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Inhaltsverzeichnis

1  Problemstellung  3

2  Bedeutung von Funktionen für den Mathematikunterricht  5

3  Unreduzierte Darstellung von Funktionen.  6

4  Didaktische Reduktion bzw. Transformation  8

4.1  Grundlagen von Funktionen in der Sekundarstufe II.  8

4.2  Grundlagen von Funktionen in der Sekundarstufe I  12

5  Anhang  15

Symbolverzeichnis   17

I  Intervall  17

Literaturverzeichnis   18

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1 Problemstellung

Im Alltag und im Unterricht stoßen Schüler auf Probleme und Phänomene, für die sie keine Erklärung haben. Zu den meisten Fragen bieten eine oder auch mehrere Fachwissenschaften Abhilfe. Im Schulunterricht kann allerdings nicht die ganze, umfassende Wirklichkeit in all i hren Erscheinungsformen erfasst werden, da diese dem Schüler wegen ihres hohen Abstraktions- und Komplexitätsgrades nicht zugänglich ist. Je nach Themenfeld, Lerna usgangslage und Zielsetzung ist eine unterschiedliche Aufbereitung des Stoffes erforderlich. Der Lehrer kann das fachwissenschaftliche Thema vereinfachen bzw. den Informationsgehalt vermindern (didaktische Reduktion), er kann es veranschaulichen, illustrie ren und umstrukturieren (didaktische Reduktion) sowie erweitern und ergänzen (didaktische Adduktion). In meiner Arbeit entwickle ich Vorschläge zur didaktischen Reduktion/Transformation am Beispiel der Grundlagen mathe matischer Funktionen. Zu Beginn meiner Ausarbeitung erläutere ich die Bedeutung von Funktionen für den Mathematikunterricht. Das Gebiet, das sich vornehmlich mit Funktionen beschäftigt, wird als Analysis bezeichnet. Allein in der Sekundarstufe II sind 4 Halbjahre für dieses Teilgebiet vorgesehen. Und obwohl sich die Analysis fast ausschließlich mit der Darstellung und Diskussion von Funktionen beschäftigt, gibt es Kritiker, die behaupten, dass Funktionen keinen Anwendungsbezug haben. Gerade als Wirtschaftswissenschaftler möchte ich dieser Meinung vehement entgegentreten und zudem darlegen, welchen Lehrzielen die Behandlung von Funktionen genügt. Anschließend erfolgt die unreduzierte Darstellung der Grundlagen von Funktionen. Zunächst leite ich den Funktionsbegriff aus der Definition von Relationen ab, da die Funktion ein Spezialfall einer eindeutigen Zuordnung ist. In den meisten Anwendungsfällen wird der Wert einer physikalischen, technischen oder ökonomischen Größe nicht nur von einer, sondern von mehreren Variablen beeinflusst. Aufgrund dieser Tatsache beziehe ich den Funktionsbegriff und die Funktionseigenschaften stets auf den Mehr-Variablen-Fall. Ich beschäftige mich in der unreduzierten Darstellung lediglich mit reellwertigen Funktionen, da komplexe Zahlen im wirtschaftswissenschaftlichen B ereich keine Anwendung finden. Ich verzichte auf die Beschreibung elementarer und spezieller Funktionen, denn das würde den Rahmen dieser Arbeit sprengen, ist doch bekannt, dass Funktionen fast das gesamte Gebiet der Analysis abdecken. Allerdings wende ich mich Funktionseigenschaften zu, da diese den eigentlichen Reiz an Funktionen

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ausmachen. Nach kurzer Beschreibung der Darstellungsformen werden nur wesentliche Eigenschaften wie Nullstellen, relative Extrema und Krümmung mathematisch exakt definiert, und i ch lasse aus den oben angeführten Gründen Steigung, Beschränkung, Symmetrie usw. von Funktionen aus. Da ich mich in meiner Arbeit aufgrund des Umfangs des Themengebietes mit den Grundlagen von Funktionen beschäftige, beziehe ich auch die Eigenschaften nur auf die Grundlagen von Funktionen. Ich definiere relative Extrema und Krümmung, gebe allerdings keine Hinweise zu ihrer Berechnung. Dies würde die Themen Grenzwert, Differenzierbarkeit usw. voraussetzen, die ich im Rahmen dieser Arbeit nicht erläutern kann.

