Inhaltsverzeichnis

Zusammenfassung   II

Abstract   III

1.  Einleitung  1

2.  Theorie der unscharfen Mathematik.  2

2.1  Unscharfe Mengen.  2

2.2  Die Zugehörigkeitsfunktion  3

2.3  Unscharfe Logik.  5

3.  Fuzzy-Control.  6

3.1  Fuzzifizierung  6

3.2  Inferenz.  7

3.3  Defuzzifizierung  8

4.  Prognose der DAX-Entwicklung mit dem Fuzzy-Control-Manager  8

4.1  Der Deutsche Aktienindex.  8

4.2  Kurzfristige Einflussgrößen auf die Entwicklung des DAX  9

4.3  Verwendete Zugehörigkeitsfunktionen und Regeln.  11

4.3.1  Fuzzy-Regler A - nur Index-Vorgaben.  12

4.3.2  Fuzzy-Regler B - nur Index-Vorgaben (we niger Terme)  14

4.3.3  Fuzzy-Regler C - Index-Vorgaben (weniger Terme) - mit Euro.  15

4.4  Ablauf der Prognose mit den Fuzzy-Reglern.  16

5  Auswertung des Tests  17

5.1  Die Prognosegenauigkeit der Fuzzy-Regler  17

5.2  Konnte man mit der Prognose tatsächlich Geld verdienen?  17

5.3  Kritische Beurteilung und Ansatzpunkte zur weiteren Untersuchung  18

6.  Fazit  20

Abk  ürzungsverzeichnis  IV

Abbildungsverzeichnis  der Abbildungen im Text  V

Literaturverzeichnis  /Quellenverzeichnis.  VI

Anlagenverzeichnis   VIII

I

Zusammenfassung

Die Grundlage menschlicher Erfahrung ist meist verbales und damit ungenaues Expertenwissen, welches mit Hilfe der modernen Datenverarbeitung nur schlecht verarbeitet werden kann. Der Grund ist, dass ein Computer exakte Eingangsvariablen benötigt, um damit rechnen zu können. Somit war die Verarbeitung von Expertenwissen mit Hilfe der EDV lange Zeit nicht zufrieden stellend möglich. Erst die Entwicklung der unscharfen Logik (fuzzy logic) und der auf ihr aufbauenden Reglungstechnik Fuzzy-Control brachte die Wende. Mit ihrer Hilfe konnten erstmals ungenaue verbale Begriffe wie z.B. viel, wenig oder hoch mit dem Computer verarbeitet werden und zur Regelung technischer Systeme verwendet werden. Das in so genannten „Wenn ... dann ...“ Regeln vorliegende unscharfe Expertenwissen konnte nun vom Computer verarbeitet werden.

Bisher wurde dieses Verfahren meist nur in der Technik eingesetzt. Anwendungen im wirtschaftlichen Bereich sind selten. Mit dieser Ausarbeitung soll gezeigt werden, wie sich Fuzzy-Control auch auf wirtschaftlichem Gebiet einsetzen lässt. Hier ist der Aktienmarkt, der von Natur aus durch Unschärfe gekennzeichnet ist, Gegenstand der Untersuchung. Mit Fuzzy-Control soll prognostiziert werden in welche Richtung sich der DAX am nächsten Handelstag entwickeln wird und untersucht werden inwieweit dies sinnvoll und praktikabel ist. Dabei wird mit Hilfe von Fuzzy-Control einfachstes Expertenwissen angewandt und umgesetzt. Die verbal vorliegende Erfahrung über das Börsengeschehen, die auf Beobachtungen beruht und unscharf, d.h. nicht exakt ist, wird unter Einsatz von Fuzzy-Control zur Prognose genutzt.

Im Laufe des Tests konnte überraschender Weise gezeigt werden, dass einfachste Prognosen mit relativ hoher Treffsicherheit möglich sind, was ein Anstoß für weitere Untersuchungen sein sollte. Der Test der aufgestellten Regelbasis und die Durchführung der Prognose erfolgten mit dem Programm Fuzzy-Control-Manager der Firma TransferTech GmbH Braunschweig.

