II

Inhaltsverzeichnis

  Einleitung.  1

1  Traditionelles Assetpricing.  2

1.1  Markteffizienzhypothese.  2

1.2  Rationale Assetpricingmodelle.  5

1.3  Stochastischer Diskontfaktor.  8

1.3.1  Faktorstruktur des SDF in einperiodigen Modellen.  10

1.3.2  Net-Present-Value (NPV)  17

1.3.3  Intertemporale Asset-Pricing-Modelle  19

2  Asset-Pricing Puzzles  22

2.1  CAP-MAnomalien.  22

2.2  Anomalien intertemporaler Asset-Pricing-Modelle  31

3  Behavioral Finance  37

3.1  Evidenz für Fehlbewertungen.  37

3.2  Limits-of-Arbitrage  37

3.3  Verhaltensanomalien  46

3.4  Prospect - Theorie  53

3.5  Behavioral-Modelle als Alternative  58

  Schlussbetrachtung.  60

  Literaturverzeichnis  61

III

  Abbildungsverzeichnis  

  Abbildung 1: Investitionsmöglichkeiten  

  Abbildung 2: Multi-Faktor-Portfolioanalyse  

  Abbildung 3: Kumulierte Renditen des Markt-, HML- und SMB- Portfolios  

  Abbildung 4: Allokation in Aktien bei unterschiedlichen  

  Investitionshorizonten  

  Abbildung 5: Identisch gewichtete Renditen des Internet Index, S&P 500 und  

  Nasdaq-Composite  

  Abbildung 6: Typische Fonds-Mittelflüsse als eine Funktion aus  

  vergangenen Renditen  

  Abbildung 7: Endogener Crash  

  Abbildung 8: Wertfunktion versus Nutzenfunktion  

  Abbildung 9: Gewichte π in Abhängigkeit von  

1

Einleitung

Rationale Asset-Pricing-Modelle sollten den fundamentalen Zusammenhang zwischen den realen Risiken einer Volkswirtschaft und den Assetrenditen erklären können. Tatsächlich gelingt es den rationalen Standard-Modellen weder die Kapitalmarktentwicklungen zu beschreiben, noch zuverlässige Prognosen zu generieren. Im Wesentlichen stellen sich die Aktienrenditen auf der Makroebene als zu hoch und zu variabel heraus, als dass sie über ein rationales Modell erklärt werden könnten. Zudem scheinen Aktienrenditen auf der Mikroebene vorhersehbar zu sein. Eine Vielzahl von Studien belegt, dass bestimmte firmenspezifische Charakteristika, sowie die Aktienrenditen der Vergangenheit, gute Indikatoren für die zukünftigen Assetpreise sind. ¹ Üblicherweise setzen rationale Modelle risikoaverse Agenten, die neue Informationen korrekt verarbeiten und eindeutige Konsumpräferenzen haben, voraus. Der Agent beurteilt Investitionen nach den von Neumann-Morgenstern (VNM) Axiomen. Neuere rationale Modelle lösen sich ein wenig von den strengen VNM-Axiomen. Mittels alternativer Nutzenfunktionen (z.B. Epstein-Zin-Nutzen) oder durch die Einbeziehung der Habit-Bildung in die Nutzenfunktion können diese Modelle die Aktienprämie besser erklären. ² Hingegen sehen die Protagonisten der Behavioral Finance eine ganz andere Herausforderung im Asset-Pricing. Nach ihnen sollten Asset-Pricing-Modelle untersuchen wie die erwartete Rendite vom Risiko und von der Investorenfehlbewertung abhängt. Der Investor wird nun nicht mehr als Homo-Oeconomicus, sondern stattdessen als beschränkt rationaler Agent, dem auch Entscheidungsfehler unterlaufen, gesehen. Makroökonomisch relevant sind irrationale Entscheidungen auf individueller Ebene allerdings nur, wenn die Investoreneinschätzungen miteinander korreliert sind. Damit die Fehlbewertung im Markt persistent bleibt, müsste zudem die Arbitrage limitiert sein. 3

Kapitel 1 der Arbeit stellt die traditionelle Asset-Pricing-Theorie vor. In Kapitel 2 werden anschließend die Schwächen traditioneller Modelle bei der Erklärung und Beschreibung der realen Kapitalmarktentwicklungen aufgezeigt. Ebenfalls werden in dem Abschnitt rationale Lösungsansätze für die Anomalien präsentiert. Schließlich diskutiert Kapitel 3 wie die Behavioral Finance diese Anomalien, über begrenzt rationales Investorenverhalten und Arbitragebeschränkungen, zu erklären versucht.

