Ein zahlentheoretischer Exkurs: geometrische Zahlen und das pythagoräische Zahlenfeld

6.5.2.  Dreieckezahlen  66

6.5.3.  Fünfeckzahlen  66

6.5.4.  Tetraederzahlen  67

7.  Fibonacci Zahlen  68

7.1.  Kaninchen-Problem  73

7.2.  Treppensteigen  74

7.3.  Phyllotaxis  77

8.  Weitere Beispiele für Geometrische Zahlen  81

8.1.  Anzahlen von Schnittpunkten  81

8.2.  Anzahlen von Flächen  82

8.3.  Gnomon Zahlen  83

8.3.1.  Quadratzahlen  83

8.3.2.  Dreieckszahlen  83

8.3.3.  Fünfeckzahlen  83

8.3.4.  Sechseckzahlen  84

8.4.  Pythagoräische Zahlentripel  84

8.5.  Strahlenzahlen  88

9.  Geometrische Beweise  95

9.1.  Die geometrische vollständige Induktion  95

9.2.  Binomische Formeln  96

9.3.  Der Satz des Pythagoras  100

9.4.  Das Flächenzerlegungs-Paradoxon  102

10.  Schlusswort  105

11.  Literaturverzeichnis  106

11.1.  Abbildungsverzeichnis  109

1. Einleitung

Diese Staatsarbeit ist eine fachwissenschaftliche Erarbeitung des Themas „Ein zahlentheoretischer Exkurs: - Geometrische Zahlen und das Pythagoräische Zahlenfeld -“ Das Thema ist sehr weit gefasst und bietet viel Platz für Interpretationsmöglichkeiten. Daher werde ich an dieser Stelle darauf eingehen, wie ich das gegebene Thema auffasse.

Der Begriff Geometrische Zahlen wird im Rahmen dieser Arbeit die Verknüpfung zwischen Arithmetik bzw. Algebra und der Geometrie darstellen. Der Schwerpunkt meiner Untersuchungen in Bezug auf die Geometrischen Zahlen liegt auf dem Aspekt der Anzahlen. Unter diesem Gesichtspunkt werden in dieser Arbeit die Themen gerade und ungerade Zahlen, Flächen- und Körperzahlen, Fibonacci- Zahlen, Pythagoräische Zahlentripel, Schnittpunkt- und Flächenanzahlen sowie selbst kreierte Zahlen betrachtet.

Um einen Ausblick auf weitere Geometrische Zahlen zu geben, werden in dieser Arbeit auch einzelne geometrische Beweise vorgestellt, die nicht so eng an den Aspekt der Anzahlen gebunden sind.

Das Pythagoräische Zahlenfeld wird zum einen als eigener Untersuchungspunkt vorgestellt, zum anderen werden in ihm Muster bezüglich der Flächen – und Körperzahlen gezeigt. Die weiteren Geometrischen Zahlen treten in diesem Zusammenhang nicht auf, da sie keinerlei Verbindung zum Pythagoräischen Zahlenfeld haben.

Die Arbeit beginnt mit einem kurzen geschichtlichen Überblick über die Zeit der Pythagoräer. In diesem Bereich wird die Mathematikgeschichte vor und teils kurz nach Christi Geburt in Ägypten, Babylon und Griechenland angesehen, da Pythagoras selbst all diese Länder bereiste. Pythagoras und die Pythagoräer sind in dieser Arbeit von Bedeutung, da sie nahezu alle mathematischen Erkenntnisse aus der Geometrie gewonnen haben. Das Vorgehen dieser Arbeit ist demnach ähnlich dem des Pythagoras und der Pythagoräer. Auch die Multiplikationstafeln stammen aus dieser Zeit und fanden den Weg in die Mathematik der Pythagoräer. Somit wird die enge Verbindung dieser Arbeit mit den Ursprüngen der Mathematik deutlich. Die Bezüge zur aktuellen Mathematik werden in dieser Arbeit aber auch nicht vernachlässigt. So wird das momentane Verständnis von Mathematik als

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„Wissenschaft von den Mustern“ ¹ verbunden mit den Erkenntnissen, die bereits die Pythagoräer gewonnen hatten.

Einige Kapitel der vorliegenden Arbeit basieren auf eigenen Beobachtungen und Untersuchungen oder vorher erworbenen Wissen. Erkenntnisse aus verschiedenen Veranstaltungen an der Universität Dortmund sind in die Texte eingeflossen, zu ihnen gehören vorwiegend die Vorlesungen „Zahlentheorie“ aus dem Sommersemester 2003 und dem Sommersemester 2004 bei Herrn Prof. Dr. Müller, sowie das Seminar „Ausgewählte Kapitel der Elementaren Algebra“ aus den Semestern im Sommer 2003 und im Winter 2003/ 2004 von Herrn Prof. Dr. Winzen.

¹ Arithmetik als Prozess: S. 9.

