Computer als Werkzeug zum Modellieren Christian Urff

1 Einleitung

Die Entwicklung neuer Werkzeuge hat sich in der Geschichte der Menschheit schon oft als Ausgangspunkt für neue Denk-, Arbeits- und Verfahrensweisen erwiesen, man denke nur an Erfindungen wie das Rad, der Hammer oder Baukrans. So kontrovers der Computereinsatz im Mathematikunterricht diskutiert wird, bietet der Computer als Werkzeug im Mathematikunterricht neue Möglichkeiten und Methoden die es oft gar erst ermöglichen, mathematische Inhalte zu modellieren und dadurch den Schüler zur Anwendung von Mathematik zu befähigen. In der heutigen Diskussion stellt sich nicht mehr die Frage ob, sondern wie der Computer die altbewährten Ziele des Mathematikunterrichtes ergänzen und unterstützen kann und in welcher Weise neue Informations- und Kommunikationstechnologien das Lernen und die Schule verändert.

Im ersten Teil gehe ich auf die verschiednen Fragestellungen zum Thema Computereinsatz im Unterricht ein: Warum überhaupt den Computer im Unterricht einsetzen? Welche Chancen und Möglichkeiten bietet er? Welche Probleme und Gefahren können auftreten? Was bedeutet dies für den Unterricht? Anschließend werden unterschiedliche Programme und Programmtypen und ihre Fähigkeit, den Modellierungsprozess zu unterstützen besprochen. Anhand von zwei Beispielen werden danach konkrete Modellierungen für den Unterrichteinsatz vorgestellt. Dabei werden drei unterschiedliche Werkzeuge verwendet: Fathom, Excel und Dynasys.

Um die Lesbarkeit des Textes zu verbessern, wurde statt „Schülerinnen und Schüler“, „ Lehrerinnen und Lehrer“ usw. einfach „Schüler“ bzw. „Lehrer“ geschrieben.

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2 Der Computer im Mathematikunterricht

2.1 Ausgangslage

Die Fähigkeit, mathematische Kenntnisse und Methoden als Werkzeug, Strukturierungs- und Orientierungsmittel im Alltag anwenden zu können, ist eines der Hauptziele mathematischer Bildung 1 .

Die Mathematisierung bzw. Modellierung von realen Sachverhalten wird in diesem Zusammenhang meist als besonders schwierig erlebt, da hier nicht nach einem „Rezept“ vorgegangen werden kann.

2.1.1 Zum Nutzen mathematischer Modelle

Mathematische Modellierung ist kein Selbstzweck, sondern eine Orientierungs- und Strukturierungshilfe in der Welt. Wir brauchen Modelle, um die Muster unserer Erfahrungen in oft komplexen Situationen zu verstehen und interpretieren zu können. Das Grundschema jedes Modellbildungsprozesses sieht wie folgt aus:

Eine komplexe, unübersichtliche Situation wird durch Reduktion der Komplexität mit Hilfe von Idealisierungen auf ein Modell abgebildet, das eine Bearbeitung der Problemstellung mit mathematischen Mitteln erlaubt.

Die durch die Verarbeitung der Modellgrößen mittels mathematischer Kalküle erhaltenen Ergebnisse müssen in Bezug auf den realen Kontext interpretiert und anschließend - besonders im Hinblick auf die Modellannahmen - geprüft werden.

