INHALTSVERZEICHNIS

Inhaltsverzeichnis   

Vorwort   i

Inhaltsverzeichnis   ii

Abbildungsverzeichnis   iv

Bezeichnungen   viii

1  Einleitung  1

1.1  Themenstellung und Inhalt  1

1.2  Begriffsdefinitionen  1

Kritische  Last, Verzweigungslast, Beullast  1

Gleichgewichtspfad   1

Verzweigungspunkt   2

Beulen   2

Nachbeulverhalten   2

Imperfektionsempfindlichkeit   2

1.3  Motivation  2

1.4  Tragverhalten  3

2  FEM mit ANSYS  5

2.1  Verwendung der FEM  5

2.2  Anwendung von ANSYS  6

2.3  Numerisches Modell  6

3  Untersuchung des Kreiszylinders  9

3.1  Numerisches Modell  11

3.1.1  Solid-Model  11

3.1.2  Netzgenerierung  14

3.1.3  Randbedingungen  15

3.1.4  Berechnung  18

3.1.5  Ausgabe  19

3.2  Ergebnisse der Berechnungen  20

3.2.1  Variation der Elementgröße  20

3.2.2  Variation der Höhe  21

3.2.3  Variation der Wandstärke  22

3.2.4  Imperfektionsempfindlichkeit  23

4  Untersuchung des Sechseckzylinders  25

4.1  Numerisches Modell  27

4.1.1  Solid-Model  27

Diplomarbeit  Alexander Bruns  ii

INHALTSVERZEICHNIS

4.1.2  Netzgenerierung  29

4.1.3  Randbedingungen  30

4.2  Ergebnisse der Berechnungen  33

4.2.1  Variation der Elementgröße  33

4.2.2  Variation der Höhe  34

4.2.3  Variation der Wandstärke  35

4.2.4  Imperfektionsempfindlichkeit  36

5  Untersuchung von zellulären Sechseckzylinderstrukturen  38

5.1  Numerisches Modell  38

5.1.1  Solid-Model und Vernetzung  38

Version   40

Version   42

5.2  Ergebnisse der Berechnungen  45

5.2.1  Variation der Elementgröße  45

5.2.2  Variation der Höhe  46

5.2.3  Imperfektionsempfindlichkeit  47

5.2.4  Einfluss der Zellenanzahl auf die kritische Last  47

6  Vergleich der Untersuchungsergebnisse  49

6.1  Variation der Elementgröße  49

6.2  Variation der Höhe  49

6.3  Variation der Wandstärke  50

6.4  Imperfektionsempfindlichkeit  51

6.5  Last pro Gewicht  51

7  Zusammenfassung  53

Literaturverzeichnis   54

A  ANSYS Ein- und Ausgabedateien  55

A.1  Berechnung der Beullast und der zugehörigen Beulformen eines Kreiszylinders  55

A.2  Untersuchung der Imperfektionsempfindlichkeit eines Kreiszylinders  73

A.3  Berechnung der Beullast eines Sechseckzylinders unter Variation der Höhe  78

A.4  Berechnung der Beullast eines drei-zelligen Sechseckzylinders  83

A.5  Untersuchung der Imperfektionsempfindlichkeit eines sieben-zelligen Sechseckzylinders  89

