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Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  1

2  Entscheidungstheorie und Portfolioselektion.  3

2.1  Grundbegriffe.  3

2.1.1  Der Modellbegriff.  3

2.1.2  Das Portfolioproblem  4

2.2  Zielsystem  5

2.2.1  Ziel  5

2.2.2  Präferenzrelation.  6

2.2.2.1  Wertfunktionen  7

2.2.2.2  Nutzenfunktionen  8

2.2.2.3  Ordinale und kardinale Präferenzordnungen  9

2.3  Entscheidungsfeld.  9

2.3.1  Assetpricing  10

2.3.1.1  Effizienzhypothesen  11

2.3.1.2  Random-Walk-Hypothese und Mean-Reversion.  12

2.3.2  Wahrscheinlichkeiten und deren Verteilung(en)  13

2.3.2.1  Eine Definition  13

2.3.2.2  Wahrscheinlichkeiten bei Investitionsalternativen  14

2.3.3  Ergebnismatrix  16

2.4  Vorauswahl: Restriktionen und Dominanzprinzip.  17

2.5  Die formale Darstellung des Entscheidungsproblems  18

2.6  Deskriptive und präskriptive Entscheidungstheorie.  19

3  Erwartungsnutzentheorie  20

3.1  Bernoullis Theorie  20

3.2  Von-Neumann-Morgensternscher Risikonutzen  21

3.3  Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie  22

3.4  Arrow-Pratt Maß.  23

3.5  Klassische Entscheidungsprinzipien  25

3.5.1  Das Bayes-Kriterium  25

3.5.2  Das Erwartungswert-Varianz-Prinzip  26

3.5.2.1  Das Entscheidungsprinzip.  26

3.5.2.2  Portfolio Selection Theory  28

3.5.2.3  Kritik am Erwartungswert-Varianz-Prinzip.  30

3.5.3  Entscheidungskalküle unter Verwendung alternativer Risikomaße  31

3.6  Erwartungsnutzen und klassische Entscheidungsprinzipien.  33

3.7  Subjective Expected Utility.  35

3.8  Optimierungsrechnung  36

4  Alternative Risikonutzenmodelle.  37

4.1  Anomalien  38

4.1.1  bezüglich der Wahrscheinlichkeiten  39

4.1.2  bezüglich der Nutzenfunktion  41

4.1.3  bezüglich der Verknüpfung zu Präferenzen  44

4.2  Konventionelle Theorien.  45

4.2.1  Alternative Wahrscheinlichkeitsmaße  45

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4.2.1.1  Anticipated Utility (AU)  50

4.2.1.2  Dual Theory.  51

4.2.2  Alternative Nutzenkalküle  54

4.3  Unkonventionelle Theorien.  55

4.3.1  Regret und Disappointment Theory  55

4.3.2  (Cumulative) Prospect Theory  56

4.3.3  Behavioral Portfolio Theory.  63

5  Conclusio  65

Bibliografie   69

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Abbildungsverzeichnis

Abb. 1: Kombinationen von Informationsständen....................................................................10

Abb. 2: Verteilung (Dichtefunktion) eines fiktiven Endvermögens nach t Jahren und

Anfangsvermögen 100......................................................................................................14

Abb. 3: Doppelgammadichtefunktion der historischen Rendite des S&P500..........................15

Abb. 4: Risikonutzenfunktionen für risikoneutrales (lin), risikoscheues (konk) und

risikofreudiges (konv) Verhalten mit auf (0,1) normierten Ergebnissen und

Nutzenwerten. ...................................................................................................................23

Abb. 5: Indifferenzkurven einer quadratischen Risikonutzenfunktion bei verschiedenen

Nutzeniveaus.....................................................................................................................27

Abb. 6: Isonutzenfunktionen für risikofreudiges Verhalten (höheres Nutzenniveau rechts

oben). ................................................................................................................................28

Abb. 7: Risikoneutrale Indifferenzkurven ................................................................................28

Abb. 8: Pyramidenmodell des mental accounting (Roßbach 2001). ........................................43

Abb. 9: Vergleich der Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktionen von Prelec (1998) und

Tversky und Kahneman (1992) (gesamtes Intervall). .....................................................47

Abb. 10: Vergleich der Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktionen von Prelec (1998) und

Tversky und Kahneman (1992) (Ränder des Intervalls)..................................................48

Abb. 11: Dichtefunktion der Standardnormalverteilung und ihr durch die g(p) von K/T

verzerrtes Äquivalent........................................................................................................48

Abb. 12: Unverzerrte und durch g(.) verzerrte kumulative (F(.)), sowie dekumulative (1-F(.))

