Inhaltsverzeichnis

  Inhaltsverzeichnis  

1  Einleitung  1

1.1  Ausgangslage  1

1.2  Lösungsansätze  2

1.3  Ziel der Arbeit und Vorgehensweise  4

2  Theoretischer Hintergrund  5

2.1  Wirbelbildung im Nachlauf von Flügeln  5

2.2  Gefährdung folgender Flugzeuge durch den Wirbelnachlauf  6

2.3  Elementare Größen wirbelbehafteter Strömungen  7

2.3.1  Zirkulation  7

2.3.2  Drehung und Rotation  7

2.4  Wirbelmodelle  8

2.4.1  Einleitung  8

2.4.2  Der Potentialwirbel  8

2.4.3  Der Rankine-Wirbel  9

2.4.4  Der Lamb-Oseen-Wirbel  10

2.5  Stabilitätsanalyse  12

2.5.1  Einleitung  12

2.5.2  Modell des Wirbelsystems  12

2.5.3  Herleitung der Stabilitätsgleichungen  13

2.5.4  Lösung der Stabilitätsgleichungen  16

2.5.5  Formen der Instabilität  16

3  Versuchsmethodik  18

3.1  Angewendetes Verfahren  18

3.2  Particle Image Velocimetry  18

3.3  Versuchsaufbau  20

3.3.1  Wasserschleppkanal  20

3.3.2  Modell  21

3.4  Versuchsdurchführung  22

I

Inhaltsverzeichnis

3.4.1  Anzahl der Versuche  22

3.4.2  Ablauf der Versuche  23

3.4.2.1  Experimente zur Particle Image Velocimetry  23

3.4.2.2  Experimente zur Strömungssichtbarmachung  23

3.4.3  Versuchsparameter  24

4  Aufbereitung der Rohdaten  27

4.1  Vorgehen  27

4.1.1  Generierung der Geschwindigkeitsvektorfelder  27

4.1.2  Umstrukturierung zur Weiterverarbeitung  28

4.2  Qualität der Daten  29

5  Referenzfall  30

6  Auswertung der Messergebnisse  31

6.1  Datenbasis  31

6.2  Abstand der Messebenen von der Flügelhinterkante  31

6.3  Bestimmung der Rotationsverteilung  31

6.4  Schwertstörung  31

6.5  Nullpunktkorrektur  33

6.6  Auftriebsbeiwert  35

6.7  Identifikation der Wirbelparameter  37

6.7.1  Wirbelschwerpunkt  37

6.7.2  Modellierung des Wirbelsystems  38

6.7.3  Trajektorien der Wirbelzentren  39

6.7.4  Wirbelkernradius  42

6.7.5  Zirkulation  44

6.8  Rollmoment  47

6.9  Axialgeschwindigkeit  51

6.10  Beeinflussung durch äußere Faktoren  53

6.10.1  Einleitung  53

6.10.2  Boden- und Wandeffekte  53

6.10.3  Beschleunigungs- und Abbremsvorgang des Schlittens  56

II

Inhaltsverzeichnis

6.11  Reproduzierbarkeit der Ergebnisse  57

6.11.1  Einleitung  57

6.11.2  Qualität von Messung und Auswertung  57

6.11.3  Qualität des Strömungsbildes  58

7  Stabilitätsanalyse  62

7.1  Eingangsdaten  62

7.2  Ergebnisse der Stabilitätsanalyse  63

8  Strömungssichtbarmachung  69

8.1  Einleitung  69

8.2  Ermittlung der Wellenlänge  69

8.3  Aufplatzen des Randwirbels  70

9  Zusammenfassung  72

  Abbildungsverzeichnis A  

Tabellenverzeichnis  C  

  Literaturverzeichnis D  

III

Einleitung

1 Einleitung

1.1 Ausgangslage

In den vergangenen Jahrzehnten ist das Luftverkehrsaufkommen beständig ange- stiegen. Trotz des Einbruchs in den letzten Jahren wird für die Zukunft von einer Fortsetzung des Wachstums ausgegangen. Die folgende Abbildung zeigt die bisherige und prognostizierte Entwicklung des weltweiten Personen-Luftverkehrsaufkommens in Passagierkilometern (Revenue Passenger-Kilometres - RPK). Nach [1] liegt die durch- schnittliche jährliche Wachstumsrate in den nächsten 20 Jahren bei über 5 Prozent. Für den Frachtverkehr wird im selben Zeitraum ein durchschnittliches Wachstum von über 6 Prozent erwartet.

