Über die Ruinwahrscheinlichkeit im klassischen Risikomodell mit einer Verallgemeinerung auf nicht Poisson-verteilte Schadensanzahl

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  1

2  Einführende Untersuchungen  3

2.1  Das diskrete Risikomodell  3

2.2  Das stetige Risikomodell  6

3  Das klassische Risikomodell  11

3.1  Allgemeine Betrachtungen  11

3.2  Untersuchungen zur Differenzierbarkeit  

  der Überlebensfunktion Φ(u)  17

3.3  Eine andere Darstellung für die Ruinwahrscheinlichkeit Ψ(u)  34

3.4  Laplace-Transformationen  36

4  Das kollektive Risikomodell  50

4.1  Allgemeine Betrachtungen  50

4.2  Eine Darstellung für die Überlebenswahrscheinlichkeit Φ(t u)  51

i

INHALTSVERZEICHNIS

  ii  

4.3  Hilfsresultate aus der Irrfahrten-Theorie  61

4.4  Die Ruinwahrscheinlichkeit nach dem Zeitpunkt t  73

  A Grundlagen  83

  A 1 Bedingte Erwartung  83

  A 2 Integration und Differentiation  84

  A 3 Konvergenzsätze  86

  A 4 Laplace-Transformation  86

  A 5 Der Transformationssatz für Integrale  88

  B Symbolverzeichnis  89

  Literaturverzeichnis  92

Kapitel 1

Einleitung

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Ruinwahrscheinlichkeiten in Risikomodellen.

Die Bestimmung und Abschätzung von Ruinwahrscheinlichkeiten ist Gegen-stand der Ruintheorie, die ein Teilgebiet der Risikotheorie darstellt. Im Gegensatz zur Lebensversicherungsmathematik beschäftigt sich die Risikotheorie mit Sachversicherungen. Deshalb wird sie auch als Sach- oder Nichtlebens-Versicherungsmathematik bezeichnet.

Kennzeichnend für Sachversicherungen ist die zufällige Anzahl, die zufällige Höhe sowie das zufällige Eintreten von Schäden. Dies führt zur Notwendigkeit, anspruchsvolle mathematische Modelle zu entwickeln und zu beschreiben. Die Ruintheorie kann somit auch als eine spezielle Theorie stochastischer Prozesse angesehen werden.

Das zweite Kapitel des vorliegenden Textes stellt eine allgemeine Hinführung zum Thema dar. Es wird zuerst das diskrete und dann das stetige Risikomodell betrachtet. Im Rahmen dieser zwei Modelle werden die grundlegenden Größen definiert und erklärt, angefangen von der Beschreibung des Risikoreserveprozesses bis hin zur Definition der Ruinwahrscheinlichkeit.

Im dritten Kapitel wird das so genannte klassische Risikomodell eingeführt. Wir halten uns dabei im Wesentlichen an das Buch „Stochastic Processes

1

KAPITEL 1. EINLEITUNG 2

for Insurance and Finance“ von Rolski, Schmidli, Schmidt und Teugels. Das eingeführte Modell wird üblicherweise für Berechnungen in der Praxis herangezogen. Es lässt sich durch folgende vier Annahmen grob skizzieren:

1. Man geht von einer Poisson-verteilten Schadensanzahl aus. 2. Die Schäden werden durch eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen beschrieben.

3. Die Schadensanzahl und die Schäden sind unabhängig voneinander. 4. Prämien werden konstant gezahlt.

Nach allgemeinen Betrachtungen über den Poisson-Prozess werden in diesem Kapitel Untersuchungen zur Differenzierbarkeit der Überlebenswahrscheinlichkeit, dem Pendant zur Ruinwahrscheinlichkeit, angestellt sowie eine einfachere Darstellung dieser Wahrscheinlichkeiten ausgearbeitet. Der letzte Abschnitt des Kapitels beschäftigt sich schließlich mit Laplace-Transformationen der Wahrscheinlichkeiten. Anhand ausgewählter Beispiele wird gezeigt, dass diese eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Ruinwahrscheinlichkeit spielen.

Kapitel 4 beschäftigt sich mit einer Verallgemeinerung des klassischen Modells auf eine nicht Poisson-verteilte Schadensanzahl. Dieses Modell wird auch als kollektives Risikomodell bezeichnet.