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. ........................................................50

Abb. 13: Wertfunktion der Prospect Theory (Scholz, Mieg und Weber 2003)........................58

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1 Einleitung

In dieser Arbeit wird untersucht, wie und ob zur Erwartungsnutzenhypothese alternative Annahmen über Anlegerpräferenzen in Gestalt von Nutzenfunktionen zur mengenmäßigen Bestimmung von Anlagemöglichkeiten in individuellen Portfolios Verwendung finden können. Gemäß wissenschaftstheoretischer Konvention findet eine Einteilung der Forschungsrichtungen nach dem Abzielen auf das Erreichen von normativen oder positiven Erkenntnissen statt. Dem vorherrschenden Paradigma, welches die Portfolioselektion fundiert, wird sowohl positiver als auch normativer Aussagegehalt zugeschrieben. Grundlage der neoklassischen Entscheidungstheorie ist die Erwartungsnutzenhypothese, welche von von Neumann und Morgenstern 1944 durch sehr ansprechende Axiome fundiert wurde. Verbunden mit ihrer guten mathematischen Handhabbarkeit sind zahlreiche Anwendungen in Wirtschaft, Politik, Recht, Gesundheitswesen u.a. Beweise ihres Erfolges. Warum also Alternativen? In deskriptiver (bzw. darauf aufbauend prädiktiver) Sichtweise werden die Verhaltensweisen des ökonomisch handelnden, idealerweise rationalen Menschen hinterfragt. (Ist im Folgenden von „irrational“ die Rede, ist darunter eine Abweichung von der normativen Axiomatik der EUT zu verstehen, ohne das philosophische Ideal zu hinterfragen.) Der homo oeconomicus ist interessiert an Nutzen (und z.B. nicht an wertausdrückenden Eigenschaften), ist nie verwirrt, hat kognitiv unbegrenzte Möglichkeiten, perfekte Selbstkontrolle, ist immer risikoavers und bedauert niemals (Statman 1999: 26). Einmal mehr ist der Feind der normativen Verhaltensimplikationen die Empirie (Baron 2004). Schon von Simon (1955) wurde die Fähigkeit des Menschen vollständig rational zu sein, angezweifelt. Auf ihn gehen die Überlegungen bzgl. kognitiver (bounded rationality), motivationaler (bounded willpower) und emotionaler (bounded selfinterest) Beschränktheiten zurück. Diese werden z.B. durch naive, statt optimaler, Diversifikation (asset allocation puzzle, z.B. Siebenmorgen und Weber 2000) oder in der asymmetrischen Behandlung von Vermögensänderungen (disposition effect, z.B. Weber und Camerer 1998) sichtbar. Damit wurde der Grundstein für das Einfügen von psychologischen Erkenntnissen über real man, im Gegensatz zur Psychologie des homo oeconomicus, mit dem Ziel, den Realismus der Theorien zu verbessern und so zu besseren theoretischen Einsichten und Vorhersagen zu gelangen, ohne die komplette Neoklassik zu verneinen (vgl. Camerer, Loewenstein, Rabin 2003). Volkswirtschaftlich mathematisch geprägte Wissenschaftler versuchen seit dem die Erwartungsnutzentheorie zu generalisieren, in dem sie die ihr zugrunde liegende Axiomatik in Richtung größerer empirischer Validität aufweichen. Soziologen und Psychologen versuchen, die wirksamen psychologischen Prozesse fassbar zu machen (vgl. z.B. Camerer, Loewenstein, Rabin 2003). Die Integration dieser Erkenntnisse mit Bezug zu finanzwirtschaftlichen Fragestellungen wird als Behavioral Finance bezeichnet. Diese

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versucht, das individuelle Verhalten und das des Marktes zu beschreiben und zu erklären. Die Ansatzpunkte sind die, für die traditionellen Modelle anomalen

Verhaltensbeobachtungen. Auf irrationales Verhalten reagierende Entscheider am Kapitalmarkt werden von der Behavioral Finance als noise trader bezeichnet. Deren Gegenspieler sind typischerweise die nach der Erwartungsnutzenhypothese agierenden rationalen Akteure, z.B. Arbitrageure. Bei der Modellierung des Entscheidungsverhaltens, ob rational oder irrational, werden Risikonutzenfunktionen verwendet.