II

Abstract

The basis of human experience often is knowledge of experts which is expressed in spoken words and therefore it is inexactly. Modern data processing can hardly work with it, because a computer needs exact values to calculate with them. That’s why the using of the knowledge of experts by computers was not possible satisfyingly for a long time. The development of fuzzy logic and fuzzy control that uses fuzzy logic was the turning point. Inexact and verbal terms like much, little and high could be used by computers because the help of fuzzy control for the first time. They could also be used by computers to control technical systems. It was possible to use inexact knowledge of experts which was expressed in “What … if” rules by the computer, now.

This procedure was used so far only in technique. Utilizations in business are rare. The use of fuzzy control in business will be shown in this text. The equity market, which is immanently marked with fuzziness, will be analyzed. The direction of the development of the DAX will be prognosticated with fuzzy control for the next trading day. It will be tested whether this is sensible and practical. Simple knowledge of experts is used and transferred by fuzzy control in that procedure. Fuzzy control uses the verbal formulated experience about the equity market for the prognosis. This experience is fuzzy and based on observation.

During the test it could be shown surprisingly that simple prognoses are possible with high exactness. This should be an impulse for further analysis. The program Fuzzy-Control-Manager, developed by TransferTech GmbH in Braunschweig, was used for the test of the rule basis and the prognosis.

III

1. Einleitung

Fuzzy-Control, die Reglungstechnik der die Fuzzy-Logik zugrunde liegt, ist seit Anfang der 90er Jahre auch in Deutschland ein Thema der Wissenschaft und Industrie geworden. Die Japaner entwickelten bereits in den 80er Jahren anwendungsreife Produkte ¹ . Die Fuzzy-Logik fand Anwendung in Waschmaschinen und Staubsaugern und übertraf dadurch herkömmliche Geräte durch bessere Funktionalität und Bedienungskomfort ² . Bei Camcordern konnte das „Verwackeln“ ausgeglichen werden und auch in großtechnischen Anwendungen, wie der automatischen U-Bahn im japanischen Sendai, wurde die Fuzzy-Logik erfolgreich eingesetzt. Dort ermöglichte sie das völlig ruckfreie Anfahren und Abbremsen ³ .

Die Idee der Fuzzy-Logik wurde bereits 1965 von Lotfi A. Zadeh von der Universität Berkeley in Kalifornien entwickelt. Die beste Übersetzung für das englische Wort „fuzzy“ (dt. flaumig, fusselig, wuschelig) ist in diesem Zusammenhang „unscharf“ ⁴ . Die Fuzzy-Logik basiert auf unscharfen Mengen („fuzzy sets“). Die genauso wie ein wuscheliger Wollpullover keine exakte, scharfe Begrenzung haben. Mit der unscharfen Mathematik und der Fuzzy-Logik lassen sich nicht nur die exakten Zustände 0 oder 1, wahr oder falsch und ja oder nein verarbeiten, sondern auch alle möglichen Zustände die genau zwischen diesen Werten liegen ⁵ . Daher kennt sie auch Aussagen die „ziemlich“ oder „etwas“ wahr sind und entspricht daher eher dem menschlichen Denken und Vorgehen beim erfahrungsbasierten Arbeiten ⁶ .