1 Vgl. z.B. Lernziele das Mathematikunterrichts nach Heinrich Winter, PiSA-Kompetenzen usw.

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2.1.2 Schwierigkeiten

Relative Schwierigkeiten haben viele deutsche Schüler mit dem Prozess des Mathematisierens, d.h. der sinnvollen Übertragung und Anwendung von Mathematik, was auch empirische Studien wie TIMS und PISA belegen. Dagegen sind deutsche Schüler vergleichsweise gut im Ausführen von Rechenalgorithmen. Dies ist vor allem darauf zurückzuführen, dass der Mathematikunterricht in Deutsch-land zu einem großen Teil aus dem Abarbeiten und Einschleifen von Rechenverfahren besteht und das Thema Problemlösen nur halbherzig angegangen wird. Oft wird die Mathematisierung von realen Situationen im Unterricht schon allein dadurch erschwert, dass Schüler lieber „Rechnen“ als „Denken“ und deshalb gerade algorithmische Verfahren dem kreativen Prozess des Mathematisierens vorziehen. Ein großer Teil der Aufgaben im Mathematikunterricht sind ergebnisorientierte, eingekleidete Textaufgaben oder Rechenaufgaben, bei denen die Schüler bereits bekannte Lösungswege „blind“ übertragen können.

Offene, prozessorienterte Aufgabenstellungen und Arbeitsweisen, mit denen entdeckend und experimentell mathematische Zusammenhänge erarbeitet werden, spielen kaum eine Rolle.

Albrecht Beutelspacher bringt dies auf den Punkt:

"[...] [Die Mathematik] stellt sich [...] für die meisten Schüler als undurchdringlicher und sinnleerer Formelwald dar. Auch wer im Abitur noch ganz gut ist, weiß nicht, was Mathe wirklich ist. Es wird ihm ein völlig falsches Bild suggeriert. Dass Mathematik mit Spaß, Neugier und Kreativität zu tun hat, kommt in der Schule nicht vor." 1

Diese Missstände sind wohl auch der Hauptgrund, warum Mathematik von den Schülern oft als sinnlos und unnützlich für die eigene Lebenssituation empfunden wird.

2.1.3 Konsequenzen

Deshalb muss im Mathematikunterricht, der zur Anwendung von Mathematik befähigen will, mehr Gewicht auf Problemlösen, d.h. die Mathematisierung bzw. Modellierung von realen Situationen gelegt werden.

Der Computer kann dabei den Mathematikunterricht bereichern und (ob zum Positiven oder zum Negativen sei dahingestellt) verändern. Während früher die Handhabung von Computersystemen nur mit Expertenwissen möglich war, kann heute jeder per Knopfdruck Berechnungen durchführen. Der Computer reiht sich damit in die Liste der (für dem MU) nützlichen Hilfsmittel wie Taschenrechner, Abakus, Rechenschieber, usw. ein, und soll deshalb Werkzeug, aber nicht selbst Inhalt des Unterrichts sein.

Ziel des Einsatzes von Hilfsmitteln und Werkzeugen im Mathematikunterricht muss es sein, die Umsetzung von Lernzielen zu unterstützen.

1 mathematische Zitatesammlung unter www.stauff.de

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Computer als Werkzeug zum Modellieren Christian Urff Weigand schreibt dazu 1 :

"Unsere zentrale These ist, dass der Computer die lange Kette mathematischer Werkzeuge wie Ziffernsysteme, Abakus, Rechenmaschine und Taschenrechner fortsetzt und die Entwicklung mathematischer Denk- und Arbeitsweisen, wie strukturiertes, modulares und funktionales Denken unterstützt oder manchmal gar erst ermöglicht."

Die Nutzung neuer Medien im Unterricht ist kein Selbstzweck und fordert vom Lehrer einen verantwortlichen Umgang als pädagogisch sinnvolles Werkzeug, dass die Ziele mathematischer Bildung unterstützt.

2.2 Der Computer im Modellkreislauf

Unten ist noch einmal das Grundschema jedes Modellbildungsprozess dargestellt. Das Computersymbol soll andeuten, dass in dieser Phase der Computer unterstützend eingesetzt werden kann.

2.2.1 Einsatzarten des Computers

Der Computer kann folglich im Modellierungsprozess sinnvoll und nutzbringend eingesetzt werden bei… 2

• Rechenintensiven, deterministischen Tätigkeiten,

• der Gewinnung, Verwaltung, Strukturierung und Auswertung großer Datenmengen,

• der Visualisierung von Prozessen und Ergebnissen,

• Experimentellen Erkundungen,

• dem „Durchmustern“ von Modellen hinsichtlich Adäquatheit und Effizienz.