Der Aufbau der Arbeit ist wie folgt organisiert: Das zweite Kapitel führt in die Portfolioselektion, welche eingebettet in die Entscheidungstheorie vorgestellt werden soll, ein. Gleichzeitig wird dabei die Abgrenzung dieser Arbeit zu verwandten Themengebieten und die Vorstellung der zur Anwendung kommenden Notationen, vollzogen. Der Erwartungs-nutzentheorie, dem Standardansatz für Entscheidungen in Risikosituationen, ist das dritte Kapitel gewidmet. Irrationale Verhaltensäußerungen bilden den Einstieg in das vierte Kapitel, um anschließend auf alternative Theorien der Entscheidungslehre einzugehen. Der Bezug zur Portfolioselektion soll jeweils hergestellt werden. Der Abspann fasst die Möglichkeiten und die Nutzbarkeit der Alternativen zusammen und versucht einen Ausblick auf die weitere Entwicklung zu leisten.

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2 Entscheidungstheorie und Portfolioselektion

In diesem Kapitel werden die Grundlagen, die Abgrenzung zu verwandten und aufbauenden Themengebieten und die zur Anwendung kommenden Notationen erläutert. Dies soll während der Erklärung, wie das Portfolioproblem entscheidungstheoretisch modelliert wird, geschehen.

2.1 Grundbegriffe

2.1.1 Der Modellbegriff

Ein Entscheidungsmodell ist, wie jedes Modell, eine vereinfachende Darstellung der Realität. Bei der zu leistenden Komplexitätsreduktion können aber nur Elemente und Eigenschaften des Realsystems unbeachtet bleiben, die für die zu treffende Entscheidung irrelevant sind. Alle anderen müssen (soweit möglich) im Modell zu finden sein, um überhaupt realitätsnahe Handlungsempfehlungen ableiten zu können. Weiterhin müssen die Relationen der Elemente im Modell untereinander denen in der Realität entsprechen (Strukturgleichheit). Das Entscheidungsproblem wird somit zu einem Entscheidungsmodell aus Entscheidungsfeld und Zielsystem reduziert. Bamberg und Coenenberg (2002: 42) klassifizieren Entscheidungsmodelle nach der Anzahl der Zielsetzungen, sowie nach statischer oder dynamischer Betrachtungsweise. In dieser Arbeit sollen nahezu ausschließlich Entscheidungskalküle bei einem Ziel in einer Risikosituation in einer einzigen Periode (statischer Ansatz) untersucht werden. Es kann durchaus argumentiert werden, dass bei Investitionsentscheidungen spieltheoretisch immer mehrere Gegenspieler vorhanden sind, jedoch wird hier der allgemeinere Ansatz, bei dem der Investor Preisnehmer ist und auch ansonsten nicht das Marktgeschehen beeinflussen kann, angenommen. Obwohl dynamischen Modellen des Assetpricing und der Assetallokation in letzter Zeit zahlreiche neue Studien und Theorien gewidmet wurden (vgl. Hirshleifer 2001, Barberis, Huang und Santos 2001 oder Campbell 2000), soll diese Arbeit auf statische Modelle begrenzt bleiben, da viele Elemente beider Modellklassen gleich oder unabhängig sind. Die Grundfragen, welche die Verwendung der Erwartungsnutzentheorie anzweifeln, sind meist statischer Natur. So folgen dynamische Modelle mit eigenen Annahmen versehenen erweiterten Theorien. Beim Konzept der zeitlichen Nutzendiskontierung, wird im Zeitpunkt der Entscheidung für jede Periode der diskontierte, rekursiv ermittelte Nutzen des stochastischen, temporären Vermögens berechnet. Durch die dafür benötigte bedeutend aufwendigere Analytik kann so der Blick auf wesentliche Elemente alternativer

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Risikonutzenkalküle verschleiert werden. Durch die Beschränkung auf Einperiodenmodelle werden dadurch auch keine, wie z.B. von Baz et. al. (1999) beschrieben, betrachtungszeitraumabhängige Änderungen des Risikoverhaltens, verursacht durch dynamisch inkonsistente Präferenzen, myopische Verlustaversion, experimentelles Lernen oder Unsicherheit über zukünftige Präferenzen, betrachtet.

2.1.2 Das Portfolioproblem

Das, aus dem Französischen kommende Wort, Portefeuille (synonym: Portfolio) bezeichnet ursprünglich lediglich eine Brieftasche (frz. porter, ,tragen’ und feuille, ,Blatt’), wird jedoch in finanziellen Fragestellungen als Mischung bzw. Bestand sämtlicher Geld- und Kapitalanlagen einer Person oder Organisation verstanden. Es soll darunter die realisierte Allokation von individuell zur Verfügung stehendem Vermögen auf mögliche Investitionsalternativen verstanden werden.

