Unser TI-92 - ein Schulversuch am Hilda-Gymnasium Pforzheim

von Helene Gamper und Annette Rupf

(Schülerinnen am Gymnasium, veröffentlicht im Jahresbericht der Schule) „Dieser programmierbare CAS-Rechner ist nicht die Basis, sondern eine hilfreiche Erweiterung des Mathematikunterrichts. Am Anfang aus Unwissenheit als eine Art Game-Boy ‚missbraucht’, wurde er nach einer kurzen Einarbeitungsphase vollständig in den Analysisunterricht integriert. Wir lernten Gleichungen lösen, differenzieren, integrieren usw.. Als zusätzlichen Vorteil können Funktionen mit Parameter schnell und sogar im Vergleich grafisch dargestellt und untersucht werden. Aber auch z.B. bei der Vektorrechnung weist der Rechner, von uns liebevoll ‚TI’ genannt, eine breite Palette von Befehlen und Möglichkeiten auf. Täglich entdecken wir neue Methoden der Aufgabenlösung und werden die volle Bedeutung und die Tragweite des TI-92 wahrscheinlich erst später schätzen lernen. Doch ist uns heute schon die immense Erleichterung im Unter-

Inhaltsverzeichnis

0  Einleitung  1

1  Psychologische und didaktische Aspekte zum Medienbegriff.  3

1.1  Was verstehen wir unter Medien (im Unterricht)?  3

1.2  Psychologische Voraussetzungen beim Lernen mit Medien.  5

1.3  Didaktische Aspekte von Unterrichtsmedien  7

2  Mathematikunterricht und das neue Medium „Computer“  9

2.1  Vergleich von herkömmlichem Unterricht ohne Computer mit Unterricht unter  

Verwendung  von Computern.  10

2.1.1  Veränderungen in den Lern- und Problemlösestrategien.  10

2.1.2  Veränderungen in den didaktischen Prinzipien  13

2.1.3  Veränderung in der Planung und Durchführung des Unterrichts  14

2.2  Computer-Algebra-Systeme (CAS)  15

2.2.1  Entwicklung von CAS und Vordringen in die Schule  15

2.2.2  Was leistet ein modernes CAS?  16

2.2.3  Kurzcharakteristika einiger CASe  18

2.3  Der TI-92 im schulischen Einsatz  19

3  Planung der Unterrichtsreihe  21

3.1  Curriculare Einordnung  21

3.1.1  Thema der Unterrichtsreihe  21

3.1.2  Die Stoffeinheit  21

3.1.3  Überblick über die Unterrichtsreihe.  22

3.2  Bedingungsanalyse.  22

3.2.1  Sachanalyse.  22

3.2.2  Situative Analyse  30

3.3  Didaktische Analyse.  33

3.3.1  Inhaltliche Gestaltung der Unterrichtsreihe  33

3.3.2  Didaktische Reduktion.  34

3.3.3  Legitimation der Unterrichtsreihe  38

3.3.4  Zielformulierungen.  39

3.4  Methodische Entscheidungen  41

4  Reflexion und Zusammenfassung.  50

5  Literaturverzeichnis  54

6  Anhang zur Unterrichtsreihe  56

0 Einleitung

Unter dem Motto „Fit für das Jahrhundert der Bildung - Bildungsoffensive 2000“ startete der Minister für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburgs Steffen Reiche zum Anfang des Schuljahres 2000/2001 eine umfassende Novellierung des Brandenburgischen Schulgesetzes [Min00]. Als Grundpfeiler dieser Bildungsoffensive nannte er unter anderem [Lsb00,S.2]:

o die innere Schulentwicklung zu mehr Selbstständigkeit, o strukturelle Veränderungen der Schulstruktur, o die Weiterentwicklung der Schulaufsicht sowie Schulberatung, o die Medienoffensive sowie o die Qualitätsevaluation von Schulen.

Im August 2001 soll dann eines der besten und modernsten Schulgesetze der Bundesrepublik vorliegen. Die Schülerinnen und Schüler ¹ des Landes Brandenburgs sollen dann an modernen und leistungsfähigen Schulen bestmöglich auf ihr Leben vorbereitet werden und die Forderungen unserer Wirtschaft, Wissens- und Informationsgesellschaft erfüllen. Diese Forderungen beinhalten beispielsweise das Denken in größeren Zusammenhängen, die Fähigkeit und Bereitschaft zum lebenslangen Lernen, die sichere Beherrschung von Fremdsprachen und eine hohe Medienkompetenz. Inhalt der Arbeit soll es aber nicht sein, eine Diskussion der angestrebten Veränderungen, d.h. die Novellierung des Brandenburger Schulgesetzes sowie der Entwürfe der neuen Rahmenpläne, durchzuführen. Vielmehr geht es um die bereits angesprochene Medienoffensive an den Schulen.

