Inhaltsverzeichnis

Vorwort  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  4

1  Einleitung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  7

2  Nichtlineare Systeme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  9

2.1  Die Belousov-Zhabotinskii Reaktion : : : : : : : : : : : : : : : :  10

2.1.1  Der Oregonator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  11

2.1.2  Der Montanator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  13

2.1.3  Der Single-Current-Oscillator (SCO) : : : : : : : : : : : : : :  20

2.2  Das R ossler-System : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  23

3  Neuronale Netze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  25

3.1  Feedforward-Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  29

3.1.1  Der Back-Propagation Lernalgorithmus : : : : : : : : : : : : :  33

3.1.2  Overtraining : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  36

3.2  Recurrent Neural Networks : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  37

3.3  Openloop-Lernen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  39

4  Dynamische neuronale Netze : : : : : : : : : : : : : : : : : :  41

4.1  Die Topologie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  41

4.2  Das Lernverfahren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  43

1

INHALTSVERZEICHNIS 2

4.3  Skalierung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  47

4.4  Gelernte Attraktoren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  49

4.4.1  Der SCO : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  49

4.4.1.1  Periode 1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  49

4.4.2  Der 3-Variablen Montanator : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  52

4.4.2.1  Periode 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  52

4.4.3  Das R ossler System : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  55

4.4.3.1  Periode 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  55

4.4.3.2  Periode 3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  58

4.5  Zusammenfassung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  60

5  Analyse : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  62

5.1  Korrelation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  63

5.2  Relative Gewichte und Informationstheorie : : : : : : : : : : : :  68

5.2.1  Relatives Gewicht : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  68

5.2.2  Information : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  69

5.2.3  Ergebnisse der Berechnungen : : : : : : : : : : : : : : : : : :  72

5.3  Diierentiation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  76

5.4  Zusammenfassung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  80

6  Linearisierung und Phasenraumanalyse : : : : : : : : : : :  82

6.1  Motivation der Linearisierung : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  82

6.1.1  Eliminieren der linearen versteckten Schichten : : : : : : : : :  83

6.1.2  Linear abh angige Neuronen : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  84

6.2  Linearisierung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  86

6.2.1  L osung der linearen Abbildung : : : : : : : : : : : : : : : : :  91

6.3  Der Phasenraum : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  96

3

6.4  Funktionsgeneratoren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  101

6.4.1  Frequenz anderung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  102

6.4.2  Attraktorgenerierung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :  105

7  Zusammenfassung der Ergebnisse : : : : : : : : : : : : : : :  107

4 Vorwort

Vorwort

Wohl eines der komplexesten Objekte der modernen Wissenschaft stellt das Gehirn des Menschen dar und ist damit eines der am wenigsten verstandenen Ph anomene der Natur. Die Komplexit at der synaptischen Vernetzung im Gehirn erm oglicht solch schwer in mathematischer Sprache faabare Dinge wie Lernen, Wissen, Verstehen, Sprache und Bewuutsein, um nur einige zu nennen. Die Schwierigkeiten bei der Erforschung des Gehirns haben im wesentlichen zwei Gr unde. Welche Fragen soll man stellen, d.h. wonach soll man suchen, wenn man z.B. Bewuutsein erkl aren m ochte und wie kann man die astronomische Anzahl von Neuronen und Synapsen, aus dem sich das Gehirn zusammensetzt, in den Grii bekommen? Die Antworten auf unsere Fragen, die wir eventuell noch nicht richtig gestellt haben, verbergen sich in der Komplexit at der Verbindungen der Neuronen untereinander. Neben den klassischen Disziplinen zur Untersuchung des menschlichen Gehirns, wie der Philosophie, Neurologie und vielleicht auch der Theologie, haben sich in j ungster Zeit zwei neue Ans atze entwickelt, die sich aufteilen in die Lager der K unstlichen Intelligenz (AI, artiicial intelligence) und der k unstlichen neuronalen Netze (ANN, artiicial neural networks). Die AI ist