Der große Vorteil ist, dass mit Fuzzy-Control solche unscharfen Begriffe vom Computer verarbeitet werden können. Aus unscharfen Eingangsdaten kann der Computer unter Verwendung von „Wenn ... dann ...“-Regeln wieder scharfe Ausgangsdaten erzeugen, um einen Prozess zu steuern oder zu regulieren. Das von menschlichen Experten über Jahre erlernte unscharfe Erfahrungswissen, das qualitativ bzw. linguistisch formuliert ist, kann so vom Computer

¹ Vgl. Altrock, Constantin von: Fuzzy Logic, Band 1 Technologie, München/Wien 1993, S. 8

² Vgl. Kiendl, Harro: Fuzzy Control methodenorientiert, München 1997, S. 1

³ Vgl. Traeger, Dirk H.: Einführung in die Fuzzy Logik, 2. vollständig überarbeitete und erwei-

terte Auflage, Stuttgart 1994, S. 1

⁴ Vgl. Bothe, Hans-Heinrich: Neuro-Fuzzy-Methoden. Einführung in Theorie und Anwen-

dungen, Berlin/Heidelberg 1998, S. 17

⁵ Vgl. Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 1

⁶ Vgl. Kiendl, Harro: a.a.O., S. 4

1

verwendet und genutzt werden. Dies wird erreicht, indem menschliche Ausdrücke durch das Fuzzy-Konzept und unscharfe Mengen auf die physikalischnumerische Skala des Computers übertragen werden ⁷ . Ziel dieser Arbeit ist die Anwendung von Fuzzy-Control Techniken zur Prognose der Entwicklung des DAX für den nächsten Börsenhandelstag. Es soll die Tendenz, d.h. in welche Richtung sich der DAX entwickeln wird, prognostiziert werden. Da praktische Anwendungen von Fuzzy-Control auf wirtschaftlichem Gebiet im Vergleich zu technischen Anwenungen kaum vorhanden sind, soll hier ein weiteres Anwendungsfeld erschlossen und auf seine Wirksamkeit und Funktionalität untersucht werden. Dabei wird die kurzfristige Prognose mit Expertenwissen, d.h. einer menschliche n Prognose, verglichen.

2. Theorie der unscharfen Mathematik

2.1 Unscharfe Mengen

Im Gegensatz zur scharfen Menge der klassischen Mathematik bei der ein Element eindeutig entweder zu einer Menge gehört oder nicht, gibt es bei der unscharfen Menge Zwischenstufen. Das Element einer unscharfen Menge kann dieser auch nur zu einem bestimmten Grad angehören. Die unscharfe Menge wird durch eine linguistische Variable, d.h. einem umgangssprachlichen Begriff, wie z.B. groß, klein, hoch oder flach bezeichnet. Als Beispiel kann man hier die Menge der teuren Autos nennen. Die linguistische Variable bzw. der Name der Menge ist „teuer“ ⁸ . In diesem Beispiel ist ein Mercedes eher zur Menge der teuren Autos zu zählen als ein VW. Wo genau aber die Grenze für ein teures Auto ist, d.h. wo fängt ein teures Auto an und wo hört ein billiges Auto auf, lässt sich nicht eindeutig sagen und hängt subjektiv vom jeweiligen Betrachter ab. Genau an diesem Punkt setzt die unscharfe Menge an. Das betrachtete Element (hier das Auto) kann einer unscharfen Menge entweder ganz oder nur zu einem gewissen Grad angehören. Dieser sogenannte Zugehörigkeitsgrad wird als quantitatives Maß dafür verwendet, inwieweit das Element die Eigenschaften einer unscharfen Menge erfüllt ⁹ . Der Unterschied zur klassischen, scharfen Mengenlehre besteht darin, dass ein Element einer scharfen

⁷ Vgl. Grauel, Adolf: Fuzzy-Logik. Einführung in die Grundlagen mit Anwendungen,

Mannheim 1995, S. 1

⁸ Vgl. Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 6

⁹ Vgl. Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 7

2

Menge immer alle Eigenschaften zu 100% erfüllt oder gar nicht. Als Symbolik für den Zugehörigkeitsgrad wird der griechische Buchstabe µ verwendet: µ A (x) = 0,8

bedeutet, dass x einen Zugehörigkeitsgrad von 0,8 bzw. 80% zur Menge A hat. Diese Schreibweise kann auch auf die linguistische Bezeichnung angewendet werden:

Wie man im Alltag leicht feststellen kann, ist ein Mercedes sicher zu 90% ein teures Auto, wohingegen ein VW-Polo nicht besonders teuer ist.