Die Verallgemeinerung des klassischen Modells ist in der Tatsache begründet, dass in vielen Branchen der Nichtlebens-Versicherung exponentialverteilte Zwischenankunftszeiten als zu „milde“ angesehen werden. Das Kapitel orientiert sich am zweiten Kapitel des Artikels “Non-Poissonian claims’ arrivals and calculation of the probability of ruin“ von Vsevolod K. Malinovskii.

Nach einer kurzen Einführung, befassen wir uns darin zunächst, mit einer Darstellung der endlichen Überlebenswahrscheinlichkeit. Mit Hilfe dieser Darstellung und einigen Ergebnissen aus der Irrfahrtentheorie wird dann die Ruinwahrscheinlichkeit nach dem Zeitpunkt t hergeleitet. Allerdings beschränken wir uns dabei auf den Fall exponentialverteilter Zwischenankunfts- zeiten.

Kapitel 2

Einführende Untersuchungen

2.1 Das diskrete Risikomodell

Zunächst beschäftigen wir uns mit dem diskreten Risikomodell. Zu untersuchen ist in diesem Modell die Reserve des Risikogeschäfts eines Versicherungsunternehmens nach einer bestimmten Anzahl von Perioden gleicher Länge.

Das mögliche Risiko wird zu den Zeitpunkten n = 1, 2, . . . betrachtet und die Schadenshöhe soll Werte aus N annehmen.

Wir benutzen zur Modellierung der Risiken eine Folge von Schäden {X i } i≥1 ,

die unabhängig und identisch verteilt sind. Dabei bezeichnen wir mit X i , i = 1, 2, ..., den Schaden der i-ten Periode (i − 1; i]. Dieser wird auch Teilrisiko genannt. Wie schon oben erwähnt, sollen die X i , i = 1, 2, ..., Werte aus N annehmen.

Darüber hinaus gehen wir davon aus, dass in jeder Periode konstante (Brut-torisiko-)Prämien der Höhe c>0 gezahlt werden.

Dann ist die Risikoreserve nach der n-ten Periode gegeben durch n

R n := u + cn −

KAPITEL 2. EINFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN 4

wobei u ≥ 0 die anfängliche freie Reserve bezeichnet.

Der so definierte Prozess {R n , n ∈ N} wird diskreter Risikoreserveprozess bzw. diskreter Risikoprozess genannt. Er beschreibt die Entwicklung der Reserve am Ende jeder Periode.

Neben dem Risikoreserveprozess bzw. statt diesem wird des Öfteren ein Pro-

zess {S n , n ∈ N} betrachtet.

Dieser diskrete stochastische Prozess {S n , n ∈ N}, definiert durch n

mit unabhängigen und identisch verteilten Zufallsgrößen Y i , i = 1, 2, . . ., heißt Random walk oder Irrfahrt.

Wir werden nun die Zufallsgrößen Y i , i = 1, 2, . . ., näher beschreiben.

Bemerkung 2.1 Die Schäden {X i } i≥1 können eine stetige Verteilung haben, und die Prämien, die während jeder Periode gezahlt werden, können als

eine zufällige Folge {X i } i≥1 von unabhängigen und identisch verteilten Zu-

fallsvariablen modelliert sein. Die Y i , i = 1, 2, . . ., besitzen dann allgemein die Form

Y i = X i − X i , i = 1, 2, . . . .

Man führt folgende Definition ein.

Definition 2.2 Die Irrfahrt {S n , n ∈ N}, definiert durch (2.2) mit identisch verteilten Zufallsgrößen Y i , i = 1, 2, . . ., heißt Schadensüberschussprozess.

In unserem Fall, in dem X i = c für alle i = 1, 2, . . . gilt, lässt sich der Schadensüberschussprozess wie folgt ausdrücken: n

KAPITEL 2. EINFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN 5

Es gilt dann

R n = u − S n .