¹ Vgl. z. B. Banz (1981), De Bondt und Thaler (1985), Chan (1988), Chopra u. a. (1992).

² Vgl. Constantinides (2002).

³ Vgl. Hirshleifer (2001).

2

1 Traditionelles Assetpricing

1.1 Markteffizienzhypothese

Kapitalmärkte haben in erster Linie die Aufgabe für eine effiziente Allokation des Kapitalstocks in einer Volkswirtschaft zu sorgen. In diesem idealen Markt müssen Preise akkurate Signale zur Ressourcenallokation liefern. Das heißt, Unternehmen treffen ihre Produktions-Investitions-Entscheidung und Investoren können zwischen Unternehmensbeteiligungen in Form von Wertpapieren wählen. Den auf einem solchen Markt entstandenen Preis nennt man effizient, denn er spiegelt jederzeit alle verfügbaren Informationen wider. Vor ca. 30 Jahren entstand die Markteffizienzhypothese (MEH) und sie gehört bis heute zu den ganz großen Errungenschaften im Bereich der modernen Finance. In jüngster Zeit sieht sich die MEH allerdings einer zunehmenden Zahl von Angriffen ausgesetzt. Natürlich - die extreme Form der Markteffizienz - ohne Transaktions- und Informationskosten ist sicherlich falsch. Ernsthafte Versuche gar das Fundament der MEH auszuheben, werden vonseiten der Behavioral Finance unternommen. Da die Nullhypothese „der Markt ist effizient“ sehr allgemein und daher in dieser Form nicht testbar ist, muss die Markteffizienz zusammen mit einer weiteren Hypothese getestet werden. Die hierzu formulierte zweite Hypothese unterstellt, dass der gleichgewichtige Preis eine Funktion des Risikos ist. Das Risiko wird anhand eines Assetpricingmodells modelliert. Diese kombinierten Hypothesen sind ein allgegenwärtiges Problem, welches es den Vertretern der Behavioral Finance fast unmöglich macht die MEH zu verwerfen, denn schließlich kann auch das unterstellte Assetpricingmodell fehlerhaft sein. 1

Allgemein lassen sich Theorien zum gleichgewichtigen Preis folgendermaßen darstellen:

[ ] jt ( ) ( ) ~ Φ + = Φ p r E p E 1 (1)

+ t j t j 1 , 1 ,

Die linke Seite von (1) zeigt den gleichgewichtigen erwarteten Preis des Wertpapiers j Φ . Auf der rechten Seite der Gleichung zum Zeitpunkt t +1 auf Basis der Information t

Φ multipliziert steht die erwartete gleichgewichtige Rendite auf Basis der Information t

Φ zur mit dem Preis p des Assets j zum Zeitpunkt t. (1) besagt, dass die Information t

Bestimmung der gleichgewichtigen erwarteten Rendite voll genutzt wird. Deshalb

¹ Vgl. Fama (1998), S. 283 f.

3

Φ wider. ¹ Werden die aufeinander folgenden Ren- p vollständig t spiegelt der Preis jt

diten zusätzlich als von einander unabhängig und identisch verteilt angenommen, so

dass ( ) ( )

= Φ gilt (Random-Walk), dann führt (1) zu ² r f r f

+ 1 , 1 , t j t j

( ) ( ) ~ = Φ r E r E . (2)

+ 1 , 1 , t j t j r Während bei einem reinen Random-Walk die Verteilung von unabhängig von der

, + 1 t j

Information in t ist, unterstellt das „fair game“ Markteffizienz Modell (2) nur die Unab- Φ .Fama (1970) hängigkeit der erwarteten Verteilung von der verfügbaren Information t

testete die Markteffizienz im Hinblick auf das „fair game“-Modell. Er kam auf hinreichende Evidenz für einen effizienten Markt. Spekulanten lassen sich daher auf ein „faires Spiel“ ein und müssen folglich mit einem Null-Gewinn rechnen. Ein mechanisches Handelssystem kann in einem solchen Umfeld keinen höheren erwarteten Gewinn als eine einfache buy-and-hold-Strategie erzielen.