Im kybernetischen Verständnis besteht ein Prozess aus den Stufen Planung, Realisation, Kontrolle sowie Rückkopplungen. So ist im Investmentprozess, der Planung folgend und vor der Kontrolle angeordnet, die Assetallokation ein wichtiger Teil des Portfoliomanagements, in welchem die Kombination bzw. Anordnung von Anlagemöglichkeiten (Assets bzw. Assetklassen) mit dem Ziel die maximale Verzinsung des eingesetzten Kapitals (Rendite, Performance) zu erreichen, erfolgt. Die strategische Assetallokation ist die Entscheidung über die Aufteilung des Vermögens in Assetklassen und erklärt etwa 80% des erwarteten Ertrages (Coche und Stotz 2002). Dabei kommt der Portfoliogedanke, d.h. die Nutzung von Diversifikationsmöglichkeiten (Ausnutzung von unterschiedlichen Korrelationen), zum Tragen. Es wird zwischen verschiedenen Diversifikationsebenen (strategisch, taktisch) unterschieden. Strategische Portfolioentscheidungen betreffen die generelle Aufteilung des Vermögens auf Assetklassen (Anleihen, Aktien, Derivate). Dabei werden ebenfalls Länder-und Währungskorrelationen betrachtet. Die taktische Asset Allokation versucht die kurzfristig bestehenden Fehlbewertungen auszubeuten und wird somit nur bei aktivem Portfoliomanagement eingesetzt. Bei der Titelselektion findet die Wahl des optimalen Portfolios, z.B. mittels Risikonutzenfunktion als Tangentialpunkt mit der Effizienzlinie (Markowitz März 1952), statt. Es kommt also zur Festlegung der Menge des in die einzelnen Anlagealternativen zu investierenden Kapitals und damit zur Umsetzung der Strategie bzw. Taktik. Wird beim passiven Portfoliomanagement versucht, die kostengünstigste Nachbildung der Benchmark zu realisieren, werden beim aktiven Ansatz unterbewertete Assets pro Assetklasse gesucht. In beiden Fällen kommt der Risikonutzenfunktion zur konkreten Mengenbestimmung einzelner Assetanteile eine große Bedeutung zu. Das Portfolio ist das Ergebnis der Investitionsentscheidung.

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Die Portfolioselektion ist ein Teil einer vierseitigen Problematik und unterliegt somit drei hauptsächlichen Einflussfaktoren. Interdependenzen bestehen zwischen den Assetpreisen (Renditeprognose), den Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Eintretens der Renditen (Risikoprognose), den individuellen Präferenzen der Marktteilnehmer hinsichtlich des Risikos und der Rendite (Risikonutzenkalküle), sowie der Gewichtung der Assets bzw. Assetklassen (Portfolio). Auflösung nach einzelnen Faktoren führt zu den jeweiligen Modellen. So werden Assetpricingmodelle getestet oder gewonnen in dem die anderen drei Seiten fixiert werden. Wie auch bei Lo (1999) aufgezählt, sind die drei P (prices, probabilities, preferences) die Determinanten der Portfoliozusammensetzung.

In dieser Arbeit soll der Einfluss der Präferenzen auf die Auswahl und Gewichtung bestimmter Assetklassen oder einzelner Wertpapiere untersucht werden. Diese Überlegungen sind in das neoklassische Theoriegebäude interpersoneller rationaler Erwartungen (Gesetz von Bayes, Effizienzmarkthypothese), welche konsistente, objektive Wahrscheinlichkeiten liefert, anhand derer rationale Investoren optimale Entscheidungen fällen und zu Gleichgewichtsmodellen (CAPM) führen, eingebettet.

2.2 Zielsystem

Ein vollständiges Zielsystem soll die Zielgröße(n), die relevanten Eigenschaften der Konsequenzen und diesbezügliche individuelle Präferenzen definieren. Des Weiteren sollte Klarheit bei der zeitlichen Struktur der Zielgrößen und des Planungszeitraumes herrschen (Perridon und Steiner 1997: 249, Bamberg und Coenenberg 2002: 28). In dieser Arbeit wird die Zeitkomponente insofern außer acht gelassen, dass nur eine Periode (entspricht dem Planungszeitraum), an deren Ende jeder Bestandteil des Portfolios ohne unerwartete Folgen liquidiert werden kann, betrachtet wird.

