Inhaltsverzeichnis

1  Einführung in Cellular Automata  1

1.1  Vorgehensweise  1

1.2  Die grundlegende Theorie der Cellular Automata  1

1.3  Die geschichtliche Entwicklung von Cellular Automata  2

2  Darstellungsvarianten von Cellular Automata.  4

2.1  Nicht-rechnergestützte Darstellungsweise  5

2.2  Rechnergestützte Darstellungsweisen.  6

3  Cellular Automata im Marketing  8

3.1  Cellular Automata Simulation für Netzeffekte  9

3.1.1  Der Einfluss von Werbung bei Netzeffekten  11

3.1.2  Der Einfluss von Kommunikation bei Netzeffekten.  12

3.2  Cellular Automata Simulation für Innovationen.  14

3.2.1  Betrachtung absoluter Zelländerungswerte.  15

3.2.2  Betrachtung relativer Zelländerungswerte  17

3.3  Erkenntnisse für das Marketing  21

4  Fazit  22

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Abbildungsverzeichnis   

Abbildung  1: Überlebenskünstler im „Spiel des Lebens“  

Abbildung  2: alternative Gitterstrukturen.  

Abbildung  3: von Neumann-Neighborhood  

Abbildung  4: Moore-Neighborhood  

Abbildung  5: einfache Simulation von Cellular Automata  

Abbildung  6: „Game of Life“ -Applet.  

Abbildung  7: Cellular Automata mittels Tabellenkalkulation  

Abbildung  8: Cellular Automata für Netzeffekte  

Abbildung  9: Strong Ties  

Abbildung  10: Weak Ties.  

Abbildung  11: Simulationsablauf bei Netzeffekten  

Abbildung  12: Der Einfluss von Werbung  

Abbildung  13: Der Einfluss von Strong Ties  

Abbildung  14: Der Einfluss von Weak Ties.  

Abbildung  15: Simulationsablauf bei Innovationen  

Abbildung  16: Der Einfluss von CMC auf den Early Market  

Abbildung  17: Der Einfluss von CMC auf den Main Market  

Abbildung  18: Der Einfluss von CMC auf den Gesamtmarkt.  

Abbildung  19: relative Zelländerungsraten im Early Market  

Abbildung  20: relative Zelländerungsraten im Main Market  

Abbildung  21: Darstellung der relativen Gesamtänderungsraten.  

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1 Einführung in Cellular Automata

1.1 Vorgehensweise

Die vorliegende Hausarbeit soll Möglichkeiten aufzeigen, Fragestellungen aus dem Bereich des Marketings mittels der Theorie der zellularen Automaten (Cell ular Automata - im weiteren als CA bezeichnet) einer Antwort zuzuführen. Hierzu wird in einem ersten Schritt eine Definition für CA gegeben und die Entwic klungsgeschichte erläutert. Das zweite Kapitel stellt verschiedene Darstellungsvar ianten von CA dar. Mit Hilfe einer einfachen „Schachbrettsimulation“ wird der theoretische Ansatz dieses Simulationsverfahren als nicht-rechnergestützte Version kurz beschrieben, wobei jedoch auf komplexe mathematische Hintergründe dieser Theorie zu Gunsten der allgemeinen Verständlichkeit nicht weiter eingegangen wird. Außerdem werden verschiedene Darstellungsarten mittels Comp uterunterstützung vorgestellt. Im dritten Kapitel werden mit CA-Simulationen, die für den Einsatz auf Fragestellungen des Marketings ausgelegt sind, einige Simulationen durchgeführt. Die Ergebnisse hieraus werden in Diagrammform dargestellt. Das letzte Kapitel fasst die in der Hausarbeit gewonnenen Erkenntnisse kurz zusammen und weist auf zu beachtende Restriktionen beim Einsatz von Simulationen mittels CA hin.