Natürlich gilt die MEH für eine ideale, friktionslose Modellwelt. Unter der Abwesenheit von Transaktionskosten, die für jeden kostenlose Verfügbarkeit aller erhältlichen Informationen, sowie die Übereinstimmung aller über die Auswirkung der Informationen in t auf den aktuellen Preis, ist es keinem Investor möglich abnormal hohe Gewinne zu erzielen. Sind diese Bedingungen erfüllt, so ist es offensichtlich, dass der Preis alle verfügbaren Informationen enthält. Der umgekehrte Schluss ist aber nicht möglich. Ein Markt kann ebenso unter hohen Transaktionskosten effizient funktionieren. ³ Grossman und Stiglitz (1980) widerlegten Fama und zeigten, dass ein Markt vollkommen zusammenbrechen würde, wenn die MEH gültig wäre und es Transaktionskosten gäbe. Schließlich würde sich dann jeder informierte Händler denken, dass er die gleichen Ergebnisse auch ohne kostenpflichtige Informationsdienste erzielen könnte. Folglich würde er die Zahlungen für Informationsdienste einstellen. Handeln alle informierten Händler auf diese Art, so entsteht kein Gleichgewicht. Sind auf der anderen Seite die Informationskosten niedrig, so existiert zwar ein Gleichgewicht, jedoch führen wahrscheinlich die fast homogenen Kurseinschätzungen der Händler zu einem äußerst dünnen Markt. Drei Formen der Markteffizienz lassen sich voneinander abgrenzen. (i)

¹ Vgl. Fama (1970), S. 384.

² Es wurde eine im Zeitablauf konstante erwartete Rendite des Wertpapiers j unterstellt.

³ Vgl. Fama (1970), S. 386 f.

4

Φ enthält Informationen über vergangene Preise. Dieschwache Markteffizienz:

t

bedeutet, dass es unmöglich ist überdurchschnittlichen, risikoadjustierte Gewinne auf Φ zu erzielen. (ii) mittelstrenge Markteffizienz: t Φ enthält alle öffentlich Basis von

t

Φ enthält alle vorhandenen verfügbaren Informationen und (iii) strenge Markteffizienz: t

Informationen, insbesondere auch Insiderinformationen. Durch diese drei Abstufungen wird die MEH an die reale, friktionsbehaftete Welt angepasst. Statistische Tests sind nun leichter als mit der extremen Nullhypothese „Preise reflektieren alle verfügbaren Informationen“, durchführbar. 1

Weiterhin setzt die MEH voraus, dass Preise nicht auf Non-Informationen reagieren. Insbesondere sollte der Aktienkurs -vorausgesetzt die Erwartungen des Investors zum zukünftigen Unternehmenswert sind unverändert- nicht auf große Kauf- oder Verkaufsorders reagieren. Würde eine Verkaufsorder zu einem fallenden Aktienpreis führen, dann könnte der Käufer einen abnormalen zukünftigen Gewinn erwarten. Dies würde dem „fair game“-Prinzip und damit auch der MEH widersprechen. Das heißt, die Argumentation, dass der Aktienkurs nach einer großen Verkaufsorder fallen muss, um dadurch über den Kursabschlag weitere Investoren zum Kauf zu bewegen (Preis-Druck-Hypothese (PDH)), gilt nicht auf einem effizienten Kapitalmarkt. Denn durch den Abschlag könnte der Käufer erwarten, in Zukunft einen abnormalen Gewinn in diesem Wertpapier zu realisieren. Im Gegensatz zur fallenden Nachfragekurve der PDH ist nach der Substitutionshypothese (SH) eine horizontale Nachfragekurve für ein Asset gegeben. Da der Investor sein Portfolio unter vielen Assets aufteilen kann, ist jedes Wertpapier ein potentieller Portfolioaufnahmekandidat. Deshalb „konkurrieren“ die Wertpapiere untereinander um die Portfolioaufnahme. Ein erwarteter abnormaler Ertrag in einem Asset würde den Investoren schnell auffallen. Denn sind auf dem Markt ähnliche Wertpapiere vorhanden, die in jedem Zustand der Welt vergleichbare Cash-Flows generieren, dann würden Arbitrageure ² die zu billige Aktie kaufen und gleichzeitig ein Substitut verkaufen. Dadurch gleicht sich der relative Preis der Wertpapiere an. Ein großer Blockhandel sollte nach der SH daher keine Auswirkungen auf den Aktienpreis haben. Scholes (1972) zeigte dies mit Hilfe einer Event Studie, in der er den

¹ Vgl. Fama (1970), S. 388.