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Das Zahlsystem der alten Ägypter ist ein additives System mit der Basis Zehn. Jede Zehnerpotenz bis 10 ⁶ hat ein eigenes Zeichen.

Abbildung 1

Innerhalb dieses Systems werden Brüche als endliche Summe von Stammbrüchen dargestellt, dies geschieht durch Stammbruchtabellen auf Papyrus Rinde. Das Multiplikationsverfahren der alten Ägypter basiert auf einer Umwandlung in das Dualsystem. Der Multiplikand wird in das Dualsystem übertragen und anschließend wird jeder einzelne Summand mit dem zweiten Faktor multipliziert. Dies wird im folgenden Beispiel erläutert:

13 * 11 = ?

Die Zahl 13 wird in das Dualsystem übertragen und als Summe dargestellt.

13 = 1 + 2 ² + 2 3

Im nächsten Schritt wird die Summe in die gewünschte Multiplikation eingesetzt.

(1 + 2 ² + 2 ³ ) * 11

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Nun wird jeder einzelne Summand mit dem Multiplikator, in diesem Fall die Zahl Elf, multipliziert.

1 * 11 = 11 2 ² * 11 = 44 2 ³ * 11 = 88

Die erhaltenen Produkte werden zum Schluss addiert um das Ergebnis der ursprünglichen Aufgabe zu erhalten.

13 * 11 = 11 + 44 + 88 = 143

Das Divisionsverfahren der Ägypter dieser Zeit lässt sich ebenfalls am günstigsten an einem Beispiel erläutern. Die Gemeinsamkeit zum Multiplikationsverfahren liegt darin, dass auch das Divisionsverfahren das Dualsystem nutzt.

100 / (7 + ½ + ¼ + 1/8) =

Der Divisor wird als festgelegte Größe d betrachtet. Nun wird durch Multiplizieren des Divisors mit den Zweierpotenzen versucht den Dividend zu erhalten.

An dieser Stelle kann man bereits erkennen, dass das Achtfache des Divisors und das Vierfache dieser Zahl zusammen sehr nahe an den Dividenden herankommen (8 + 4) * (7 + ½ + ¼ + 1/8) = 94 + ½, es fehlen demnach weniger als 1 * d bis zum gesuchten Ergebnis, daher muss man nun mit Brüchen weiterprobieren.

Addiert man nun auch dieses Ergebnis, so erhält man (8 + 4 + 2/3) * (7 + ½ + ¼ + 1/8) = 99+ ¾, es fehlen noch immer ¼ von 100 bis zum gesuchten Ergebnis. Anhand

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der vorher erstellten Multiplikationstabelle wird untersucht, wie viel dieses Viertel in Bezug auf unsere Zahl ausmacht. Wir wissen bereits, dass 8 * d = 63 ist, daraus können wir schließen, dass 1/63 * d = 1/8, dementsprechend müssen 2/63 * d gleich ¼ sein. Der Bruch 2/63 wird mit Hilfe einer Tabelle auf Papyrus Rinde in seine Stammbrüche zerlegt.

2/63 = 1/42 + 1/126

Die beiden erhaltenen Summanden werden in die zuvor erstellte Summe integriert, so dass man das Ergebnis der Division erhält.

100 / (7 + ½ + ¼ + 1/8) = 8 + 4 + 2/3 + 1/42 + 1/126 Zur Lösung linearer Gleichungen mit einer Variablen und zur Lösung quadratischer Gleichungen nutzten die alten Ägypter die so genannte „ Hau- Rechnung“. Weiterhin kannten sie zur Lösung von linearen Gleichungen die Methode des einfach falschen Ansatzes, welche nachstehend vorgestellt wird.

Beispiel:

Eine Größe und ihr Viertel ergeben zusammen 15. Die Gleichung wird aufgestellt.

x + x / 4 = 15 Nun wird x durch x 1 ersetzt. x 1 wird so gewählt, dass der Bruch eine ganze Zahl wird, daher bieten sich die Vielfachen des Nenners an, am günstigsten ist es in diesem Fall die Vier zu wählen. x 1 = 4

x 1 + x 1 / 4= 4 + 1 = 5

Setzt man dieses Ergebnis in die Gleichung x = x 1 * c/c 1 ein, wobei c und c 1 für die Ergebnisse der jeweiligen Gleichungen stehen, so erhält man den Wert der Variablen x.

x = 4 * 15 / 5

x = 12

Die Probe zeigt, dass das gefundene Ergebnis korrekt ist.

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12 + ¼ * 12 = 15

Die wichtigsten Aspekte der Arithmetik und Algebra der alten Ägypter sind, dass sie keine Beweise führten, wie wir es heute tun, sondern lediglich Handlungsanweisungen gaben und diese durch Proben, wie oben gezeigt, bestätigten. Weiterhin ist festzuhalten, dass sie lineare Gleichungen lösen konnten und ebenfalls in der Lage waren quadratische Gleichungen zu lösen, solange nur Wurzeln aus Quadraten rationaler Zahlen gezogen werden mussten.