2.2.1 Ziel

Die Zielsetzung ist die Ergebnisdefinition und damit die Festlegung der Zielgrößen. Finanzielle Zielgrößen sind Gewinn, Vermögen oder Rendite. Die Zielfestlegung ermöglicht die Aufdeckung von Aktionen mit relevanten Konsequenzen und deren

Zielerreichungspotenzial. Bei finanziellen Zielen sind finanzielle Eigenschaften der Ergebnisse von Interesse, d.h. nur diese werden Modellgegenstand. Ohne Kenntnis der Ziele ist präskriptiv kein Handlungsimperativ ableitbar oder empirisch kaum eine Untersuchung (z.B. der Rationalität bei der Umsetzung) möglich.

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2.2.2 Präferenzrelation

“Among the three P’s, preferences are clearly the most fundamental and least understood aspect of risk management.” (Lo 99: 26) Bei Eisenführ und Weber (1993: 30) werden Präferenzen als „Einstellungen des Entscheiders zu Konsequenzen oder zu Handlungsalternativen“ definiert. Existieren diese Einstellungen, kann ein Individuum eine (zumindest binäre) Beziehung über die Vorziehungswürdigkeit einer Konsequenz oder Alternative formulieren. Eine Präferenzrelation ist für ein Zielsystem notwendig, da über das angestrebte Ausmaß der Zielgrößen und der Risikoeinstellung des Entscheiders eine Ordnung der Alternativen hergestellt werden muss, um das optimale Ergebnis zu erreichen. Die formale Darstellung einer Präferenzrelation geschieht mittels Bewertungsfunktion. Bamberg und Coenenberg (2002: 33) sprechen von der „Verknüpfung von Ziel- und Feldinformation" bei ihrer Definition einer Bewertungsfunktion. Durch die Bewertungsfunktion (allgemeiner auch Entscheidungsregel oder Präferenzfunktion genannt) wird jeder Aktion der Alternativen- ∈ einereellwertige Zahl zugeordnet, welche die Rangfolge der Wertschätzung a A menge k

Φ → ist eine Zuordnungsvorschrift für : A R der Aktionen abbildet. Ein Präferenzfunktional

Funktionen (die diesen einen Wert zuordnet) und kann damit mehrere Präferenzfunktionen ϕ umfassen. Dabei handelt es sich um Funktionen, welche dieselbe Präferenzordnung

abbilden. Eine Präferenzfunktion ordnet einem Ergebnis (z.B. einer bestimmten Rendite) eine Zahl, den Präferenzwert, zu. Die Bewertungsfunktion soll die Entscheidung zwischen Alternativen vereinfachen und die Komplexität des direkten Vergleiches der Aktionen reduzieren. Es werden also nicht die Alternativen als Ganzes verglichen, sondern deren Konsequenzen.

Wie auch in der mikroökonomischen Haushaltstheorie, soll die Nutzenfunktion in erster Linie die Beziehung „mehr ist besser“ abbilden. Der Unterschied besteht in der Betrachtung von Güterkombinationen in der Haushaltstheorie und der Untersuchung von Anlagemöglichkeiten mit ihren Rückflüssen in der finanzwirtschaftlichen Entscheidungslehre. Güter können simultan konsumiert werden, Zustände der Zukunft nicht, d.h., es wird nur ein einzelner, im Zeitpunkt der Entscheidung unbekannter Zustand eintreten. Für Zahlungsströmen zugrunde liegenden Geldeinheiten gilt, dass sie beliebig teilbar, übertragbar und haltbar sind.

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2.2.2.1 Wertfunktionen

Die Einstellung eines Entscheiders (Präferenz) gegenüber einer Eigenschaft soll nun durch eine reellwertige Präferenzfunktion angegeben werden. Sie drückt also (zielbezogene) Vorlieben aus. A und B seien zwei vergleichbare Alternativen. Die möglichen Binärrelationen ) oder gleich gut ( ~ A B). Unterschieden wird sind besser ( A B ), schlechter ( A B

ebenfalls in schwache oder strenge Präferenzrelationen. Der Unterschied liegt darin, dass bei schwachen Ordnungen die Aussage „A ist mindestens so gut wie B“ ( A B ) möglich ist.

Bei Entscheidungen unter Sicherheit spricht man von einer Wertfunktion ( ) V Z . Lateinische,

wie griechische Großbuchstaben bezeichnen eine Menge bzw. Klasse von Funktionen, welche zweckmäßigerweise zu einer ordinalen Transformation ( ) v Z konkretisiert werden,

bevor eine Maximierungsrechnung erfolgt. Diese soll die höhere Präferenz eines Individuums durch einen höheren reellen Zahlenwert ausdrücken. Für die Wertfunktion ( ) V Z soll also ⇔ > ⇔ < ⇔ = ( ) ( ) Y Z V Y V Z ( ) ( ) Y Z V Y V Z ( ) ( ) Y Z V Y V Z , oder . Um eine gelten:

derartige eineindeutige Abbildung zu formalisieren, sind zwei Axiome notwendig (vgl. Laux 1998: 69f.).