5 Vorwort

mit ihrem Ansatz bem uht, auf herk ommlichen Computerarchitekturen Wissen zu repr asentieren, wobei Wissen sowohl Fakten, wie \Holz brennt", als auch Folgerungen, wie \H auser bestehen aus Holz. Also: H auser brennen", mit einschlieet. Sie geht davon aus, daa Intelligenz auf Wissen basiert, sowie auf die F ahigkeit, logische Schluufolgerungen zwischen den Fakten herzustellen. Dazu ist die AI auf grooe und schnelle Speicher, sowie auf eeziente Suchalgorithmen angewiesen. Die Erforschung k unstlicher neuronaler Netze uber die Arbeitsweise des Gehirns zu gewinnen hat das Ziel, reine Erkenntniss

und damit uns selber besser zu verstehen und in Zukunft die Struktur des Gehirns als neue Rechenarchitektur nachzubilden, mit all den potentiellen F ahigkeiten, die wir selber besitzen. Noch ist dieses Forschungsgebiet jedoch angewiesen auf schnelle herk ommliche Computer, um auf diesen die parallele Arbeitsweise neuronaler Netze zu simulieren. Die Forschung ist damit nat urlich den Einschr ankungen unterworfen, die heutige Computer mit sich bringen, z.B. mangelnde Geschwindigkeit durch serielle Simulation paralleler Arbeitschritte.

Die AI t auscht Intelligenz vor und ist darin schon sehr gut, wie diverse Expertensysteme im Gebrauch zeigen. ANN's jedoch m ochten alle Aspekte des menschlichen Geistes simulieren k onnen und damit ein Modell zur Untersuchung der Strukturen im Gehirn anbieten. Auuerdem lassen sich ANN's auf Probleme anwenden, welche sich durch die herk ommliche algorithmische Art nur schwer l osen lassen oder grooen Rechenaufwand erfordern. Zum Beispiel uberlegen, wenn es darum geht, Objekte ist ein kleines Kind jedem Computer

in einer Umgebung von anderen Objekten zu unterscheiden und zu isolieren. Diese und ahnliche Anwendungen sind in letzter Zeit sehr erfolgreich durch

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ANN's gel ost worden.

Angefangen mit McCulloch und Pitts CP43] im Jahre 1943, welche ein erstes Modell f ur k unstliche neuronalen Netze ver oentlichten, Rosenblatt RO62], welcher die Konvergenz eines Lernalgorithmus' f ur das Perceptron, uber eine Phase von fast kei-ein fr uhes k unstliches neuronales Netz, zeigte, ner wissenschaftlichen Arbeit auf diesem Gebiet, welches verursacht wurde durch Minsky und Papert MP69] im Jahr 1969 (sie zeigten, daa der Ler-nalgorithmus von Rosenblatt nicht in der Lage war, einige wichtigen Probleme (XOR) zu l osen) explodierte die Forschung geradezu, nachdem Hopeld HO82] im Jahre 1982 seine Energie-Funktion einf uhrte und Rumelhart

RU86] und unabh angig von ihm andere 1985 den Back-Propagation Lernal-gorithmus ver oentlichten. Seitdem werden k unstliche neuronale Netzwerke intensiv erforscht und mit grooem Erfolg auf verschiedenen Gebieten angewendet.

Trotz des grooen Erfolges und des nicht weniger grooen Aufwandes, der auf diesem Gebiet betrieben wird, ist man noch weit davon entfernt, das menschliche Gehirn zu verstehen. Auch diese Arbeit erhellt die Geheimnisse keineswegs, ist aber vielleicht ein kleiner Baustein auf dem Weg dorthin.