Allgemeine Lösungsverfahren wurden stets anhand von Beispielen entwickelt. 2

2.2. Die mesopotamische (babylonische) Algebra

Die Babylonier nutzten ein Zahlsystem bestehend aus Elementen des Dezimalsystems und des Sexagesimalsystem. Sie verwandten hierfür nicht die uns bekannten Zahlzeichen, sondern die so genannte Keilschrift, welche ihren Namen ihrer Optik verdankt. Es handelt sich hierbei um keilförmige Symbole, die sich durch angeschärfte Griffel ergeben ³ . „ Unter den vielfältigen Vereinigungen, welche aus keilförmigen Eindrücken sich bilden lassen, sind es vornehmlich drei, welche beim Anschreiben ganzer Zahlen benutzt wurden, der Vertikalkeil, der Horizontalkeil , der aus zwei mit den breiten Enden verschmolzenen, der Spitze nach rechts oben und unten neigenden Keilen zusammengesetzte Winkelhaken.“ ⁴ Ersterer steht für die Potenzen von sechzig (1, 60 ¹ , 60 ² ...), der Winkelhaken für das Zehnfache der Sechzigerpotenzen (10, 10*60 ¹ , 10*60 ² ...). Diese Elemente werden nebeneinander gestellt und addiert um den Zahlwert zu erhalten. Der Horizontalkeil bildet zusammen mit dem Vertikalkeil das Zeichen für die Subtraktion. ⁵ Nachstehende Beispiele verdeutlichen das System:

² Das gesamte Kapitel über die ägyptische Mathematik basiert auf: Alten, H.- W.: 4000 Jahre Algebra. S. 12- 19.

³ Alten, H.- W.: 4000 Jahre Algebra. S. 27.

⁴ Cantor, Moritz: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. S. 21.

⁵ Alten, H.- W.: 4000 Jahre Algebra. S. 28.

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Abbildung 2

Abbildung 3

In anderen Quellen findet man die Angabe, dass die Kombination aus Horizontal-und Vertikalkeil als Zeichen für die Hundert diente ⁶ . In diesem Fall geht man davon aus, dass sich das Zahlsystem ab der Zahl Hundert leicht verändert hat. „ ... neben der Juxtapostion der Zahlteile verschiedener Ordnung erscheint plötzlich ein vervielfachendes Verfahren, in dem links vor das Zeichen von hundert die kleinere Zahl gesetzt wird, welche andeutet, wie viele Hunderter gemeint sind.“ 7

Neben der Keilschrift waren die Multiplikationstafeln, wozu auch die Tafeln mit den Quadratzahlen gehören, und die Reziprokentafeln prägnant für die mesopotamische Algebra. Weitere wesentlichen Inhalte waren lineare Gleichungen, die Methoden des einfachen falschen Ansatzes, quadratische Gleichungen, Näherungswerte von —2, kubische Gleichungen, lineare und spezielle nicht lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten sowie die Berechnung von Pythagoräischen Zahlentripeln. Als weitere Besonderheit entwickelten die Babylonier unter der persischen Herrschaft (539 - 330 vor Christus) in einigen mathematischen Texten ein Lückenzeichen für die Null. 8

⁶ Cantor, Moritz: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. S. 22.

⁷ Cantor, Moritz: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. S. 22.

⁸ Alten, H.- W.: 4000 Jahre Algebra. S. 42.

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2.3. Die geometrische Algebra der Griechen

Die Entwicklung der geometrischen Algebra der Griechen lässt sich in vier Perioden unterteilen, auf welche im Folgenden eingegangen werden soll.

Die erste Periode lässt sich ca. auf 600 bis 450 vor Christus datieren. Sie wird Ionische Periode genannt. Der erste ionische Naturphilosoph, Mathematiker und Astronom war Thales von Milet. Er sah das Wasser als Urstoff aller Dinge. Im Bereich der Mathematik ist er bekannt dafür, dass er mit Hilfe von Schatten die Höhe von Pyramiden berechnete. Außerdem stammen zahlreiche Sätze für Winkel ebener Figuren von ihm. Unter seinen Entdeckungen ist wohl der „Satz des Thales“ am bekanntesten.

Ebenfalls in diese Periode sind die Pythagoräer einzuordnen, mit denen wir uns im weiteren Verlauf dieser Arbeit näher beschäftigen werden. Es handelt sich hierbei um eine religiös- philosophisch und politisch ausgerichtete sektenartige Gemeinschaft, welche von Pythagoras aus Samos gegründet wurde.