Jeder weiß, wie wichtig gerade in der heutigen Zeit eine umfassende Medienkompetenz und die damit verbundenen Kompetenzen im Umgang mit Computern oder ähnlichen Hilfsmitteln sind. Deshalb formulierte Steffen Reiche die Offensive „m.a.u.s. - medien an unsere Schulen“ als eine zentrale Aufgabe der oben genannten Bildungsoffensive. Der Staatssekretär Szymanski nannte in der 2. Sitzung des Landesschulbeirates (LSB) am 22. Januar 2000 [Lsb00,S.16f] drei Ziele:

1. eine sachgerechte Computerausstattung (Grundausstattung an Hard- und Software),

2. einen Internetanschluss für alle Brandenburger Schulen und 3. ein Qualifizierungsprogramm für die Lehrkräfte an den Schulen des Landes. Des Weiteren sollen die neuen Rahmenpläne so ausge-

arbeitet werden, dass der geübte Umgang mit neuen Medien zu einer ähnlich elementaren Kulturtechnik wird wie Lesen, Schreiben und Rechnen. Der Umgang mit dem Computer soll Grundlage für das Lernen mit neuen Medien und das Lernen durch neue Medien sein.

¹ Im Folgenden wird nur der Begriff „Schüler“ verwendet, gemeint sind damit aber immer beide Geschlechter.

Was wurde nun aber im Laufe eines Jahres erreicht? Der kostenlose Internetzugang für alle Schulen der Bundesrepublik wurde aufgrund der Initiative „Schulen ans Netz“ von T-Online (Telekom) realisiert. Einige wenige Lehrkräfte des Landes Brandenburgs erlernen in der ersten Stufe der Fortbildungsmaßnahmen, mehr oder weniger motiviert, die technischen Grundlagen im allgemeinen Umgang mit Computer und Internet. Doch wo bleiben die versprochenen Computer, wenn doch im Jahr 2000 cirka 12 Mio. DM zur Verbesserung der Ausstattung der Schulen zur Verfügung standen? Wenn Herr Szymanski anbringt, dass der Ausstattungsgrad mit Computern in der gymnasialen Oberstufe mit 85% als relativ zufriedenstellend anzusehen ist [Lsb00,S.17], habe ich zu entgegnen, dass

o die Rechnersysteme zum Teil überaltert sind und ein Arbeiten mit gängiger Software kaum möglich ist,

o alle Computer des Gymnasium zum großen Teil in einem Raum zusammengefasst sind und so nur von einer Lerngruppe zu nutzen sind, o dieser Raum schon mit dem Informatikunterricht in der Sekundarstufe II überbelastet ist.

Somit habe ich keine Möglichkeit mit einer Lerngruppe in anderen Fächern die Computer mit Internetrecherchen, Erstellen von Tabellen und Diagrammen, Verwendung mathematischer und physikalischer Lehr- und Lernsoftware zu nutzen. Die Aufgabe, jungen Menschen die Kompetenz dennoch zu vermitteln, neue Medien zur Wissensaneignung kennen und sie einsetzen zu lernen, haben mich bewogen, bei der Behandlung des Themas "Beschreibende Statistik und Simulation von Zufallsversuchen" den modernen Taschencomputer „Texas Instruments TI-92“ in Verbindung mit dem Computer-Algebra-Systems (CAS) einzusetzen. Im Rahmen der Arbeit sind dabei insbesondere folgende Fragen von Interesse:

o Inwieweit ist der Einsatz des Computers im Unterricht aufgrund der vorgegebenen Rahmenbedingungen in der Schule überhaupt zu realisieren? o Welche Probleme allgemeiner Art bestehen beim schulischen Computereinsatz? o Wie reagieren die Schüler auf das Medium Computer und das hier benutzte CAS?

o Inwieweit eignet sich der Taschenrechner für die Behandlung des Themas? o Wie kann der TI-92 sinnvoll und effizient im Unterricht genutzt werden und bei welchen Themen bzw. in welchen Unterrichtsphasen kann ein CAS pädagogisch und didaktisch nützlich sein?