² Arbitrageure sind Investoren, die Wertpapiere rational bewerten.

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Kurseinfluss von Blocktrades an der New York Stock Exchange im Zeitraum von 1947-65 untersuchte.

Drei Argumente machen die MEH zu einem stabilen Theoriegebäude. Zum einen fußt die MEH auf der Annahme, dass die Investoren rational handeln und somit Wertpapiere rational bewerten. Das heißt Anleger bewerten Investitionen anhand des Net-Present-Value (NPV). Der NPV entspricht den diskontierten erwarteten zukünftigen Cash-Flows - also dem Fundamentalwert der Aktie. Auf den NPV wird in Kapitel 1.3.2 ausführlicher eingegangen. Sollten nicht alle Anleger rational sein, gilt trotzdem in vielen Szenarien die MEH. Dieser zweite Punkt setzt darauf, dass irrationale Investoren am Markt zufällig handeln und damit ihre Handelsstrategien untereinander unkorreliert sind. Black (1986) nennt Investoren, die nicht auf Grund von Informationen handeln, „Noise-Trader“. Folglich hat ein solcher Markt ein beachtliches Handelsvolumen. Die Kurse bewegen sich trotz der irrationalen Investoren nahe ihrem fundamentalen Wert. Aber sogar unter der Annahme korrelierter Handelsstrategien der Noise-Trader muss die MEH nicht zwingend verworfen werden. Rationale Arbitrageure würden sich nicht die Chancen aus einer überbewerteten Aktie entgehen lassen. Da sie mit anderen Arbitrageuren im Wettbewerb um die höchsten Erträge stehen, werden sie sehr schnell das überbewertete Papier verkaufen und gleichzeitig ein ähnliches, aber unterbewertetes Substitut kaufen. Dadurch bewegen sich die Kurse rasch in die Nähe ihres fundamentalen Wertes. Die Anlage-Strategie der rationalen Anleger wird durch eine hohe Rendite entlohnt. Nimmt man unterdessen an, dass die irrationalen Investoren überbewertete Assets kaufen und Unterbewertete verkaufen, dann müssten die Noise-Trader geringere Gewinne als die Arbitrageure hinnehmen. Dies führt zum Vermögensverlust der irrationalen Investoren, so dass sie langfristig aus dem Markt ausscheiden und damit auch ihren Einfluss auf die Assetpreise verlieren. 1

1.2 Rationale Assetpricingmodelle

Bereits im Kapitel 1.1 wurde gezeigt, dass die MEH nicht für sich alleine testbar ist. Vielmehr muss in einer unsicheren Welt auch das Risiko modelliert werden. Dies kann auf die verschiedensten Weisen geschehen. Beispielsweise könnte man unterstellen, dass der erwartete Ertrag eine lineare Funktion des Risikos ist. Die Eigenschaften des

¹ Vgl. Shleifer (2001), S. 2 ff.

6

Risikos geben die Struktur des stochastischen Diskontfaktors (SDF) ¹ vor. Aus der Summierung der mit dem SDF gewichteten zukünftigen Cash Flows ergibt sich der Marktpreis des Assets. Die grundlegende Assetpricinggleichung lässt sich wie folgt darstellen:

[ ]

= X M E P , (3)

+ 1 , 1 t i t it

P des Assets i zum Zeitpunkt t wobei auf der linken Seite der Gleichung der Preis it

X steht. In der Klammer rechts ist das Produkt aus der zufälligen Auszahlung des

, + 1 t i M gegeben. Aus Assets i zum Zeitpunkt t + 1 mit dem stochastischen Diskontfaktor

+ 1 t

dem Klammerausdruck ist nun der mathematisch bedingte Erwartungswert auf Basis der Informationen in t zu bilden. Unübersehbar sind die Parallelen der Gleichung (3) zu Gleichung (1). 2