7

1 Einleitung

Die Diplomarbeit gliedert sich in vier gr oere Teile. Der erste Abschnitt uber die theoretischen Grundla-

gen handeln. Davon ist Kapitel 2 der Teil, welcher die chemischen Systeme behandelt, die als Quellen der Lerndaten der neuronalen Netze dienen. Genaugenommen handelt es sich hierbei um nur ein chemisches System, die BZ-Reaktion, und verschiedene ihrer Modelle. Auuerdem ist ein kurzer Abuber

die theoretischen Grundlagen der Typen neuronaler Netze und des Lernverfahrens, die in den sp ateren Kapiteln zur Anwendung kommen. Dies ist im wesentlich das Feedforward Netzwerk, Netzwerke mit R uckkopplung und der Back-Propagation Lernalgorythmus. uber das verwendete Verfahren aus speziellen Netzwerken mit R uckkopplung ein dynamisches System zu erzeugen, welches die Dynamik eines chemischen Systems, bzw. des R osslersystems m oglichst gut, aber bei gleichzeitiger m oglichst kleiner Anzahl von Neuronen, wiedergibt.

Die darauuolgenden beiden Teile, n amlich Kapitel 5 und 6, zielen haupt-

8 Einleitung

s achlich darauf ab, die aus Kapitel 4 erzeugten dynamischen neuronalen Ubergangsfunktion, welche in den Neuronen verwendet wird, von entscheidender Bedeutung, da sie das Haupthindernis darstellt, Informationen aus dem Netzwerk zu gewinnen. Kapitel 5 behandelt verschiedene Methoden, die Relevanz von Neuronen und Verbindungen zwischen Neuronen festzustellen, sowie Redundanzen im Netzwerk zu nden. Kapitel 6 reduziert die Netzwerke auf lineare Diierenzengleichungen, welche wesentlich einfacher zu analysieren und zu ver andern sind, so daa sie f ur eine bestimmte Anwendung benutzt werden k onnen, ohne aufwendiges Trainieren mit ungewissem Ausgang not- wendig zu machen.

9 Nichtlineare Systeme

2 Nichtlineare Systeme

Wenn man von nichtlinearen dynamischen Systemen spricht, meint man in der Regel Systeme von Diierentialgleichungen erster Ordnung mit mindestens oder genau einem nichtlinearem Term. Diierentialgleichungen h oherer Ordnung lassen sich durch Substitution auf ein System von Diierentialgleichungen 1.Ordnung zur uckf uhren. Die allgemeine Form ist:

dx 1

Diese Art von Gleichungen sind entweder eine mehr oder weniger gute mathematische Beschreibung f ur ein reales System, wie z.B. die folgenden chemischen Systeme, oder stehen f ur sich selbst ohne Bezug zur Realit at, wie z.B. das R ossler System. In diesem Fall sind sie alleine wegen ihres komplexen Verhaltens, dazu geh oren Fixpunkte, Bifurkationen, periodische und aperiodische Attraktoren bis hin zu Chaos und seltsamen Attraktoren, von Interesse. Im ersten Fall sollen sie die realen Eigenschaften des zu beschrei-

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benden Systems m oglichst gut wiedergeben.

Die Gleichungssysteme sind meistens nicht analytisch l osbar und man ist auf numerische Berechnung der Trajektorien ~ x(t) in Abh angigkeit von den Anfangswerten ~ x(0) ~ x 0 angewiesen.

Im folgenden sei das chemische System mit seinen Modellen, welche in dieser Arbeit als Quelle der Lerndaten der neuronalen Netze dient, erl autert.

2.1 Die Belousov-Zhabotinskii Reaktion

Einer der am h auugsten untersuchten chemischen Oszillatoren stellt sicher die Belousov-Zhabotinskii (BZ-) Reaktion dar. Man versteht darunter eine ganze Familie von Oszillatoren, in denen ein organisches Substrat durch Bromat in schwefelsaurer L osung katalytisch oxidiert werden. Als organische Substanz wird h auug Malons aure (CH 2 (COOH) 2 ) aber zum Beispiel auch Zitronens aure, Acetylaceton oder Ascorbins aure verwendet. Als Katalysatoren werden z.B. die Redoxpaare Ce ³⁺ =Ce ⁴⁺ oder Mn ²⁺ =Mn ³⁺ benutzt. Die Reaktion wird entweder in einem Durchhuur uhrreaktor (Continuos ow stirred tank reactor, CSTR), in einer Petrischale oder einfach als homogene Reaktion untersucht.