1. Axiom: Vollständigkeit

Darunter wird verstanden, dass jedes Alternativenpaar verglichen werden kann. Ein Entscheider soll also über die zwei Alternativen X und Y jeweils genau sagen können, ob X Y (X ist strikt besser als Y), Y X (Y ist strikt besser als X bzw. Alternative X ist strikt

schlechter als Alternative Y) oder X Y (X ist so gut wie Y bzw. der Entscheider ist

indifferent zwischen den Alternativen X und Y). Die Annahme der vollständigen Ordnung schließt Reflexivität (eine Alternative ist so gut wie sie selbst) mit ein.

2. Axiom: Transitivität

Rationales Verhalten äußere sich außerdem darin, dass Alternativen geordnet werden ∈ ) können. Wenn also ein Entscheider die Präferenzen X Y und Y Z X Y Z A ( , ,

offenbart, sollte er ebenfalls X gegenüber Z vorziehen ( X Z ). Als unterstützendes

Argument wird häufig die Möglichkeit angeführt, dass bei der Verletzung dieser Annahme eine „Geldpumpe“ (vgl. z.B. Eisenführ und Weber 1999: 100) existieren würde, da letztendlich ein Individuum eine gewisse Zahlungsbereitschaft besitzt, wenn es zu einer stärker präferierten Alternative wechseln kann. Werden diese Rationalitätsanforderungen akzeptiert und ist die Alternativenmenge A endlich, kann eine (ordinale) Wertfunktion ermittelt werden (vgl. Eisenführ und Weber 1999: 98).

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2.2.2.2 Nutzenfunktionen

Eine Entscheidungssituation unter Unsicherheit unterscheidet sich von Sicherheit durch die Möglichkeit des Eintretens zustandsabhängiger Konsequenzen. Das Problem bei der Bewertung von Alternativen unter Risiko ist die Einbeziehung der p mit der diese eintreten. Üblicherweise wird z und der Wahrscheinlichkeit i Konsequenzen i

dann nicht mehr von Wertfunktionen gesprochen. Die individuelle Einschätzung des trade off zwischen der Höhe der Ergebnisse und der zugeordneten Wahrscheinlichkeiten (Risiko) wird durch die Risikonutzenfunktion abgebildet.

Die oft kontrovers diskutierte Frage, wie Nutzenfunktionen ermittelt werden, soll anhand der Standardverfahren kurz gezeigt werden. Eisenführ und Weber (1999: 227ff.) nennen drei Methoden. Die Konstruktion der Nutzenfunktion erfolgt über Stützstellen, zwischen denen Punkte interpoliert werden. Die Stützstellen erhält man durch Befragung über Basis-Referenz-Lotterien. Diese sind einfache Zweiergebnislotterien. Gegenübergestellt wird das Sicherheitsäquivalent (CE, certainty equivalent). Dabei wird der Proband wahlweise nach der Wahrscheinlichkeit p, den Ergebnissen z oder dem sicheren Betrag, zu welchem er indifferent ist (d.i. das Sicherheitsäquivalent), befragt. Befragung nach dem CE von sukzessive halbierten Lotterieergebnissen, wobei das CE der ersten (Start-)Lotterie das maximale Ergebnis für den unteren Teil und das minimale Ergebnis für den oberen Teil der nun zwei Referenzlotterien in der zweiten Stufe eingesetzt wird, ist das Vorgehen bei der Mittelwert-Kettungs-Methode. Bei der Fraktilmethode werden nicht die Ergebnisse der Lotterien geändert, sondern deren Eintrittswahrscheinlichkeiten. Durch Variation derselben und Angabe der Sicherheitsäquivalente können wieder Stützstellen gewonnen werden. Die Methode der variablen Wahrscheinlichkeiten versucht, bei Vorgabe verschiedener Sicherheitsäquivalente und Lotterieergebnisse, anhand der erfragten Indifferenzwahrscheinlichkeiten ausreichend viele Punkte für die Konstruktion der Nutzenfunktion zu erstellen. In der standardisierten Beratungspraxis der Finanzdienstleister wird über eher allgemeine Fragen (präferierte Anlageformen, Alter, Anlagehorizont, Verlustaversion) versucht, die Risikoeinstellung zu erfassen, um daraufhin die Investition in Musterportfolios mit unterschiedlicher Mischung aus Anleihen und Aktien bzw. (Dach-)Fonds zu empfehlen. Andere Konzepte sehen bedeutend aufwendigere Verfahren vor. Generell erhält man durch die Gegenüberstellung der Risikotragfähigkeit und der Risikoeinstellung das investorspezifische Risiko-Chance-Profil, welches zur individuell befriedigenden Assetallokation eingesetzt werden sollte (vgl. von Nitzsch 2002: 231ff.).