Wie man sofort sieht, kann die Risikoreserve also negativ werden, wenn der

Schadensüberschuss S n , n = 1, 2 . . . , die freie Reserve u übersteigt. Das ent-

sprechende Ereignis

{R 1 < 0} ∪ {R 2 < 0} ∪ . . . = {S 1 > u} ∪ {S 2 > u} ∪ . . . (2.4) wird technischer Ruin genannt. Der technische Ruin tritt mit der Wahrscheinlichkeit Ψ(u) := P ({R 1 < 0} ∪ {R 2 < 0} ∪ . . .)

ein. Entsprechend heißt Ψ(u) Ruinwahrscheinlichkeit bei anfänglicher

freier Reserve u ∈ N 0 .

Eine etwas schönere Definition der Ruinwahrscheinlichkeit erhält man durch

die Einführung des Zeitpunktes τ u , an dem der Risikoreserveprozess zum

ersten Mal negativ wird. Es gilt

Der Ruinzeitpunkt τ u ist im Allgemeinen eine uneigentliche Zufallsgröße. Die Ruinwahrscheinlichkeit Ψ(u) lässt sich nun beschreiben durch Ψ(u) = P (τ u < ∞). (2.7)

Betrachten wir einen endlichen Zeitraum [0; n], wollen wir die Ruinwahr-

scheinlichkeit mit Ψ(n; u) bezeichnen. Es gilt dann Ψ(n; u) := P (τ u ≤ n). (2.8)

KAPITEL 2. EINFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN 6

Dies ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Ruin nicht später als zum Zeitpunkt n ∈ N eintritt. Die mathematische Berechnung dieser Größe gestaltet

sich allerdings häufig als recht schwierig.

2.2 Das stetige Risikomodell

Wir betrachten nun das stetige Risikomodell. Ausgangspunkt sind wiederum die unabhängigen und identisch verteilten Teilrisiken X i , i = 1, 2, . . ..

Da für die Ruinwahrscheinlichkeit aber nur die Perioden von Bedeutung sind,

in denen tatsächlich ein Schaden eintritt, werden wir im Folgenden ausschließlich die X i , i = 1, 2, . . ., betrachten, für die X i > 0 gilt. Diese sollen durch

die Folge {U k } k∈N ausgedrückt werden.

Es werden alle Größen sämtlich als Zufallsgrößen modelliert, zu welchem Zwecke wir den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) einführen.

Außerdem setzen wir voraus, dass der Erwartungswert µ := EU k , k ∈ N,

sowie die Varianz V arU k , k ∈ N, existieren.

Die Prämien sollen nun stetig mit der Rate c > 0 gezahlt werden, so dass im

Intervall [0; t] die Prämie die Höhe c · t hat.

Die freie Reserve wird wie im diskreten Fall wieder mit u bezeichnet. Auch in stetigen Fall gilt u ∈ N 0 .

Um das allgemeine Risikomodell aufstellen zu können, bedarf es jedoch noch

einiger neuer Größen.

Unter diesen Größen sind die so genannten Ankunftszeitpunkte. Das sind die Zeitpunkte, zu denen ein Schaden eintritt. Sie werden mit σ k , k = 1, 2, . . .,

bezeichnet, wobei gilt

0 < σ 1 < σ 2 < . . . .

Wir definieren

k

KAPITEL 2. EINFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN 7

mit den Zwischenankunftszeiten {T i } i≥1 .

Als nächstes führen wir die Schadensanzahl ein. Sie wird erklärt durch die Größe

∞

Dabei bezeichnet 1 {σ k ≤t} die Indikatorfunktion. Demzufolge gilt

N(t) ∈ N 0 .

Bemerkung 2.3 Die Prozesse {N(t); t ≥ 0} und {U k } k∈N seien (im Folgenden) unabhängig voneinander.

Wir definieren nun den Risikoreserveprozess. (Graphisch ist der Prozess dargestellt in Abbildung 2.1.)

Definition 2.4 Der Prozess {R u (t); t ≥ 0}, definiert durch

R u (t) := u + ct −

heißt stetiger Risikoreserveprozess. Dabei bezeichnet c > 0 die Brut-torisikoprämie, {U k } k∈N die Folge der Teilrisiken und N(t) die Anzahl der Schäden im Intervall [0; t]. Zur Vereinfachung setzen wir

Es gelte darüber hinaus

E[N(t)] = α · t, α ≥ 0,

wobei α als Intensität von N(t) bezeichnet wird. Wir zeigen in Kapitel 3.1, dass es Schadensanzahlprozesse N(t) gibt, die eine Intensität besitzen.

