Bewertung und Hedging von Power Optionen

Inhaltsverzeichnis

  Inhaltsverzeichnis  II

  Abkürzungsverzeichnis  III

  Abbildungsverzeichnis  IV

Tabellenverzeichnis .........................................................................................................  V  V

  Symbolverzeichnis  VI

1  Einführung in die Problemstellung  1

2  Power Optionen im Überblick  3

2.1  Asymmetrische Power Optionen  3

2.2  Symmetrische Power Optionen  5

  S  

  2  

2.2.1  Auszahlungsfunktionstyp 1 ) 0 (max X  5

2.2.1.1  Darstellung  6

2.2.1.2  Bewertung  7

  S  

2  2  2

2.2.2  Auszahlungsfunktionstyp 2 0 max X  8

2.2.2.1  Darstellung  9

2.2.2.2  Bewertung  10

  S  

  2  

2.2.3  Auszahlungstyp 3 0 ) max ( X  10

2.2.3.1  Darstellung  11

2.2.3.2  Bewertung  12

3  Vergleich Standardoption Power Option  13

3.1  Sensitivitätskennzahl Delta  13

3.1.1  Delta Calloption  14

3.1.2  Delta Power-Call  15

3.1.3  Delta Powerstraddle  16

3.1.4  Delta-Hedging Power Option  17

3.2  Sensitivitätskennzahl Gamma  19

3.2.1  Gamma Calloption  21

3.2.2  Gamma Power-Call  21

3.2.3  Gamma Powerstraddle  22

3.2.4  Gamma-Hedging Power Option  24

3.3  Sensitivitätskennzahl Vega  25

3.3.1  Vega Calloption  27

3.3.2  Vega Power-Option  27

3.3.3  Vega Powerstraddle  28

3.3.4  Vega-Hedging Power-Option  29

4  Zusammenfassung  30

  A Annahmen des Black Scholes-Modells  32

  B Formelübersicht  33

  C Detaillierte Lösung für Beispiele  37

  Literaturverzeichnis  40

  II  

Abkürzungsverzeichnis

AAPO x Auszahlungsfunktion einer asymmetrischen Power Option x

Ausz. x Auszahlung eines Finanzinstrumentes x am Fälligkeitszeitpunkt

B&S Black/Scholes

bzw. beziehungsweise

d.h. das heißt

DAX Deutscher Aktien Index

OTC Over-the-Counter

P(AAPO) Preis einer asymmetrischen Auszahlungsfunktion

P(ASPO x ) Preis einer asymmetrischen Power Option x

P(PS) Preis eines Powerstraddle

P(STOP) Preis einer Standardoption

PC 1 Power Call der Auszahlungsfunktion 1

PC 2 Power Call der Auszahlungsfunktion 2

PP 1 Power Put der Auszahlungsfunktion 1

PP 2 Power Put der Auszahlungsfunktion 2

PS Powerstraddle

V-Dax Dax-Volatilitätsindex

W(ASPO x ) Wert einer asymmetrischen Power Option x

W(PS) Wert eines Powerstraddle

III

Abbildungsverzeichnis

  Abb 1 Gewinn- und Verlust-Profil von PC 1 gegenüber Standard Call  6

  Abb 2 Gewinn- und Verlust-Profil von PP 1 gegenüber Standard Put  7

  Abb 3 Gewinn- und Verlust-Profil von PC 2 gegenüber Standard Call  9

  Abb 4 Gewinn- und Verlust-Profil von PS gegenüber Standardstraddle  12

  Abb 5 Verlauf der unterschiedlichen (Power) Options-Delta  14

  Abb 6 Verlauf der unterschiedlichen (Power) Options-Gamma  20

  Abb 7 Verlauf der unterschiedlichen (Power) Options-Vega  26

  IV  

Tabellenverzeichnis

  Tab 1: Vergleich der Auszahlung von PC 1 und Standard Call  5

  Tab 2: Vergleich der Auszahlung von PP 1 und Standard Put  6

  Tab 3: Vergleich der Auszahlung von PC 2 und Standard Call  9

  Tab 4: Vergleich der Auszahlung von Powerstraddle und Standardoptionen  11

  Tab 5: Formeln für die Berechnung von Delta  14

  Tab 6: Preis und Kennzahlen von PC 1 aus Beispiel Restlaufzeit 6 Monate  18

  Tab 7: Preis und Kennzahlen von PC 1 aus Beispiel Restlaufzeit 1 Monat  19

  Tab 8: Formeln für die Berechnung von Gamma  20

  Tab 9: Formeln für die Berechnung von Vega  26

  V  

Symbolverzeichnis