1 [Weigend&Weth2002]

2 [Leneke&Henning1998]

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2.2.2 Geeignete Modellarten

Für den Einsatz des Computers sind beim Modellierungsprozess besonders Modelle geeignet… 1

• in denen große Datenmengen elementar verarbeitet werden. Dabei kommt die Fähigkeit des Computers zu tragen, riesige Datenbestände sehr schnell zu strukturieren, verwalten und auszuwerten/ visualisieren.

• deren Lösungen durch systematisches Probieren ermittelt werden können. Durch die extrem schnelle Berechnung und Visualisierung durch den Computer, können z.B. durch Parametervariation verschiedene Möglichkeiten „durchprobiert“ werden ohne dass dies mit einem erhöhten Rechenaufwand für den Schüler verbunden ist.

• die auf Iteration und Rekursion aufbauen, Daten und Datenstrukturen diskretisiert werden, da der Computer selbst nur mit diskreten Werten rechnen kann.

• die Repräsentation qualitativer und quantitativer Auswertung von Daten sind und funktionalen Zusammenhängen genügen. Durch die Darstellung als Funktion können dann z.B. Prognosen abgegeben werden.

• in denen durch Situationssimulation als dynamisch-prozessuale Betrachtungsweise von Vorgängen sich die mathematischen Modellösungen ableiten lassen.

2.2.3 Dynamische Modellierung und Simulation

Bei der Modellierung von komplexen Situationen gelingt die Konstruktion eines angemessenen Modells selten auf Anhieb. Oft muss zunächst ein einfaches Modell erstellt werden, das Modellverhalten an der Realität überprüft und ggf. dann das Modell modifiziert bzw. verfeinert werden. Dies soll durch das folgende Schaubild 2 veranschaulicht werden

1 [Henning&Leneke1998]

2 [Ziegenbalg1996] S.158

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Der Computer ist für diese Zwecke das adäquate Werkzeug, da Modellmodifikationen in sekundenschnelle auf das Modell umgerechnet werden können und damit Veränderungen und Reaktionen sehr schnell sichtbar werden. Dynamische Modellierung mit dem Computer ermöglicht also…

• zielgerichtetes Experimentieren mit verschieden Modellen z.B. durch Parametervariation, Approximation, usw.

• entdecken von Gesetzmäßigkeiten und Zusammenhängen.

• das entlarven von schlechten Modellen.

• das beurteilen und vergleichen von Modellen und der enthalten Idealisierungen.

• auch komplexe Probleme zu bearbeiten.

• Entwicklung von Problemlösestrategien und Übertragung von Erkenntnissen. Das Prinzip „Was passiert wenn….“ spielt in vielen Bereichen eine wichtige Rolle, insbesondere bei Voraussagen und Simulationen.

Unter Simulation versteht man die Technik des Experimentierens mit dem Modell, insbesondere die experimentelle Auswertung von Modellen im Zeitablauf. Diese Technik ist vor allem für komplizierte technische, ökonomische und soziale Systeme entwickelt worden, bei denen dem Experiment mit dem realen Objekt enge Grenzen gesetzt sind. 1

2.3 Chancen und Möglichkeiten durch Computereinsatz

Man kann (nach [Kutzler2000]) grundsätzlich zwei Verwendungen des Computers unterscheiden: das Automatisieren und das Kompensieren.

Automatisieren

Vergleichbar mit der Verwendung des Computers in der Mathematik ist das Autofahren. Anstatt lange und mühsame Strecken zu Fuß zurückzulegen, benutzt man sinnvollerweise das Auto, dagegen wird man um an einem 100m entfernten Kiosk eine Zeitung zu holen nicht das Auto starten.

