Gliederung

0.  Vorbemerkungen  03

1.  Definition  03

1.0.  Definition 1 (Potenzfunktion)  03

1.1.  Definition 2 (Potenz)  03

1.2.  Definition 3 (Definitionsbereich)  Seite03

1.3.  Festsetzungen  04

1.4.  Satz 0 (Exponentenvertauschung)  Seite04

1.5.  Bemerkungen  04

1.6.  Satz 1 (Umkehrfunktion)  05

1.7.  Erweiterung  05

2.  Eigenschaften  05

2.0.  Rechengesetze  05

2.0.0.  Satz 2 (Potenzgesetzte)  Seite06

2.1.  Gleichungen  07

2.1.0.  Satz 3 (Näherungsformel  07

Satz  4. (unendliche Binomialreihe) 2.1.1.  07

2.2.  Ungleichungen  08

2.2.0.  Satz 5 (Monotonie-Ungleichung bezüglich der Basen)  

   08

2.2.1.  Satz 6 (Monotonie-Ungleichung bezüglich der Exponenten)  

   08

2.2.2.  Satz 7 (Bernoulli-Ungleichung)  Seite09

3.  Symmetrie - Monotonie - Periodizität  10

3.0.  Satz 8 (Symmetrie)  Seite11

3.1.  Satz 9 (Monotonie)  Seite11

3.2.  Satz 10 (Periodizität)  11

4.  Stetigkeit, Grenzwert, Wertebereich, Graph  11

4.0.  Satz 11 (Stetigkeit)  Seite12

4.1.  Satz 12. (spezielle Grenzwerte)  Seite12

4.2.  Satz 13 (Wertebereich)  12

4.3.  Satz 14 (Konvexität/ Konkavität)  13

Seite 2

4.4.  Satz 15 (Quadranten)  14

4.5.  Spezielle Graphen der Potenzfunktion  15

4.6.  Spezielle Werte  15

5.  Differenzierbarkeit  15

5.0.  Satz 16 (Differenzierbarkeit und Ableitung)  15

6.  Integrierbarkeit  16

6.0.  Satz 17 (Integrierbarkeit)  Seite16

6.1.  Satz 18 (Stammfunktion)  Seite16

7.  Literatur  16

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0. Vorbemerkungen

1. Um von einer einheitlich basierten Angabe der Menge der (positiven/ ne-

gativen) reellen, rationalen, ganzen und natürlichen Zahlen ausgehen zu

können, möchte ich für diese Arbeit die folgenden Bezeichnungen nut-zen:

R

±

2. Weiter werde ich mich bei einigen Satz-Beweisen auf Sätze des vorange-

gangenen Vortrages von Prof. Dr. Bergmann stützen und diese dann ein-

fach nur kennzeichnen, indem ich unter das entsprechende (Gleichheits-,

Ungleichheits-, Implikations- oder Äquivalenz-) Zeichen „Satz“ schreibe.

1. Definition

Da wir im Vortrag von Prof. Dr. Bergmann die Potenzfunktion mit ganzem Ex-

ponenten kennen gelernt haben, möchte ich nun die Frage klären, ob die Po-tenzfunktion auch mit rationalem Exponenten existiert.

Die Antwort dazu lautet „Ja“!

Wir erweitern in diesem Fall ganz einfach die Definition der Potenzfunktion mit

ganzzahligem Exponenten:

1.0. Definition 1

Die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten ist die Bezeichnung für

, wobei r eine rationale Zahl ist. → eine Funktion der Art r : x f

Wir definieren die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten, indem wir

( ) ∈ ∧ ∈ ∀ = für rationale N n Z m r n : m

( ) ( ) ¹ m ∈ ∧ ∈ ∀ = m n m r N n Z m x f : ) ( n n

setzen und dies als die n-te Wurzel der m-ten Potenz interpretieren.

Dabei nennen wir x die Basis und r den Exponenten der Funktion ƒ.