Trotz meiner Bemühungen diese Arbeit in einem akzeptablen Umfang zu halten, erachte ich es als notwendig, zunächst auf grundlegende theoretische psychologische und didaktische Aspekte beim Lernen mit Medien (Kapitel 1) und im Speziellen auf das Lernen mit/durch/von Computern (Kapitel 2) einzugehen. Danach schließt sich die Planung (Kapitel 3) und Reflexion/Zusammenfassung (Kapitel 4) der zur Arbeit gehörenden Unterrichtsreihe an. .

umständlich und mühsam. Heute bedienen sie sich den neuen Medien, wie Film, Funk, Fernsehen, Computer und Internet, mit technologischen Codes, den sogenannten Techno-Codes. Bei diesen Medien erfolgt die Informationsweitergabe nicht mehr nur über eine vorhandene Realität. Diese Mittler schaffen eigene Realitäten, die mit der vorhandenen, der tatsächlichen konkurriert und sie sogar verdrängt und ersetzt. Unsere Aufgabe als Lehrer ist es, den Schülern neben dem Lesen, Schreiben und Rechnen auch beizubringen, die Botschaften der neuen Medien richtig zu entschlüsseln. In der Didaktik bedient man sich einer anderer Klassifikationen von Medien. Je nach Ansatz unterscheidet man zum Beispiel personale oder apersonale Medien (menschliche oder technische Informationsträger), visuelle oder auditive Medien und vortechnische oder technische Medien. Diese Einteilungen sind jedoch bisher viel zu oberflächlich, um dem Lehrer bei der richtigen Auswahl für Unterrichtsmedien nennenswerte Hilfen zu geben. Die folgende Abbildung soll ein mögliches Ordnungssystem für Medien im Schulunterricht darstellen, wobei die angegebenen Beispiele um eine Vielzahl von Mittlern und Mitteln ergänzt werden können.

Die Vielfältigkeit der Medienarten und das reiche Angebot geben der Lehrkraft heutzutage abwechslungsreichere methodische Möglichkeiten als je zuvor. Das immer größer werdende Angebot der Lehr- und Lernmittelindustrie an modernen Maschinen und Materialien erleichtert die Entwicklung und Herstellung eigener Lehrmittel. Diese Möglichkeiten werden durch die Fähigkeit moderner Medien, wie Computer und weltweite Vernetzung, weiter verbessert.

1.2 Psychologische Voraussetzungen beim Lernen mit Medien

In seiner Einführung zum Buch „Medien und Symbolsysteme“ ¹ schrieb Olson:

„Wir werden kaum weiterkommen, solange wir nicht irgendein Schema besitzen, um genauer zu bestimmen, wie Information durch verschiedene Symbolsysteme strukturiert wird und welche psychologischen Konsequenzen diese Strukturierungen haben.“ [Wei93 S.500]

Seit den 40er Jahren des vergangenen Jahrhunderts versuchte die pädagogischpsychologische Forschung die Lernwirksamkeit verschiedener Medien zu vergleichen. Kritiker der Forschung weisen jedoch darauf hin, dass man gar nicht primär die Medien und ihre Wirkung untersuche, sondern die Lehrmethoden (Treatments) und den Lernstoff. Damit zerrinnt die ursprüngliche Frage nach den Medienunterschieden, da man eine Lehrmethode und einen Lernstoff mit unterschiedlicher Hard- und Software präsentieren kann.

In der neueren pädagogisch-psychologischen Medienforschung wird sowohl die Medienseite wie auch die Lernerseite ausdifferenziert. Man bleibt nicht bei den Hardware-Merkmalen stehen, sondern analysiert zusätzlich das Symbolsystem und die Botschaft. Auf der anderen Seite wird versucht herauszufinden, wie der Lerner den Code entschlüsselt und die Botschaft verarbeitet. Somit beruht das Interesse der Untersuchungen auf den vier folgenden Tatsachen:

1. Informationen werden immer in einem Symbolsystem übermittelt (Code), 2. die Software (Übermittelungsmedien) strukturieren diesen Code entsprechend ihrer inhärenten Eigenschaften,

3. die Information stellt somit eine kodierte und strukturierte Botschaft dar, 4. diese stellt an den Lerner bestimmte Anforderungen, die das Lernen beeinflussen,

um auf folgende Fragen wissenschaftlich begründete Antworten zu erhalten: Wie können nicht-personale Informationsträger Lernprozesse begünstigen? Welcher Medieneinsatz ist optimal? Was verlangen die einzelnen Medien von der Lerngruppe? Wie geht sie mit ihnen um? Gibt es negative Wirkungen beim Lernen mit Medien? Sind mit „neuen“ Medien auch neue Lernformen möglich? [Wei93,S.497]

Die wichtigsten Voraussetzungen und Faktoren für ein effektives Lernen mit Hilfe eines Mediums sind

o die Einstellung bzw. Bewertung des Lerners zum Medium, o die Fähigkeiten des Lerners, die Symbolsysteme zu entschlüsseln, o die Verarbeitung der Botschaft, die der Lerner aus dem Medium extrahiert.