Die Athenische Periode (450 bis ca. 300 vor Christus) brachte viele noch heute bekannte Mathematiker hervor. Zum Beispiel Zenon von Elea, der sich mit der Teilbarkeit und Nichtteilbarkeit der Dinge beschäftigte und außerdem die Bewegung untersuchte. Die Sophisten (Weisheitslehrer) waren vor allem Redekünstler und Rhetoriker. Sie schulten die Diskussionsfähigkeit. Auf mathematischem Gebiet erforschten sie klassische Dinge wie z.B. die Verdopplung des Würfels, die Dreiteilung des Winkels und die Quadratur des Kreises. Ein weiterer Mathematiker dieser Periode war Hippias von Elias. Er fand zur Dreiteilung des Winkels die später Quatrix genannte Kurve. Auch Platon, ein Schüler Sokrates (469- 399 v. Chr.), ist in die athenische Periode einzuordnen. Er lebte 427- 347 vor Christus, als die kulturelle Blüte Athens bereits im Begriff war unterzugehen. Um 377 vor Christus gründete er eine Akademie zur Lehre der philosophischen und wissenschaftlichen Forschung. Diese wurde jedoch 529 nach Christus von Kaiser Justinian geschlossen. Platon sieht die wirkliche Welt als Ideen, die vernünftig und wirklich sind. Als höchste Idee bezeichnet er die des Guten und Schönen. Die mit den Sinnen wahrnehmbaren Dinge bezeichnete er als unvollständige Abbilder der Ideen. Ein Schüler Platons ist mindestens so bekannt wie Platon selbst, es handelt sich um den Philosophen und Gelehrten Aristoteles (384- 322 vor Christus). Sein Werk „Organon“ war bis in das 19. Jahrhundert die wesentliche Grundlage der Mathematik. Aristoteles wird der

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Irrationalitätsbeweis für ¥2 aufgrund des Widerspruchs von gerade und ungerade zugeschrieben.

Ein mindestens ebenso bekanntes Werk wie „Organon“ sind die „Elemente“ von Euklid. Auch er lebte in der athenischen Periode. Über sein Leben sind kaum gesicherte Daten übermittelt.

In der hellinistischen Periode (ca. 300 vor Christus bis ca. 150 nach Christus) herrschte Alexander der Große, welcher von Aristoteles unterrichtet wurde. Archimedes von Syrakus (ca. 287- 212 vor Christus) lernte bei einem Nachfolger Euklids. Er galt als großer Mathematiker und Physiker und auch als Erfinder. Eratosthenes von Kyrene (ca. 276- 194 vor Christus) war ein Zeitgenosse des Archimedes und galt als Universallehrer. Am bekanntesten ist sein „Sieb des Eratosthenes“, welches zur Aussiebung von Primzahlen dient. Das Hauptwerk von Apollonios von Perge (ca. 260- 190 vor Christus) ist die neuartige, systematische Darlegung der Kegelschnitte, die Conica, seit deren Bekannt werden der Gebrauch der Begriffe „Ellipse, Parabel, Hyperbel“ üblich geworden ist. Deren Entstehung erklärt er als Erster ganz klar dadurch, dass man einen Kegel mit einer Ebene schneidet.

Die letzte Periode ist die Spätantike (ca. 300 - ca. 500 nach Christus). Durch sein Werk „Arithmetika“ löste Diophant (ca. 250 nach Christus) in dieser Periode die Algebra vollständig von der Geometrie. Sein Werk besteht aus 13 Büchern, von denen zehn erhalten geblieben sind.

Das besondere Merkmal der geometrischen Algebra der Griechen ist, dass geometrische, d.h. anschauliche Beziehungen bevorzugt wurden. Dies geschah zum einen aus „ästhetischen“ Gründen , weil nach der griechischen Philosophie Formen eine wichtige Rolle spielten, zum anderen drängte die Entdeckung der irrationalen Zahlen durch die Pythagoräer (nach Pappos) die Griechen in diese Richtung. Ebenso prägnant ist die Gleichungstheorie. Die Griechen beschäftigten sich mit linearen, quadratischen, kubischen und biquadratischen Gleichungen. 9

⁹ Das gesamte Kapitel über die griechische Mathematik basiert auf: Alten, H.- W.: 4000 Jahre

Algebra. S. 46- 62 + S. 102.

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2.3. Pythagoras und die Pythagoräer

