- I -

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis  - II -  

Symbolverzeichnis  - II -  

1.  Zinseszinsrechnung - 1 -  

1.1  Einleitung - 1 -  

1.2  Einmalige Einzahlung mit Zinseszins - 1 -  

1.3  Regelmäßige Einzahlung mit Zinseszins - 5 -  

1.3.1  Einzahlungen am Anfang/Ende eines Jahres bei jährlicher Verzinsung. - 5 -  

1.3.2  Unterjährige Einzahlungen bei jährlicher Verzinsung. - 6 -  

1.3.3  Unterjährige Verzinsung bei regelmäßigen jährlichen Einzahlungen. - 7 -  

1.3.4  Unterjährige Einzahlungen bei unterjährigen Verzinsungen. - 7 -  

1.4  Schlussworte. - 7 -  

2.  Abschreibungen. - 9 -  

2.1  Einleitung - 9 -  

2.2  Abschreibungsarten. - 10 -  

2.3  Abschreibungsverfahren. - 10 -  

2.3.1  Lineare Abschreibung - 11 -  

2.3.2  Degressive Abschreibung. - 11 -  

2.3.3  Weitere Abschreibungsverfahren. - 13 -  

2.3.4  Geometrisch-degressive zu arithmetisch-degressive Abschreibung. - 14 -  

2.4  Effekte durch Abschreibungen. - 14 -  

2.5  Schlussworte. - 15 -  

Anhang -  16 -  

1.  Beispiele zu der Zinseszinsrechnung - 16 -  

2.  Beispiele zu den Abschreibungsverfahren. - 17 -  

Literaturverzeichnis.  - 21 -  

Anmerkung  : Die vorliegende Arbeit bezieht sich neben den anderen angegeben Que l-  

len  hauptsächlich auf: Finanzmathematik von Robert Bosch, erschienen im Oldenbourg  

Verlag   

- II - Abbildungsverzeichnis

Abbildung I: Selbst erstellt

Abbildung II: Übernommen aus: Thommen, Jean-Paul/Achleitner, Ann-Kristin: Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, Seite 397

Abbildung III: Selbst erstellt nach: Thommen, Jean-Paul/Achleitner, Ann-Kristin: Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, Seite 400/401

Symbolverzeichnis

Die folgenden Bezeichnungen und Symbole werden in dieser Seminararbeit verwendet

- 1 - 1.Zinseszinsrechnung

1.1 Einleitung

Die Zinseszinsrechnung ist eine der Grundlagen der Finanzmathematik. Obwohl in der Schule meist schon behandelt, findet die Zins- und Zinseszinsrechnung auch in der Betriebswirtschaftlehre - wenn auch in erweiterter Form - Anwendung. Auch im alltäglichen Leben trifft man häufig auf Zins- und Zinseszinsrechnung:

Ob es nun um eine einfache Überlegung über die Erträge eines Sparbuchs, oder um komplizierte Anlageberechnungen geht, erkennt man schnell: Schon bei einigen entsprechenden Parametern entwickelt sich die zu Anfangs meist sehr einfache Rechnung in Form der Zinsrechnung (wie viel Geld „erspart“ man, wenn 1000 € für 1 Jahr zu einem Zinssatz von 5% angelegt werden) zu wesentlich komplexeren Berechnungen, die nicht ohne Weiteres - und schon gar nicht im Kopf - zu lösen sind. Bei diesen Parametern handelt es sich allerdings nicht um sonderlich ausgefallene Gegebenheiten, sondern um alltägliche Dinge, wie die Einzahlung und Auszahlung während des Jahres, die Verzinsung der Zinsen und die Veränderung des Zinssatzes. Die folgenden Ausführungen sollen die verschiedenen Möglichke iten der Zinseszinsrechnung aufzeigen, erläutern und an Hand von Beispielen anschaulich machen.