C Callpreis C(S t , t) Wert eines Call im Zeitpunkt t bei Aktienkurs S t (für gegebenen Basispreis X und Fälligkeitstermin T) Cap Zeichen für die Berücksichtigung des Cap – Wertes als Basispreis in der Berechnung d Faktor für den Kursrückgang d 0 , d 1 , d 2 Hilfsparameter zur Optionsbewertung im Black/Scholes-Modell (s. Anhang B3) Delta(x) Kennzahl der Sensitivitätsanalyse bei Optionen in B&S-Umgebung e Eulersche Konstante Gamma(x) Kennzahl der Sensitivitätsanalyse bei Optionen in B&S-Umgebung N(x) Standardnormalverteilung von x N ’ (x) Funktionswert der Standardnormalverteilung an der Stelle x P Putpreis P(S t , t) Wert eines Put im Zeitpunkt t bei Aktienkurs S t (für gegebenen Basispreis X und Fälligkeitstermin T) PC x (X, T, X cap ) Wert eines beliebigen Power Call x unter Berücksichtigung des Basisprei- ses, der Laufzeit und des Cappreises PC x (X, T) Wert eines Power Call zum Basispreis X mit Laufzeit T PP x (X, T, X cap ) Wert eines beliebigen Power Put x unter Berücksichtigung des Basispreises, der Laufzeit und des Cappreises PP x (X,T) Wert eines Power Put zum Basispreis X mit Laufzeit T r stetiger risikoloser Zinssatz S Aktienkurs T Gesamtlaufzeit t Zeitpunkt der Betrachtung Vega(x) Kennzahl der Sensitivitätsanalyse bei Optionen in B&S-Umgebung

X Basispreis X cap Cappreis cap X C Preis des Callcap

cap X P Preis des Putcap # x Anzahl x eines Finanzinstrumentes (z.B. Option)

VI

Griechische Symbole:

Γ Optionsgamma gemäß B&S-Modell

∆ Optionsdelta gemäß B&S-Modell

δ Zeichen für die partielle Ableitung

Λ Optionsvega gemäß B&S-Modell

σ momentane Volatilität der Aktienrendite

τ = T-t Restlaufzeit der Option

ω binärer Optionsoperator

П(t,S t ,σ) Portfoliowert zum Zeitpunkt t mit Aktienkurs S t und Volatilität σ

VII

1 Einführung in die Problemstellung

In jüngster Vergangenheit sind erhöhte Preisschwankungen und ein Anstieg der Vo- latilität der Finanzinstrumente an den Kapitalmärkten zu beobachten. Ein Indikator für eine steigende Volatilität stellt dabei der Dax-Volatilitätsindex (V-Dax) dar, wel- cher im Verlauf dieses Jahres von 20% auf über 57% am 07.10.2002 angestiegen ist. Im Zuge dieser Entwicklung wuchs die Nachfrage nach alternativen Absicherungsin- strumenten. Die neuen Risiken können nur unzureichend oder sehr teuer mit her- kömmlichen Strategien gehedged werden. Damit einhergehend, war ein Boom an Emissionen von so genannten „exotischen Optionen“ an Börsen und insbesondere an OTC-Märkten (over-the-counter) erkennbar. Die Idee hinter „exotischen Optionen“ ist eine präzisere Umsetzung von individuellen Markterwartungen des Investors, durch eigens für seine Bedürfnisse aufgelegte Finanzinstrumente. „Solche exoti- schen, strukturierten und maßgeschneiderten Optionsscheine sind oftmals lediglich komplexe Kombinationen der einfachen Grundbausteine (Calls, Puts)“ [HSBC2000, S.54].

Nach Adam-Müller, Schäfer (1998) versteht man unter dem Begriff „exotische Op- tionen“ alle Optionen, die nicht die vier wesentlichen Eigenschaften klassischer Op- tionen beinhalten. Die 4 Merkmale klassischer Optionen sind:

(1) Für die Ausübung der Option ist nur der Kurs des Basisinstruments von Interes- se.

(2) Der Optionserwerber unterliegt bei Erhalt der Zahlung einer linearen Auszah- lungsfunktion bezogen auf den Kassakurs des Basisinstruments.

(3) Die Zahlung bemisst sich lediglich, nach dem Kurs des Basisinstruments im Auszahlungszeitpunkt.

(4) Bis auf den Ausübungszeitpunkt existieren bei klassischen Optionen keinerlei Beschränkungen [Vgl. AdSc1998, S.559].

Ein großer Anteil am stark wachsenden außerbörslichen (OTC-) Markt für „exoti- sche Optionen“ fällt auf Power Optionen [Vgl. ScZi2001, S.1586]. Im Vergleich zu klassischen Optionen widersprechen sie dem gerade erwähnten Merkmal (2) einer linearen Auszahlungsfunktion. Der Wert von Power Optionen berechnet sich am Fälligkeitszeitpunkt aus einer exponentiellen Funktion (engl. power function) des Basispreises, wobei sich diese Arbeit auf quadratische Auszahlungsfunktionen be- schränkt. In Deutschland haben sich Power Optionen insbesondere im Devisenhandel durchgesetzt [Vgl. ScZi2001, S.1586].

