Gliederung

1.  Vorbemerkungen  02

2.  Sachanalyse  02

3.  Das didaktische Gesamtkonzept  04

4.  Eine optimale Stundeneinteilung  09

5.  Unterrichtsentwurf einer konkreten Unterrichtsstunde  12

6.  Literatur  16

1.  Vorbemerkungen  

1.1.  Zielstellung  

Das  Ziel dieser Unterrichtseinheit ist es, zu wissen, wie eine Ellipse konstruiert wird, wo sie  

vorkommt  und wie daraus ein Ellipsoid wird. Weiter soll ein selbstüberlegtes Modell des El-  

lipsoids  konstruiert und gebastelt werden.  

1.2.  Voraussetzungen  

Wir  wollen diese Unterrichtseinheit an die Behandlung des Kreises der Klasse 6 oder 7 anset-  

zen  , d.h. funktionale Zusammenhänge sind hier noch nicht zu betrachten.  

1.3.  Grobstruktur der Unterrichtseinheit  

Wir  wollen von einer etwas ungewöhnlichen Konstruktion eines Kreises zu der einer Ellipse  

  übergehen und diese noch als schrägen Kegelschnitt darstellen. Nachdem dann die wichtigs-  

ten  Eigenschaften einer Ellipse besprochen wurden, werden wir den Ellipsoid als Körper der  

rotierenden  Ellipse einführen und versuchen ein Modell zu entwickeln und dann letztendlich  

zu  basteln.  

2.  Sachanalyse  

2.1.  Die Ellipse  

Eine  Ellipse lässt sich als Schrägbild eines Kreises darstellen. Da  

solche  Schrägbilder mithilfe von Parallelprojektionen aus Kreisen  

entstehen  , erhält man die folgende Definition.  

Definition  1 1 :  

Als  Ellipse bezeichnet man jede Parallelprojektion eines Kreises.  

Bei  einer axialen Stauchung oder Streckung eines Kreises entsteht  

ebenso  eine Ellipse. Die Ellipse hier kann als das Bild eines Kreises  

mit  dem Radius a oder als das Bild eines Kreises mit dem Radius b  

aufgefasst  werden. Dies liefert die folgende Ellipsenkonstruktion:  

Man  zeichnet einen Strahl vom Mittelpunkt  

der  beiden Kreise. Nun zeichnet man durch  

den  Schnittpunkt dieses Strahls mit dem  

kleinen  Kreis eine Horizontale und durch  

den  mit dem großen Kreis eine Vertikale.  

Der  Schnittpunkt dieser Horizontalen und Vertikalen ist dann ein  

Punkt  der Ellipse. Hieraus entsteht die nächste Definition einer Ellipse.  

Definition  2 1 :  

Eine  Ellipse ist das Bild eines Kreises bei einer affinen Abbildung.  

1  Vgl: SCHEID,  134

Seite 2

² Vgl: SCHEID, Seite 135 f.

³ Vgl: SCHEID, Seite 136

⁴ Vgl: SCHEID, Seite 136 f.

Seite 3

2.2. Der Ellipsoid

Der Ellipsoid ist ein Rotationskörper, der entsteht, wenn eine Ellipse um eine ihrer Achsen rotiert. Die Schnittebene durch einen Ellipsoid ist dann wiederum eine Ellipse oder im Spezialfall ein Kreis. 5

3. Das didaktische Gesamtkonzept

3.2. Einführung der Ellipse als Kegelschnitt

Da die Unterrichtseinheit an die Behandlung des Kreises anschließen soll, ist eine Wiederholung sinnvoll. Man kann nun diskutieren, wo so ein Kreis überall vorkommt und dann auch darauf zusprechen kommen, was entsteht, wenn man einen Kegel parallel zur Grundfläche schneidet. Ein Kreis entsteht. Mit Hilfe des Computerprogramms „WinFunktion“ und/ oder anhand anschaulicher Modelle lassen wir die Kinder nun ausprobieren, was entsteht, wenn der Kegel schräg geschnitten wird. Wir kommen so auf die Ellipse und können anfangen darüber zu diskutieren.