Agenten bewerten einen Zahlungsstrom aber nicht anhand seines Preises, sondern vielmehr über seinen Nutzen. Schon Daniel Bernoulli (1954, S. 23 ff.) hielt dieses Prinzip in seinem bekannten Aufsatz „Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis“ fest. Ein Vermögenszuwachs führt immer zu einem größeren Nutzen (positiver Grenznutzen: U’(C)> 0). Der Nutzenzuwachs wird mit zunehmenden Vermögen allerdings immer geringer (abnehmender Grenznutzen: U’’(C)< 0). Bernoulli (S. 25) formulierte seine Idee folgendermaßen: „…any increase in wealth, no matter how insignificant, will always result in an increase in utility which is inversely proportionate to the quantity of goods already possessed”. Unter die Gruppe der Güter fällt alles was zur Bedürfnisbefriedigung dient. Der Konsum dieser Güter wird mit C bezeichnet. Bei abnehmendem Grenznutzen ist der Nutzen aus einer Einheit Vermögenszuwachs immer geringer als der Disnutzen aus einem Verlust in gleicher Höhe. Bernoulli verdeutlichte diese Erkenntnis anhand eines fairen Spiels, mit einer 50-50 Chance zu gewinnen oder zu verlieren, auf welches sich zwei Männer mit je 100 Dukaten einlassen. Jeder der Beiden setzt nun 50 Dukaten, so dass jeder die gleiche Chance darauf hat, mit 50 oder mit 150 Dukaten nach Hause zu gehen. Würde eine rationale Person ein solches Spiel wagen? Zwar beträgt der mathematische Erwartungswert 100 und gleicht damit der Ausgangssumme, da aber der Einbußen von 50 Dukaten des Verlierers zu einem Nutzenverlust führt, der den Nutzengewinn der anderen Seite übersteigt, lässt sich kein ratio-

¹ Der

² Vgl. Campbell (2000), S. 3.

7

naler Mensch für ein solches Spiel begeistern. Ein „fair game“ im mathematischen Sinne ist dem Nutzen nach ein Verliererspiel. Wohlgemerkt stellt das Beispiel eine Vereinfachung dar. Es wurde unterstellt, dass beide Spieler gleich wohlhabend sind. Diese Annahme musste getroffen werden, da der Nutzen eines Gewinns oder Verlusts von der Höhe des Vermögens abhängt. ¹ Agenten, die Verlustspiele im Sinne von Nutzenverlust meiden, nennt man risikoavers. Rationale Asset-Pricing-Modelle setzen grundsätzlich risikoaverse Agenten voraus. ² Wenn ein risikoaverser Agent sich zwischen einem sicheren Geschenk und einem Spiel mit einem entsprechenden Erwartungswert entscheiden müsste, dann würde er immer das Geschenk dem Spiel vorziehen. Allerdings würde er sich ab einem bestimmten Erwartungswert für den Ausgang des Spiels gegen das Geschenk entscheiden. Dieser kritische Erwartungswert wird Sicherheitsäquivalent genannt und ist ein Maß für die Risikoaversion des Agenten. 3

Erst zur Mitte des 20. Jahrhunderts entstand aus Arbeiten von von Neumann, Morgenstern (VNM) und Savage die moderne Erwartungsnutzen - Theorie. Im Wesentlichen fußt die Theorie auf folgenden vier Annahmen. Aufhebung: Da nur ein Zustand aktuell realisiert werden kann, müssen die Ausgänge der Optionen in jedem Zustand separat bewertet werden. Daher sollte die Wahl zwischen Optionen nur von Zuständen mit verschiedenen Ausgängen abhängen. Transitivität: Es muss möglich sein jeder Option einen Wert zuzuweisen, der unabhängig von den anderen Optionen ist. Dominanz: Ist eine Option in einem Zustand besser als eine andere und in allen anderen Zuständen mindestens genauso gut, dann sollte die dominante Option gewählt werden. Invarianz: Die unterschiedliche Präsentation des gleichen Entscheidungsproblems sollte zu der gleichen Präferenz führen. ⁴ Während die Nutzentheorie von Bernoulli noch davon ausgeht, dass jedes Individuum ganz unabhängig von dem was die anderen tun könnten seine Entscheidung trifft, baut der VNM-Nutzen auf spieltheoretische Überlegungen auf. Nach VNM liegt die wahre Quelle von Unsicherheit in den Absichten der anderen. Die Optimalitätsbedingung für die Nutzenfunktion ist durch eine Eulergleichung gegeben. Angenommen der Agent k hat die zeitseparierbare Nutzenfunktion

¹ Vgl. Bernoulli (1738), S. 29.

² Rationale Asset-Pricing-Modelle unterstellen zudem, dass Agenten gegenüber kleinen Risiken

neutral eingestellt sind.

³ Vgl. Bernstein (1998), S. 113.