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2.2.2.3 Ordinale und kardinale Präferenzordnungen

Zur Vervollständigung sei abschließend auf den Unterschied zwischen ordinalen und kardinalen Bewertungsfunktionen eingegangen.

Ordinale Bewertungsfunktionen geben lediglich eine Ordnung bezüglich der Alternativen an. Ein höherer Zahlenwert entspricht einer stärkeren Präferenz. Somit drücken auch alle durch monotone, nicht fallende Transformationen gewonnen Wertfunktionen dieselbe Präferenz-ordnung aus. Die Abstände (Differenzen der Zahlenwerte) haben keinen Aussagegehalt. Erst durch die Existenz von Präferenzen bezüglich dieser Differenzen (Wertübergänge, Eisenführ und Weber 1999: 101) kann eine kardinale (auch messbare) Wertfunktion ermittelt werden. Bei ihrer Verwendung ist die Stärke der Präferenzunterschiede aussagekräftig, jedoch mit bedeutend höherem Erhebungsaufwand verbunden. Äquivalente Funktionen können nur noch durch positive und lineare Transformationen gewonnen werden, da die relativen Differenzen der mit kardinalen Wertfunktionen bewerteten Alternativen sonst verändert würden.

Eine Bernoullinutzenfunktion gilt als messbare (kardinale) Funktion, wenn sie auf ein beliebiges Intervall skaliert wird. Es bietet sich beispielsweise an, das größte (kleinste) mögliche Ergebnis x ( x ) aller betrachteten Alternativen mit einem Nutzwert von 1(0) u x = ( ( ) 0 u x = ). Damit ist ein Intervall festgelegt und Verschiebung sowie Stauchung ( ) 1

oder Streckung (durch äquivalente Transformationen) nicht mehr zulässig.

2.3 Entscheidungsfeld

Das Entscheidungsfeld umfasst die Darstellung der möglichen Aktionen. Dabei werden den relevanten Umweltzuständen die entsprechenden Konsequenzen der Aktionen in einer Matrix gegenübergestellt. Eine Menge von Alternativen (synonym wird Aktionen verwendet) muss endlich sein, um einen Vergleich zu ermöglichen. Im Falle der Portfolioselektion sind Alternativen zu Portfolios aggregierte Anlagemöglichkeiten, die zustandsabhängig, also mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, eine gewisse Rendite als Konsequenz erwarten lassen. Zur Kennzeichnung riskanter Alternativen wird in der Entscheidungstheorie, so auch in dieser Arbeit, der Term Lotterie verwendet, ohne damit auf Glücksspiele beschränkt zu sein. Die Betrachtung der Informationsstände, d.h. des Vorliegens vollkommener oder unvollkommener Informationssysteme, bezüglich der Eintrittswahrscheinlichkeit von Zuständen und der Eigenschaften der Konsequenzen, ergibt folgende drei Unterscheidungsmöglichkeiten (vgl. Abb. 11 und ähnliche Darstellung in Bamberg und Coenenberg 2002, S.25). Ungewissheitssituationen zeichnen sich dadurch aus, dass entweder eine irgendwie

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geartete Angabe von Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zustände nicht möglich ist, oder aber die Ergebnisse unklar sind.

Der Fall, dass keine Aussagen über die Konsequenzen getroffen werden können, kann bei Anlageentscheidungen ausgeklammert werden, da diesen Aktionen bei der Suche nach relevanten Alternativen keine Bedeutung zukommt. Obwohl verschiedene Konzepte bei Unsicherheitssituationen existieren, ist diese Arbeit auf Risikosituationen beschränkt. Ihre Besonderheit liegt darin, dass objektive Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der zukünftigen Zustände vorliegen. Sicherheit ist die (in der Realität) seltene Situation, in der einer Aktion nur ein Ergebnis folgen kann, die Konsequenz also ex ante feststeht. Dieses Konzept ist nicht bedeutungslos, da es in Form einer sicheren Anlagemöglichkeit mit risikoloser Verzinsung (oft werden beispielhaft Bundesobligationen oder T-Bills genannt) in verschiedenen Modellen (z.B. CAPM) zu finden ist. Man kann Sicherheit als Spezialfall des Risikos, bei der eine Konsequenz mit hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit bzw. in allen relevanten Zuständen die gleiche Konsequenz eintritt, auffassen.