¹ Olson, D. R.: Media and symbols: The form of expression, communication and education, Chicago University Press,

Chicago, 1974

Große Beliebtheit bei den Schülern haben nachgewiesenermaßen audiovisuelle Medien, da Fernsehen und Video in erster Linie unterhaltend genutzt wird. Problematisch ist daher, dass die Lerner das Medium zwar konsumieren, aber die Informationen nicht so verarbeiten, wie es für das Lernen erforderlich ist. Dagegen werden Druck-Medien mit Information und Bildung verbunden und als anspruchsvolle Medien bewertet, die mehr Verarbeitungsaufwand erfordern. Eine immer größer werdende Mittelstellung im Hinblick auf Motivation und Information nehmen bei den Schülern Computer ein, die die Seriosität eines Buches mit der Attraktivität audiovisueller Medien verbinden. Zum Dekodieren der Symbolsysteme müssen die Schüler bestimmte kognitive Anforderungen erfüllen. Jeder weiß, dass man das Lesen von Texten erlernen muss. Neben der offensichtlichen Gemeinsamkeit von Sprache und Bild, beides sind Symbolsysteme, sind jedoch bedeutungsvolle Unterschiede erarbeitet worden. Die Wahrnehmung von einfachen Umrisszeichnungen und klaren Fotografien scheint nicht erlernt werden zu müssen. Andere kognitive Fähigkeiten, vor allem die Entschlüsselung einer zweidimensionalen Darstellung eines dreidimensionalen Raumes und das „Lesen“ von bildlichen Symbolen und konventionellen Zeichen (zum Beispiel Pfeile und Tabellen), müssen ebenfalls erlernt werden. Beim bewegten Bild, dem Film, werden zum Teil andere visuelle Fähigkeiten vom Lerner abverlangt. Das räumliche Sehen wird aufgrund der sich ändernden Blickwinkel und sich bewegenden Objekte erleichtert. Wichtig erscheint dagegen zum Beispiel die Fähigkeit zum Erkennen des zeitlichen Zusammenhanges einzelner Filmszenen [Wei93,S.507ff].

Eine effektive Mediennutzung hängt schließlich auch davon ab, wie intensiv der Schüler die vermittelten Informationen verarbeitet. Je mehr der Lerner kognitiv beansprucht wird, je vielfältiger die Information übermittelt wird und je mehr Operationen der Betroffene mit ihr ausführt, um so besser wird die Information behalten. Allerdings sollten die zahlreichen Elemente dem kognitiven Entwicklungsstand des Lerners entsprechen, ihn aber andererseits auch nicht unterfordern.

Die Ausführungen zeigen also, dass bei der Auswahl des Mediums die kognitive Entwicklungsstufe des Lernenden eine entscheidende Rolle spielt. Jedes gesunde Kind durchläuft in seiner Entwicklung etappenweise dieselbe Reihenfolge von Entwicklungsstufen, auf denen er ein bestimmtes geistiges Vermögen und bestimmte Tendenzen, Objekte der Umwelt zu organisieren, besitzt. Jean Piaget hat seine Stadientheorie erstmals in seiner „Psychologie der Intelligenz“ (franz., 1947) dargestellt. Diese Theorie wurde im Laufe der Zeit von Psychologen bzw. Pädagogen wie Aebli, Bruner, Galperin modifiziert und zu Unterrichtstheorien ausgebaut.

Stadien der Denkentwicklung nach Piaget:

1.3 Didaktische Aspekte von Unterrichtsmedien

Die Notwendigkeit von Medien im Unterricht dürfte aus den vorangegangenen Kapiteln klar geworden sein. Sie dienen dem Lehrer und den Schülern als Vermittler zwischen der Wirklichkeit und dem Empfänger, d.h. die Mittler werden in allen Phasen des Mathematikunterrichts benutzt. Demzufolge werden Medien im Unterricht zur Motivierung, Information, Aktivierung, Stimulierung, Steuerung, Erkenntnisgewinnung, Objektivierung, Übung und Rationalisierung eingesetzt. Sie dienen der Förderung der Selbstständigkeit beim Schüler, der Auseinandersetzung und der Wiederholung mit dem Lernstoff, der besseren Anschaulichkeit, Optimierung und Differenzierung der Information.