Pythagoras von Samos ist einer der bekanntesten Mathematiker. Seine Lebensdaten konnten leider bis heute nicht genau datiert bzw. festgelegt werden. Er wurde um 569 vor Christus oder 580 vor Christus in Tyrus ¹⁰ als Sohn des Mnesarchos ¹¹ geboren. Mit ca. 18 Jahren ging er aus seiner Heimat fort nach Lesbos, wo er zwei Jahre lang von Pherekydes unterrichtet wurde. Ca. 549 v. Chr. zog er weiter nach Milet zu Anaximander und Thales. Um 547 v. Chr. reiste Pythagoras nach Ägypten, wo er von den dortigen Priestern nicht nur in der Mathematik, sondern auch in deren religiösen Lehren unterrichtet wurde. Auf Grund eingetretener politischer Ereignisse kam Pythagoras in etwa 526 v. Chr. als Gefangener nach Babylon, wo er sich die Wissen der Chaldäer aneignete und auch mit Juden, Brahmanen und Kalatiern zusammentraf ¹² . In anderen Quellen findet man die Angabe, dass Pythagoras eine Studienreise nach Babylon unternahm. Auch der Italienaufenthalt des Pythagoras ist zeitlich nicht eindeutig festzulegen, man findet sowohl die Angabe 510 v. Chr. als auch die Angabe 540 v. Chr. ¹³ . Ergänzend zu diesen Informationen gibt es die Aussage, Pythagoras sei 523 v. Chr. nach Griechenland gegangen, wo er nach einer anderthalb jährigen Rundreise seine Lehrtätigkeit begann. Folgt man diesem Datenstrang, so siedelte Pythagoras 510 v. Chr. nach Kroton in Unteritalien, wo er in kurzer Zeit einer bekannten Schule zu großem Aufschwung verhalf. Die Zersprengung dieser Schule datiert man ungefähr auf 490 v. Chr., die Umstände unter denen es zur Zersprengung kam, sind relativ eindeutig bekannt. So kam es durch Hippasos, einem aus der Schule als unwürdig Ausgestoßenen, zu einer Anklage, durch welche Pythagoras mittellos verbannt wurde. Er lebte die folgenden 16 Jahre in Tarent. Ca. 474 v. Chr. flüchtete er dann abermals, diesmal fand er sein neues zu Hause in Metapont, ¹⁴ „…wo 471 seine Schule durch die Demokratie umzingelt und in Brand gesetzt wurde. Pythagoras selbst entkam den Flammen, starb aber kurz darauf in seinem 99. Lebensjahr.“ ¹⁵ Die Pythagoräische Schule war sehr eng geschlossen. Stillschweigen über das Geschehen und die Inhalte des Unterrichtes waren absolute Pflicht. Das Wort des Pythagoras war nicht anzuzweifeln, was durch

¹⁰ Cantor, Moritz: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. S. 148 ¹¹ http://www.fonline.de/rs-ebs/geschichte/ges10.htm ¹² Klimpert, Richard: Geschichte der Geometrie. S. 14.

¹³ Cantor, Moritz: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. S. 148- 151.

¹⁴ Klimpert, Richard: Geschichte der Geometrie. S. 14.

¹⁵ Klimpert, Richard: Geschichte der Geometrie. S. 14.

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die Aussage verdeutlicht wird „ ER, der Meister, hat es gesagt“, welche keinen Widerspruch duldete. So kam es erstens dazu, dass man nicht eindeutig sagen kann, welche Erkenntnisse von Pythagoras selbst und welche von seinen Schülern stammen ¹⁶ . Zweitens gibt es vermutlich dadurch die Annahme, die Pythagoräische Schule sei eine Sekte. ¹⁷ Die Pythagoräer, d.h. die Schüler Pythagoras´, beschäftigten sich unter anderem mit der Mathematik. Sie unterteilten die Mathematik nach den Fragestellungen wie groß oder wie viel. In diesen beiden Kategorien unterschieden sie weiterhin in Geometrie und Sphärik bzw. Arithmetik und Musik. ¹⁸ Die Pythagoräer liebten es, ihr Augenmerk auf Gegensätze zu lenken. So hatten sie folgende zehn Grundgegensätze:

1. Grenze und Unbegrenztes

2. Ungerades und Gerades

3. Eines und Vieles

4. Rechtes und Linkes

5. Männliches und Weibliches

6. Ruhendes und Bewegtes

7. Gerades und Krummes

8. Licht und Finsternis

9. Gutes und Böses 10. Quadrat und Heteromekie ¹⁹ Weiterhin neigten sie zur „geometrischen Versinnlichung von Zahlgrößen und deren Verknüpfungen“ ²⁰ , was , wie wir bereits im Kapitel über die Griechische Mathematik erfahren haben, nicht nur für die Pythagoräer, sondern für die Griechen im Allgemeinen typisch war.

¹⁶ Cantor, Moritz: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. S. 152. ¹⁷ Alten, H.- W.: 4000 Jahre Algebra. S. 51.

¹⁸ Cantor, Moritz: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. S. 156. ¹⁹ Cantor, Moritz: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. S. 160. ²⁰ Cantor, Moritz: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. S. 163.

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3. Gerade und ungerade Zahlen

Im historischen Überblick haben wir die zehn Grundgegensätze der Pythagoräer kennen gelernt. An dieser Stelle möchte ich auf einen dieser Gegensätze genauer eingehen, daher werde ich im Folgenden das Phänomen der geraden und ungeraden Zahlen betrachten.