3.1. Die Alternative - Einführung vom Kreis zur Ellipse über die Gärtnerkonstruktion Eine zweite Einführungsmöglichkeit ist die Einführung der Ellipse über die Gärtnerkonstruktion vom Kreis ausgehend. Selbst, wenn wir diese nicht als Einführung wählen sollten, sollte diese Sequenz doch später als eine Ergänzung mit eingefügt werden. Wie oben erwähnt, soll diese Unterrichtseinheit an die Behandlung des Kreises anschließen. Daher wollen wir bei der Einführung der Ellipse, die ja Voraussetzung für den Ellipsoiden ist, vom Kreis über gehen. Überwiegend werden wir diese Unterrichtseinheit in Gruppenarbeit und -gesprächen durchführen.

Bisher haben die SchülerInnen nur gelernt, einen Kreis mithilfe eines Zirkels zu zeichnen. In dieser Teilsequenz möchten wir aber eine eher ungewöhnliche Methode demonstrieren, wie man einen Kreis ohne Zirkel, z.B. in ältester Zeit, wo es solche Hilfsmittel noch nicht gab, zeichnen kann. Wir werden dazu eine Gruppendiskussion anregen und die einzelnen (hoffentlich kreativen) Vorschläge der SchülerInnen auch durch sie ausprobieren lassen. Sollte bis zu einem bestimmten Zeitpunkt, der je nach Zeitressourcen vorher bestimmt werden sollte, noch nicht der für uns entscheidende Vorschlag kommen, so werden wir die Diskussion mit eben diesen unserem Vorschlag beenden. Unser Vorschlag lautet wie folgt: Man nehme zwei Stifte, Nadeln o.ä., an denen man je ein Ende eines Fadens bindet. Diese beiden „Halterungen“ setzt oder befestigt man nun an ein und dem selben Punkt an der Tafel. Nun tut man ein Stück Kreide in die Schlaufe, die ja durch den Faden entstanden ist und zeichnet einmal nach oben und einmal nach unten einen Halbkreis, indem man einfach den Faden straff mit der Kreide von links über oben/ unten nach rechts zieht. Somit haben wir mit den einfachsten Bedingungen einen Kreis gezeichnet und lassen dies nun von den Schülern selbst (an der Tafel oder bei großen Klassen im Heft) ausprobieren. Nun kommt die alles entscheidende Frage: „Was kann man denn auf diese Weise noch alles zeichnen?“ Wieder werden wir verschiedene SchülerInnen-Antworten abwarten (so welche kommen). Entweder aufgrund einer kreativen SchülerInnenleistung oder mit Anstoß unsererseits

⁵ Vgl: BRONSTEIN, Seite 227 ff.

Seite 4

werden wir fragen, was passiert, wenn ich genauso zeichne, aber die „Halterungen“ nicht im selben Punkt, sondern an zwei verschiedenen Punkten anbringe. Wir werden es einfach versuchen und ein sonderbares Bild erhalten. Es wird das Bild eines gestreckten oder gestauchten Kreises sein.

Nun sind wieder die SchülerInnen gefragt, die uns sagen sollen, was das sein soll, was wir da kreiert haben. Vielleicht kennt ja der ein oder andere schon diese Form, weiß, wo sie vorkommt oder sogar, wie sie heißt. Auf jeden Fall werden wir hier wieder diskutieren, hin und wieder einige Anstöße bringen und fließend zur nächsten Sequenz übergehen (wenn auch vielleicht nicht in der selben Unterrichtsstunde) 3.3. Wo findet man Ellipsen?