Welcher Art diese Lern- und Lehrmittel sein können wurde in der Abbildung 2 dargestellt. Die wichtigsten Medien des derzeitigen Mathematikunterrichts sind u.a.: o personale: Lehrer, Schüler

o „vortechnische“: Tafel(skizze), Schulbuch, Formelsammlung (Tafelwerk), Model-

o technische:

Sie bestimmen grundlegend die Organisationsform der Unterrichtsstunde. Aber auch die Organisationsformen üben einen erheblichen Einfluss auf die Einbindung von Kommunikations- und Informationsmittler aus. Somit sind Medien und Organisations-formen nie neutral. Diese Abhängigkeiten bestimmen deshalb genauso den optimalen und effektiven Medieneinsatz wie die folgenden Auswahlkriterien:

o Lernziel- und Inhaltsangemessenheit, o wissenschaftliche Zuverlässigkeit, o Schülerangepasstheit, o dem Unterrichtszweck dienlich, o emanzipatorischen Zielen dienlich,

o methodische Aspekte, wie Arbeitstechniken, Sozialformen, Aktionsformen, Unterrichtkonzepten, o Lehrerobjektivität, o Zugänglichkeit für alle Schüler, o Unterrichtsökonomie,

o der Differenzierung und Individualisierung dienlich, o äußere Voraussetzungen, o Mediengemäßheit.

Im Folgenden soll lediglich betrachtet werden, wie man die Informationsübertragung optimieren kann. Im Schulunterricht ist es so, dass ein Lehrer (Sender) versucht, In-formationen an viele Schüler (Empfänger) zu senden. Um also dem Empfänger eine Botschaft zukommen zu lassen, ist es am optimalsten, sich des Symbolsystems „Sprache“ zu bedienen. Der Sprachcode ist praktisch, bequem und effizient. Allerdings kommt man früher oder später an Punkte, an denen die Sprache allein nicht ausreicht, an denen sie zu umständlich oder nicht mehr eindeutig genug ist. Um dem Schüler dann konkrete Wahrnehmungen zu ermöglichen, sind Bilder oder Skizzen hilfreich. Nun kann es aber sein, dass aufgrund des kognitiven Entwicklungsstandes des Empfängers und der eventuellen Mehrdeutigkeit oder Reduktion der Darstellung, z.B. die oben angesprochene zweidimensionale Darstellung einer dreidimensionalen Perspektive, der Informationsfluss wiederum abgebrochen wird. Dann hilft unter Umständen etwas zum Anfassen, ein plastisches Modell, das man aus den verschiedenen Perspektiven betrachten kann, um den Informationsfluss zu optimieren. Die Speicherung der Information beim Empfänger funktioniert um so besser, je mehr Assoziationsbrücken sich dieser baut. Je mehr der Lernende hört, sieht und anfasst, je mehr Sinne angesprochen werden, desto mehr Möglichkeiten der Erinnerung an die Information hat er.

Man sieht also, dass jeder Medieneinsatz auch Anforderungen an die Lehrkraft stellt. Dazu gehören unter anderem eine fachdidaktische und lernpsychologische Beurteilung der Medien, eine kritische Auseinandersetzung mit den Medien und die Kenntnis der Auswahl und Technik der Medien. Mit dem Einsatz „neuer“ Medien wird aber auch das selbstständige Anfertigen von Medien immer wichtiger.

Im Folgenden verzichte ich auf eine weitere Auseinandersetzung der Bedeutung der Vielzahl unterschiedlicher Medien im Mathematikunterricht und beschränke meine Ausführungen auf die Bedeutung der sogenannten „neuen“ Medien - dem Computer und Computer-Algebra-Systemen (kurz CAS) - und im Besonderen dem Taschencomputer TI-92.

2 Mathematikunterricht und das neue Medium „Computer“

Das Attribut „neu“ wird modernen Technologien derzeit allzu bereitwillig verliehen. Bei genauer Betrachtung, wenn man diese Medien z.B. nicht nur im Hinblick auf die technischen Merkmale untersucht, stellt man fest, dass sich das Symbolsystem, der Code, kaum geändert hat. Unbestreitbar ist allerdings, dass die technologische Entwicklung die Einsatzmöglichkeiten der Medien erweitern - Stichwort: Multimedia und Internet. „Gerade Multimedia und Telekommunikation werden das Lern- und Arbeitsverhalten der Lernenden innerhalb und außerhalb der Bildungseinrichtungen grundlegend verändern. Diese Tatsache muss von den Lehrerinnen und Lehrern im Hinblick auf die sich ergebenden Situationen und Probleme in ihrer Tragweite für das pädagogische Handeln in der Schule erfasst werden.“ [Hen00,S.9]