Da man diese Zahlen als eine gewisse Anzahl von Punkten oder Plättchen darstellen kann, können wir die geraden und ungeraden Zahlen auch als Geometrische Zahlen definieren. Ihre Umsetzung als Punktmuster bietet vielfältige Möglichkeiten um weitere arithmetische Zusammenhänge zu zeigen wie z.B. die Addition oder Subtraktion zweier oder mehrerer Zahlen. Hieraus lassen sich zahlreiche didaktische Entwürfe für die Primarstufe ableiten. Bereits die Pythagoräer haben anhand der geraden und ungeraden Zahlen vieles entdecken können.

Der Duden definiert gerade Zahlen als diejenigen Zahlen, welche durch zwei teilbar sind, die ungeraden Zahlen hingegen sind eben die, welche diese Eigenschaft nicht haben. ²¹ Da wir von den Pythagoräern wissen, dass sie sich vor allem geometrisch an solcherlei Probleme herangetastet haben, wollen wir es ihnen nun gleich tun und diese bedeutsame Eigenschaft an einigen Skizzen untersuchen. Eine gerade Zahl können wir als beliebig lange Doppelreihe von Punkten darstellen. Bei einer ungeraden Zahl ergibt sich hingegen eine solche Reihe, bei der aber ein Punkt übrig bleibt und allein angehängt werden muss:

. . ......... . . .........

. . ......... . . ..........

Warum kann man sich nun sicher sein, dass die erste Zweierpunktreihe wirklich eine gerade Zahl ist? Wir haben zu Beginn definiert, dass eine gerade Zahl durch Zwei teilbar ist, daher wollen wir nun schauen, ob wir diese Teilbarkeit in unserer Skizze nachweisen können. Hierfür gibt es zwei deutliche Einteilungsmöglichkeiten. Für die erste Methode ist grundlegend, dass wir eine Doppelreihe gebildet haben mit gleich vielen Punkten in der obigen wie in der unteren Zeile. Dies kann man verdeutlichen, indem man die beiden Zeilen durch einen Trennungsstrich abgrenzt und so zwei gleiche Teile erhält:

. . .........

. . .........

²¹ Schüler Duden Mathematik 1: S. 502.

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Die zweite Methode lässt sich am besten durch „Paare bilden“ erklären. Man nimmt jeweils einen Punkt der oberen Zeile und den darunter liegenden Punkt der anderen Zeile als Paar zusammen, auch diese verdeutlicht man am günstigsten durch Trennungslinien:

. . .........

. . ......... Da ein Paar immer aus zwei Punkten besteht, muss die Zahl immer genau dann durch Zwei teilbar sein, wenn kein Punkt übrig bleibt. Dies ist hier der Fall. Unser Beweis hat sich bisher aber nur mit einer konkreten Zahl befasst, nämlich 22. Kann man nun auch allgemein zeigen, dass eine Zweierreihe immer eine gerade Zahl definiert? Ja, man muss hierfür lediglich den Grad der Abstraktion erhöhen: …. ….

n

n

Diese Zeichnung können wir als allgemeingültig anerkennen. An ihr lässt sich vor allem anhand des ersten Verfahrens eindeutig zeigen, dass wir es mit einer geraden Zahl zu tun haben müssen. Durch Ergänzen eines Punktes in einer Zeile erhalten wir eine ungerade Zahl, da unsere Aufteilungsversuche in Zweiergruppen immer einen Rest von Eins lassen werden. Ergänzen wir hingegen zwei Punkte, so lässt die Zahl bei Division durch Zwei erneut den Rest Null. Verfolgt man diese Reihe weiter, so ergibt sich die Vermutung, dass man immer zu einer neuen geraden Zahl kommt, wenn man mit einem Vielfachen von Zwei ergänzt. Ein Vielfaches von Zwei ist nun aber wiederum eine gerade Zahl. Daraus können wir folgern, dass sich als Summe zweier gerader Zahlen erneut eine gerade Zahl ergibt. Dies kann man auch geometrisch gut nachvollziehen, denn reiht man zwei Doppelreihen ohne Rest hintereinander, so erhält man erneut eine Doppelreihe ohne Rest: . . ......... . . .........

. . ......... . . .........

. . ......... . . ......... . . .........

. . .........

Dies lässt sich aber nicht nur geometrisch beweisen, sondern auch algebraisch. Wir leiten aus der geometrischen Darstellung die arithmetische Schreibweise 2a für eine gerade Zahl ab, wobei a für die Anzahl der Punkte in einer der Zeilen aus den Doppelreihen steht. Bezeichnen wir die zweite gerade Zahl mit 2b und addieren die beiden, so erhalten wir 2*(a + b). Der Faktor Zwei zeigt deutlich an, dass das Ergebnis erneut durch zwei teilbar ist. Das gilt, egal wie viele gerade Zahlen wir

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miteinander addieren. Addiert man eine ungerade Zahl zu einer geraden, so erhält man eine ungerade Zahl:

. . ......... . . ......... . . .........

. . ..........

. . ......... . . ......... . . .........