1

den ¹⁰ . Theoretisch sind auch negative Zugehörigkeitsgrade denk bar, bisher haben sie jedoch kaum praktische Bedeutung gehabt. Für den Praxisteil dieser Arbeit sind sie allerdings von Bedeutung, wie in Kapitel 4 noch gezeigt wird.

2.2 Die Zugehörigkeitsfunktion

Zur Beschreibung und Darstellung von unscharfen Mengen werden Zugehörigkeitsfunktionen verwendet. Beispielsweise haben die Außentemperaturen zwischen 20°C und 30°C für die unscharfe Menge „es ist heiß“ unterschiedliche Zugehörigkeitsgrade. Durch die Funktion wird jeder Temperatur ein Wert zwischen 0 und 1 zugeordnet, der ihre Zugehörigkeit zur Menge „es ist heiß“ ausdrückt (siehe Bild 2, nächste Seite).

¹⁰ Vgl. Mayer, Andreas/Mechler, Bernhard/Schlindwein, Andreas/Wolke, Rainer: Fuzzy Logik.

Einführung und Leitfaden zur praktischen Anwendung, Bonn 1993, S. 14 f.

3

µ

1,0

0,8

0,5

0

Bild 2: Zugehörigkeitsfunktion der unschar-

fen Menge "es ist heiß“

Während eine Temperatur ab 30°C unstrittig als heiß angesehen werden kann (µ = 1), wird man dies bei 28°C, wenn auch abgestuft (µ = 0,8) ebenfalls behaupten können. Die Temperatur von 25°C kann dagegen als Grenzfall betrachtet werden (µ = 0,55). Zum Vergleich zeigt Bild 3 die scharfe Menge „es ist heiß ab 28°C“, bei der jeder positiven Antwort der Wert 1 und jeder negativen Antwort der Wert 0 zugeordnet wird. Hier gibt es keine Zwischenstufen. Ein Wert von 27,99°C gehört im Gegensatz zu einem Wert von 28,01°C nicht zu dieser Menge, obwohl vom menschlichen Empfinden kaum ein Unterschied zwischen beiden Werten festgestellt werden kann.

Aufgrund der Unschärfe lassen sich Terme einer linguistischen Variable durch Fuzzy-Mengen (unscharfe Mengen) definieren. Jedem Term wird eine Fuzzy-Menge mit einer bestimmten Zugehörigkeitsfunktion zugeordnet ¹¹ . Der linguistischen Variable „Berghöhe“ können z.B. die Terme „sehr niedrig“, „niedrig“, „mittel“, „hoch“ sowie „sehr hoch“ zugeordnet werden (siehe Bild 4).

¹¹ Vgl. Strietzel, Roland: Fuzzy-Regelung, München 1996, S. 12

4

Mit Hilfe der Definition von Termen durch unscharfe Mengen wird die maschinelle Verarbeitung von linguistischen Variablen ermöglicht. Als Beispiele können dafür Expertensysteme, Zeichenerkennung, Entscheidungstheorie, Steuerung und Regelung genannt werden ¹² . Beispiele für verschiedene Zugehörigkeitsfunktionen befinden sich i n der Anlage 1.

2.3 Unscharfe Logik

Alle möglichen logischen Verknüpfungen von Aussagen können auf die drei Grundoperationen Negation, UND und ODER zurückgeführt werden. Dies gilt genauso für die Fuzzy-Logik. Sie bedient sich ebenfalls dieser drei Operatoren, die allerdings eine Verallgemeinerung der klassischen Booleschen Operatoren darstellen, da sie Zugehörigkeitsgrade µ ∈ [0,1] verarbeiten können müssen ¹³ .

