Inhaltsübersicht

1.  Einführung und thematische Grundlagen  4

2.  Unbestimmtheit aus Mangel an Information  10

3.  Unbestimmtheit durch Unschärfe  13

4.  Fuzzy Logik  20

5.  Fuzzy Control  27

6.  Fazit  33

Inhaltsverzeichnis

  Abstract  i

  Anmerkungen zu zentralen Termini  ii

1.  Einführung und thematische Grundlagen  4

1.1  Entscheidungstheorie  4

1.2  Spieltheorie  5

1.3  Rationale Entscheidung und Unbestimmtheit  6

1.4  Einführung in das Thema Unschärfe  8

2.  Unbestimmtheit aus Mangel an Information  10

2.1  Informationsmängel und stochastische Modellierung  10

2.2  Bayes-Regel  11

2.3  Bernoulli-Prinzip  12

3.  Unbestimmtheit durch Unschärfe  13

3.1  Quellen der Unschärfe  13

3.2  Unschärfe und fuzzy Modellierung - Grundlagen der Fuzzy Set Theorie  14

3.2.1  Zugang über die klassische Mengenlehre  14

3.2.2  Fuzzy Set Theorie: Die Theorie unscharfer Mengen  15

3.2.3  Beispiel schnelle PKW  17

3.3  Mögliche Funktionsverläufe unscharfer Mengen  18

3.4  Linguistische Variablen (Konzept von ZADEH 1973 )  19

4.  Fuzzy Logik  20

4.1  Konjunktion (Logisches UND)  21

4.2  Disjunktion (Logisches ODER)  23

4.3  Negation (Logisches NICHT)  23

4.4  Struktureigenschaften  24

4.5  Kompensatorische Operatoren  25

4.6  Modifizierer  27

5.  Fuzzy Control  27

5.1  Funktionsweise eines Fuzzy-Reglers  28

5.1.1  Fuzzifizierung  29

5.1.2  Inferenz  30

5.1.3  Defuzzifizierung  32

6.  Fazit  33

  Literaturverzeichnis  iv

Abstract

In the first chapters (1 and 2) the basics of decision and game theory are described including a specification of several forms of uncertainty (in a broad sense). On this fundament the circumstances of using probability and statistics related to uncertain decision making are marked out. Chapter three introduces Fuzzyness in general and especially the theory of fuzzy sets (Fuzzy Set Theory); the intention is to separate the cases of uncertainty from those suffering from fuzzyness. Both stand for inconveniences in the context of decision making (and so in strategic game situations, too). For both problems (uncertainty, fuzzyness) theories are capable of helping to keep decision making rational. The interesting fact is, in the context of decision making the handling of uncertainty is already standardised while the use of Fuzzy Set Theory still seems be something exotic. Despite the fact, that fuzzyness is an obstacle for rational decision making as uncertainty is.

In the second part of this work (including chapters 4 and 5), the most common Fuzzy-Operators are presented and it is described how they work and how they can affect players’ decision-making processes. The main emphasis of our performance is on the disjunction and conjunction of two fuzzy sets. Furthermore a fuzzy model within the frame-work of fuzzy control is described, which can be built and used without mathematical know how - a model getting sharp input values, processes them to fuzzy dimensions and recreates useful sharp output values in the end. Especially, we will try to substantiate with simple examples and uncomplicated illustrations and diagrams.

¹ Bronstein, Ilja N./Semendjajew, Konstantin A. u.a.: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage, Frankfurt a. M.: Verlag Harri Deutsch, 2001. S. 372.

i

Anmerkungen zu zentralen Termini

Dem Begriff Unbestimmtheit wird im Kontext dieser Ausarbeitung die Funktion zugewiesen, als Oberbegriff für Kategorien wie Ungewissheit, Ungenauigkeit und andersartige Informationsmängel und -unschärfen zu fungieren. Entnommen wurde dieser Ausdruck einer Diplomarbeit mit dem Titel „Unscharfe Daten bei risikobehafteten Unternehmensentscheidungen“. ² Da die Vorstellung und ansatzweise Verknüpfung der Bereiche Entscheidungs- bzw. Spieltheorie und Fuzzy Set Theorie einer thematischen Hinführung bedarf, welche über das Grundmodell der Entscheidungstheorie und die (standardmäßige) Modellierung von Ungewissheit hin zur Erfassung der Unschärfe führt, soll eine zweckmäßige Verortung der wichtigsten (und im Anklang verwechselbaren) Begriffe vorangestellt werden.

Unter den Begriff der Unbestimmtheit sind zwei Kategorien zu fassen: Unbestimmtheit aus Mangel an Information und Unbestimmtheit aus (begrifflicher) Unschärfe.