KAPITEL 2. EINFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN 8

Lemma 2.5 Existiert obiger Erwartungswert E[N(t)], so gilt für den Er-

wartungswert des Risikoreserveprozesses {R u (t); t ≥ 0}

E[R u (t)] = u + ct − E[N(t)] · E[U k ]

Beweis: Der erste Teil des Beweises besteht aus bloßem Einsetzen. ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

N (t) N ^(t)

⎣ u + ct − ⎦ = u + ct − E ⎣ ⎦ E[R u (t)] = E U k U k

k=1 k=1

Wir wenden hierauf den Satz der totalen Erwartung an (vgl. Anhang) und

erhalten

⎡ ⎤

E[R u (t)] = u + ct −

Auf Grund der Unabhängigkeit des Systems {N(t), U 1 , U 2 , . . .} ist obige Glei-

chung äquivalent zu

j

E[R u (t)] = u + ct −

KAPITEL 2. EINFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN 9

= u + ct − E[N(t)] · E[U 1 ].

Wegen

E[N(t)] = α · t

folgt (2.12). qed

Wir führen nun den Schadensüberschussprozess {S(t); t ≥ 0} ein. Im

stetigen Fall hat dieser die Gestalt

Bemerkung 2.6 Der Schadensüberschussprozess ist rechtsstetig. Bevor wir die Ruinwahrscheinlichkeit definieren, betrachten wir zunächst wie-

der den Ruinzeitpunkt. Wie im diskreten Fall wird dieser als der Zeitpunkt

definiert, zu dem der Risikoreserveprozess zum ersten Mal negativ wird. Es

gilt also

τ u := inf{t ≥ 0 : R u (t) < 0} = inf{t ≥ 0 : S(t) > u}. (2.14)

Graphisch sind die Größen S(t) und τ u in Abbildung 2.2 dargestellt.

KAPITEL 2. EINFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN 10

Nun können wir auch die Ruinwahrscheinlichkeit Ψ(u) zum Risikoprozess {R u (t); t ≥ 0} definieren. Es ist

Die Wahrscheinlichkeit Φ(u), dass zu keinem Zeitpunkt t Ruin eintritt, ist

somit gegeben durch

Wir bezeichnen Φ(u) als Überlebenswahrscheinlichkeit oder Überle-

bensfunktion.

Bemerkung 2.7 Die Überlebensfunktion Φ(u) ist monoton wachsend. Nach Satz A.1 ist Φ(u) damit fast überall differenzierbar.

Später werden wir zeigen, dass Φ(u) sogar in höchstens abzählbar vielen Punkten nicht differenzierbar ist (vgl. Satz 3.7 und Folgerung 3.9).

Abschließend betrachten wir wie im diskreten Fall die Ruinwahrscheinlichkeit in einem endlichen Zeitraum [0; t]. Wir bezeichnen diese Wahrscheinlichkeit mit Ψ(t; u). Es gilt Ψ(t; u) := P (τ u ≤ t). (2.17)

Damit sind nun die grundlegenden Größen definiert. Wir können unsere einführenden Untersuchungen am diskreten und stetigen Risikomodell also beenden und im nächsten Kapitel zum so genannten klassischen Modell über- gehen.

Kapitel 3

Das klassische Risikomodell

3.1 Allgemeine Betrachtungen

In der Einleitung haben wir das klassische Modell bereits grob skizziert. Wir wollen die Eckpfeiler dieses Modells an dieser Stelle noch einmal nennen. Es sind dies die Poisson-verteilte Schadensanzahl N(t), die unabhängigen und identisch verteilten Teilrisiken U k , k = 1, 2, . . ., die Unabhängigkeit von N(t) und U k , k = 1, 2, . . ., sowie die konstant gezahlten Prämien c. Wir werden

im Folgenden den ersten Punkt etwas genauer unter die Lupe nehmen.

Der Prozess {R u (t); t ≥ 0} wird klassischer Risikoprozess oder Poisson-Modell genannt, wenn {N(t); t ≥ 0} ein Poisson-Prozess ist bzw. die Zwischenankunftszeiten {T i } ∞ i=1 exponentialverteilt sind mit Parameter λ > 0.