Nach der unreduzierten Präsentation der Grundlagen von Funktionen auf universitärem Niveau entwickle ich Vorschläge zur didaktischen Reduktion für die Sekundarstufe II und die Sekundarstufe I . Damit sich die Kenntnisse über und Erfahrungen mit Funktione n soweit verdichten, dass eine Kurvenuntersuchung kein besonderes Problem mehr darstellt, ist in den Lehrplänen die ständige Wiederkehr der Behandlung von Funktionen verankert, und genau deshalb lohnt sich eine genauere Betrachtung beider Stufen. Meinen Schwerpunkt setze ich auf die Sekundarstufe II, da dort der Funktionsbegriff zum ersten Mal exakt definiert und bewusst angewendet wird. In der Sekundarstufe I unterscheide ich zwischen der achten und neunten Klasse. Innerhalb der beiden Sekundarstufen differenziere ich weder zwischen Leistungs- und Grundkurs, noch zwischen Gymnasium, Real- und Hauptschule, da die Grundlagen nahezu identisch gelehrt werden müssen. Erst im weiteren Curriculum muss auch hier eine unterschiedliche Reduktion und Transformation angesetzt werden. Da Funktionen zur Allgemeinbildung zählen, sind sie in den Lehrplänen von allgemein bildenden Schulen enthalten, finden aber auch Beachtung im Mathematikunterricht von beruflichen Schulen mit Vollzeitunterricht, wie der Fachschule bzw. der Berufsfachschule. Das Niveau des Mathematikunterrichts an den genannten beruflichen Schulen ist in den Bereich der Sekundarstufe I einzuordnen, führt doch der erfolgreiche Besuch einer Berufsfachschule zu einem mittleren Abschluss. In den Lehrplänen der Be rufsschule ist die Behandlung von Funktionen nicht vorgesehen.

Im Anhang befindet sich zu jeder Reduktionsstufe eine Aufgabenstellung, durch die die angestellten Überlegungen operationalisiert werden. Außerdem habe ich ein

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Symbolverzeichnis angelegt, damit auch Nicht-Mathematiker meine Ausführungen nachvollziehen können.

2 Bedeutung von Funktionen für den Mathematikunterricht

Die Funktion zählt zu den gebräuchlichsten und fundamentalsten Begriffen der Mathematik, insbesondere der Analysis. Nahezu jede mathematische und naturwissenschaftliche Betrachtung beabsichtigt, gegenseitige Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Größen aufzuzeigen und zu untersuchen. Beziehungen zwischen der Körpergröße und dem Alter, zwischen der Zeit und dem zurückgelegten Weg, zwischen der Herzfrequenz und allen übrigen medizinischen Werten oder zwischen dem Quadrat einer Zahl und der Zahl selbst sind Beispiele einer unbeschränkten Vielzahl und Vielfalt von Abhängigkeiten. In dem Zitat „Je mehr wir in uns aufnehmen, umso größer wird unser geistiges Fassungsvermögen“ ¹ von Lucius Annaeus Seneca kommt ein entscheidender Vorteil der Beschreibung des Zusammenhangs verschiedener Größen durch eine Funktionsgleichung zum Ausdruck: Sie ist kürzer und zumeist übersichtlicher als eine Beschreibung durch Worte, Tabellen oder Abbildungen, d. h. sie enthält in einem kompakten kleinen Term sehr viele Informationen. Ihre Eindeutigkeit und E xaktheit schließt Missverständnisse und Fehlinterpretationen bei der Übermittlung des beobachteten Zusammenhangs weitgehend aus, und es lassen sich Prognosen über Werte machen, die empirisch noch nicht beobachtet wurden. ² Aber auch andere Praxisfelder benutzen Funktionen, wenn auch hauptsächlich zur Darstellung und Analyse von Wirkungszusammenhängen.