1.2 Einmalige Einzahlung mit Zinseszins

Diese einfachste Form der Zinseszinsrechnung ist elementarer Bestandteil des Schullehrstoffes. Hierbei wird das das Grundkapital und auch die auf das Grundkapital gelei steten Zinserträge der vergangenen Periode verzinst. Im Vergleich zur Zinsrechnung ohne Zinseszins kommt hier die Potenzrechnung zum Einsatz, um die Verzinsung des Zinses darzuste llen. Bei der Zinseszinsrechnung wird mit dem Aufzinsungsfaktor q gerechnet, und es gilt:

Durch die Verwendung von q in Verbindung mit der Potenzrechnung, also n q , wird der

Tatsache Rechnung getragen, dass bei der Zinseszinsrechnung das Ausgangskapital für n=2 Jahre nicht mit dem zweifachen Zinswert multipliziert darf, sondern mit ² q gerechnet wer-

den muss. (Für p = 5% muss also mit q=1,1025 anstatt mit 1,10 gerechnet werden. Hierbei

- 2 - wirddie Differenz mit ansteigendem n immer größer.) Für dieses Beispiel ergibt sich fol-gende Formel ¹ :

K , n bzw. p ist es bei der Zinseszinsrechnung möglich -Durch Auflösen von (2) nach 0

vorausgesetzt die restlichen drei Größen sind gegeben - den Barwert, die Laufzeit und den Zinssatz auszurechnen.

Die Termumformungen zum Errechnen des Barwertes unterscheiden sich prinzipiell nicht von denen bei der „einfachen Zinsrechnung“, so dass sich folgende Formel ergibt ³ :

Auffällig im Vergleich zur Zinsrechnung ohne Zinseszins sind hier natürlich die Potenzen. Diese sind es auch, die bei der Auflösung von (2) zur Errechnung der Laufzeit oder des Zinssatzes die Verwendung des Logarithmus ⁴ bzw. des Wurzelziehens ⁵ notwendig machen. Schließlich erhält man durch Umformung folgende Formeln:

¹ Siehe Beispiel 1.1 im Anhang

² Bosch, Finanzmathematik, S.19

³ Siehe Beispiel 1.2 im Anhang

⁴ Vgl.: Mehler-Bicher, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, S. 36

⁵ Vgl.: Mehler-Bicher, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, S. 34

- 3 - Durchdie Einführung des Zinseszinses ergeben sich allerdings nicht nur mathematische Veränderung, sondern es müssen auch völlig neue Dinge in Betracht gezogen werden. Bei der Zinseszinsrechnung kann es erhebliche Auswirkungen haben, je nach dem, wie oft das Gesamtkapital einschließlich inzwischen angefallener Zinsen pro Jahr verzinst wird, d.h., wie oft die Zinszahlungen erfolgen, auf die dann wieder Zinseszins gezahlt wird. Bei m gleichlangen Perioden, in die ein Jahr unterteilt wird, ergibt sich nach jeder Periode m eine p p anteilige Zinszahlung

zes p bezeichnet. Nach m

1 -ten Periode die Zinszahlung etwas

Dies hat zur Folge, dass nach Ablauf der nächsten m

höher ausfällt. Aufgrund des Zinseszinses ist klar, dass der Zinseszinseffekt mit steigende m m immer gr ößer wird.

Folgendes Diagramm dient zur Veranschaulichung des Unterschiedes zwischen Anlagen ohne Zinseszins, mit Zinseszins und mit Zinseszins und unterjähriger Verzinsung:

Bei der Zinseszinsrechnung mit unterjähriger Verzinsung ⁷ ergeben sich folgende Kapitalwerte nach k Perioden des in m Abschnitte eingeteilten Jahres, bzw. nach n Jahre:

⁶ Der Verlauf des Diagramms von Jahr 1 - 5 wurde ausgeblendet, um die unterschiedlichen Verläufe der Graphen gegen Ende der Laufzeit besser aufzeigen zu können

⁷ Vgl.: Mehler-Bicher, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, S. 183