Field, K or os und Noyes ver oentlichten 1972 ein erstes Modell f ur die BZ-Reaktion FK72], den sogenannte FKN-Mechanismus, mit 10 Elementarreaktionen und 13 beteiligten Spezies. Neuere Untersuchungen GT90] haben allerdings gezeigt, daa etwa 20-30 verschiedene Spezies in 50-100 Elementarreaktionen an der BZ-Reaktion beteiligt sind. W ahrend der anorganische Teil der BZ-Reaktion sehr gut verstanden wird, haupts achlich durch Arbeiten am

11

mimimalen Bromatsystem, ein System, welches das anorganische Subsystem der BZ-Reaktion modelliert NF71, TG89, BG83, KE85], ist es bisher noch nicht gelungen den organischen Teil zufriedenstellend zu analysieren. Weder sind alle beteiligten Spezies noch alle Teilreaktionen bekannt.

2.1.1 Der Oregonator

Um das sehr komplexe dynamische Verhalten der BZ-Reaktion in bestimmten Parameterbereichen zu beschreiben gen ugt bereits schon ein sehr einfaches Modell. Der Oregonator ist ein 3-Variablen Modell, welches aus dem komplizierterem FKN-Mechanismus durch starke Vereinfachung entsteht FN74]. Von den urspr unglichen 11 Reaktionen werden nur die 5 wichtigsten Reaktionsschritte ber ucksichtigt:

3 + Br ? ^{k 1} ?! HBrO 2 + HOBr BrO ?

Der Ausgleich fehlender Ladungen, sowie der st ochiometrische Ausgleich ndet durch Wasser und Protonen aus dem saurem Medium (H 2 SO 4 ) statt. Die Konzentrationen der beiden sind so hoch, daa sie als konstant betrachtet werden und in den Geschwindigkeitskonstanten k n ber ucksichtigt werden. Das daraus resultierende dreidimensionale Diierentialgleichungssystem bestimmt die Dynamik der Variablen Br ^? , Ce ⁴⁺ und HBrO 2 . Die ersten beiden ieeen mit der Rate k f konstant zu. Die ebenfalls mit k f zuuieeende

12 Nichtlineare Systeme

Spezies BrO ? 3 wird wegen seiner im Vergleich zu den anderen Spezies sehr grooen Konzentration von 0:3M als konstant angesehen (vgl.Glg. 2.4) und HOBr ieet als inertes Produkt ab. Der organische Teil der BZ-Reaktion, welcher die R uckbildung des Br ^? bewerkstelligt, ist implizit im Faktor f enthalten.

Die Geschwindigkeitskonstanten k n wurden urspr unglich aus dem zu-grunde liegendem FKN-System abgeleitet FK72], sp ater wurde aber gezeigt, daa diese Konstanten nicht der Realit at entsprechen und verbesserte Werte wurden ver ooentlicht FF86]:

Die Einnuukonzentrationen der zwei Variablen Br ^? und Ce ⁴⁺ sind:

Dieses Modell zeigt einfache dynamische Ph anomene wie station are Zust ande, Bistabilit aten, sub- und superkritische Hopfbifurkationen, Oszillationen und Erregbarkeit, die auch experimentell beobachtet werden k onnen. Der Bifurkationsparameter in diesem System ist die Fluurate k f . So existiert zum Beispiel eine Hopfbifurkation bei k f = 5:939 10 ^?4 s ^?1 . Obwohl qualitativ einfache dynamische Ph anomene der BZ-Reaktion im Oregonator auftreten, kann er, wegen der extremen Vereinfachung, keine

13

komplexeren Oszillationsmuster oder Chaos erkl aren.