⁴ Vgl. von Neumann und Morgenstern (1944), Savage (1954), Luce und Krantz (1971), Arrow

(1982). Zitiert bei: Tversky und Kahneman (1986).

8

( ) ( ) δ + C U C U und es ist ihm zudem möglich das Asset i frei zu handeln, so ist die

, + 1 t kt Bedingung erster Ordnung

[ ] ( ) ( ) δ = ' X C U E P C U , (4)

+ 1 , 1 , t i t k t it kt

wobei δ der Diskontierungsfaktor ist. In einem optimalen Plan müssen die Grenz- einer heute gekauften zusätzlichen Einheit des Assets i (linke Seite), dem erwarteten Grenzgewinn der zusätzlichen morgigen Auszahlung (rechte Seite) gleichen. 1

1.3 Stochastischer Diskontfaktor

Der große Vorteil des SDF liegt in seiner universalen Einsatzfähigkeit. Er kann zu Analysen von linearen und nicht-linearen Assetpricingmodellen, wie auch für Pricingmodelle von Derivaten eingesetzt werden. Jagannathan und Wang (2002) verglichen die klassische Beta-Methode mit der SDF-Methode. Sie zeigten anhand einer Monte Carlo Simulation, dass die Universalität der SDF-Methode nicht durch einen Effizienzverlust oder eine geringere Trennschärfe bei der Schätzung der Risikoprämie (= überschüssige Rendite der risikobehafteten Anlage zur risikolosen Anlage) erkauft wird. Bei linearen Faktormodellen sind die Beta- und SDF-Methode asymptotisch gleich präzise. Damit ist die allgemeine SDF-Methode der Beta-Methode vorzuziehen. Dadurch widerlegten sie die Arbeit von Kan und Zhou (1999) welche hervorgehoben hatten, dass die SDF-Methode unzuverlässig sei und Spezifikationstests eine zu geringe Trennschärfe hätten, um Fehlspezifikationen des Modells aufzuspüren. Nach Jagannathan und Wang (2002) machten Kan und Zhou (1999) den Fehler anzunehmen, dass die Parameter der Risikoprämien in beiden Methoden identisch sind. Tatsächlich unterscheiden sich diese erheblich und machen somit einen direkten Vergleich unzulässig.

Für den SDF gilt

( ) ( )

+ = δ ' / ' C U C U M , (5)

+ 1 , 1 kt k t

und damit lässt sich durch das Einsetzen von (5) in (3), Gleichung (4) erklären. Nach M (morgen), durch das Verhältnis aus dem diskontierten Grenznutz(5) ist der SDF

+ 1 t

en (morgen) zum Grenznutzen (heute) determiniert. Anders gesagt gibt er an auf wie C man zu verzichten bereit ist, wenn der zukünftige Konsum viel aktuellen Konsum t

¹ Vgl. Campbell (2000), S.3.

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C um eine Einheit steigt. Daher ist der SDF als intertemporale Grenzrate der Sub- + 1 t

stitution interpretierbar. ¹ In einem einperiodigen Modell, wie zum Beispiel dem Capital-Asset-Pricing-Modell (CAPM), wird der Agent unmittelbar die gesamten Auszahlungen des Assets zum Zeitpunkt t+1 verkonsumieren. Ist außerdem die Nutzenfunktion U M ' U linear, dann hängt der SDF quadratisch und damit der Grenznutzen im

+ 1 t

CAPM-Gleichgewicht linear vom Ergebnis des Marktporfolios ab. ² Das CAPM wird in Kapitel 1.3.1 genauer vorstellen. Sollte der Markt vollständig sein (Individuen haben die Möglichkeit sich gegen jeden denkbaren Verlust abzusichern), so gibt es nur einen einzigen möglichen SDF. 3

Der auf Basis der Information in t bedingte Erwartungswert des SDF ist gleich dem realen Preis eines kurzfristigen, risikolosen Assets. Der Zusammenhang wird von der folgenden Gleichung gezeigt: 1

= P M E . (6)

+ 1 ft + 1 R

+ 1 , t f t M E Plant das Individuum eine hohe Dringlichkeit von Konsum morgen ( ist groß),

+ 1 t

einhergehen. ⁴ Die erwartete R muss dies mit einem niedrigen risikolosen Realzins