Dass dies gleichbedeutend ist, zeigt folgendes Lemma.

Lemma 3.1 (a) {T i } ∞ i=1 sei eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen mit der Verteilungsfunktion:

G(t) =

KAPITEL 3. DAS KLASSISCHE RISIKOMODELL 12

n

Dann ist die Verteilungsfunktion G n der Zufallsgröße σ n = i=1 T i , n = 1, 2, . . . , gegeben durch:

(λ · t) n−1

G n (t) = 1 − e −λ·t

(b) {T i } ∞ i=1 und G n (t) seien definiert wie in (a). N(t) bezeichne die Anzahl der Schäden n ≥ 1, so dass σ n ≤ t gilt, d.h.,

{N(t) = n} ⇔ σ n ≤ t < σ n+1

bzw.

{N(t) = n} ⇔ T 1 + . . . + T n ≤ t < T 1 + . . . + T n+1 . (3.3)

Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses {N(t) = n}

D.h., N(t) ist Poisson-verteilt mit Parameter λ.

Beweis: Zum Beweis von Teil (a) verwenden wir der Einfachheit halber statt der Verteilungsfunktion G n (t) die Dichte g n (t). Diese bekommen wir, indem wir (3.2) nach t differenzieren. Durch eine einfache Rechnung erhalten wir

also

Für n = 1 entspricht dies der Dichte der Exponentialverteilung. Wir beweisen nun durch Induktion, dass (3.5) für alle n = 1, 2, ... gilt. Nach Induktionsvoraussetzung gelte (3.5). Wir zeigen nun, dass diese Darstellung auch für n + 1 gilt.

Die Dichte g n+1 ist definiert durch die Faltung

t

KAPITEL 3. DAS KLASSISCHE RISIKOMODELL 13

Mit der Induktionsvoraussetzung erhalten wir

t

Setzen wir in (3.5) n + 1 für n ein, ergibt sich die gleiche Darstellung. Damit ist Teil (a) gezeigt.

Kommen wir nun zum Beweis von Teil (b). Das Ereignis {N(t) = n} tritt ein, wenn σ n ≤ t und σ n+1 > t

gilt.

Da σ n die Verteilung G n besitzt, erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses sofort

Somit ist auch Teil (b) gezeigt. qed

Bemerkung 3.2 Die Schadensanzahl N(t) besitzt im Fall von Lemma 3.1 die Intensität λ, da E[N(t)] = λ · t

gilt.

Wir definieren den Risikoreserveprozess wie in (2.11). Es sei des Weiteren die Irrfahrt {S n ; n ≥ 0} gegeben durch n n

Wir können die Ruinwahrscheinlichkeit somit ausdrücken als

Ψ (u) = P

KAPITEL 3. DAS KLASSISCHE RISIKOMODELL 14

Es kann gezeigt werden, dass lim sup n→∞ S n = ∞ ist, wenn EY 1 ≥ 0 gilt, und somit Φ(u) ≡ 0 ist (s. [RSST, Abschnitt 5.3]). Deshalb nehmen wir für die weiteren Betrachtungen EY 1 < 0 an. EY 1 < 0 ist aber äquivalent zu

Lemma 3.3 Es sei {Y i } i≥1 ein unabhängiges System von identisch verteilten Zufallsvariablen. Unter der Voraussetzung EY 1 < 0 gilt

ω : lim S n (ω) = −∞ = 1. (3.9) P

n→∞

Beweis: Wir führen den Beweis indirekt. Wir nehmen daher

ω : lim S n (ω) > −∞ = P (A) > 0 P

n→∞ an. Für alle ω ∈ A gilt also lim S n (ω) > −∞. n→∞

Dies ist nach Definition des oberen Limes gleichbedeutend mit

sup (S k (ω), S k+1 (ω), . . .) > −∞. lim k→∞ Wir setzen

d k (ω) := sup (S k (ω), S k+1 (ω), . . .) .