7-Variablen Montanator

3e-05

2.5e-05

2e-05

^Ce(IV)[M] 1.5e-05

1e-05

5e-06

Abbildung 2.1: Bifurkationsdiagramm des 7-Variablen Montanators

2.1.2 Der Montanator

Von Gy orgyi und Mitarbeitern stammt ein Modell der BZ-Reaktion, welches nach seinem Entstehungsort, der University of Montana, benannt wurde und die experimentell beobachteten Oszillationen, Aperiodizit aten und deterministisches Chaos ebenfalls zeigt GR91]. Obwohl dieses Modell umstritten ist GF94], reproduziert es die beobachtete Reaktionsdynamik bis heute am besten.

Das urspr ungliche Montanator Modell besteht aus 19 Reaktionsgleichun-

14

gen und 11 Variablen, l aat sich aber ohne Verlust an Qualit at der Simulationsergebnisse auf ein 7-Variablen Modell mit 11 Reaktionsgleichungen reduzieren:

HBrO 2 + Br ^? + H + ^{k S1} ?! 2BrMA

Die Konzentrationen der Spezies H ⁺ , BrO ? 3 , H 2 O und Malons aure (MA) werden als konstante Parameter angesehen. F ur diese, sowie f ur die Geschwindigkeitskonstanten k S1 bis k S11 siehe Tab. 2.1. Der Montanator besteht aus zwei Autokatalysezyklen. Der eine wird durch die Reaktionen 4 bis 7 unter Bromatabbau mit HBrO 2 als autokatalytische Spezies gebildet. Davon unabh angig ist der zweite autokatalytische Zyklus, welcher durch die Reaktionen 8 bis 11 zusammen mit Reaktion 1 gebildet wird. Er ist verantwortlich f ur die R uckbildung des Bromids, wobei hier BrMA die autokatalytische Spezies darstellt. Auuerdem wird er durch Aussuu von BrMA aus dem Reaktor inhibiert. Dies ist der Grund, warum

15 Nichtlineare Systeme

Ce ³⁺ ] 0 = 8:33 10 ^?4 M BrO ? 3 ] 0 = 0:1M

Tabelle 2.1: Parameter des 7-Variablen Montanators

aperiodisches Verhalten der BZ-Reaktion nur im Fluu beobachtet wird, da er unabdingbare Vorraussetzung f ur die Inhibition der zweiten Autokatalyse ist. Die Wechselwirkung beider Autokatalysezyklen unterschiedlicher Frequenz erzeugt die komplexen Oszillationsmuster. Abbildung 2.1 zeigt das Bifurkationsdiagramm des 7-Variablen Montana-tors bei den in Tabelle 2.1 angegebenen Parameterwerten in Abh angigkeit von der Fluurate. Sowohl die Parameter als auch das numerisch simulierte dynamische Verhalten des Modells stimmen sehr gut mit den von Swinney uberein RS83, CC87, RT82, und Mitarbeitern durchgef uhrten Experimenten

NC87, NC89]. Es werden das " Low-Flowrate-Chaos\(k f = 1:4 10 ^?4 s ^?1 ? 3:110 ^?4 s ^?1 ) sowie die " High-Flowrate-Aperiodizit aten\(k f = 8:510 ^?4 s ^?1 ? 9:8 10 ^?4 s ^?1 ) gut reproduziert.

Das bisher besprochene 7-Variablen Modell l aat sich mit Hilfe der in der

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chemischen Kinetik g angigen Methoden auf ein 4-Variablen Modell reduzieren. So sind die beiden Konzentrationen von Ce ³⁺ und Ce ⁴⁺ nicht unabh angig voneinander, denn es gilt:

Ce ³⁺ ] = Ce ³⁺ ] 0 ? Ce ⁴⁺ ] (2:6)

F ur das Malonylradikal gilt nach dem Theorem von Bodenstein BO13] dMA ]

dt = 0 (2:7)

und damit folgt in quasistation arer N aherung aus der Geschwindigkeitsgleichung:

q (k S10 BrMA]) ² + 8k S8 k S11 Ce ⁴⁺ ] ? k S10 BrMA]