1

Ziel dieser Arbeit ist die Schaffung von Transparenz für das Verständnis und die Bewertung von Power Optionen im Unterschied zu Standardoptionen. Basis für die Bewertung bildet dabei das klassische Black/Scholes-Modell (B&S-Modell) mit sei- nen Annahmen 1 . Die Abbildungen und Ergebnisse basieren auf ein speziell entwi- ckeltes Excel-Sheet 2 und beschränken sich auf europäische Optionsscheintypen. Die Einführung gibt bereits einen ersten Einblick in die jüngste Entwicklung an den Finanzmärkten. Darin enthalten ist eine kurze Begründung für die Emission von exo- tischen Finanzderivaten im Allgemeinen und von Power Optionen im Besonderen. Kapitel 2 bietet einen Überblick von Power Optionen mit unterschiedlichen Auszah- lungsfunktionen, angefangen von asymmetrischen Power Optionen bis hin zu sym- metrischen Power Optionen. Es werden drei Arten von symmetrischen Power Optio- nen im Detail vorgestellt und beschrieben.

Kapitel 3 ist der Schwerpunkt dieser Arbeit und zeigt grundlegende Unterschiede von Power Optionen zu Standardoptionen auf. Der Power-Warrant mag einen sehr aggressiven Eindruck erwecken, jedoch handelt es sich „um eine ausgesprochen viel- schichtige Optionsscheinvariante, deren Risikoprofil sich zudem im Zeitablauf än- dert“ [HSBC2000, S.58]. Anhand der Sensitivitätskennzahlen Delta, Gamma und Vega wird das Verhalten von Power Optionen und Standardoptionen aufgezeigt und mit Abbildungen unterlegt. Gleichzeitig werden zu jeder Kennzahl dynamische Hed- ging-Strategien erörtert und an einem kapitelübergreifenden Beispiel verdeutlicht. Kapitel 4 enthält schließlich eine kurze Kommentierung der wichtigsten Aussagen dieser Arbeit.

1

Die Annahmen des Black/Scholes-Modells sind im Anhang A ersichtlich.

2

Das Excel-Sheet steht zum Download auf der Homepage: http://www.andreas-eberhardt.info zur

Verfügung.

2

2 Power Optionen im Überblick

Wie bereits erwähnt, zeichnen sich Power Optionen im Unterschied zu Standardopti-

onen durch eine exponentielle Auszahlungsfunktion des unterstellten Basispreises

am Fälligkeitszeitpunkt aus. Die Ergebnisse asymmetrischer Power Optionen basie-

ren auf Peter Zhang [Vgl. Zhan1998], wohingegen für symmetrische Power Optio-

nen Robert Tompkins [Vgl. Tomp1999] die Grundlage liefert. Dividendenzahlungen

oder sonstige Zahlungen an die Investoren finden dabei generell keine Berücksichti-

gung.

2.1 Asymmetrische Power Optionen

Nach Zhang kennzeichnet eine asymmetrische Power Option, dass lediglich der Kurs

des zu Grunde liegenden Basisinstrumentes 3 quadriert wird, nicht aber der Basispreis

[Vgl. Zhan1998, S.595]. Die Auszahlungsfunktion der asymmetrischen Power Opti-

on (AAPO) am Laufzeitende kann daher wie folgt dargestellt werden:

ω τ ω

2

− )] = } 0 , ( [( max{ X S AAPO (2.1)

ω spiegelt hier den binären Optionsoperator wieder, das heißt, bei = 1

sich um eine Call-(Power) Option, bei

zige Unterschied zu der Auszahlungsfunktion für Standardoptionen ist der Exponent

des Aktienkurses S des zu Grunde liegenden Finanzinstrumentes. Wäre dieser Expo-

nent gleich eins, würde die AAPO der einer sonst identischen Standardoption ent-

sprechen.

Der erwartete Preis der asymmetrischen Power Option (P(AAPO)) lässt sich in der

B&S-Umgebung allgemein darstellen 4 als:

2 τ τ σ

ω ω τ σ ω ω ω

− − − −

− + =

) ) 1 ( 5 , 0 ) 1 (( p p r p p

) ( e S AAPO P

Würde man auch bei der Preisberechnung der Power Option den Exponent p = 1 set-

zen, erhielte man exakt die Formel des B&S-Modells für die Bepreisung klassischer

Optionen (siehe 2.5).

Zur Berechnung des Preises der quadratischen Auszahlungsfunktion aus (2.1) ergibt

sich demzufolge die Formel:

2 τ τ σ

ω ω τ σ ω ω ω

− + − + = ) ( 2 r ) ( N e S AAPO P

3 Im Verlauf dieser Arbeit wird zur Vereinfachung nur noch vom Aktienkurs die Rede sein.

4 Diese Formel gilt aus Arbitrageüberlegungen nur unter der Annahme, dass für alle Finanzin-

strumente der gleiche risikolose Zinssatz zur Diskontierung der Auszahlungen verwendet wird

[Vgl. Zhan1998, S.597].

3