1.2 Die grundlegende Theorie der Cellular Automata

Um einen Einstieg in die grundlegende Theorie der CA zu bekommen, wird zu Beginn definiert, was unter CA im Allgemeinen zu verstehen ist: „Zelluläre Automaten sind mathematische Systeme, die aufgrund einfacher Regeln hochkomplexes Verhalten zeigen.“ 1 Neben dieser allgemeingültigen Definition haben unterschiedliche wissenschaftliche Disziplinen ihr eigenes Verständnis in Bezug auf CA entwickelt. Im Bereich der Naturwissenschaften wird hierunter ein dynamisches System mit den diskreten Objekten Raum, Zeit und Zustand verstanden. Die Informatik versteht unter CA ein Computerprogramm, welches eine Matrix mit Elementen (Zellen) darstellt. Durch die Implementierung verschiedener Funktionen ist es möglich, die Werte der einzelnen Elemente nach definierten Regeln zu

¹ Schmidt, A. P. (1998).

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verändern. ² Trotz unterschiedlicher Interpretationen von CA lassen sich folgenden elementare Anforderungen definieren: • „Seine Entwicklung findet in Raum und Zeit statt. • Sein Raum ist eine diskrete Menge zahlreicher Zellen. • Jede dieser Zellen hat nur eine endliche Anzahl möglicher Zustände. • Die Zustände der Zellen verändern sich in diskreten Zeitschritten. • Alle Zellen sind identisch und verhalten sich nach den gleichen Entwicklung sregeln.

• Die Entwicklung einer Zelle hängt nur ab von ihrem Zustand und dem ihrer sie lokal umgebenden Nachbarzellen.“ 3

1.3 Die geschichtliche Entwicklung von Cellular Automata

Der geistige Vater dieser Theorie ist der aus Ungarn stammende John von Ne umann, der am Institute for Advanced Study in Princeton arbeitete. Er beschäftigte sich mit der Fragestellung, wie ein „universaler Automat“ zu entwickeln sei, der in der Lage ist, sich selbst zu reproduzieren. Angeregt durch seinen Kollegen St anislaw Ulam entwickelte von Neumann den Automaten in ein er abstrakten Art und Weise. Er nutzte zur Darstellung die Zellen eines Gitters, die in Abhängigkeit der Nachbarzellen verschiedene Zustände haben können. Das Ergebnis seiner Arbeit war ein Gitter mit 200.000 Zellen, die 29 Zustände einnehmen konnten. Obwohl der Philosoph Arthur Burk nach von Neumans Tod im Jahre 1957 einen Fehler im System identifizierte und beseitigen konnte, gilt von Neumann bis heute als Erfinder der CA. 4

Die weitere Entwicklung ging hauptsächlich von dem englischen Mathematiker John Horton Conway aus. Bereits Ende der 60er Jahre entwickelte er einen zellulären Automaten, bei dem die Regeln, nach denen sich Zellen gegenseitig beeinflussen, bewusst gering gehalten wurde (siehe hierzu auch Kapitel 2.1). Diesen zellulären Automaten nannte er „Life“. ⁵ Conway hatte damit den bis heute bedeutendsten zellularen Automaten geschaffen. ⁶ Durch Simulationen am Computer, die mehrere tausend Durchgänge darstellen konnten, wurde festgestellt, dass es

² Vgl. Gaylord, R. J. / Nishidate, K. (1996); Seite 1.

³ Gerhadt, M. / Schuster, H. (1996); Seite 18 f.

⁴ Vgl. Franke, H. W. (1998).

⁵ Vgl. Kinnebrock, W. (1996); Seite 80.

⁶ Vgl. Callahan, P. (2000).

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zur Entstehung bestimmter Figuren kommen kann, die ih re Form nicht mehr verändern und somit „überlebensfähig“ sind. Abbildung 1 zeigt einige dieser Figuren.