. . ..........

Wird nun erneut eine ungerade Zahl addiert, so erhält man eine gerade Zahl, da die beiden zusätzlichen Punkte sich zu einem Paar ergänzen.

. . ......... . . ......... . . ......... . . .......... . . .........

. . ..........

. . ......... . . ......... . . ......... . . ......... . . ......... . . ......... . .

Betrachtet man den Vorgang genau, so erkennt man, dass wir nun zwei ungerade Zahlen miteinander addiert haben und eine gerade Zahl erhalten haben. Dieses System kann man weiterführen, so dass man folgende Auflistung erhält:

Neben diesen elementaren Zusammenhängen kann man über die geraden und ungeraden Zahlen aber noch eine Reihe weiterer Entdeckungen machen. Addiert man z. B. die ungeraden Zahlen, so erhält man die Reihe der Quadratzahlen. Näheres hierzu folgt im nächsten Kapitel. Addiert man hingegen alle aufeinanderfolgenden Zahlen, so bekommt man als Ergebnis die Dreieckszahlen, welche ebenfalls im nächsten Kapitel erläutert werden. 22

²² Anregungen bezüglich des Inhalts und des Aufbaus wurden folgendem Buch entnommen: Saweyer,

W. W.: Vision in Elementary Mathematics. S. 8- 19.

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4. Flächen- und Körperzahlen Die Flächen- und Körperzahlen sind diejenigen Zahlen, an welche man als erstes denkt, wenn man den Begriff Geometrische Zahlen hört. Sie waren bereits den Pythagoräern bekannt ²³ und bieten auch heute noch zahlreiche Möglichkeiten zur Erforschung. Sie verdanken ihren jeweiligen Namen der regelmäßigen geometrischen Figur, welche sie verkörpern, daher werden sie auch figurierte Zahlen genannt. Die Flächen- und Körperzahlen stellen dadurch eine besonders intensive Verbindung zwischen Arithmetik und Geometrie dar.

4.1. Quadratzahlen

Die Quadratzahlen sind wohl die bekanntesten und damit die vertrautesten Flächenzahlen. Ihre Berechnungsformel Q n = n² zeigt den direkten Zusammenhang zur geometrischen Figur des Quadrates, da sie der Flächenberechnungsformel A = a² dieser Figur entspricht. Betrachtet man die Differenz der jeweils benachbarten Quadratzahlen, so entdeckt man eine weitere Eigenschaft dieses Zahltyps.

Es ergibt sich, dass die n-te Quadratzahl aus der Summe der ersten n ungerade Zahlen besteht.

1 + 3 + 5 + ...+ (2n-1)=n²

Beweis durch vollständige Induktion

Annahme:

A (n):

Induktionsanfang:

A (1) ist wahr 1 ² = 1 ²³ Cantor, Moritz: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. S. 163.

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Induktionsvoraussetzung: A (n) sei für ein n  1 wahr.

Induktionsbehauptung:

Dann ist auch A (n + 1) wahr Induktionsschluss :

Diese Eigenschaft lässt sich auch geometrisch sehr gut nachvollziehen. Unterteilt man das jeweilige Quadrat in Winkelhaken, so sieht man, dass aufeinanderfolgende Winkelhaken jeweils die nächste ungerade Zahl darstellen.

1 3 5 7 9 11 13 15 17

Im Umkehrschluss lässt sich somit jede ungerade Zahl als Differenz zweier Quadratzahlen darstellen.

m = a ² – b ² mit ungeradem m, also m = 2n + 1 und a als Nachfolger von b: (n + 1) ² - n ² = m

(n + 1) ² - n ² = 2n + 1 (n + 1) ² = 2n + 1 + n ² n ² + 2n + 1 = n ² + 2n + 1 q. e. d In unserem Beweis gehen wir davon aus, dass a und b benachbart sind. Solch eine Differenz lässt sich für jede ungerade Zahl finden, jedoch gibt es nicht nur diese eine, sondern mehrere Möglichkeiten eine ungerade Zahl als Differenz zweier Quadratzahlen darzustellen.

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z.B.:

Lediglich für Primzahlen ist nur eine Differenz möglich, da m= a ² – b ² = (a + b) * (a – b) und nur Primzahlen eine eindeutige Zerlegung haben.

Auch gerade Zahlen lassen sich als Differenz zweier Quadratzahlen umsetzen. Dies gilt jedoch nur für gerade Zahlen, welche auch durch vier teilbar sind.