Dann konvergiert d k (ω), da es monoton fallend ist, für alle ω ∈ A gegen ein d (ω). Es ist also lim d k (ω) = d (ω) . k→∞

Somit existiert zu jedem > 0 ein k ∈ N, so dass für alle k ≥ k gilt,

Es gibt also für alle k + ≥ k ein h ≥ k + mit der Eigenschaft

1

KAPITEL 3. DAS KLASSISCHE RISIKOMODELL 15

Die Folge {h } ≥1 ist monoton wachsend und unbeschränkt. Wir dividieren

nun durch h und erhalten

Bilden wir den oberen Grenzwert für gegen unendlich, so folgt

Auf Grund der Wahl von h erhalten wir somit

Nach dem starken Gesetz der großen Zahlen gilt aber

Daraus folgt, dass der Grenzwert existiert, und dass

für ω ∈ A gilt.

Wegen EY 1 < 0 und (3.10) gilt aber für alle ω ∈ B

Somit erhalten wir

P (A ∩ B) = 0. (3.11)

Weiter ist

= P (A) > 0.

P (A ∩ B) + P A ∩ B

Es ist B per Definition ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0, dies gilt auch

für jede Teilmenge von B. Daraus folgt

P (A ∩ B) = P (A) > 0.

Das aber steht im Widerspruch zu (3.11). Damit war obige Annahme falsch

und (3.9) ist bewiesen. qed

KAPITEL 3. DAS KLASSISCHE RISIKOMODELL 16

Lemma 3.4 Es sei {Y i } i≥0 ein unabhängiges System von identisch verteilten Zufallsvariablen und es gelte EY 1 < 0. Daraus folgt lim Ψ(u) = 0. (3.12)

u→∞

Beweis: Es ist EY 1 < 0. Nach Lemma 3.3 gilt dann ω : lim S n (ω) = −∞ = P (C) = 1. P

n→∞

Daraus folgt trivialerweise sofort, dass auch

gilt.

Es ist d k (ω) aber monoton fallend, und damit existiert für alle ω ∈ C und alle η ∈ R eine Zahl k 0 derart, dass d n (ω) < η, n ≥ k 0 . Daraus folgt S n (ω) < η ∀n ≥ k 0 . Es gilt also für alle ω ∈ C max S n (ω) = max (max (S 1 (ω), . . . , S k 0 −1 (ω)) , sup (S k 0 (ω), S k 0 +1 (ω), . . .)) n≥0 n≥0 ≤ max <

∞. Es ist max n≥0 S n (ω) somit endlich für alle ω ∈ C. Da für C nun P (C) = 1 gilt, ist max n≥0 S n (ω) eine eigentliche Zufallsgröße. Daher erhalten wir für die Ruinwahrscheinlichkeit den Ausdruck

Ψ (u) = P

Lassen wir u gegen unendlich konvergieren, erhalten wir mit (3.13)

Also gilt (3.12). qed

KAPITEL 3. DAS KLASSISCHE RISIKOMODELL 17

3.2 Untersuchungen zur Differenzierbarkeit der Überlebensfunktion Φ(u)

Wir werden in diesem Abschnitt zeigen, dass die Überlebensfunktion Φ(u) bis auf eine abzählbare Menge von Punkten auf R + differenzierbar ist.

Dazu betrachten wir zunächst die Zeitpunkte σ n , zu denen der n-te Schaden

eintritt sowie die Gestalt des Risikoreserveprozesses {R u (t); t ≥ 0}. Die Zeitpunkte der Schäden sind

σ n = T 1 + . . . + T n .

Wir bemerken, dass die Identität

P (R u (t) ≥ 0, ∀t ≥ 0) = P (R u (σ n ) ≥ 0, n = 1, 2, . . .)

= lim P (R u (σ n ) ≥ 0, n = 1, . . . , N)

N →∞

gilt, da jede Realisierung des Prozesses {R u (t); t ≥ 0} monoton wachsend auf den Intervallen [σ j ; σ j+1 ) ist und

R u (σ j−1 − 0) < R u (σ j ), ∀j = 1, 2, . . .

gilt.

Des Weiteren ist das System {T i , U i } i≥1 ein unabhängiges System von Zufallsvariablen.

Theorem 3.5 Die Überlebensfunktion Φ(u) erfüllt die folgende Integralgleichung

u+cs h

Φ(u) =

wobei F die Verteilungsfunktion der Schäden U k , k = 1, 2, . . ., bezeichnet und die Zwischenankunftszeiten T i , i = 1, 2, . . ., exponentialverteilt mit Parameter λ sind.