Abbildung 1.1: Entwicklung des Personenluftverkehraufkommens. Aus: [1]

Allerdings operieren nahezu alle größeren deutschen und europäischen Flughäfen zumindest während der täglichen Spitzenzeiten an ihrer Kapazitätsgrenze. Das limitierende Element ist hierbei in den meisten Fällen die Kapazität des Start- und Landebahnsystems. Diesbezügliche Erweiterungen stoßen jedoch aufgrund von Lärm-, Umwelt- und Sicherheitsproblemen auf zunehmenden Widerstand, was zu langwierigen Genehmigungsverfahren und hohen Kosten führt. Daher besteht ein großes Interesse an der Optimierung des bestehenden Bahnsystems. Dessen Kapazität ergibt sich neben der Anzahl der Bahnen, deren Lage und den angewendeten Verfahren insbesondere durch den zeitlichen Abstand an- und abfliegender Flugzeuge. Der Mindestabstand zweier aufeinander folgender Flugzeuge ist durch internationale Bestimmungen festgelegt. Dieser als räumliche Separation definierte Abstand ergibt sich aus Sicherheitsgründen:

1

Einleitung

Von voraus fliegenden Flugzeugen generierte Wirbelschleppen induzieren auf nachfolgende Flugzeuge Rollmomente. Gerade in der Start- und Landephase können diese Rollmomentbelastungen aufgrund der geringen Flughöhe zum Absturz eines Folgeflugzeuges führen, wenn sie nicht durch den maximalen Querruderausschlag ausgeglichen werden können oder dem Piloten nicht genügend Reaktionszeit zum Gegensteuern bleibt.

Sowohl die Stärke der Wirbel als auch die Empfindlichkeit des nachfolgenden Flugzeugs sind gekoppelt an das jeweilige Flugzeuggewicht, so dass sich eine gewichtsabhängige Staffelungsvorgabe ergibt. Die verschiedenen Flugzeugtypen sind dazu von der ICAO ¹ in Gewichtsklassen eingeteilt:

Tabelle 1.1: ICAO-Gewichtsklassen

Die Mindeststaffelungsabstände für den Landeanflug sind von der IACO abhängig von der Kombination aus vorausfliegendem und nachfolgendem Flugzeug festgelegt:

Tabelle 1.2: ICAO-Wirbelschleppen-Mindestseparation [2]

1.2 Lösungsansätze

Zur Verringerung der oben erläuterten Staffelungsabstände und damit zur Erhöhung der Bahnkapazität werden zur Zeit zwei Ansätze verfolgt:

Da eine verlässliche Aussage über die tatsächliche Wirbelsituation im An- und Abflugbereich zur Zeit noch nicht möglich ist, sind die Staffelungswerte aus Sicherheitsgründen unabhängig von der vorherrschenden Wettersituation relativ hoch angesetzt. Daher werden besondere Anstrengungen unternommen, die Gestalt und das zeitliche Verhalten des Wirbelnachlaufs auch in Abhängigkeit der herrschenden Wetterverhältnisse, insbesondere des Seitenwinds, verlässlich vorauszusagen. In Verbindung mit entsprechenden Monitoring-Systemen kann damit eine begründete, wetterabhängige Verringerung der Staffelungsabstände vorgenommen werden, ohne die Flugsicherheit zu beeinträchtigen.

1 International Civil Aviation Organization

2

Einleitung

Eine andere Möglichkeit besteht darin, durch konstruktive Maßnahmen am Flügel den Wirbelnachlauf zu beeinflussen. Maßgeblich für die Gefährlichkeit eines Wirbels im Hinblick auf die von ihm verursachte Rollmomentbelastung eines Folgeflugzeuges ist die Verteilung der Zirkulation im Nachlauf. Diese konzentriert sich besonders im Bereich der starken Flügelspitzenwirbel, wo dementsprechend hohe Rollmomentbelastungen auftreten. Allerdings kann die gesamte vom Tragflügel erzeugte Zirkulation nicht beeinflusst werden, da sie direkt an den vom Flugzustand bestimmten Auftrieb gekoppelt ist. Passive Maßnahmen wie Finnen an den Flügelspitzen [3] oder eine Variation der Flügelgeometrie [4] zielen daher auf eine Verteilung der am Flügel erzeugten Zirkulation entlang der Spannweite zur Vermeidung starker Wirbelbildung an den Spitzen. Allerdings führen aerodynamische Maßnahmen, welche erfolgreich bezüglich Reduzierung der Wirbelstärke im Nachlauf sind, in vielen Fällen zu starken Einbußen in der Flugleistung.

Die Forschung auf dem Gebiet aktiver Nachlaufbeeinflussung zielt auf die Anregung von in Kapitel 2.5 näher erläuterten Instabilitäten von Mehrwirbelsystemen, um deren Wachstum und damit den Zerfall des Wirbelsystems zu beschleunigen. Mit derartigen Systemen ausgerüstete Flugzeuge würden eine Verringerung des Staffelungsabstands zum Folgeflugzeug erlauben und so die Bahnkapazität des Flughafens erhöhen. Die Entdeckung von Instabilitäten im Nachlauf geht auf Crow [5] zurück. Er untersuchte 1970 ein System aus zwei gegensinnig drehenden Wirbellinien, wie sie prinzipiell durch einen auftriebserzeugenden Tragflügel ohne Klappenausschlag erzeugt werden. Hierbei identifizierte er eine sinusförmige Schwingungsform, die letztlich zu einem Zusammentreffen der Wirbellinien und einem Übergang in Wirbelringe führte, wobei die Wirbelstärke drastisch abnahm. Allerdings weist diese Form der Instabilität eine hohe Wellenlänge sowie eine sehr geringe Wachstumsrate auf, so dass die Formierung der Wirbelringe ohne zusätzliche Anregung dieser Eigenformen erst jenseits von 100 Spannweiten hinter dem Flügel auftritt.

1997 griff Crouch [6] die Überlegungen von Crow auf und untersuchte ein System aus vier paarweise gleichsinnig drehenden Wirbellinien, wie sie im Nachlauf eines Flugzeugs in Landekonfiguration durch Flügelspitzen- und äußere Klappenwirbel erzeugt werden. Die von Crow entdeckte, langwellige Instabilität zeigte sich dabei in der Bewegungsform der Wirbelschwerpunkte. Darüber hinaus identifizierte Crouch eine kurzwelligere Form der Instabilität mit wesentlich höherer Wachstumsrate, die eine deutlich effektivere Zerstörung des Wirbelsystems versprach.

Der Methodik von Crow und Crouch folgend untersuchten Fabre et al. [7] ein System aus vier paarweise gegensinnig drehenden Wirbellinien. Sie kamen zu dem Ergebnis, dass die Instabilitäten bei dieser Konfiguration noch wesentlich schneller wachsen als im Falle gleichsinnig drehender Wirbel.

3

Einleitung

Im Rahmen des Teilprojektes A1 des Sonderforschungsbereiches 401 „Strömungsbe- einflussung und Strömungs-Struktur-Wechselwirkungen an Tragflügeln“ finden seit geraumer Zeit Forschungsaktivitäten des Instituts für Luft- und Raumfahrt an der RWTH Aachen zur Beeinflussung von Wirbelstrukturen im Nachlauf von Tragflügeln statt. In diesem Projekt sollen experimentelle und theoretische Untersuchungen zur Destabilisierung des Nachlaufs eines Rechteckflügelmodells durchgeführt werden. Die Anregung der Instabilitäten im Nachlauf erfolgt dabei durch die Oszillation der geteilten Ruder an den Flügelspitzen um eine voreingestellte Grundauslenkung. Durch die gegensätzliche Auslenkung der jeweiligen Ruderhälften wird der Gesamtauftrieb des Flügels dabei weitgehend konstant gehalten.

1.3 Ziel der Arbeit und Vorgehensweise

Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung der Stabilität des Nachlaufs bei voreingestellten, nichtoszillierenden Rudern.

Hierzu wird in der ersten Phase der Arbeit der Wirbelnachlauf des Flügels experimentell im Wasserschleppkanal mit Hilfe der Particle Image Velocimetry (PIV) vermessen. Diese Rohdaten werden in einer zweiten Phase im Hinblick auf Drehungsverteilung und maximales induziertes Drehmoment auf ein nachfolgendes Flugzeug ausgewertet. In einer dritten Phase wird basierend auf in Phase Zwei ermittelten Kernparametern eine Stabilitätsanalyse durchgeführt, die als Ergebnis die Eigenschwingungsformen des Wirbelsystems mit maximaler Instabilität und die Wellenzahlen der entsprechenden theoretischen Schwingungen der Wirbellinien ausgibt. Die ermittelten Wellenzahlen dienen als Grundlage für folgende Arbeiten, in denen das Wirbelsystem durch oszillierende Ruder angeregt werden soll. In den folgenden Kapiteln wird auf den im Rahmen dieser Arbeit relevanten theoretischen Hintergrunds sowie auf das Verfahren der Particle Image Velocimetry eingegangen. Weiterhin wird die Versuchsmethodik und die Auswertung der Messdaten beschrieben. Abschließend erfolgen Diskussion und Interpretation der gewonnenen Ergebnisse.

4

Theoretischer Hintergrund

2 Theoretischer Hintergrund

2.1 Wirbelbildung im Nachlauf von Flügeln

Die Auftriebserzeugung eines Tragflügels wird durch eine Druckdifferenz zwischen Ober- und Unterseite des Flügels hervorgerufen. Aufgrund dieser Druckdifferenz entsteht an den Flügelspitzen eine druckausgleichende Strömung von der Unter- zur Oberseite, die Sekundärströmungskomponenten in Spannweitenrichtung auf der Flügeloberfläche hervorruft. Wie in Abbildung 2.1 dargestellt, wird die unterseitige

Strömung mit der Geschwindigkeit v uy zur Flügelspitze hin abgelenkt, während die Strömung auf der Oberseite des Flügels eine Komponente v oy in Richtung der Flügelmitte aufweist.

Abbildung 2.1: Entstehung der Wirbelschicht. Aus: [8]

An der Flügelhinterkante bildet sich beim Aufeinandertreffen der Stromlinien von Ober-und Unterseite aufgrund der unterschiedlichen Geschwindigkeitsvektoren eine Drehbewegung aus. Über die Spannweite ergibt sich so eine Vielzahl von Wirbeln, die als freie Wirbelschicht bezeichnet werden. Durch Eigeninduktion rollt sich diese Wirbelschicht stromab zu zwei Flügelrandwirbeln auf.

5

Theoretischer Hintergrund

Dieses vereinfachte Modell eines reinen Rechteckflügels berücksichtigt allerdings noch nicht den Einfluss des Klappenausschlags der im Rahmen dieser Arbeit zu untersuchenden Flügelkonfiguration. Der über die Innenkanten der nach unten ausgeschlagenen Ruder stattfindende Druckausgleich zwischen Flügelober- und -unterseite führt hier zu einer Drehbewegung, die der oben beschriebenen Bewegung entgegengesetzt ist. Das Aufrollen der Wirbelschicht in diesem Bereich führt zur Entstehung der Ruderwirbel, deren Drehrichtung der der Randwirbel entgegen gerichtet ist.