Diese Feststellung von Hendricks macht die Bedeutung der massiven Einführung von technologischen Werkzeugen und Medien zu Beginn des 21. Jahrhunderts deutlich. Bereits 1984 legte die Bund-Länder-Kommission für Bildungsplanung und Forschungsförderung (BLK) eine erste Rahmenempfehlung für die Bundesländer vor, wonach eine informationstechnische Bildung im bestehenden Fächerkanon erfolgen sollte. Ein Gesamtkonzept der BLK für die informationstechnische Bildung mit drei Schwerpunkten wurde 1987 vorgelegt [Hen00,S.29]: 1. eine verpflichtende Grundbildung für alle Schüler, 2. eine vertiefende informationstechnische Bildung (Informatikunterricht), 3. eine berufsbezogene informationstechnische Bildung. In den Bundesländern werden darauf aufbauend momentan unterschiedliche didaktische Modelle entwickelt und erprobt. Der fächerverbindende, projektorientierte Ansatz zielt auf die gesellschaftliche Bedeutung unter Beteiligung verschiedener Fächer (z.B. in Brandenburg und Hessen). Einen integrativen, fachbezogenem Ansatz verfolgt Niedersachsen. Die Idee einer informatischen Grundbildung im mathematischnaturwissenschaftlichen Bereich (Leitfächer-Ansatz) untersuchen vor allem Rheinland-Pfalz, Bayern und das Saarland.

Nun zeigt sich aber ein enorm großer Nachholbedarf bei der Ausstattung mit Computern und entsprechender Software an den deutschen Schulen. Während in den USA bereits 1997 85% der Schulen und sogar 44% der Klassenräume über einen Internetzugang verfügten und sich nur 13 Schüler einen Computerarbeitsplatz teilten, lagen in Deutschland zu diesem Zeitpunkt die Anteile bei 20% der über einen Anschluss verfügenden Schulen. Des Weiteren mussten sich mehr als 60 Schüler einen PC teilen, mit einer stark zunehmenden Tendenz in Richtung der neuen Bundesländer [Hen00,S.50f]. Dieses Defizit von mehr als vier Jahren gegenüber anderen großen Industriestaaten belegt die ungenügende Förderung der Bundesrepublik in den letzten Jahren in diesem Gebiet. Um dem technologischen Ansprüchen einer modernen Wissens- und Informationsgesellschaft gerecht zu werden, werden von der Regierung und den Ländern große Geldbeträge bereitgestellt. Man bewirbt sogar Spezialisten aus anderen Ländern mit der sogenannten „Green-Card“ für eine Arbeit im „Industriestandort Deutschland“.

Vergleich von herkömmlichem Unterricht ohne Computer mit 10

Unterricht unter Verwendung von Computern

Die Bildung in einer Medien- und Informationsgesellschaft verlangt also nach Nutzung der Möglichkeiten, die neue Entwicklungen - gerade des Computers mit entsprechender Software - mit sich bringen. Das heißt für uns, Lehrer und Schüler müssen dazu befähigt werden. Diese Medienkompetenz meint aber nicht nur die Bedienungskompetenz, sondern zielt auch auf die Kritik- und Analysefähigkeit ab. „Neue“ Medien dürfen nicht nur auf die Technik reduziert werden, sondern müssen als soziotechnische Systeme angesehen werden. Somit wird eine umfassende Medienkompetenz als neue Kulturtechnik neben Schreiben, Lesen und Rechnen angesehen.

2.1 Vergleich von herkömmlichem Unterricht ohne Computer mit Unterricht unter Verwendung von Computern

2.1.1 Veränderungen in den Lern- und Problemlösestrategien

Wie aus der TIMSS-Studie ¹ hervorgeht, gehört die Schulung des Problemlösens zu den wichtigsten Bildungsaufträgen der Mathematik [Heu96]. Die Richtlinien für Mathematik der Sekundarstufen I und II weisen im Rahmen wissenschaftlichen Arbeitens auf entsprechende Schlüsselqualifikationen wie eigenständiges Erschließen von Informationsquellen, heuristisches und systematisches Herangehen an Probleme, Dokumentation von Arbeitsschritten, selbstkritische Überprüfung von Ergebnissen, Betonung der Modellbildung, Herstellen von Bezügen und Finden von Zusammenhängen (Vernetzungen), Eröffnen experimenteller Arbeitsweisen u.a. hin. In diesem Zusammenhang werden wiederholt die vielfältigen Einsatzmöglichkeiten des Computers herausgestellt. Der Computer prägt den Ablauf von Problemlöseprozessen in besonderer Weise. [Min91,S.10f], [Min92,S.18f]