2.3.1 Assetpricing

Bei den Konsequenzen einer Anlagealternative handelt es sich um die möglichen Preise bzw. Kurse oder die Rendite, die diese während der betrachteten Periode erzielt. Die zukünftigen Preise werden kapitalmarktheoretisch mit markträumenden Gleichgewichtsmodellen prognostiziert. Das bekannteste Modell, das Capital Asset Pricing Modell (CAPM), basiert auf den Überlegungen der Portfoliotheorie von Markowitz (März 1952). Die darin enthaltene, als Beschreibung (deskriptiver Ansatz) des Anlegerverhaltens dienende Annahme ist die Maximierung einer Risikoaversion ausdrückenden Nutzenfunktion. In diesem vollkommenen und insbesondere informationseffizienten Kapitalmarkt werden die homogenen Erwartungen der Marktteilnehmer (und weiteren Annahmen) in einem einheitlichen Marktpreis des Risikos sichtbar. Die anlagespezifische Risikoprämie ergibt sich aus dem einfaktoriellen CAPM durch die Wertpapierlinie genannte Rendite-Risiko-Relation. Neben dem CAPM existieren eine Reihe weiterer Assetpricingmodelle (Ross' APT, Fama und Frenchs Multifaktormodelle), welchen jeweils mehr oder weniger restriktive Annahmen zugrunde liegen, jedoch individuellen Präferenzen mehr bis gänzlichen Freiraum einräumen.

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2.3.1.1 Effizienzhypothesen

Welche Vorstellungen gibt es aber an die Entwicklung der Preise von Anlagemöglichkeiten, insbesondere Aktien? Wie werden zukünftige Preise und damit Renditen prognostiziert? Die beiden methodischen Ansätze des Portfoliomanagements (genauer der Wertpapieranalyse) sind die Fundamentalanalyse und die technische Analyse. Diese versuchen die Kursentwicklung auf Grund des inneren Wertes eines Assets (fundamentaler Ansatz) oder anhand von (historischen) Kursverläufen mit ihren Trends (u.a.) (technischer Ansatz) vorherzusagen.

Eine grundlegende Annahme der modernen Kapitalmarkttheorie ist die Effizienz der Märkte. Diese beschreibt, wie die Preise in vollkommenen Märkten auf neue Informationen reagieren. Sind sämtliche Vergangenheitsdaten im momentanen Kurs enthalten (schwache Informationseffizienz) und werden alle aktuellen öffentlichen Informationen sofort im Preis sichtbar (halb strenge Informationseffizienz), kann weder mit fundamentaler noch mit technischer Analyse eine Überrendite erzielt werden. Strenge Informationseffizienz ist gegeben, wenn weiterhin alle nicht offiziellen Informationen (ebenfalls sofort) im Marktpreis Berücksichtigung finden (vgl. Perridon und Steiner 1997: 258f.). „Der Kurs einer Aktie wird so zu jedem Zeitpunkt als gewogenes Mittel aus allen Nachrichten der Vergangenheit und allen Erwartungen der Zukunft gesehen, d.h. als gute Schätzung ihres inneren Wertes." (Perridon und Steiner 1997: 210) Dieser auf Fama (1970) zurückgehende Effizienzmarkthypothese folgen einige wichtige Implikationen:

- Preisbewegungen sind zufällig (= nicht vorhersagbar) und folgen Martingalen.

- Die Marktpreise sind richtig (spiegeln wahren oder inneren Wert wieder).

- Es existieren keine (risikoadjustierten) Überrenditen und keine excess volatility.

- Es gibt keinen free lunch (Arbitragemöglichkeiten).

Die Testbarkeit der Hypothese wird dadurch erschwert, dass Assetpricingmodelle sich meist ihrer bedienen und die somit ermittelten, „richtigen" Preise sich nicht gleichzeitig als Variable für dieselbe Gleichung eignen. Die massive Kritik, die ihr zukommt, ist daher nicht ver-wunderlich. De Bondt und Thaler (1989) fanden z.B. eine signifikante negative Auto-korrelation so genannter Winner- und Loserportfolios. Statman (1999) vertritt die Einstellung der Anerkennung der Effizienz im „beat the market"-Sinne (keine Überrenditen) bei gleichzeitigem Akzeptieren der Existenz von fehl bewerteten Assets. Bossaerts, Plott, Zame (2003) bestätigen hingegen ihre Annahme, dass die Vorhersagen der Modelle die Preise richtig bestimmen, diese aber nur durch ein Aufheben von individuell „falschen" Entscheidungen zustande kommen.