MA ] = k S11

Die dritte N aherung beruht auf der Erkenntnis von Field und F orsterling FF86], daa sich die BrO 2 -Radikale stets im Gleichgewicht mit BrO ^? 3 und HBrO 2 beenden. Damit kann man aus den Reaktionen 4 und 5 (siehe Glg. 2.5) die Konzentration f ur BrO 2 ableiten:

v

u u t k S4 BrO ^? 3 ]

k S5 H 2 O] HBrO 2 ] BrO 2 ] = (2:9)

Eingesetzt in das 7-Variablenmodell ergibt sich das Diierentialgleichungssystem des 4-Variablenmodells:

x 1 = ?k T1 ax 1 x 2 ? k T2 a ² cx 1 + k T7 x 3 x 4 + k T8 dx 1 x 4 ? k f x 1 _

x 2 = ?k T1 ax 1 x 2 + k T2 a ² cx 1 ? k T3 x 2 2 + 0:5k T4 ae(x 0 3 ? x 3 ) ? 0:5k T5 x 2 x 3 ? k f x 2 _

x 3 = k T4 ae(x 0 3 ? x 3 ) ? k T5 x 2 x 3 ? k T6 bx 3 ? k T7 x 3 x 4 + k f (x 0 3 ? x 3 ) _

x 4 = 2k T1 ax 1 x 2 + k T2 a ² cx 1 + k T3 x 2 2 ? k T7 x 3 x 4 ? k T8 dx 4 ? k f x ⁴ (2:10) _

17 Nichtlineare Systeme

Die Zuordnung der Variablen zu den Spezies, sowie die Parameterwerte des Systems sind aus Tabelle 2.2 ersichtlich. Die Konzentrationen von MA ]

Tabelle 2.2: Zuordnung und Parameter des 4-Variablen Montanators

und BrO 2 ] werden nach Gleichung 2.8 und 2.9 berechnet. Ebenso wie beim 7-Variablenmodell f uhrt eine systematische Variation der Fluurate k f zu einem Bifurkationsdiagramm, das sich nur geringf ugig von dem in Abbildung 2.1 unterscheidet. Das " Low-Flowrate-Chaos\wird bei etwas h oheren Fluugeschwindigkeiten gefunden und die " High-Flowrate-Aperiodizit aten\erscheinen zwar im selben Fluuratenbereich, sind jedoch wesentlich st arker ausgepr agt. Abgesehen von der leichten Verschiebung ist der 4-Variablen-Montanator vor allem zur Simulierung im Bereich des " Low-

18

3-Variablen Montanator

6e-05

5e-05

4e-05

^{Ce(IV) [M]} 3e-05

2e-05

1e-05

Abbildung 2.2: Bifurkationsdiagramm des 3-Variablen Montanators

Flowrate-Chaos\geeignet.

Schlieelich kann man noch einen Schritt weiter gehen und die vier Variablen auf drei reduzieren. Nach dem Theorem von Poincar e-Bendixon GG83, WI90] sind 3 Variablen mindestens n otig f ur ein zeitkontinuierliches System um Chaos zu zeigen. Es stellt sich also die Frage, ob auch der Mon-tanator nach Reduktion auf drei Variablen noch deterministisches Chaos zeigen kann. Die Vereinfachung erfolgt, wie im Falle des Malonylradikals im 7-Variablen-Montanators (siehe Glg. 2.7 und 2.8), unter der Annahme der Quasistationarit at der Bromidkonzentration Br ^? ], welche damit als konstant betrachtet wird. Die Radikal ubertragung (siehe Reaktion 10 in 2.5) wird ver-

19 Nichtlineare Systeme

nachl assigt und das dabei entstehende Bromid in zwei Parameter und ber ucksichtigt. Damit erh alt man den 3-Variablen-Montanator:

