkennt man, daß R(z) der Krümmungsradius der Wellenfront ist, die die

optische Achse bei z schneidet. ω( ) z kann leicht als derjenige Abstand von der

optischen Achse identifiziert werden, bei dem die Feldamplitude auf den 1/e-fachen

Wert gebenüber dem Wert im Zentrum abgefallen ist, was als Strahlradius definiert

wird.

Wir betrachten nun eine Stelle z 0 auf der optischen Achse, an der die

0 → ∞. ( ) Wellenfront eben ist.Hier muß der Krümmungsradius divergieren: R z

= . Der Durchmesser an dieser Stelle sei Bequemerweise sei z 0 der Ursprung: z 0 0

ω 0 . Mit Gl. 2-20 erhalten wir

und mit Gl. 2-19:

Wie für jede komplexe Zahl gilt 1

Im( / ) 1 q mit Gl 2-23 und gewinnen durch Vergleich mit dem Real- und Imaginärteil

von Gl. 2-20 die reellen Gleichungen für den Krümmungsradius der Wellenfronten

und den Strahlradius des Lasers.

Abb. 2-1: Charakteristik eines Gauß-Strahls. Im paraxialen Bereich ist

≈ ρ ² 2 ρ ² 2 − k / , weshalb der Faktor exp( i ) einer sphärischen b R R

Wellenfront entspricht.

und

Wir können hier einen Abstand z c vom Nullpunkt (gleich der Position der

² Strahltaille) definieren, bei dem ω ² auf 2 ω 0 angewachsen ist:

Der Term exp( i ( ))

Anwendung der Eigenschaft der komplexen Zahl C, daß

= + ist, zu exp ln exp(ln i arg ) C C C

umgeformt werden, wobei q 0 gemäß Gl.2-22 und der Wurzelausdruck gemäß

Gl. 2-25 ersetzt wurden.

Kombination von Gl. 2-10 und Gl. 2-21 ergibt

wobei das Maximum auf 1 normiert ist.

2.2.1 Transformation von Wellenfeldern durch optische Elemente

Der Einfluß eines beliebigen optischen Elements (z.B. Gitter, Linse) auf eine

es durchquerende optische Welle kann mit dem Begriff der Transmissionsfunktion F

(auch Durchlässigkeitsfunktion genannt) ausgedrückt werden. ²⁶ Sei u x y 0 ( , ) das Feld

= einer ebenen Welle in einer Referenzebene z const in Abwesenheit des otischen

Elements, und u x y ( , ) das Feld in der gleichen Ebene bei Anwesenheit eines

optischen, so ist die Transmissionsfunktion

²⁶ Born/Wolf S.401

Die Transmissionsfunktion hängt vom Winkel ab, aus welchem die ebene

Welle die Referenzebene erreicht. In der Regel - so auch in dieser Untersuchung-interessiert der Fall wo die Ausbreitungsrichtung mit der z-Achse übereinstimmt -die Referenzebene also orthogonal zur Ausbreitungsrichtung liegt. Die

Transmissionsfunktion ist im allgemeinen komplex, da sie sowohl die Phase (über

das Argument) als auch die Amplitude (über den Betrag) einer Welle u 0 verändern

können muß. Ist F = 1 hat man ein reines Phasenobjekt (z.B. transparente, dünne

Linsen). ²⁷ Paraxiale Wellen haben die gleichen Transmissionsfunktionen wie ebene

Wellen, so daß für das Feld eines Lasers hinter einem optischen Element gilt:

= 0 m ( , ) ( , ) ( , ) 2-30 U x y U x y F x y

Aus Gl. 2-28 ist ersichtlich, daß nur ganz bestimmte Transmissionsfunktionen

einen einfallenden Gauß-Strahl in einen geänderten Gauß-Strahl transformieren, da

der ρ ² -Term eine quadratische Abhängigkeit vom Achsabstand erzwingt: 28

² ρ + − = )] 2 / ( i exp[ 2-31 c c k c F

2 1 0

Aus den o.g. Gründen kann c 0 =1 betrachtet werden und c 2 als konstante

Phasenverschiebung ignoriert werden. Das ergibt intessanterweise gerade die

Transmissionsfunktion einer dünnen Linse mit der Brennweite f=1/c 1 . Denn 29

²⁷ Es sei hier vorweggenommen, daß die thermische Linse als reines Phasenobjekt behandelt

werden kann. Die geringe Absorption bewirkt über das entstehende Brechungsindexfeld eine

Modifikation des Arguments der Transmissionsfunktion. Die Auswirkung auf die Amplitude ist

darüber hinaus im wesentlichen linear, also eine durch das Lambertsche Gesetz beschreibbare

Konstante. Die Linse ist so dünn, daß sich die Amplitudenfunktion ansonsten während des

Durchgangs nicht relevant ändern kann.

