Der Chi-Quadrat-Test

von Tanja Muenzebrock

Der Χ²- Test hat mehrere Ansätze und Verwendungsmöglichkeiten. Auf einige dieser Möglichkeiten und die ihm zugrundeliegenden Voraussetzungen möchte ich im folgenden näher eingehen.

Χ²- Techniken gehören von der Durchführung her zu den einfachsten Verfahren der Elementarstatistik, wenngleich der mathematische Hintergrund dieser Verfahren komplex ist. Mit Hilfe der Χ²- Verfahren werden die Wahrscheinlichkeiten multinominalverteilter Ereignisse geschätzt, wobei die Schätzungen erst bei unendlich großen Stichproben mit den exakten Wahrscheinlichkeiten der Multinominalverteilung übereinstimmen. Man sollte deshalb beachten, dass für die Durchführung eines Χ²- Tests die folgenden Voraussetzungen erfüllt sind.

1. Die einzelnen Beobachtungen müssen voneinander unabhängig sein.
2. Die Merkmalskategorien müssen so geartet sein, dass jede Beobachtungseinheit eindeutig einer Merkmalskategorie oder einer Kombination von Merkmalskategorien zugeordnet werden kann.
3. Bezüglich der Größe der erwarteten Häufigkeiten erweisen sich die Χ²- Techniken als relativ robust.

Dessen ungeachtet ist- zumal bei asymmetrischen Randverteilungen- darauf zu achten, dass der Anteil der erwarteten Häufigkeiten, die kleiner als 5 sind, 20 % nicht überschreitet. 

Alle Χ²- Methoden laufen also auf einen Vergleich von beobachteten und erwarteten Häufigkeiten hinaus, wobei die erwarteten Häufigkeiten die jeweils geprüfte Nullhypothese repräsentieren.

Dem Test zugrunde liegt die Χ²- Verteilung welche sich ergibt, wenn man Zufallswerte aus einer z- Verteilung quadriert. Addiert man nun diese m voneinander unabhängigen z- Werte, so erhält man eine Χ²- Verteilung mit m Freiheitsgraden(df:= degrees of freedom). Form und Lage der Verteilung hängen dabei ausschließlich von der Zahl der Freiheitsgrade ab.

Mit größer werdender Zahl der Freiheitsgrade nähert sich die Χ²- Verteilung immer mehr einer Normalverteilung.

Die Werte für diese Verteilung lassen sich mit folgender Formel berechnen.

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