Erstere beinhaltet die Modellierung unterschiedlicher Informations- bzw. Wissensgrade, so dass - auf die Entscheidungstheorie gemünzt - Entscheidungen unter Sicherheit und Unsicherheit unterschieden werden können, wobei sich die Kategorie der Unsicherheit wiederum in Entscheidungen unter Risiko und solche unter Ungewissheit (auch: Unsicherheit i.e.S.) differenzieren lässt.

Die zweite Kategorie der Unbestimmtheit (Unschärfe) bedarf (vorerst) keiner tiefergehenden begrifflichen Strukturierung, da ein erstes Anliegen lediglich darin besteht, die erstgenannten Begriffe der gängigen Modellierung mittels Wahrscheinlichkeitsrechnung zuzuordnen und die Unschärfe davon abzugrenzen. Unbestimmtheit wird synonym für Informationsmängel und Unschärfe verwendet; Informationsmangel, Unsicherheit oder Ungewissheit sind aber niemals als Synonyme für Unschärfe zu verstehen, da sie einer anderen Kategorie der Unbestimmtheit zuzurechnen sind. 3

An dieser Stelle sei noch angemerkt, dass Unschärfe ihrerseits ebenfalls zwei Arten aufweist: Vagheit und Unsicherheit (diese ist nicht mit der informatorischen Unsicherheit zu verwechseln!). ⁴ Im Rahmen dieser Ausarbeitung liegt das Augenmerk auf den Grundlagen

² Comploj, Petra: Unscharfe Daten bei risikobehafteten Unternehmensentscheidungen. Diplomarbeit zum Abschluß des Diplomstudiums der Betriebswirtschaftslehre. Leopold-Franzens-Universität Innsbruck, 2002.

³ Hieraus ergibt sich bspw., dass der Begriff Ungewissheit nicht für Erscheinungen von Unschärfe verwendet wird. Ungewissheit, Unsicherheit u.dgl. sind Begriffe, die dem Bereich der stochastischen Modellierung von Informationsmängeln explizit vorbehalten sind.

⁴ Bronstein/Semendjajew 2001: 372. Das Konzept zur Unschärfe aus Vagheit stellt die Theorie der unscharfen Mengen dar; zur Unschärfe aus Unsicherheit gehört die Theorie der unscharfen Maße.

ii

der Fuzzy Set Theorie und dem Begriff der unscharfen Mengen, welcher zugleich das kor-

respondierende Konzept zur Unschärfe aus Vagheit darstellt.

Zur Unterscheidung verschiedener Unschärfequellen bietet sich die in Abschnitt 3.1 vor-

gestellte Klassifizierung an.

iii

1. EINFÜHRUNG UND THEMATISCHE G RUNDLAGEN

1.1 Entscheidungstheorie

In der Entscheidungstheorie lassen sich zwei Ausrichtungen unterscheiden: Die deskriptive und die präskriptive Entscheidungstheorie. Die deskriptive Entscheidungstheorie (auch empirisch-realistische Entscheidungstheorie) bemüht sich um die Abbildung des tatsächlichen Entscheidungsverhaltens und der entsprechenden Prozesse, wobei die Aufgabe in der Erklärung und Diagnostik di eses Verhaltens und dieser Prozesse zu sehen ist. ⁵ In der präskriptiven Entscheidungstheorie liegt das Ziel in der Erstellung von Verhaltensempfehlungen und Entscheidungsregeln für die Entscheidungsträger. Dies geht damit einher, dass die „zukünftige Wirklichkeit als zumindest teilweise entscheidungsoffen“ 6 , d.h. durch Entscheidungen beeinflussbar, betrachtet wird. „Die präskriptive Entscheidungstheorie will ... verändernd auf reales Entscheidungsverhalten einwirken, um es, gemessen an bestimmten Kriterien, rational zu gestalten“ (BOSCH 1993: 8, Herv. d. Verf.). Diese Aufgabe kann als praktische Gestaltungsaufgabe verstanden werden, wohingegen in der deskriptiven Entscheidungstheorie die theoretische Erklärungsaufgabe im Mittelpunkt steht. Im Rahmen einer entscheidungsorientierten Betriebswirtschaftslehre ⁷ besteht die präskriptive Aufgabe darin, Hilfestellungen für die Lösung ökonomischer Probleme zu entwickeln: „[U]nter Berücksichtigung der Ziele der Unternehmung sollen auf Erklärungsmodellen ... basierende Entscheidungsmodelle entworfen werden, welche im Hinblick auf die Zielvorstellungen zu optimalen Lösungen führen sollen.“ 8 Nach der Erfassung des Entschei dungsproblems ⁹ beschreiben die zu erstellenden Entscheidungsmodelle somit einen strukturierten Entscheidungsprozess, welcher nach den Kriterien für rationales Handeln abläuft und die Konsequenzen bestimmter alternativer Entscheidungen aufzeigt. Im Grundmodell der Entscheidungstheorie „[g]eht man ... vom ursprünglichen Problem aus und faßt ... die Operationen, die zur Erreichung der angestrebten Zielsituation führen

⁵ Vgl. z.B. Wöhe, Günter: Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 20. Auflage, München: Verlag Franz Vahlen, 2000. S. 150ff.