1.1. Definition 2 (Potenz)

Die Definition von

Die n-te Wurzel

Lösung der Gleichung

1.2. Definition 3 (Definitionsbereich)

Den Definitionsbereich der Potenzfunktion mit rationalem Exponenten

bezeichnen wir als D(ƒ) mit:

{ } ( )

¹ Vgl. BERGMANN (Kapitel 2, Abschnitt 1: Definition)

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Damit wir an bestimmten Stellen (z.B. bei Beweisen) auf bestimmte Gegeben-heiten zurückgreifen können, treffe ich nach der Definition noch folgende Fest-legungen:

1.3. Festsetzungen

≡ 1. ⁰ : x

⁺¹ 2. r x

0 = 3. r :

⁻ 4. r x

Damit wir spätere Sätze beweisen können, ist erst eine Feststellung vonnöten,

die ich mit dem folgenden Satz nennen und beweisen will.

1.4. Satz 0

Für alle positiven reellen Basen x gilt :

( ) ( ) ( ) m

Beweis zu Satz 0:

¹ y n = : = Nach Definition ist die positive Lösung der Gleichung x x y n

Nehmen wir beide Seiten dieser Gleichung in die n-te Potenz, so erhalten wir

( ) x

Setzen wir nun noch:

und nehmen wieder beide Gleichungsseiten in die n-te Potenz, so können wir

wie folgt rechnen, indem wir u.a. die schon gewonnene Erkenntnis aus der De-finition anwenden:

( ) ( ) ( ) ( ) m

Ziehen wir nun aus der linken und rechten Seite der Gleichung die n-te Wurzel,

( ) n ¹ = so erhalten wir für a : m x a

Setzen wir jetzt noch das vorausgesetzte a und das neu ausgerechnete a gleich,

so erhalten wir den gesuchten Beweis:

( ) ( ) n

m ^{1 1} = m g x n

Als nächstes möchte ich auf gewisse Kleinigkeiten aufmerksam machen, die

zum Lösen von Potenzialgleichungen vonnöten, aber auch sehr irritierend sein

können und daher auch nicht so oft betrachtet werden

1.5. Bemerkungen

k ∈ Z

( ) ( ) ( ) a

1. ( = ∀ k p

2 2. ( ∧ < ∀ a 0

3. ( ≠ ∀ p 0

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Es ist also immer wichtig, darauf zu achten, dass die Wurzel eine nichtnegative

Zahl ist und auch nur aus nichtnegativen Zahlen gezogen werden kann (denn

wir sprechen hier im Bereich der reellen Zahlen.)

Weiterhin ist noch zu klären, ob die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten

im Gegensatz zu der mit ganzem Exponenten eine Umkehrfunktion besitzt. Da

wir bei der Potenzfunktion mit rationalem Exponenten den Reziproken im Expo-nenten bilden dürfen - was bei der Potenzfunktion mit ganzem Exponenten

nicht möglich war, da das Reziproke einer ganzen Zahl keine ganze Zahl mehr

ist, sofern es sich nicht um die Zahl 1 oder −1 handelt - und damit die Bedin-

gungen aus der Definition 1 noch erfüllt sind, ist die Potenzfunktion mit rationa-

lem Exponenten umkehrbar und es gilt:

1.6. Satz 1 (Umkehrfunktion)

Die Umkehrfunktion ƒ ⁻¹ der Funktion ƒ mit

mit dem dazugehörigen Definitionsbereich

D(ƒ ⁻¹ ) = D(ƒ)

Beweis zu Satz 1:

Nach der Definition einer Umkehrfunktion ² ist der Funktionswert g(x) der Funk-

tion g, die bei der Verkettung der Funktion ƒ mit ihrer Umkehrfunktion ƒ ⁻¹ ent-

steht, gleich dem Definitionswert x.

Da gilt:

) ( )

ist also ƒ ⁻¹ die Umkehrfunktion von ƒ.

Und da ƒ ⁻¹ eine Funktion mit ƒ ⁻¹ : s = ist - d.h. ƒ ⁻¹ ist x → für rationale s x n

m

auch eine Potenzfunktion mit rationalem Exponenten - ist der Definitionsbe-reich der gleiche wie bei ƒ.

g

1.7. Erweiterung:

Im Allgemeinen findet man auch oft die Potenzfunktion in der Form:

Bisher haben wir die Funktion nur für den Fall

meine Form in die Diskussion einschließen zukönnen muss man von der uns

diskutierten Funktion nur wie folgt abstrahieren

² Vgl. BERGMANN (Kapitel 1, Abschnitt 3: Bekanntes)

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