Der UND-Operator für Fuzzy-Mengen wird definiert als Durchschnitt der Flächen unter dem Graphen ihrer Zugehörigkeitsfunktion. Mathematisch wird die Verknüpfung als Minimum gebildet ¹⁴ (siehe Bild 5): µ A UND B (x) = µ A ∩ B (x) = MIN {µ A (x); µ B (x)}.

Der ODER-Operator für Fuzzy-Mengen wird definiert als Vereinigung der Flächen unter dem Graphen der Zugehörigkeitsfunktionen. Mathematisch

µ

1,0

0,5

0

Bild 5: UND-Operator der Fuzzy-Mengen

niedrig und mittel der Berghöhe m

wird die Verknüpfung als Maximum gebildet ¹⁵ (siehe Bild 6):

¹² Vgl. Strietzel, Roland: a.a.O., S. 13

¹³ Vgl. Strietzel, Roland: a.a.O., S. 18

¹⁴ Vgl. Kahlert, Jörg/Frank, Hubert: Fuzzy-Logik und Fuzzy Control: Eine anwendungs-

orientierte Einführung mit Begleitsoftware, Braunschweig/Wiesbaden 1993, S. 21 f.

¹⁵ Vgl. Kahlert, Jörg/Frank, Hubert: a.a.O., S. 22 f.

5

Die Negation (Komplement) einer unscharfen normierten Menge A wird wie folgt gebildet: . ) ( 1 x µ

A A

Neben diesen Operatoren gibt es kompensatorische Operatoren, da das „linguistische UND“ nicht in allen Fällen dem „logischen UND“ entspricht ¹⁶ . Oft verwendet der Mensch Verknüpfungen die zwischen UND und ODER liegen ¹⁷ . Dazu wurde von Zimmermann und Zysno der Gamma-Operator vorgeschlagen. Durch die Wahl des Parameters γ (siehe Anlage 2) lässt er sich stufenlos zwischen dem „logische n UND“ und dem „logischen ODER“ an den jeweiligen Kontext anpassen ¹⁸ . Der Operator liegt zwischen dem reinen UND (keine Kompensation, beide Eigenschaften müssen erfüllt werden, d.h. beide µ > 0) und dem reine n ODER (volle Kompensation, nur eine Eigenschaft muss erfüllt sein, d.h. mindestens ein µ > 0) ¹⁹ .

3. Fuzzy-Control

Fuzzy-Control, die unscharfe Reglungstechnik, gliedert sich in drei Bausteine: Fuzzifizierung, Inferenz und Defuzzifizierung (siehe Anlage 3). Die Erklärung wird in Anlehnung an ein Beispiel von Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 80 ff. durchgeführt.

3.1 Fuzzifizierung

Als Fuzzifizierung (Unscharfmachen) wird die eindeutige Zuordnung von scharfen Daten zu Werten linguistischer Variablen und damit zu Fuzzy-Mengen bezeichnet ²⁰ . Exakte Werte werden unscharfen Mengen zugeordnet und deren Zugehörigkeitsgrade bestimmt ²¹ .

Beispielsweise kommt die Fuzzifizierung der Badewassertemperatur von 32°C zu folgenden Zugehörigkeitsgraden (siehe Anlage 4): µ kühl (32°C) = 0 µ warm (32°C) = 0,6 µ heiß (32°C) = 0,4

¹⁶ Vgl. Zimmermann, Hans-Jürgen: Fuzzy Technologien: Prinzipien, Werkzeuge, Potentiale,

Düsseldorf 1993, S. 18

¹⁷ Vgl. Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 35

¹⁸ Vgl. Mayer, Andreas/Mechler, Bernhard/Schlindwein, Andreas/Wolke, Rainer: a.a. O., S. 44

¹⁹ Vgl. Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 38

²⁰ Vgl. Strietzel, Roland: a.a.O., S. 65

²¹ Vgl. Bothe, Hans-Heinrich: a.a.O., S. 38; Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 80

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