²⁸ Elliptische axiale Strahlen, die ebenfalls Gauß-Charakteristik haben, ergeben sich durch

^{separate Parameter für die x 2 - und y 2 -Terme statt der Zusammenfassung zu} ρ 2 . Der Übersichtlichkeit

halber wird dieser Fall zunächst nicht ausgeschrieben.

²⁹ Vgl. Saleh/Teich S.58

Medien mit Transmissionsfunktionen, die höhere Potenzen als die

quadratische aufweisen, verändern das Feld so, daß die Gauß-Charakteristik verloren

geht.

Die Strahlausbreitung durch dünne Linsen und andere ideale optische

Elemente kann mittels der geometrischen Optik beschrieben werden, da dort

ebenfalls sphärische Wellenfronten durch Linsen etc. Änderungen im

Krümmungsradius erfahren. Denn in der idealen optischen Abbildung gilt

Für den Gaußstrahl gilt das allgemeiner

bzw.

= + für die freie Ausbreitung, so läßt Erinnert man sich an Gl. 2-19 q q z 2 1

sich als allgemeiner Ansatz die bilineare Transformation:

formulieren. Um Gl. 2-19 auszudrücken gilt die Parametermatrix:

und für Gl. 2-34 gilt:

Der Sinn der Matrixschreibweise ³⁰ erhellt sich, wenn man die Transformation

des Strahls über mehrere Linsen und dazwischen liegende freie Strecken betrachtet.

Es läßt sich nämlich leicht nachrechnen, daß der Effekt der sukzessiven

Transformation des Strahls auch durch eine summarische ABCD-Matrix 31

repräsentiert werden kann, die aus dem Matrizenprodukt der einzelnen Komponenten

besteht. Beispielsweise

Wie noch gezeigt werden wird, weist eine thermische Linse kein exaktes ρ 2 -

Verhalten der Transmissionsfunktion auf. Sie besitzt, in den Termini der

geometrischen Optik ausgedrückt, sphärische Aberration. Aber während für die

Transformation durch dünne Linsen die geometrische Optik den Gauß-Strahl korrekt

beschreibt, liefert die geometrische Theorie der Aberrationen ³² keinen Hinweis

darauf, wie das Feld eines vormaligen Gauß-Strahls hinter einer TL aussieht, wenn

³⁰ H. Kogelnick, T. Li:Laser Beams and Resonators. IEEE 54,10, S.1312-1329 (1966)

³¹ Die gleichen ABCD-Matrizen finden sich in der idealen paraxialen geometrischen Optik:

^wobei ρ ^{die Strahlposition ist und} ρ' die Strahlsteigung.

³² Vgl. Born/Wolf S.203

Aberrationen nicht vernachlässigt werden sollen. Um hier zu Ergebnissen zu

kommen, muß das Feld hinter der Linse als Beugungsintegral formuliert werden.

2.3 Eikonalgleichung und geometrische Optik

Im Hochfrequenzlimit liefert die Helmholtzgleichung Gl. 2-5 die

Eikonalgleichung, aus der die geometrische Optik abgeleitet ist. Dazu schreiben wir

die komplexe Amplitude aus Gl. 2-1 in der Form

& & & = − U ( ) ( ) exp( i ( )) 2-40 m r u r k S r 0 0

& & geschrieben. k 0 ist die d.h. die Phase ϕ( ) wird als k S r 0 ( ) r

& soll ebenso wie S r & so langsam π λ Vakuumwellenzahl 2 / 0 ( ) ( ) und der Betrag u r 0

&

r variieren, daß er innerhalb von λ 0 als konstant angesehen werden kann. Dann mit

& r >> λ 0 ). Man beschreibt Gl. 2-40 eine lokal ebene Welle (oder Kugelwelle mit

erhält

Da Realteil und Imaginärteil jeweils für sich verschwinden müssen, erhalten

wir die Eikonalgleichung: