Shiping Chen Kreiszylinderschale aus Faseverbundwerkstoff  

  Kreiszylinderschale aus Faserverbundwerkstoff  

  Versuche und FE-Berechnungen  

1  Einleitung  2

1.1  Problemstellung  2

1.2  Allgemeine zum Faserverbundwerkstoff  4

2  Stabilitätsproblem  8

2.1  Gleichgewichtslage  8

2.2  Verzweigungsproblem.  10

2.3  Durchschlagsproblem  14

2.4  Klassifizierung.  16

3  Laminattheorie  17

3.1  Makromechanisches Verhalten einer UD-Schichte  17

3.2  Klassische Laminattheorie  21

4  Versuchsdurchführung  24

4.1  Testdaten und Versuchsdurchführung  24

4.2  Versuchdurchführung.  25

5  Anwendung der Finite Elemente Methode.  26

5.1  Untersuchungen des Vorbeulzustandes.  27

5.1.1  Einfluß der Laminatdicke (nominell, gemessen)  27

5.1.2  Einfluss der Materialparameter(nominell, gemessen)  28

5.1.3  Vergleich mit Versuchsergebnissen  29

5.1.4  Auswertung.  34

5.2  Untersuchung der Beullast.  36

5.2.1  Lineare Beullast der perfekten Schale.  37

5.2.2  Nichtlineare Beullast des perfekten Systems  51

5.2.3  Beullast des imperfekten Systems  63

5.3  Untersuchungen des Übergangs vom Vor- in den Nachbeulbereich  65

5.3.1  statische Berechnungsverfahren.  65

5.3.2  Dynamische Berechnungsverfahren  68

6  Zusammenfassung  84

7  Literaturliste  88

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1 Einleitung

1.1 Problemstellung

Schlanke oder dünnwandige Strukturelemente neigen unter Druckbelastung dazu, sich durch seitliches Ausweichen der Aufnahme hoher Lasten zu entziehen. Dieses Ausweichen tritt oft plötzlich und ohne Ankündigung auf und begrenzt das Tragvermögen. Der Vorgang wird bei Stäben als Knicken, bei Platten und Schalen als Beulen bezeichnet. Knicken und Beulen werden gemeinsam unter dem Begriff Stabilitätsproblem zusammengefasst. Die Diskussion des Beulverhaltens galt bisher überwiegend der idealen Struktur. In der Realität weisen die Strukturen Abweichungen von der idealen Gestalt auf, die Lasten werden nicht genau den Annahmen entsprechend eingeleitet oder die Steifigkeiten zeigen örtliche Abweichungen vom Sollwert. All diese Unregelmäßigkeiten werden unter dem Begriff Imperfektionen zusammengefasst. Sie bewirken, dass die maximale Belastbarkeit verringert wird.

Der Forschungsschwerpunkt auf dem Gebiet der Imperfektionen liegt auf den geometrischen Imperfektionen. Durch Versuche konnte gezeigt werden, dass selbst sehr kleine Abweichungen vom idealisierten Zustand einen großen Einfluss haben können.

Bei der Verwendung von Faserverbundwerkstoffen ist die Anzahl der

Variationsmöglichkeiten einer Kreiszylinderschale durch die zusätzlichen Parameter Anzahl, Dicke und Faserorientierungen der Einzelschichten im Vergleich zu isotropen Werkstoffen um ein Vielfaches höher. Die Anzahl der durchgeführten Versuche aber ist um ein Vielfaches niedriger. Da im Bereich der Luft- und Raumfahrt Faserverbundwerkstoffen jedoch eine immer größere Bedeutung zukommt, werden Untersuchungen mit dieser Materie zunehmend wichtiger.

Um den Einfluss verschiedener Parameter auf das Beulverhalten untersuchen zu können, muss das Modell der Finite Elemente Methode durch Vergleiche mit Versuchsergebnissen verifiziert werden. Für die Untersuchungen mit der Methode der Finiten Elemente wird das kommerzielle Programmpaket ABAQUS verwendet.

Im Rahmen dieser Arbeit wurde das Verhalten der unversteiften Kreiszylinderschale aus Faserverbundwerkstoff abgebildet und beschrieben. Dabei wurden sowohl die Probleme bei der Auswahl der Parameter der Berechnung als auch die Probleme bei der Verwendung kommerzieller FE-Tools als Black-Box aufgezeigt. Da die mögliche Anzahl der zu wählenden Parameter mannigfaltig ist, wurde zu jeder Teilaufgabe nur eine sehr eingeschränkte, möglichst repräsentative Auswahl getroffen, um den Umfang dieser Arbeit zu begrenzen.

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Die Ergebnisse der Berechnungen wurden mit denen der Versuche verglichen, und die Übereinstimmung wurden quantifiziert und bewertet.

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1.2 Allgemeine zum Faserverbundwerkstoff

Die Forderung nach einem geringen Strukturgewicht in vielen Bereichen der Technik wird einerseits durch immer geringere Wanddicken der Bauteile, anderseits durch den Einsatz neuer Werkstoffe realisiert. Gerade Faserverbundwerkstoff zeigt mehr mechanische und physikalische Vorteile gegenüber klassischen Werkstoffen.

Allgemein sind unter Faserverbundwerkstoffen solche Materialien zu verstehen, die aus mindestens zwei Komponenten bestehen, wobei die eine in Faserform vorliegt und in die andere sie umgebende Komponente - die Matrix - eingebettet ist. Faserverbundwerkstoffe unterscheiden sich hinsichtlich Faser- und Matrixtyp, Faserorientierung, -länge und -gehalt sowie hinsichtlich Textilhalbzeug der Faserverstärkung.

Fasern

Ein Werkstoff in Faserform hat oftmals eine größere Festigkeit als das gleiche Material in kompakter Form, und je dünner die Faser, um so größer ist die Festigkeit. Die am häufigsten verwendete Verstärkungsfaser ist die Glasfaser. Daneben kommen beispielsweise auch Kohlenstoff- und Aramidfasern für hochbeanspruchte Bauteile zum Einsatz. Auf andere Synthetik- oder Naturfasern wie Polyethylen-, Polyester-, Flachs- oder Hanffasern, die ebenfalls ihre sinnvollen Einsatzgebiete haben, wird nicht näher eingegangen.

Die Glasfasern haben eine amorphe Struktur und sind mit isotropen Eigenschaften ausgestattet. Sie bestehen überwiegend aus Siliziumoxid. Durch Beimischungen weiterer Oxide können die Eigenschaften variiert werden. Hergestellt werden die Glasfasern aus der Schmelze im sogenannten Schmelzspinnverfahren. Die Glasfaser ist eine relativ preisgünstige Verstärkungsfaser.

Sehr hohe Festigkeiten und Steifigkeiten weisen die Kohlenstofffasern (C-Faser) auf. Die Kohlenstofffasern bestehen zu über 90% aus Kohlenstoff. Der Faserdurchmesser beträgt 4,5 bis 8 µm. Die Eigenschaften der C-Fasern sind anisotrop. Kohlenstofffasern werden aus Polyacrylnitril oder vereinzelt auch aus Steinkohlenteerpech hergestellt. Die Verfahrensschritte bei der Herstellung sind die Oxidation, Carbonisierung (hochfeste Faser), Graphitisierung (hochsteife Faser) und Oberflächenbehandlung.

Aramidfasern (aromatisches Polyamid) sind wie die C-Fasern anisotrop. Aromatisches Polyamid wird in einem Schwefelsäurebad aufgelöst, versponnen und anschließend gereckt.

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Die Aramidfasern weisen ein hohes Energieaufnahmevermögen auf. Nachteilig sind insbesondere das Feuchteaufnahmevermögen und die relativ geringe Druckfestigkeit.

Matrix

Die Matrix, in die die Fasern eingebettet sind, hat folgende Aufgaben: Sie stützt die Fasern, schützt die Fasern vor äußeren Angriffen und leitet vornehmlich über Schubspannungen die Kräfte in die Fasern. Die Wahl des Matrixtypes wird häufig aufgrund der mechanischen Eigenschaften, der Temperatur- und Medienbeständigkeit, dem Brandverhalten sowie der Verarbeitbarkeit des Kunststoffs getroffen. Als Polymermatrices kommen duroplastische und thermoplastische Kunststoffe zum Einsatz. Bei den Hochleistungsfaserverbundwerkstoffen werden bis heute überwiegend Duroplaste, wie z.B. ungesättigte Polyester-, Epoxid-, Phenol- oder Vinylesterharze eingesetzt.

Ungesättigte Polyester-Harze (UP) sind preiswert und deshalb die am häufigsten eingesetzten Duroplaste. In Hochleistungsverbundwerkstoffen werden sie aufgrund der relativ niedrigen Wärmeformbeständigkeit, hoher Schwindung und relativ niedriger mechanischer Eigenschaften nur selten eingesetzt. Bei der Härtung entsteht durch Polymerisation eine dreidimensionale Vernetzung.

Epoxid-Harze (EP) weisen relativ hohe mechanische Eigenschaften sowie Wärmeformbeständigkeiten auf und stellen die "Standard-Matrix" von hochbeanspruchten Faserverbundwerkstoffen, z.B. im Flugzeugbau, dar. Die Netzwerkbildung bei der Härtung geschieht durch eine Polyaddition. Der Preis der EP-Harze liegt im oberen Bereich aller Duroplaste.

Die Vinylester-Harze (VE) härten wie die UP-Harze durch Polymerisation, wobei sie aber höhere mechanische Eigenschaften, eine kleinere Schwindung und höhere Wärmeformbeständigkeiten aufweisen. Aufgrund ihrer vorzüglichen

Chemiekalienbeständigkeit werden die VE-Harze häufig im Anlagenbau eingesetzt.

Phenol-Harze (PF) werden durch eine Kondensationsreaktion von Phenol und Formaldehyd hergestellt. Dabei entsteht Wasser als Abspaltprodukt. Dieses Wasser verdampft bei der Härtung und kann Probleme (z.B. Poren) bei der Verarbeitung hervorrufen. Die preiswerten Phenol-Harze geben bei Brandeinwirkung nur geringe giftige Gase ab, so daß sie beispielsweise für Innenraumanwendungen bei Flugzeugen eingesetzt werden.

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Die kalt- oder warmhärtenden Duroplaste lassen sich aufgrund ihrer niedrigeren Viskosität im flüssigen Zustand besser verarbeiten als thermoplastische Matrices. Dennoch werden in jüngster Zeit thermoplastische Kunststoffe, wie z.B. Polypropylen (PP), Polyamid (PA) oder der hochwertige Kunststoff Polyetheretherketo (PEEK), mit steigender Tendenz eingesetzt. Die Imprägnierung der Fasern bzw. die Verarbeitung der thermoplastischen Matrices wird inzwischen deutlich besser beherrscht, und zudem sprechen einige Eigenschaften für diese Polymermatrices, wie z.B. Umformbarkeit, Lagerfähigkeit und Zähigkeit, siehe Abbildung 1 Thermoplastische Kunststoffe sind aufgrund der zur Zeit verfügbaren

Verarbeitungstechnologien für Großserien und für begrenzte Bauteilabmessungen gut geeignet. Bei großen Faserverbundstrukturen sind Modulbauweisen mit geeigneten Fügeverfahren, erforderlich.

Vorteile:

- hohe Zähigkeit

- hohe Dämpfung

- geringe Feuchtigkeitsaufnahme (außer PA)

- unbegrenzte Lagerstabilität

- kürzere Verarbeitungszyklen

- Schweißbarkeit

- Umformbarkeit (Thermoformen)

- gute Medienbeständigkeit

- besseres Impactverhalten Nachteile:

- Kriechneigung

- schwierige Reparaturen

- hohe Viskosität / schwierige Imprägnierung

- teilweise geringe Temperaturbeständigkeit

Abbildung 1: Vor- und Nachteile thermoplastische Matrix

Eigenschaften des Faserverbundwerkstoffs

Die Eigenschaften des Faserverbundwerkstoffs werden außer von den Eigenschaften der Komponenten Faser und Matrix auch von der Faser-/ Matrix-Haftung, Faserlänge undorientierung, Fasergehalt und Umgebungsbedingungen beeinflußt. Vor- und Nachteile von FKV sind in der Abbildung 2 (siehe Literatur 1) angeführt.

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Vorteile:

- hohe spezifische Festigkeit

- hohe spezifische Steifigkeit

- hohe Ermüdungs- und Zeitstandsfestigkeit

- kaum Korrosionsprobleme

- gutes Dämpfungsverhalten

- niedrige Wärmedehnung

- beanspruchungsgerechte Faserorientierung

- elektrischer und thermischer Isolator (außer CFK)

- gutmütiges Bruchverhalten

- multifunktionale Bauweise Nachteile

- hohe Materialkosten (außer GFK)

- anspruchsvolle Berechnung

- ungünstiges Impactverhalten

- Recycling

Abbildung 2: Vor- und Nachteile des Faserverbundwerkstoffs

Die angeführten Vor- und Nachteile sind teilweise durch die Matrixeigenschaften, überwiegend jedoch auf die Faser- sowie Verbundeigenschaften zurückzuführen.

Im Rahmen dieser Arbeit werden nur symmetrisch aufgebaute Laminate untersucht. Eine Schicht besteht aus den Grundbestandteilen endloser Kohlenfaserverbundwerkstoff und Matrix. Die Fasern sind unidirektional(UD) angeordnet. Als Matrixwerkstoff wird Epoxidharz(EP) verwendet.

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2 Stabilitätsproblem

Wie schon am Anfang erwähnt, für schlanke oder dünnwandige Strukturelemente unter Druckbelastung. Gibt es die Gefahr der Unstabilität. Es wird bei Stäben als Knicken, bei Platten und Schalen als Beulen bezeichnet. Knicken, und Beulen werden gemeinsam unter dem Begriff Stabilitätsproblem zusammengefasst.

Da die untersuchten Kreiszylinderschalen in Versuchen schon Beulen gezeigt hatten, wird das Stabilitätsproblem im Folgenden anhand Stab und von Mises Fachwerk theoretisch erklärt.

Betrachtet wird zuerst ein Körper in verschiedenen Situationen.

2.1 Gleichgewichtslage

Durch die Veränderung der Lage eines Körpers können sich die auf ihn einwirkenden Kräfte ändern, so dass folgende Gleichgewichtslagen unterschieden werden:

stabile Gleichgewichtslage indifferente Gleichgewichtslage labile Gleichgewichtslage

Abbildung 3

• Stabile Gleichgewichtslage: nach Auslenkung bewirken Rückstellkräfte, dass der

Körper wieder in seine ursprüngliche Lage zurückkehrt

• Indifferente Gleichgewichtslage: nach Auslenkung wirken dieselbe Kräfte auf den

Körper wie vorher, es treten weder treibende noch rückstellende Kräfte auf.

• Labile Gleichgewichtslage: nach anfänglicher Auslenkung treten treibende Kräfte auf,

die den Körper zusätzlich auslenken.

Um die drei Gleichgewichtslagen quantitativ zu unterscheiden, wird das Gesamtpotential

π betrachtet. Das Gesamtpotentialπ eines Systems, das sich unter Einwirkung von äußeren

Kräften verformt hat, ist gleich der Summe der vom System gespeicherten inneren Energie

π ) plus dem äußeren Potential. Das äußere Potential a π ist hierbei der

(inneres Potential i

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negative Betrag der äußeren Arbeit, die die äußeren Kräften an den Deformationen des Systems leisten.

Variiert man die Verformung (z. B. www δ →+

), so liefert die Entwicklung in eine Taylorreihe:

11 πδπδπδπ +=+++

Die erste Variation δπ liefert die Aussage über die Art der Gleichgewichtslage. ² Die zweite Variation

> 



δπ = ² 

 <



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2.2 Verzweigungsproblem

Um dieses Problem darzustellen, unterscheiden wir zuerst drei Zustände eines Systems wie folgt:

Ø Ausgangszustand: unbelasteter Zustand Ø Grundzustand: möglicher Gleichgewichtszustand unter Belastung Ø Nachbarzustand: Verschiebungszustand wird in beliebiger kinematisch zulässiger Weise gegenüber dem Grundzustand variiert.

Betrachtet wird der Grundzustand des in Abbildung 4 dargestellten Systems: Aus Gleichgewichtbedingungen:

AFAM === ,0,0 Gleichung 3

VHA

Der Nachbarzustand stellt die kinematisch verträgliche, ausgelenkte Lage des Systems dar.

Aus der Annahme von kleinen Verformungen gilt: sinϕϕ ≈ . Daraus folgt die horizontale

Auslenkung f: fl ϕϕ =≈⋅ sin Gleichung 4

Die Gleichgewichtsbedingungen am verformten System liefern dann:

AFAFlM ϕ ==⋅⋅−= ,0,0 Gleichung 5

VHA

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C : Des Weiteren gilt für eine linearelastische Momentenfeder mit Federkonstanten m

MC ϕ =⋅

Gleichung 6

Am und man erhält:

FlC ϕϕ ⋅⋅−⋅=. 0 Gleichung 7

m ϕ = (Grundzustand), die 0 Aus dieser Gleichung ergibt sich neben der trivialen Lösung

F , auch kritische Last genannt, zu: Verzweigungslast k

== FF

K

Für diese kritische Last ist das Gleichgewicht erfüllt, die Verformung des Systems ist aber nicht mehr eindeutig. Der Begriff Verzweigungsproblem wird hier durch eine graphische Darstellung deutlich.

In dem oben dargestellten Diagramm sind die möglichen Nachbarzustände durch die F ist Verschiebung f für eine beliebige Last F dargestellt. Unterhalb der kritischen Last k f = möglich, wobei es sich um eine stabile Gleichgewichtslage 0 ein Gleichgewicht nur für

handelt, weil das rückstellende Moment der Feder größer ist als das Moment der treibenden

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f = ein Gleichgewicht möglich, wobei es F ist ebenfalls nur für 0 Kraft F . Oberhalb von k

sich hier allerdings um eine labile Gleichgewichtslage handelt, da das Moment der treibenden Kraft F größer ist als das Rückstellmoment der Feder. Für die kritische Last sind offenbar unendlich viele Nachbarzustände möglich. Die kritische Last stellt somit den Übergang vom stabilen zum labilen Gleichgewichtszustand dar. Eine Überschreitung der kritischen Last gepaart mit einer ungewollten Auslenkung des Systems führt dann zum Versagen des Systems.

Bezieht man die Betrachtung von großen Verformungen mit ein, ergibt sich folgende kritische Last:

FlC ϕϕ ⋅⋅−⋅= sin0 m Gleichung 9

==⋅ FF k

f = noch ein 0 Bei großen Verformungen ist die Last, für die neben dem trivialen Fall

C und l abhängig, sondern Gleichgewicht möglich ist, nicht nur von den Systemgrößen m

auch von der Verformung. Graphisch ergibt sich folgende Darstellung:

F hat auch bei Berücksichtigung von großen Verformungen den Die Verzweigungslast k

gleichen Betrag wie in den vorangegangenen Betrachtungen. Ebenso ist unterhalb der

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f = möglich. Oberhalb von k F ein stabiles Gleichgewicht nur bei F sind 0 kritischen Last k f = und eine stabile 0 dagegen zwei Gleichgewichtslagen möglich, zum einen eine labile für auf dem gekrümmten Ast. Die stabile Gleichgewichtslage wird allerdings erst nach einer relativ großen Verformung erreicht, die bei realen Werkstoffen schon zu einem Materialversagen führen kann. Da sowohl bei der Betrachtung von kleinen als auch großen F identisch ist und nur bei Lasten unterhalb k F ein Verformungen die Verzweigungslast k

stabiles Gleichgewicht im Grundzustand möglich ist, reicht die Betrachtung von kleinen Verformungen aus.

Es soll noch darauf hingewiesen werden, dass wegen der Imperfektion in der Realität die realen Strukturen vom idealen Verlauf () Ff abweichen, wie in der Abbildung 6 gezeigt

wurde. Bevor die realen Strukturen den Verzweigungspunkt erreichen, zeigen sie schon Nichtlinearität.

Für diesen Abschnitt siehe auch Literatur 2

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2.3 Durchschlagsproblem

Von Mises Fachwerk ist das in Abbildung 7 gegebene System aus zwei Federn, die durch die Kraft F zusammengedrückt werden.

Es bestehen die kinematischen Beziehungen:

hlL += () hlL ω −+= ; ^{2 22 222} Gleichung 11

0

wobei ω ist die vertikale Verschiebung.

Die Änderung der Federlänge

=−=+−+  fLLl

0

Aus dem ausgelenkten System liefert das Gleichgewicht:

αϕ −=− , *sin() N

αϕω −=− und mit der Winkelbeziehung: sin()() hL . Gleichung 14

Ncf = * Die Federkennlinie sei linear, so gilt: Gleichung 15

Das Einsetzen der Gleichungen (11), (12), (14), (15) in (13) ergibt sich eine nichtlineare Beziehung zwischen der Kraft F und der Verschiebung h :





ω − L hF

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Die zugehörige Last-Stauchungs-Kurve ist für L 0 /L=1,25 in Abbildung 8 dargestellt. Hier kann

die Last bis zum Punkt D gesteigert werden und fällt danach bei noch größer werdendem ω

wieder ab. Bei einer statisch aufgebrachten Belastung kann dieser Zustand nicht erreicht werden. Häufig beginnt im Punkt D ein dynamischer Prozess. Erst im Punkt E kann das System wieder ein statisches Gleichgewicht erreichen. Der hier beschriebene Vorgang, bei dem das System „schlagartig“ von einer Gleichgewichtslage in die andere wechselt, wird mit Durchschlagen bezeichnet; entsprechend nennt man D auch Durchschlagspunkt. Hier handelt es sich um ein Stabilitätsphänomen, da auch hier zu der Kraft mehrere Lösungen für

ω existieren und somit keine eindeutige Lösung vorliegt. Tragstrukturen können bei

entsprechender Geometrie und Belastung durchschlagen. Das führt normalweise zum Versagen der Struktur.

Last-Stauchungs-Kurve vom Durchschlagsproblem

Abbildung 8

Für diesen Abschnitt siehe auch bitte Literatur 4.

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2.4 Klassifizierung

Eine Klassifizierung ist erst möglich, wenn ein Eigenwertproblem schon behandelt wurde. Nachdem das Eigenwertproblem gelöst wird, wie im Abschnitt 5.2.1.1 im Beispiel eines

r

linearen Eigenwertproblems erläutet wurde, können auch die Eigenformen (φ ) bestimmt

werden. Nach Wagner (Literatur 5) kann die Art des Stabilitätspunktes klassifiziert werden. Es gilt:

r r

= ⋅ φ T F

r

womit: φ

ist die Eigenformvektor

r

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3 Laminattheorie

Wenn wir das mechanische Verhalten von Faserverbundwerkstoffen untersuchen, müssen wir auch die klassische Laminatheorie als Basis kennen. Es wird zuerst unterschieden zwischen der makromechanischen und der mikromechanischen Modellbildung. Die Mikromechanische Modellierung befasst sich mit der Beschreibung und Erklärung der unterschiedlichen Wechselwirkungen zwischen Faserphase und Matrixphase. Makromechanische Betrachtungen haben hingegen eine Beschreibung des

Gesamtverhaltens der beteiligten Komponenten zum Ziel, so dass eine Vorhersage des globalen Tragverhaltens eines Bauteils möglich ist.

Folgend wird zuerst das makromechanische Verhalten einer undirektionalen(UD) Schichte betrachtet, und dann in die klassische Laminattheorie gegangen.

3.1 Makromechanisches Verhalten einer UD-Schichte

Es wird davon ausgegangen, dass das Materialverhalten einer DU-Schichte linear elastisch angesehen werden kann. Daher beginnen wir mit der Modellierung von der allgemeinen linearen Elastizitätstheorie ( Literatur 13). Das allgemeine Hooke´sche Gesetz lautet in Matrizenschreibweise: r r r

σε =⋅ ij = iijj C mit ,1,2,...,6 Gleichung 17

σ und Dehnungen i ε sind hierbei wie folgt definiert(siehe Abbildung 9):

Die Spannungen i ∂ u σσεε === ∂ 111111 ,

x ∂ v σσεε === ∂ 222222 ,

y ∂ w σσεε === ∂ 333333 ,

y

∂∂ vw στεεγ ====+ 43243223 , Gleichung 18

∂∂ zy

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