, + 1 t f

Renditedifferenz aus dem Asset i zur risikolosen Anlage f (Risikoprämie) ist durch das Negative der Kovarianz des SDF mit der Risikoprämie (Risikomaß) im Verhältnis zum erwarteten SDF (Preis eines risikolosen Assets) determiniert. Sie genügt damit der Gleichung

( )

− , R M COV ( )

+ 1 , 1 , 1 t f t i t = − R E . (7)

+ 1 , 1 , t f t i t M E

+ 1 t

Bereits (5) zeigte, dass je schlechter der Umweltzustand morgen im Vergleich zu heute ist - das heißt, je höher der Nutzengewinn durch eine infinitesimal kleine zusätzliche Einheit an Konsum C in t+1 im Verhältnis zum Zeitpunkt t ist - desto größer ist der M . Aus (6) folgt dann direkt ein höherer Preis der risikolosen Anlage, oder SDF

+ 1 t R gleichbedeutend eine niedrigere risikolose Rendite . Geht diese Entwicklung

, + 1 t f

¹ Vgl. Campbell (2000), S. 3.

² Vgl. Campbell (2000), S. 27.

³ Vgl. Cochrane (1991), Mace (1991).

⁴ In t ist nur der Nominalzins bekannt. Da die Inflationsraten der Industrienationen ist in der

Regel niedrig sind, bleiben die Auswirkungen der fehlenden Inflationsberücksichtigung gering.

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gleichzeitig mit einem Sinken der Überschussrendite der risikoreichen Anlage einher, führt dies zu einem negativen Kovarianz-Term (siehe (7)). Mit dem vorangestellten Minus multipliziert, wird der Zähler positiv. Teilt man diesen noch durch den Preis der risikolosen Anlage, dann ergibt sich eine hohe Risikoprämie. Die im Gleichgewicht hohe Risikoprämie muss den Investor dafür entschädigen, dass das risikoreiche Asset in einer Situation, in der ein Vermögenszuwachs einen hohen Grenznutzen hat, nur niedrig rentiert. 1

1.3.1 Faktorstruktur des SDF in einperiodigen Modellen

Die Struktur des SDF ist durch ein bestimmtes Assetpricingmodell determiniert. Das Modell trifft gewisse Annahmen über den Zusammenhang von Risiken mit dem Ertrag. Man kann die Risiken sehr unterschiedlich definieren. Viele einperiodige Methoden wie beispielsweise das CAPM, erklären die erwartete Überschussrendite eines Assets durch dessen Kovarianz mit den Renditen anderer Assets. Zwar kann dadurch vielleicht die Schwankung der Risikoprämie beschrieben werden, aber eine fundierte Erklärung für die Variation wird nicht gegeben. In einperiodigen Modellen lassen sich die Renditen sehr einfach durch die Basisgleichung (3) beschreiben.

Die Grundlage für das CAPM bildet die Portfoliotheorie. Diese von Markowitz in den 50er Jahren entwickelte Theorie setzt risikoaverse Investoren und normalverteilte Renditen voraus. Die Anleger treffen ihre Investitionsentscheidungen nur anhand von Erwartungswert µ und Varianz ² σ der Portfoliorendite. Ziel ist die Bestimmung eines

σ µ − σ µ − ^{2 2} effizienten Portfolios. Ein effizientes Portfolio e muss entweder bei ge- µ dieVarianz der Portfoliorendite ² σ minimieren gebener erwarteter Portfoliorendite e

e

oder bei gegebener Varianz die Portfoliorendite maximieren. Der Investor trifft seine Entscheidung für eine Periode. ² Das Risiko des Portfolios e kann durch seine Varianz ∑ ∑ ∑ ∑ ≠ σ ρ σ + = i ² x (8)

j ij i e i e ^, i i j i

σ ergibt sich nach (8) aus der Summe der mit den gemessen werden. Die Varianz 2

e

x (mit ∑ = σ x 1) gewichteten Kovarianzen Portfolioanteilen i zwischen den

i i e i,

Renditen der Assets i (für i = 1, 2,…, n) und der Rendite des Portfolios e. Das heißt, je

¹ Vgl. Campbell (2000), S. 5 f.

² Vgl. Fama (2003), S. 2.