2.2 Gefährdung folgender Flugzeuge durch den Wirbelnachlauf

Entsprechend dem Auftriebssatz von Kutta-Joukowski (Gleichung 6-4) ist der Auftrieb eines Tragflügels direkt von der Zirkulationsverteilung über dem Flügel abhängig. Da diese wiederum über Gleichung 2-6 mit der Rotation verknüpft ist, ist ein hoher Auftrieb mit der Generierung starker Wirbel im Nachlauf des Flügels verbunden ² . Ein hohes Flugzeuggewicht führt daher aufgrund des entsprechenden Auftriebsbedarfs im Allgemeinen zu der Generierung starker Wirbelschleppen.

Je nach Einflugrichtung eines Flugzeuges in eine Wirbelschleppe ergeben sich die in Abbildung 2.2 erläuterten Belastungszustände.

Abbildung 2.2: Auswirkung von Randwirbeln. Aus: [8]

2 Durch eine entsprechende Vergrößerung der Spannweite ist es möglich, die Spannweitenbelastung

und damit die Wirbelstärke bei einer Auftriebserhöhung weitgehend konstant zu halten. Hier sind

jedoch enge konstruktive Grenzen gesetzt, so dass eine Änderung des Flügels im Hinblick auf größe- Gesamtauftrieb in der Praxis zwangsläufig zur Bildung stärkerer Wirbel führt.

6

Theoretischer Hintergrund

Aufgrund vorgegebener Endanflug-Gleitpfade und einzuhaltender Abflugkorridore und damit weitgehend paralleler Flugwege ist bei Start und Landung die mögliche Rollmomentbelastung eines Folgeflugzeugs im Falle des Einfliegens in den Randwirbel des Vorgängers sicherheitsrelevant.

Bedingt durch die vom Wirbel induzierten vertikalen Strömungsgeschwindigkeiten ergibt sich hierbei ein über die Spannweite veränderlicher induzierter Anstellwinkel und damit eine asymmetrische Auftriebsverteilung. Durch den aus der Flugzeuglängsachse wandernden Angriffspunkt des Gesamtauftriebs entsteht so ein Rollmoment, dessen Stärke wesentlich von der Position des Folgeflugzeugs im Nachlauf abhängig ist. Im Falle paralleler Flugbahnen ergibt sich die stärkste Rollmomentbelastung beim Einfliegen in das Wirbelzentrum, da aufgrund der unterschiedlichen Vertikalgeschwindigkeiten der effektive Anstellwinkel auf der einen Tragfläche erhöht wird, während er auf der anderen abnimmt.

Eine extreme Gefährdung des Folgeflugzeugs besteht dann, wenn das induzierte Rollmoment eine Höhe erreicht, die nicht mehr durch den maximalen Querruderausschlag kompensiert werden kann. Allerdings können auch geringere Momentenbelastungen trotz eines ausreichenden Steuerpotentials kritisch werden, beispielsweise wenn sich das Flugzeug in Bodennähe befindet und daher die dem Piloten zum Gegensteuern zur Verfügung stehende Zeit sehr gering ist.

2.3 Elementare Größen wirbelbehafteter Strömungen

2.3.1 Zirkulation

Die Zirkulation  ist definiert als Linienintegral der Strömungsgeschwindigkeit entlang

einer geschlossenen Kurve C . Mit dem Geschwindigkeitsvektor  

ergibt sich die Zirkulation zu = ∮  v  ds .

(2-2)

C

2.3.2 Drehung und Rotation

Der Drehungsvektor  ist definiert als

In Rahmen dieser Arbeit wird jedoch der im internationalen Sprachgebrauch übliche  (engl. Vorticity) benutzt. Diese ist mit Begriff der Rotation 

7

Theoretischer Hintergrund

doppelt so groß wie der jeweilige Drehungsvektor.