In der Mathematik ist dies entsprechend: leichte Rechnungen wie das Addieren von zwei kleinen Zahlen kann man im Kopf erledigen, für große und fehleranfällige Rechnungen wird man den Taschenrechner oder Computer zu Hilfe nehmen. Natürlich besteht wie auch beim Auto die Gefahr des Missbrauchs von Technologie. Genauso wie es Autofahrer gibt, die 100m bis zum nächsten Kiosk fahren, wird es Schüler geben, die „6 mal 8“ mit dem Taschenrechner rechnen. Das reicht (zumindest im Falle des Autos) nicht aus, um gleich die Abschaffung der Technologie zu fordern. Vielmehr muss das Bewusstsein beim Schüler erzeugt werden, dass geistige Aktivitäten (wie das Kopfrechnen) erforderlich sind für die „intellektuelle Fitness“.

1 www.ikarus.uni-dortmund.de

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Kompensieren

Computer können hervorragende mathematische Kompensationsmittel sein, um weniger begabten Schülern die Bearbeitung fortgeschrittener Aufgaben möglich zu machen. Dazu ein Beispiel: Ein Schüler, der eine Schwäche bei Äquivalenzumformungen von Gleichungen hat, wird aufgrund dieser Schwäche vermutlich auch häufig Probleme mit dem Lösen von geometrischen Aufgaben haben, denn dabei müssen häufig Gleichungen gelöst werden. Es ist deshalb pädagogisch sinnvoll, diesem Schüler ein Werkzeug an die Hand zu geben, um das Thema Geometrie trotz seiner Schwäche sinnvoll angehen zu können.

Diese beiden elementaren Verwendungsarten des Computers im Unterricht kann man vor allem in vier Bereichen nutzbringend einsetzen: Das Trivialisieren, das Konzentrieren, das Experimentieren und das Visualisieren 1 .

2.3.1 Trivialisieren

Bevor der Taschenrechner im Mathematikunterricht verwendet wurde, mussten gestellte Aufgaben sorgfältig gewählt werden, damit die Zwischen- und Endergebnisse nur ganze Zahlen oder einfache Brüche waren, weil sonst die Schüler zuviel Zeit für die Ausführung von arithmetischen Operationen verschwendeten. Mit dem Taschenrechner werden arithmetische Operationen trivialisiert, da sie in sekundenschnelle berechnet werden können.

Ähnlich verhält es sich mit der Verwendung des Computers im Unterricht. Es ist z.B. häufig sehr mühsam und fehleranfällig, algebraische Berechnungen durchzuführen. Gleiches gilt für das Zeichnen von Schaubildern. Der Computer trivialisiert hier das algebraische Rechnen und das Zeichnen von Graphen.

So können Inhalte und Aufgaben in den Unterricht mit aufgenommen werden, die aus der Lebenswelt des Schülers stammen und in dieser Weise bisher nicht stattfinden können. Es können beispielsweise reale Daten verwendet werden, die oft auf-grund der Menge und Komplexität und des damit verbundenen Rechenaufwands nicht sinnvoll einsetzbar waren. Da der Computer das Rechnen mit den Daten abnimmt, spielt die Menge und Art der Daten (fast) keine Rolle.

2.3.2 Konzentration

Der Mathematikunterricht ist von der Grundschule bis zur Sek II überwiegend nach dem Spiralprinzip aufgebaut, d.h. die Behandlung fast aller mathematischen Themen setzt die Beherrschung des früher Gelernten voraus.

Zum Beispiel wird ein Schüler, der eine Geometrieaufgabe lösen will, immer wieder seine geometrischen Überlegungen unterbrechen müssen, um algebraische Berechnungen (wie das Umformen von Gleichungen oder ähnlichem) durchzuführen. Dieser ständige Wechsel zwischen verschiedenen Ebenen tritt bei fast allen Themen des Mathematikunterrichts auf. Wenn handwerklichen Tätigkeiten (wie in diesem Fall Äquivalenzumformungen) vom Computer übernommen werden, kann sich der Schüler mehr und mehr auf das eigentlich Interessante der Mathematik konzentrierendas Problemlösen.

1 [Kutzler1999]

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