Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis   2

1.  Einleitung  3

2.  Ein deterministisches Losgrößenmodell mit diskreter Nachfrage  3

3.  Ein stochastisches Losgrößenmodell mit diskreter Nachfrage (a)  8

4.  Ein stochastisches Losgrößenmodell mit diskreter Nachfrage (b)  12

Quellenverzeichnis   15

1. Einleitung

In der Praxis sind oftmals diskrete Verläufe von Lagerabgängen zu beobachten, so daß untersucht werden muß, welche Hilfsmittel für die Lösung von Lagerhaltungsmodellen zur Verfügung stehen, in denen dieser Aspekt berücksichtigt ist.

Demzufolge muß man sich mit den sogenannten Entscheidungsbaumverfahren befassen, die für Optimierungen in diskreten Modellstrukturen besonders geeignet sind. Von diesen wähle ich die Dynamische Programmierung, die Roll - Back - Analyse sowie eine spezielle Form der begrenzten Enumeration aus und zeige ihre Verwendungsmöglichkeit anhand numerischer Beispiele, beginnend mit einem Anwendungsbeispiel der Dynamischen Programmierung.

2. Ein deterministisches Losgrößenmodell mit diskreter Nachfrage

In dem folgenden konstruierten Beispiel sollen innerhalb eines n = 4 Teilperioden umfassenden Planungszeitraums die folgenden diskreten Nachfragen N i (i = 1, 2,..., 4) nach einem Produkt auftreten:

Für die Länge einer Teilperiode legt man eine Zeiteinheit [ZE] fest, und als Lagerkostensatz soll dann gelten: c L = 0,1 [GE / (ME * ZE)]. Der Beschaffungskostensatz möge c B = 20 GE je Beschaffung betragen und Fehlmengen seien nicht zugelassen. Unter den weiteren Voraussetzungen, daß

⇒ eine Auffüllung des Lagers nur zu Beginn einer Teilperiode erfolgt, ⇒ diese Auffüllung momentan durchgeführt werden kann (p → 4),

⇒ der Lagerabgang zur Befriedigung der Nachfrage ebenfalls zu Beginn einer Teilperiode, jedoch unmittelbar nach einer eventuellen Auffüllung des Lagers auftritt, ⇒ keine Lieferzeiten zu berücksichtigen sind und

⇒ vor der ersten sowie nach der letzten Teilperiode der Lagerbestand Null ist, ist zu entscheiden, in welchen Teilperioden i welche Mengen q i dem Lager zuzuführen sind, damit die Gesamtkosten des Lagerhaltungssystems minimal werden. Man kann auch sagen, daß man hier die numerischen Werte einer (s c ,q i ) - Politik zu bestimmen hat, wobei s c = 0 ist.

Ein typischer Lagerbestandsverlauf für dieses System ist im folgenden Bild dargestellt.

Bild 2-2: Beispiel eines Lagerbestandsverlaufs bei diskreter Nachfrage und

Das Kostenminimum des Beispiels und die zugehörigen Werte der q i (i = 1, 2,..., n) werden bei Anwendung der Dynamischen Programmierung durch Lösen von n aneinanderhängenden Teilproblemen gefunden. Dabei wird der Betrachtungszeitraum stufenweise von der ersten Teilperiode bis auf insgesamt n Teilperioden ausgedehnt. Der Stand der Berechnungen wird jeweils in einem Baum oder einer Matrix notiert. Zunächst verwende ich einen Entscheidungsbaum mit dem folgenden Knotensymbol:

Für das erste Teilproblem gilt dann: i = 1 und j = 1. Das bedeutet, daß in der Periode 1 soviel bestellt (= beschafft) wird, wie es die Nachfrage dieser Periode (= 70 [ME]) gerade erfordert. Dadurch entstehen Beschaffungskosten K B = 20 [GE] und Lagerkosten K L = 0 [GE], und die erste Knoteneintragung lautet mit K = K B + K L :

Das zweite Teilproblem, in dem der Betrachtungszeitraum auf zwei Teilperioden ausgedehnt wird, erfordert die Untersuchung von zwei Alternativen: ⇒ Zur Deckung der Nachfrage der Periode 2 können zu Beginn der ersten Periode 100 [ME] mitbestellt werden. Dann entstehen gegenüber dem ersten Teilproblem Zusatzkosten in Höhe von K L = 0,1 * 100 = 10 [GE].

⇒ Die Nachfrage der Periode 2 kann aus einer erneuten Bestellung in dieser Periode befriedigt werden. Zusatzkosten entstehen dann in Höhe von K B = 20 [GE].

Der Entscheidungsbaum erhält somit das Aussehen des Bildes 2-3:

Bild 2-3: Entscheidungsbaum nach Lösung des zweiten Teilproblems

Man erkennt in dem Entscheidungsbaum, daß wegen des Minimums bei j = 2

K

die günstigste Möglichkeit bis jetzt darin besteht (fettgedruckt im Entscheidungsbaum), die Befriedigung der Nachfragen der Perioden 1 und 2 durch Bestellung des Produkts allein zu Beginn der ersten Periode vorzusehen.

Für das dritte Teilproblem gibt es drei Alternativen:

⇒ Die Nachfragemenge der Periode j = 3 (150 [ME]) kann in der Periode i = 1 mitbestellt und dann über zwei Perioden gelagert werden. Die Zusatzkosten betragen somit K L = 2 * 0,1 * 150 = 30 [GE].

⇒ Die Nachfragemenge der Periode j = 3 kann in der Periode i = 2 mitbestellt und eine Periode lang gelagert werden. Zusatzkosten: KL = 0,1 * 150 = 15 [GE]. ⇒ Die Nachfragemenge der Periode j = 3 kann in derselben Periode (i = 3) neu bestellt werden. Zusatzkosten: K B = 20 [GE].

Damit wächst der Entscheidungsbaum gemäß Bild 2-4.

Bild 2-4: Entscheidungsbaum nach Lösung des dritten Teilproblems

Dieses Bild verdeutlicht vor allem (verstärkte Linie), daß die Alternative „neu bestellen“ des dritten Teilproblems für die Bestimmung der bis dahin aufgelaufenen Gesamtkosten an das bisher günstigste Ergebnis anzuschließen ist. Dies gilt allgemein: Die Knoten i, j mit i = j sind stets mit dem Knoten des Kostenminimums der Vorperiode zu verbinden, wodurch ungünstige Kombinationen von Alternativen von der weiteren Betrachtung ausgeschlossen werden. Als Ergebnis gilt daher jetzt für j = 3

K = min {60,55,50} = 50

min

mit anderen Worten: Man bestelle die Bedarfsmenge der dritten Periode in derselben Periode.

Wie die Anzahl der zu untersuchenden Alternativen indessen noch wesentlich stärker eingeschränkt werden kann, soll die Behandlung des vierten Teilproblems zeigen. Dazu wird der bisherige Entscheidungsbaum in eine Kostenmatrix gemäß Tab. 2-5 überführt.

Tab. 2-5: Kostenmatrix des Entscheidungsbaumes bis einschließlich

zum vierten Teilproblem

In dieser Matrix sind sämtliche Felder unterhalb der Diagonalen für das Problem uninteressant, denn man darf die Bedarfsmenge einer Periode i nicht in einer Periode i + 1 beschaffen (Fehlmengen sind nicht zugelassen). Somit stellt sich für das vierte Teilproblem analog zu den vorausgehenden die Frage nach der Besetzung der Spalte j = 4 oberhalb der Diagonalen, d.h. nach den Kosten der möglichen Maßnahmen in den Perioden 1 bis 4 zur