Unter Verwendung eines rechtwinkligen Koordinatensystems ergibt sich die Rotation zu   . (2-5)

Drehung und Zirkulation stehen über den Stokes'schen Satz in Zusammenhang. Dieser besagt:

„Die Zirkulation um die Randkurve einer beliebigen ebenen Fläche ent-

Drehung = ∮ ds=2 ∬  v    dF

(2-6)

C F =2  für die Rotation. ineinander überführbar. Entsprechendes gilt mit 

2.4 Wirbelmodelle

2.4.1 Einleitung

Im Rahmen der in Kapitel 2.5 und 7 ausführlich erläuterten Stabilitätsanalyse sowie bei der Auswertung der Messergebnisse in Kapitel 6 werden unterschiedliche Wirbelmodelle verwendet, die im Folgenden beschrieben werden sollen.

2.4.2 Der Potentialwirbel

Die Wirbel des Nachlaufs werden bei der Stabilitätsanalyse als dünne Wirbellinien modelliert und das resultierende Geschwindigkeitsfeld entsprechend dem Gesetz von Biot-Savart berechnet. Dies setzt eine inkompressible, reibungsfreie und drehungsfreie ( ∇× v=  0 ) Strömung voraus. Die auftretenden Wirbellinien haben hier die Gestalt eines Potentialwirbels, dessen Geschwindigkeitsverteilung mit  0

v t = (2-7)

2  r

eine Funktion des Radius ist. Die Stromlinien des ebenen Potentialwirbels bestehen damit aus konzentrischen Kreisen um das Wirbelzentrum, eine radiale Geschwindigkeitskomponente liegt also nicht vor. Nach Gleichung 2-6 ist die Zirkulation über einen Umlauf mit Radius R konstant und unabhängig von R :

3 Aus: [9], p. 201

8

Theoretischer Hintergrund

Damit ist eine notwendige Bedingung für die Drehungsfreiheit der Strömung erfüllt. Die gesamte Zirkulation  0 des Wirbels ist demnach im Ursprung konzentriert.

Entsprechend Gleichung 2-7 ergibt sich allerdings eine Singularität im Ursprung, die dort zu einer unendlich hohen Geschwindigkeit führt. Daher ist dieses Wirbelmodell im Bereich seines Zentrums für die Beschreibung realer Wirbel unbrauchbar.

2.4.3 Der Rankine-Wirbel

Um das oben angesprochene Problem der Singularität im Wirbelzentrum bei der Stabilitätsanalyse zu umgehen, wird für die Ermittlung des Selbstinduktionsanteils eines Wirbels das Rankine-Wirbelmodell verwendet.

Der Rankine-Wirbel entspricht außerhalb seines Kernradius r c einem Potentialwirbel, im Inneren wird das Fluid als zylindrischer Festkörper des Radius r c mit der Winkelgeschwindigkeit

modelliert. Die Tangentialgeschwindigkeit ergibt sich damit zu

Die Rotationsverteilung r  ⁴ lässt sich in Polarkoordinaten mit

bestimmen zu

Dadurch ergibt sich bei r=r c eine Unstetigkeit der Tangentialgeschwindigkeit.

4 Im Folgenden wird ausschließlich der Begriff der Rotation verwendet. Daher wird auf die formale

 und Drehung  verzichtet und der Betrag der Rotation mit Unterscheidung zwischen Rotation 

 bezeichnet.

9

Theoretischer Hintergrund

2.4.4 Der Lamb-Oseen-Wirbel

Zur Bestimmung der relevanten Wirbelparameter der gemessenen Nachlaufströmung wird diese entsprechend Kapitel 6.7.2 mit der eines Wirbelmodells verglichen, das die reale Strömung möglichst gut abbildet. Als Wirbelmodell findet hier der Lamb-Oseen-Wirbel Anwendung. Dieser ist im Gegensatz zu den meisten anderen Modellen viskoser Strömungen analytisch lösbar.