Im fließenden Übergang nach der ersten Sequenz oder einer stundenanfänglichen Wiederholung dieser werden wir wieder im Gruppengespräch versuchen herauszufinden, wo die Ellipse überall vorkommt. Wichtig ist, dabei auf jeden Fall die Planetenbahnen und auch den Gartenbereich, wo oft Beete in solcher Form angefertigt werden, zu erwähnen. Beim Erwähnen letzteres können wir dann nämlich auch darauf zurückkommen, wie wir die Ellipse eigentlich konstruiert haben und, dass das eigentlich die Methode der Gärtner war, die einfach und mühelos solche Formen in Beeten konstruieren mussten, und diese daher auch Gärtnerkonstruktion genannt wird. Bei genügenden Zeitressourcen kann ja diese Konstruktion auch praktisch im Garten nachvollzogen oder auch in anderen Unterrichtsfächern angewandt werden. Wichtig ist es uns auch, hier praktisch und anschaulich am Modell zu zeigen, was passiert, wenn wir einen Kreiszylinder oder -kegel schräg durchtrennen. Leicht werden die SchülerInnen erkennen, dass die „Schnittfläche“ eine Ellipse ist. (Schnittfläche daher, weil Schnittebene vielleicht noch ein etwas zu abstrakter Ausdruck ist.)

Hierzu ist es noch möglich das Computerprogramm „WinFunktion“ zu verwenden, mit dem sich eine solche Schnittebene anschaulich je nach manueller Einstellung des Schnitts am Kegel entsprechend verändert.

3.4. Eigenschaften der Ellipse

Möglicherweise in einer weiteren Unterrichtsstunde wollen wir dann auch die verschiedenen Eigenschaften der Ellipse erforschen und benennen. Dabei ist die fachspezifische Bezeichnung der einzelnen Bestandteile in dieser Klassenstufe noch nicht vonnöten. Auf jeden Fall sollte eingesehen werden, dass eine Ellipse eigentlich nur ein Kreis ist, der in eine Richtung auseinandergezogen oder in die andere (zu der einen orthogonal liegenden) Richtung zusammengeschoben wurde.

Weiter sollten wir diskutieren, ob der Kreis auch eine Ellipse ist. Nach einer Diskussion werden wir dann darauf kommen, dass er ja genauso konstruiert wird wie die Ellipse, bloß dass die zwei „Halterungs“-Punkte zusammenfallen. 3.5. Einführung des Ellipsoids als rotierende Ellipse

Entweder in Anschluss an die Eigenschaften der Ellipse oder aber auch in einer neuen Unter-richtsstunde - je nachdem, wie die bisherige Zeiteinteilung entsprechend der vorhandenen Zeitressourcen stattgefunden hat - möchten wir zum Ellipsoid übergehen. Wir werden dabei ankündigen, dass wir einen neuen Körper kennen lernen wollen. Erst werden wir fragen, ob jemand eine Idee hat, wie aus einem Kreis eine Kugel werden könnte. Wir werden dazu probieren und diskutieren. Letzen Endes wird es klar sein, dass man einfach nur einen Kreis um den eigenen Durchmesser rotieren lassen muss. Am günstigsten wäre hier ein Kugelmodell, dass aus einer Kreisscheibe besteht, die sich mechanisch oder elektrisch angetrieben so schnell dreht, dass man erkennen kann, dass dabei eine Kugel geformt wird. Wichtig ist noch zu erkennen, dass es egal ist, aus welcher Richtung man schaut und um welchen Durchmesser sich die Kreisscheibe dreht.

Nun werden wir fragen, was denn passiert, wenn wir unsere Ellipse so dreht. Doch zu erst müssen wir ja klären, um welche Achse wir die Ellipse drehen lassen, da es ja keinen Durchmesser gibt. An dieser Stelle sollten wir uns an die Eigenschaft erinnern, dass eine Ellipse nur ein zusammengeschobener oder auseinandergezogener Kreis ist. Daraus folgt dann also, dass

Seite 6