Neben den beschriebenen Figuren, die auch als „still life objects“ bezeichnet we rden, gibt es die Gruppe der Oszillatoren und der Gleiter. Die Oszillatoren zeic hnen sich dadurch aus, dass ihr Erscheinungsbild periodisch identisch auftritt. Wechselt eine Figur ihr Aussehen abwechselnd innerhalb von nur zwei Perioden, so spricht man von einem Blinker. Der dritte Typ sind die Gleiter, die sich wä hrend des Ablaufs mehrerer Spielperioden scheinbar über die Spielfläche bewegen. 8

In den 80er Jahren des letzten Jahrhunderts war es Stephen Wolfram, der durch die Systematisierung der eindimensionalen, zellulä ren Automaten die Forschung auf diesem Gebiet vorantrieb. Er definierte insgesamt vier Klassen, in denen sich jeder Automatentyp einordnen lässt:

1. Klasse: Die Automaten erreichen einen homogenen Zustand (d.h. entweder sind alle Zellen null oder eins).

2. Klasse: Die Automaten produzieren einfache aber stabile Strukturen (z.B. still objects oder Blinker). 3. Klasse: Die Automaten liefern chaotische Muster.

4. Klasse: Die Automaten liefern (teilweise langlebige) komplexe Strukturen. ⁹ Auf Grundlage des Forschungsstandes zu CA entwickelte Christopher Langton im Jahre 1986 einen zellulären Automaten, der sich in nachfolge nden Generationen reproduzieren konnte. Er abstrahierte dabei von der Fähigkeit der universellen Berechenbarkeit. Durch seine Arbeiten legte er den Grundstein für die neue Forschungsrichtung „Künstliches Leben“. 10

⁷ Quelle: Gerhardt, M. / Schuster, H. (1996); Seite 39 f.

⁸ Vgl. Callahan, P. (2000).

⁹ Vgl. Wolfram, S. (1983).

¹⁰ Vgl. Mainzer, K. (2004).

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2 Darstellungsvarianten von Cellular Automata

Die von John von Neumann gewählte Darstellung von Zellen in einem Gitter hat auch noch heute für die Visualisierung von CA ihre Gültigkeit. ¹¹ Jedoch lassen sich auch alternative Gitterstrukturen vorstellen, wie sie in Abbildung 2 beispie lhaft dargestellt sind:

Die Auswirkungen unterschiedlicher Gitterstrukturen wurden im Jahr 2001 von R. Hengselmann und A. Flache anhand der Kriterien „influence dynamics“ und „migration dynamics“ untersucht. Ziel des ersten Kriteriums war es, das Verhalten benachbarter Zellen zueinander bei unterschiedlichen Gitterstrukturen zu betrac hten. Beim zweiten Kriterium wurde überprüft, ob sich die Art der Gitterstruktur eines CA auf das „Wandern“ einer bestimmten Zelle innerhalb des definierten Raumes auswirkt. ¹³ Hengselmann und Flache ziehen in ihrer Studie den Schluss, dass die Erkenntnisse, die in über drei Jahrzehnten Forschung mit CA nach dem von Neumann’schen Modell (rechteckige Gitterstruktur) gewonnen wurden, auch bei Einsatz alternativer Gitter Bestand haben. 14

Ebenfalls bedeutsam für die Art der Darstellung von CA ist die Definition der „Nachbarschaft von Zellen“. Ausgehend von einem rechtwinkeligen Gitter kann eine Zelle vier (entspricht der „von Neumann-Neighborhood“) oder acht (entspricht der „Moore-Neighborhood“) direkte Nachbarn besitzen. Der Unterschied liegt darin, dass im Fall der acht Nachbarn die diagonal angeordneten Zellen auch als „direkte Nachbarn“ definiert werden. ¹⁵ Ebenfalls bedeutsam für die Darstellung der Nachbarschaft ist die Größe des definierten Radius um eine Zelle. Die Abbildung 3 stellt die „von Neumann-Neighborhood“, Abbildung 4 die „Moore -

¹¹ Vgl. Hengselmann, R. / Flache, A. (2001); Kapitel 1.1.

¹² Quelle: eigene Darstellung in Anlehnung an ebd.; Kapitel 4.11.

¹³ Vgl. ebd.; Kapitel 1.3.

¹⁴ Vgl. ebd.; Kapitel 5.2.

¹⁵ Vgl. Hengselmann, R. / Flache, A. (1998); Kapitel 2.5.

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