Wie die oben beschriebenen Wirbelmodelle stellt der Lamb-Oseen-Wirbel eine zweidimensionale, inkompressible und kreissymmetrische Strömung dar. Die Rotation  ist eine Funktion des radialen Abstands r zum Zentrum sowie der Zeit t . Sie ergibt sich als exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen für die Anfangsbedingungen r , t=0= 0 r  . (2-15)

 0 ist hierbei die Zirkulation des Wirbels zum Zeitpunkt t=0 , r  stellt die Dirac-Funktion dar. Damit vereinfachen sich die Navier-Stokes-Gleichungen zu einer einzelnen Gleichung für die Rotation:

² =v ∇  (2-16)

∂ t

Durch Laplace-Transformation in der Zeit erhält man das exakte Ergebnis

2 r  0

⁻ 4 v t = . e

(2-17) 4  v t

Die tangentiale Geschwindigkeitskomponente beträgt hierbei

 1−e − r ² 4 v t  .

Hieraus lässt sich der Radius der maximalen Tangentialgeschwindigkeit ermitteln, der als Wirbelkernradius r c bezeichnet wird: r c =2.238 v t

(2-19)

Hiermit lässt sich die Rotation in Abhängigkeit des radialen Abstands r zum Wirbelzentrum darstellen:  r r c  2

 0 −1.2526

=1.2526 (2-20) e

2  r c

Abschließend zeigen die folgenden Abbildungen Tangentialgeschwindigkeit und Rotation in Abhängigkeit des Radius für die hier vorgestellten Wirbelmodelle im Vergleich.

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Theoretischer Hintergrund

11

Theoretischer Hintergrund

2.5 Stabilitätsanalyse

2.5.1 Einleitung

Die Analyse der Dynamik eines Wirbelsystems geht im Wesentlichen auf Crow [5] zurück, der ein aus zwei Flügelspitzenwirbeln bestehendes Nachlaufsystem untersuchte. Die Wirbel werden hierbei als dünne Wirbellinien angesehen. Durch das Gleichsetzen der kinetischen Wirbelgeschwindigkeiten, die sich einerseits durch die mittels Linearisierung des Biot-Savart'schen Gesetzes ermittelbaren induzierten Geschwindigkeiten am Ort des Wirbels ergeben und andererseits aus der Differentiation der Wirbelpositionen nach der Zeit berechnen lassen, leitete Crow Stabilitätsgleichungen für das Wirbelsystem ab, die er analytisch als Eigenwertproblem löste. Hieraus ergab sich vorrangig eine langwellige sinusartige Form der Instabilität des Wirbelsystems, durch die die Amplituden der Schwingungen der Wirbellinien ein recht geringes Wachstum erfahren, das aber letztlich zum Zerfall der Wirbelstrukturen führt. Diese langwellige Instabilität wird gemeinhin als „Crow-Instabilität“ bezeichnet. 1997 nutzte Crouch [6] die Methode Crows zur Analyse eines Wirbelsystems aus zwei Paaren gleichsinnig drehender Wirbel, wie es im Aussenbereich eines Flügels durch Flügelspitzenwirbel und äußeren Klappenwirbel entsteht, wobei er das Eigenwertproblem mit Hilfe der Floquet-Theorie [10] löste. Crouch identifizierte neben der Crow-Instabilität zwei weitere Formen der Eigendynamik des Wirbelsystems. Hierbei handelt es sich um eine kurzwellige Instabilität mit einer gegenüber der Crow-Instabilität etwa doppelten Wachstumsrate.

Im Rahmen dieser Arbeit wird zur Durchführung der Stabilitätsanalyse des Wirbelsystems die Methode von Fabre [7] verwendet. Diese entspricht im Wesentlichen dem Vorgehen Crouchs und soll im Folgenden erläutert werden.

2.5.2 Modell des Wirbelsystems

Zur Beschreibung des realen Wirbelsystems des Modellflügels mit symmetrisch ausgeschlagenen Rudern wird der Nachlauf entsprechend Abbildung 2.5 durch vier dünne Wirbellinien modelliert.

Die Randwirbel werden mit den Indizes 1 und 2 bezeichnet, den Ruderwirbeln werden die Indizes 3 und 4 zugeordnet.

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