11

unkorrelierter die Assetrenditen mit der Portfoliorendite sind, desto niedriger ist das Portfoliorisiko und je mehr Assets das Portfolio umfasst, desto größer wird der Einfluss

ρ σ ) zwischen den Wertpapierrenditen von i und j, währder Kovarianzen (= ij

j ij

ρ ist der Korrelationskoeffizient der Wertend der Einfluss der Einzelvarianzen sinkt. ij

papierrenditen i und j. ¹ Das bedeutet, dass letztlich das unsystematische Risiko komplett durch Diversifikation eliminierbar ist. Neu ist das Diversifikationsprinzip nicht, denn bereits Bernoulli (1954, S. 30) schrieb „This is the rule that it is advisable to divide goods which are exposed to some danger in several portions rather than to risk them all together“. Nach konservativen Schätzungen sollte ein optimal diversifiziertes Portfolio mindestens unter 120 Aktien aufgeteilt sein. ² Die praktische Anwendung der σ µ − ² Portfoliotheorie in Form der Bestimmung des effizienten Portfolios ist allerdings σ µ − ² äußerst komplex. Will ein Analystenteam eine Analyse für 200 Wertpapiere

durchführen, so benötigt es neben 200 erwarteten Renditen und 200 Varianzen auch noch 19900 Kovarianzen. Der Schätzaufwand der Kovarianzen würde jedoch in keinem Verhältnis zum erwarteten Nutzen stehen. Es wurde dringend ein Modell für die Kovarianz-Struktur benötigt. ³ Die Lösung kam durch das Single-Index Modell, das als Risikomaß den Beta-Faktor σ

β = , e i , (9)

ie σ 2

e

einführte. Dieser gibt das Kovarianzrisiko des Assets i im Portfolio e im Verhältnis zum Durchschnitt der Kovarianzrisiken aller Assets (dem Portfoliorisiko) an. Bei gegebenen

Erwartungswerten der Renditen ( )

R E und gegebenen Kovarianzen, stellt der Investor

i

das Portfolio e aus den Assets i zusammen. Er wählt die Portfoliogewichte

( ) der Assets i so aus, damit die Betas ( ) β , = , = N i x i N i ,..., 1 ,..., 1 der Gleichung

ie

[ ] , ( ) ( ) ( ) ( ) β − + = = R E R E R E R E N i ,..., 1 (10)

ie ze ze i

genügen. ( ) ist die erwartete Portfoliorendite und ( )

R E R E ist die erwartete Rendite

e ze

eines Assets dessen Rendite mit der Rendite von e unkorreliert ist. Dadurch entsteht das Portfolio e, welches bei gegebenem erwartetem Portfolioertrag die Portfoliovarianz minimiert. Zusätzlich zu den Markowitz-Annahmen sind für das CAPM weitere Prämis- ¹ Vgl.Rubinstein (2002), S. 1042 f.

² Vgl. Statman (2000), S. 8.

³ Vgl. Fabozzi, Gupta und Markowitz (2002), S. 17 f.

12

sen zu treffen. Vorausgesetzt wird, dass Investoren die gleichen Einschätzungen hinsichtlich der Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen haben (homogene Erwartungen). Der Anleger muss auch die Möglichkeit der jederzeitigen Ordererteilung haben. Hierfür ist ein freier Kapitalmarktzugang nötig. Hinzu kommt, dass die Geldanla- R durchführge wie auch die Geldaufnahme für jedermann zum risikolosen Zinssatz f

bar ist. In Abbildung 1 ist der Zusammenhang zwischen Erwartungswert und Standard-

lios des oberen Asts (ab b) sind effizient. Alle Investoren haben die gleiche Einschätzung zum aus risikobehafteten Assets bestehenden Tangentialportfolio T und kombinieren dieses entweder mit Kreditvergabe zum risikolosen Zins (Punkte oberhalb R ) oder mit Geldaufnahme zum risikolosen Zins (Punkte untervon T auf der Linie f

R ). Das Tangentialportfolio T muss das Marktportfolio M halb von T auf der Linie f

sein. Damit können die Gleichungen (9) und (10) grundsätzlich beibehalten werden. Lediglich der alte Index e muss dem Index für das Marktportfolio M weichen und

( )

R E R zu ersetzen, so dass ist durch die Rendite eines risikolosen Assets f

ze

[ ] , ( ) ( ) β − + = = R E R E N i ,..., 1 (11)

iM f M f i

ist. Nach (11) setzt sich die erwartete Rendite eines risikobehafteten Assets i aus dem R plus der Marktrisikoprämie multipliziert mit dem Betarisiko des risikolosen Zinssatz f

im Marktportfolio M enthaltene Asset i zusammen. Die erwartete Rendite des Assets