Dennoch ist der Computer mit all seinen möglichen Peripheriegeräten und der Vielzahl der Anwendungen das derzeit am meisten diskutierte neue Medium der Schule. Dabei ist es sinnvoll, zwischen dem Computer als Medium und Werkzeug sowie der thematischen Behandlung des Computers zu unterscheiden. Der Einsatz des Computers als Medium und Werkzeug wird in einigen Fächern (hoffentlich) bald eine Selbstverständlichkeit sein, da sich durch ihn faszinierende Möglichkeiten eröffnen, Prinzipien des entdeckenden und handelnden Lernens anzuwenden. Dies schließt jedoch nicht die thematische Auseinandersetzung mit dem Medium und seinen Auswirkungen ein. Mit einem modernen Computersystem ist man in Lage, bis zu 80% aller im Mathematikunterricht anfallenden Aufgaben zu bearbeiten:

Der Computer als „Trivialisierer“

Die Beherrschung arithmetischer Techniken galt einst als anspruchsvolle kognitive Fähigkeit. Der Computer (und mit ihm der Taschenrechner) hat sie zu einer stupiden, zeitaufwendigen Rechenarbeit entwertet. Der Computer übernimmt die Rolle von

¹ TIMSS - The Third International Mathematics and Science Study, die dritte internationale Mathematik- und Naturwis-

senschaftsstudie, durchgeführt zwischen 1994 und 1995 unter Verantwortung der International Association for the E-

valuation of Educational Achievement (IEA)

Vergleich von herkömmlichem Unterricht ohne Computer mit 11

Unterricht unter Verwendung von Computern

Rechner, Graphiker und Textverarbeiter ein. Moderne Computer-Algebra-Systeme gehen noch einen Schritt weiter. Sie sind in der Lage symbolische Rechnungen algebraischer Ausdrücke durchzuführen. Termumformungen, Gleichungslösen, Differenzieren, bestimmtes und unbestimmtes Integrieren werden mit hoher Rechengeschwindigkeit erledigt, welche bisher menschliche geistige Leistungen mit zum Teil hohen Zeit-aufwand waren. Der Computer als „Entdecker“

Mit dem Computer liegt für die mathematische Forschung und auch für den Unterricht ein Werkzeug für eine experimentelle, heuristisch vorgehende Mathematik vor. Zum Beispiel kann der Schüler ohne große Vorkenntnisse den Einfluss eines Parameters in einer gegebenen Funktionsgleichung am zugehörigen Graphen untersuchen. Der Computer als „Beweiser“

Mit Einführung der sogenannten „künstlichen Intelligenz“ werden mit Hilfe von Deduktionssystemen mathematische Beweise automatisch durchgeführt. So kann man im Unterricht mit geeigneter Software klassische Sätze der ebenen Geometrie beweisen.

Um sinnvolle Einsatzgebiete von Computern im Mathematikunterricht zu finden, ist es zunächst wichtig, den Weg des Lernenden in der Mathematik zu durchleuchten. Im klassischen Unterricht liegt der Schwerpunkt der Aktivität auf der Phase des Operierens. 90% der zur Verfügung stehenden Zeit verbringen die Schüler mit dem Lösen von Gleichungen. Am Anfang einer Unterrichtsreihe steht oft ein innermathematisches Problem, für welches der Lehrer (zusammen mit den Schülern) einen Lösungsalgorithmus erarbeitet. Den Schülern fehlen jedoch allzu oft die nach Klafki geforderte Gegenwarts-, Zukunfts- und auch exemplarische Bedeutung. Das Schlimmste ist jedoch, dass sich die Schüler damit abgefunden haben, dass höhere Mathematik nichts mit dem alltäglichen Leben zu tun hat. Sie sind zufrieden, wenn sie die Lösungsstrategie verstanden und auf ähnliche Probleme anwenden können.

Vergleich von herkömmlichem Unterricht ohne Computer mit 12

Unterricht unter Verwendung von Computern

An der Abb. 3 lassen sich die Schwerpunkte eines idealen Lernprozesses im Mathematikunterricht erklären.

1. Beobachtungen und Probleme der Wirklichkeit als Ausgangspunkt, 2. Übertragen des Problems auf ein mathematisches Modell, Erreichen von Vermutungen, ersten Beweisideen durch heuristische Strategien (Analysieren, Experimentieren),

3. Finden von bekannten, gesicherten Algorithmen, Theoremen und Sätzen durch Beweisen und Begründen der Vermutungen,

4. Entwicklung von neuen Algorithmen, Regeln, auch Testen und Festigen durch Übung,

5. Lösen des Ausgangsproblems durch Anwenden der Erkenntnisse und Strategien 6. Rückübertragen der Lösung auf das Ausgangsproblem. Neue Probleme erfordern die Entwicklung neuer Algorithmen, den Durchlauf neuer Schleifen.