⁶ Bosch, Harald: Entscheidung und Unschärfe. Eine entscheidungstheoretische Analyse der Fuzzy-Set-Theorie. Reihe: Planung, Information und Unternehmensführung, Band 47. Bergisch Gladbach usw.: Verlag Josef Eul, 1993. S. 8.

⁷ Die Betriebswirtschaftslehre ist ein Wissenschaftszweig, der die Entscheidungstheorie als festen Bestandteil integriert hat. Eine nicht weniger stark verbreitet Anwendung findet ebenso im Bereich der Volkswirtschaftslehre statt. Vgl. z.B. Kahle, Egbert: Betriebliche Entscheidungen. München: Oldenbourg,

1998. S. 14f.

⁸ Comploj 2002: 1.

⁹ Probleme existieren nicht per se. Probleme sind im Sinne der Problemtheorie als „Subjekt -Objekt-Beziehungen“ zu verst ehen und im Bewusstsein des Subjekts anzusiedeln; demzufolge unterliegt ein als Problem definierter Zustand primär der subjektiven Wahrnehmung und wird „im Individuum“ erst zum Problem. Im Folgenden soll unter dem Problembegriff eine Abweichung von Ausgangs- und subjektiv angestrebter Zielsituation verstanden werden. Vgl. Bosch 1993: 10-14.

4

können, mit alternativen Entwicklungen der Umwelt sowie den Ergebnissen in Tabellen-form zusammen ...“ (BOSCH 1993: 23). Die sich hieraus ergebende Ergebnismatrix (vgl. Abb.1) führt in den Zeilen die Handlungsalternativen (ai) und in den Spalten die Umweltzustände (zj), welche u.U. mit Eintrittswahrscheinlichkeiten (pj) versehen werden, auf, woraus sich als Elemente der Matrix die Handlungskonsequenzen (eij) ergeben. ¹⁰ Um mit Hilfe von Entscheidungsregeln eine Handlungsalter-

native als Optimum identifizieren zu können, erfolgt eine Zuordnung von Nutzengrößen, welche eine Bewertung der Konsequenzen ermöglicht.

Das komplette entscheidungstheoretische

Grundmodell setzt sich somit aus einer Menge von Handlungsalternativen, einer Menge von Umweltzuständen und einer Ergebnisfunktion zusammen; die Ergebnismatrix muss jedoch „um eine Nutzenfunktion und eine Entscheidungsregel ergänzt“ werden, denn „[e]rst dann ist das Ziel des Modellbildungsprozesses erreicht: (rationale) Entscheidbarkeit“ (BOSCH 1993: 24).

1.2 Spieltheorie

Die Spieltheorie, verstanden als spezielles Teilgebiet der Entscheidungstheorie, befasst sich mit Entscheidungssituationen, in denen die Handlungskonsequenz der Entscheidung nicht mehr nur von einem Entscheider (Spieler) abhängt, sondern gleichermaßen durch die Entscheidung eines oder mehrerer Gegenspieler mitbestimmt wird. „[W]enn die Umweltzustände nicht durch Zufall, sondern durch einen rationalen Gegenspieler bestimmt werden“ 11 , so DÖRSAM, liegt eine Entscheidungssituation vor, in der die Unsicherheit für den Entscheider aus der Existenz jenes Gegenspielers resultiert. Derartige Situationen werden als strategische Entscheidungssituationen bezeichnet und lassen sich anhand spezifischer Charakteristika kennzeichnen ¹² : Jeder Spieler kennt die Regeln des Spiels und ist sich der wechselseitigen Abhängigkeiten bewusst; mögliche Entscheidungen der Gegenspieler werden berücksichtigt; die Spieler verfügen über reine

¹⁰ Beeinflussbare Parameter und wählbare Optionen werden hierbei als Handlungsalternativen, nicht beeinflussbare Faktoren mit Wirkung auf die Konsequenzen als Umweltzustände klassifiziert.

¹¹ Dörsam, Peter: Grundlagen der Entscheidungstheorie. 2. überarb. und erw. Auflage, Heidenau: PD-Verlag,

1998. S. 13. Herv. im Original.

¹² Vgl. Langerfeldt, Michael: Spieltheorie. WISU 12/2001, S. 1619-1621. Insbes. S. 1619.

5