MA] 0 = 0:25M

Tabelle 2.3: Zuordnung und Parameter des 4-Variablen Montanators

x 1 = ?2k U3 x 2 1 + 0:5k U4 a ^1:5 c ^0:5 x 0:5 1 (x 0 2 ? X 2 ) ? 0:5k U5 x 1 x 2 + y 2 ? y 1 ? k f x 1 _

x 2 = k U4 a ^1:5 c ^0:5 x 1 (x 0 2 ? x 2 ) ? k U7 bx 2 ? k U5 x 1 x 2 ? k U6 x 2 x 3 ? k f x 2 _

x 3 = k U3 x 2 1 ? k U6 x 2 x 3 + y 2 + 2y 1 ? k f x 3 _

(2:11) Dabei gilt: y 1 = k U1 k U6 ax 1 x 2 x 3

20

Siehe Tabelle 2.3 f ur die Zuordnung und die Parameterwerte. Auch das Bifurkationsdiagramm des 3-Variablen-Montanators (Abb. 2.2) zeigt zwei Fluuratenbereiche mit deterministischen Chaos (k f 4:010 ^?4 s ^?1 und k f 2:8 10 ^?3 s ^?1 ), jedoch sind die Abweichungen zwischen Experiment und Modellrechnung hier so stark, daa nur noch qualitative Interpretationen von experimentellen Beobachtungen m oglich sind.

2.1.3 Der Single-Current-Oscillator (SCO)

Dieses System ist aus dem Versuch entstanden, chemische Oszillatoren mechanistisch zu verstehen. Es ist ein Beispiel f ur ein extrem vereinfachtes Modell, welches chemisch nicht mehr plausibel ist EF91]. So ist der SCO, wie er im Bild 2.3 schematisch dargestellt ist, im Prinzip eine mechanistische Erkl arung f ur Oszillationen im Oregonator. Das zum Schema geh orende

21

Reaktionssystem besteht aus vier einfachen Reaktionen:

X ^{k 1} ?! 2X + 2Z

Die St ochiometrie in Glg. 2.14 entspricht der Anzahl der Pfeilspitzen und Federn im Bild 2.3. Der SCO besteht aus einem autokatalytischen Zyklus, in

[Z]

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

dem sich die Spezies X selbst produziert (Reaktion 1). Dies ist das Analogon zur Reaktion 3 des Oregonators (siehe Glg. 2.2) mit der autokatalytischen Spezies HBrO 2 . Die Explosion der Spezies X wird durch Reaktion 3 ver-

22

hindert, in der X und Y zusammen zu einem inertem Produkt (in Glg. 2.14 uber eine weggelassen) reagiert (Reaktion 2 im Oregonator Glg. 2.2). Y wird Zwischenspezies Z aus X selber produziert, d.h. der autokatalytische Zyklus sorgt selber f ur seine Spezies mit der die Produktion von X vermindert wird uber Reaktion 1 im Oregonator Glg. 2.2). (Reaktion 4

Aus dem Reaktionssystem folgt das Diierentialgleichungssystem

_ X = k 1 X ? k 3 XY

und mit den Parametern aus Tabelle 2.4 ergibt sich der Grenzzyklus aus Bild 2.4.

Der SCO wird hier als Quelle f ur Lerndaten vor allem deswegen verwenubersichtlich ist und det, weil sein Reaktionsschema besonders einfach und sich deshalb sehr gut eignet mit den daraus resultierenden neuronalen Netzen verglichen zu werden.

23

^z 9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-5

2.2 Das R ossler-System

Im Jahr 1976 ver oentlichte O. E. R ossler ein besonders einfaches System, welches Chaos im Zeitkontinuum produziert OR76]. Das 3-dimensionale Diierentialgleichungssystem hat folgende Form:

x = ?(y + z) _

Im folgenden sind die Parameter a und b konstant und Parameter c dient als Bifurkationsparameter: a = 0:2; b = 0:2 (2:17)