Abb. 4: Kreativitätsspirale nach Heugl, Klinger und Lechner [Heu96,S.81]

Heugl, Klinger und Lechner nennen diesen Prozess auch „Kreativitätsspirale“, die durch drei wichtige Tätigkeiten gekennzeichnet ist: Modellbildung in der heuristischen, experimentellen Phase, Operieren - in der exaktifizierenden Phase und Interpretieren in der Anwendungsphase.

Mit einem Computersystem könnte man nun in der heuristischen Phase zu Vermutungen kommen, die Phase der theoretischen Absicherung von Algorithmen und das Einüben von Rechenfertigkeiten umgehen und unter Nutzung des CAS schwerpunktmäßig bei den Anwendungen fortfahren. Damit würden die Schüler jedoch keine Modellbildungskompetenz etc. erlangen können, und somit würde man den Richtlinien für Mathematik nicht gerecht werden. Sicherlich ergibt sich durch das Wegfallen langwieriger Zwischenrechnungen ohnehin eine genügend große Zeitersparnis, so dass den durchaus wichtigen Anwendungen genügend Aufmerksamkeit gewidmet werden kann. Der Computereinsatz bietet also die Chance, den Problemlöseprozess zu erweitern und die Modellbildung und Interpretation in den Unterricht einzubeziehen.

Vergleich von herkömmlichem Unterricht ohne Computer mit 13

Unterricht unter Verwendung von Computern

2.1.2 Veränderungen in den didaktischen Prinzipien

Wissenschaftspropädeutisches, problemorientiertes Lernen verlangt als eine der wichtigsten Bedingungen die Erziehung zum selbstständigen Lernen, Urteilen und Handeln. Das erfordert ein Umdenken bei der didaktischen Konzeption und bei der Organisation von Unterricht, die durch das Lehr- und Lernmedium Computer und besonders durch das CAS stark beeinflusst und verändert werden. [Min91], [Min92] Im Folgenden sollen einige didaktische Prinzipien, bei denen vor allem Computer-Algebra-Systeme ¹ eine wichtige Rolle spielen, als Konstruktionsanleitung für den Unterricht dargestellt werden.

Das White Box / Black Box-Prinzip

Beim White Box / Black Box-Prinzip handelt es sich um ein Unterrichtsmodell, das in zwei Phasen abläuft: In der ersten Phase wird eine Erkenntnis in allen Details und ohne Computerunterstützung erworben und geübt (White Box-Phase). In der darauf folgenden Black Box-Phase sollen die Schüler die Erkenntnisse der White Box-Phase in Anwendungen oder weiteren White Box-Phasen nutzen. Die Schüler sollen begründen, warum sie auf frühere White Box-Phasen zugreifen, überlassen aber nötige Berechnungen dem Computer [Kut95,S.31].

Dieses Prinzip wird durch den Einsatz von numerischen Taschenrechnern schon lange Zeit praktiziert. In der Unterstufe wird beispielsweise die Division von Dezimalbrüchen „zu Fuß“ hergeleitet und geübt. Später übernimmt dann der Taschenrechner als Black Box solche Berechnungen.

Das Black Box / White Box-Prinzip

Dieses Prinzip bietet sich besonders in Verbindung mit experimentellem Arbeiten an. Die Schüler erhalten ein Problem aus einem ihnen nicht bekannten Bereich der Mathematik und sollen unter Verwendung des Computers durch experimentelles Lernen Vermutungen äußern (Black Box-Phase). Die Vermutungen werden in der folgenden White Box-Phase gesichert.

Das Modulprinzip

Die Idee des Moduls stammt aus der Informatik und wurde von den CAS übernommen. Bei diesem Prinzip wird mathematisches Wissen, das bereits bewiesen wurde und später verwendet werden soll, in einem Modul zusammengefasst. Module werden zum Teil vom CAS mitgeliefert bzw. in Zeitschriften und im Internet ständig veröffentlicht. Der Lehrer und besonders die Schüler können und sollten Module aber auch selbst erstellen. Die Schüler können auf diese Weise ihre erworbenen Erkenntnisse durch Festhalten in Modulen eigenständig sammeln. Wenn sie später auf ein von ihnen programmiertes Modul zurückgreifen, kann sich zudem ein Selbstbewusstsein entwickeln, das sich auf seine Motivation vorteilhaft auswirkt. Das Modulprinzip soll nicht dazu führen,

¹ im Folgenden kurz mit CAS bezeichnet