In den traditionellen Lehrplänen finden sich u. a. folgende zentrale allgemeine Lehrziele: Der Unterricht soll dazu beitragen, dass die Schüler die Bedeutung mathematischer Denk- und Betrachtungsweisen in ihrer Umwelt erkennen und die Bereitschaft und Fähigkeit

• zu logischem, wirtschaftlichem Denken und Arbeiten,

• zu komplexem und strukturierendem Denken,

• zu Kreativität und Phantasie,

• zu intellektueller Selbständigkeit, Selbstverantwortung und Autonomie,

• zu präzisem Ausdruck, Sachlichkeit und Sorgfalt,

¹ Kreul 2002, S. 311.

² Vgl. Rommelfanger 1999, S. 101-102.

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• zu Toleranz und zu Gewöhnung an begründete Kritik,

• zu Ausdauer, Fleiß, Beharrlichkeit und Konzentration in der Arbeit weiter entwickeln. ³ Die Behandlung von Funktionen begünstigt meiner Ansicht nach die Verfolgung der genannten Ziele, da die Funktion nicht nur hinsichtlich ihrer Darstellungsmöglichkeiten, sondern auch bezüglich ihrer mathematischen, naturwissenschaftlichen und alltäglichen Relevanz eine kritische und komplexe Untersuchung ermöglicht. Die Behandlung von Funktionen wird daher allein schon durch deren hervorzuhebende alltägliche Bedeutung gerechtfertigt.

3 Unreduzierte Darstellung von Funktionen

Funktionen sind ein bedeutender Spezialfall von Relationen. Gegeben seien die

. Die Menge aller geordneter n-Tupel ( ) Mengen X X X , , , 2 x x x , , , 2 mit K K

n 1 n 1

{ } n i X x , , 2 , 1 K ∈ ∀ ∈ heißt Produktmenge der Mengen X X X , , , 2 und wird K

i i n 1

. ⁴ Jede definiert durch n}} ..., , { i X x | ) x ..., , x , {(x X X X 1 ∈ ∀ ∈ = × × × L

i i n n ^{2 1 2 1} n Teilmenge ℜ der Produktmenge X X X × × × nennt man Relation. Wird L

n 2 1

mindestens einem n-Tupel aus X X X × × × mehrere Elemente aus Y L

n 2 1

zugeordnet, so spricht man von einer mehrdeutigen Relation. Dagegen handelt es sich um eine eindeutige Relation, wenn jedem n- Tupel aus X X X × × × L

n 2 1

höchstens ein Element aus Y zugeordnet ist. Eine Funktion ist eine spezielle eindeutige Zuordnung. Eine Funktion f von X X X × × × in Y ist eine L

n 2 1

Zuordnung, die jedem Tupel ( ) X X X x x x × × × ∈ , , , genau ein Element L K

n n 2 1 2 1

zuordnet. Dabei heißt die Menge X X X × × × Vormenge, Y y ∈ L

n 2 1

Definitionsmenge oder Urbildmenge der Funktion f. Die Menge Y wird Nachmenge von f genannt. Die Menge aller y ∈ , die mindestens ein Urbild haben, bezeichnet Y

man als Wertemenge der Abbildung f : X X X × × × → Y und symbolisiert sie L

n ^{2 1} ) = { ( ) | ( ) }. ⁵ durch f( X X X × × × x x x f , , , 2 X X X x x x × × × ∈ , , , L K L K

n 2 1 n 1 n n 2 1 2 1

Da in den Wirtschaftswissenschaften komplexe Zahlen irrelevant sind, beschäftige ich mich im Folgenden nur noch mit reellwertigen Funktionen: Unter einer

³ Vgl. Claus 1989, S. 12.

⁴ Vgl. Rommelfanger 1999, S. 104, 105 und 109.

⁵ Vgl. Rommelfanger 1999, S. 111.