Beweis:

a ² – b ² = (a + b) * (a - b) a ² – b ² soll gerade sein => 2 / (a ² – b ² ). Da Zwei a ² – b ² teilen soll muss mindestens einer der Faktoren (a + b) und (a – b) gerade sein => 2 / (a + b) › 2 / (a – b). Es gilt jedoch die Regel, ist a + b gerade, dann ist auch a – b gerade. => 2 / (a + b) š 2 / (a – b) => 2x = a + b š 2y = a – b a ² – b ² = 2x * 2y a ² – b ² = 4xy => 4 / (a ² – b ² )

Die Winkelhaken, welche zur Darstellung der geraden und ungeraden Zahlen genutzt werden, nennt man auch Gnomone. Die Bedeutung des Wortes Gnomon hat sich im Laufe der Zeit mehrfach gewandelt. Im ursprünglichsten Sinne war ein Gnomon eine Art “Sonnenuhr“. Gnomon bedeutete Erkenner der Zeit oder Schattenwerfer. Es handelte sich um einen senkrechten, im Boden fixierten Stab, an dessen Schattenstand man die Zeit ablesen konnte. Daraus entstand die Generalisierung des Wortes Gnomon, als Synonym für das Wort Senkrechte (nach dem Gnomon gerichtete Linie). Später entsprach ein Gnomon einem „mechanisch herzustellenden rechten Winkel“. Um ihn herzustellen entfernte man aus einem Quadrat ein kleines Quadrat. Um 300 v. Chr. definiert Euklid ein Gnomon als jedes in einem Parallelogramm um die Diagonale herumliegendes Parallelogramm zusammen mit den beiden Ergänzungen.

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Die aktuellste Definition stammt von Heron von Alexandria: „Alles was zu einer Zahl oder Figur hinzugefügt, das Ganze dem ähnlich macht, zu welchem hinzugefügt worden war, heißt Gnomon.“ Aus letzterer Definition und der Definition über den rechten Winkel erklärt sich auch, wieso eine ungerade Zahl ebenfalls Gnomon genannt werden kann. Die Winkelhaken, welche von einer Quadratzahl zur nächsten führen, entsprechen genau diesem Schema und stellen die ungeraden Zahlen dar. 24

4.2. Quadratische Pyramidalzahlen

Schichtet man die ersten n Quadratzahlen übereinander, so erhält man die n-te quadratische Pyramidalzahl

Abbildung 4

Die daraus abgeleitete Berechnungsformel lässt sich wie folgt zusammenfassen:

Pyr n = 1/6 * n * (n + 1) * (n + 1)

Diese wird nun durch verschiedene Herangehensweisen verdeutlicht.

1)

²⁴ Cantor, Moritz: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. S. 161.

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Nehmen wir an, dass die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen (Ÿsiehe Kapitel Dreieckszahlen) ein Quadrat ist D n – 1 + D n = n², so kann man daraus schließen, dass die Summe aufeinanderfolgender Tetraederzahlen (Ÿ siehe Kapitel Tetraederzahlen) eine quadratische Pyramidalzahl ist.

Vermutung:

Tet n-1 + Tet n = Pyr n

Tet n-1 = 1/6 * (n - 1) * n * (n + 1)

Tet n = 1/6 * n * (n + 1) * (n + 2) 1/6 * (n - 1) * n * (n + 1) + 1/6 * n * (n + 1) * (n + 2) = Pyr ⁿ 1/6 * n * [(n - 1) * (n + 1) + (n + 1) * (n + 2)] = Pyr ⁿ 1/6 * n * (n² - 1 + n² + 2n + n + 2) = Pyr ⁿ 1/6 * n * (2n² + 3n + 1) = Pyr ⁿ 1/6 * n * [(n + 1) * (2n + 1)] = Pyr ⁿ 1/6 * n * (n + 1) * (2n + 1) = Pyr n q. e. d.

2)

Für einen praxisorientierten Beweis benötigen wir Bausteine, mit denen wir die Pyramidalzahl dreimal darstellen können. Wir beziehen uns in unserem Beispiel auf Pyr 5. Es bietet sich daher an 15 quadratische Steine (je zwei der Form 5 ² , 4 ² , 3 ² und 2 ² , außerdem elf der Form 1 ² ) und 16 rechteckige Steine (sieben der Form 1 * 2, fünf der Form 1 * 3, drei der Form 1 * 4 und einen der Form 1 * 5) zu benutzen. Zusätzlich benötigen wir eine rechteckige Schachtel der Größe (2n + 1) * D n, in unserem Beispiel wäre die Schachtel demnach 11*15 Flächeneinheiten groß. Wir wollen zeigen, dass in eine Schachtel der oben beschriebenen Form dreimal die n-te quadratische Pyramidalzahl passt, so dass wir zu ihrer Berechung die

Formel Schichten zweier der drei quadratischen Pyramidalzahlen in die Schachtel, der Zwischenraum lässt sich mit den restlichen Bausteinen ohne Rest ausfüllen. In nachstehender Zeichnung wird dies verdeutlicht.

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Die Oktaederzahl entspricht zwei aneinander gebauten quadratischen Pyramidalzahlen, wobei es sich um zwei aufeinanderfolgende Pyramidalzahlen handelt:

Algebraisch formuliert heißt das:

Okt n = Pyr n – 1 + Pyr n

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