B  Skript- und Batch-Dateien  92

B.1  Berechnung im Batchbetrieb  92

B.2  Generierung der Eingabedateien  95

B.3  Auswertung der Ausgabedateien  97

C  Zusätzliche Abbildungen  99

C.1  Kreiszylinder  99

C.2  Sechseckzylinder  105

C.3  Zelluläre Sechseckzylinderstrukturen  135

Diplomarbeit  Alexander Bruns  iii

ABBILDUNGSVERZEICHNIS   

Abbildungsverzeichnis   

0.1  Bezeichnungen am Zylinder  viii

1.1  Kreiszylinder  1

1.2  Sechseckzylinder  1

1.3  mehrzelliger Sechseckzylinder  1

1.4  Last-Verschiebungs-Diagramm  4

1.5  Imperfektionsempfindlichkeit  4

2.1  ANSYS Element SHELL63, Elastisches Schalen-Element  7

2.2  Randbedingungen und Belastung am oberen Zylinderrand  7

2.3  Solid-Model und vernetzte Struktur eines imperfekten Kreiszylinders  8

2.4  Vernetzte Struktur eines perfekten und imperfekten Sechseckzylinders  8

3.1  Kreis: Beulform  10

3.2  Kreis: Erzeugende des Solid-Model  13

3.3  Kreis: Solid-Model als Linien- und Flächenansicht  14

3.4  Kreis: Vernetzte Struktur  15

3.5  Kreis: Aufgekrempelte Beulform  15

3.6  Kreis: Randbedingung RB01  16

3.7  Kreis: Randbedingung RB02  17

3.8  Kreis: Randbedingung RB03  17

3.9  Kreis: Randbedingung RB01 an Knoten  18

3.10  Kreis: Kritische Beullast nach Elementgröße  20

3.11  Kreis: Erste Beulform, RB01  21

3.12  Kreis: Absolute kritische Beullast nach Zylinderhöhe  21

3.13  Kreis: Erste Beulform eines hohen Zylinders, RB01  22

3.14  Kreis: Absolute kritische Beullast nach Wandstärke  22

3.15  Kreis: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion  24

4.1  Sechseck: Unterschiedliche Formen S1 bis S4  26

4.2  Sechseck: Solid-Model als Linien- und Flächenansicht  29

4.3  Sechseck: Vernetzte Struktur  30

4.4  Sechseck: Randbedingung RB04  31

4.5  Sechseck: Randbedingung RB05  32

4.6  Sechseck: Randbedingung RB01 an Knoten  32

4.7  Sechseck: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße  33

4.8  Sechseck: Erste Beulform, RB01  33

4.9  Sechseck: Erste Beulform, RB05  34

4.10  Sechseck: Absolute kritische Beullast nach Höhe  34

4.11  Sechseck: Erste Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB01  35

4.12  Sechseck: Absolute kritische Beullast nach Wandstärke  35

Diplomarbeit  Alexander Bruns  iv

ABBILDUNGSVERZEICHNIS   

4.13  Sechseck: Absolute kritische Beullast nach Imperfektion  36

4.14  Sechseck: Imperfektionsempfindlichkeit, Form S1  37

5.1  Zellulär: neunzehn-zellige Struktur  39

5.2  Zellulär: Solid-Model als Linien- und Flächenansicht  44

5.3  Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße  45

5.4  Zellulär: Erste Beulform, 19 Zellen, Version 2, RB01  46

5.5  Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Höhe  46

5.6  Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion  47

5.7  Zellulär: Kritische Last pro Volumen nach Zellenanzahl  48

6.1  Vergleich: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße  49

6.2  Vergleich: Absolute kritische Beullast nach Höhe  50

6.3  Vergleich: Absolute kritische Beullast nach Wandstärke  50

6.4  Vergleich: Absolute kritische Beullast nach Imperfektion  51

6.5  Vergleich: Last pro Volumen  52

C.1  Kreis: Zweite Beulform, RB01  99

C.2  Kreis: Dritte Beulform, RB01  99

C.3  Kreis: Vierte Beulform, RB01  100

C.4  Kreis: Fünfte Beulform, RB01  100

C.5  Kreis: Erste Beulform, RB02  100

C.6  Kreis: Zweite Beulform, RB02  101

C.7  Kreis: Dritte Beulform, RB02  101

C.8  Kreis: Vierte Beulform, RB02  101

C.9  Kreis: Fünfte Beulform, RB02  102

C.10  Kreis: Erste Beulform, RB03  102

C.11  Kreis: Zweite Beulform, RB03  102

C.12  Kreis: Dritte Beulform, RB03  103

C.13  Kreis: Vierte Beulform, RB03  103

C.14  Kreis: Fünfte Beulform, RB03  103

C.15  Kreis: Zweite Beulform eines hohen Zylinders, RB01  104

C.16  Kreis: Dritte Beulform eines hohen Zylinders, RB01  104

C.17  Kreis: Vierte Beulform eines hohen Zylinders, RB01  104

C.18  Kreis: Fünfte Beulform eines hohen Zylinders, RB01  105

C.19  Sechseck: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße  105

C.20  Sechseck: Zweite Beulform, RB01  106

C.21  Sechseck: Dritte Beulform, RB01  106

C.22  Sechseck: Vierte Beulform, RB01  106

C.23  Sechseck: Fünfte Beulform, RB01  107

C.24  Sechseck: Sechste Beulform, RB01  107

C.25  Sechseck: Siebte Beulform, RB01  107

C.26  Sechseck: Achte Beulform, RB01  108

C.27  Sechseck: Neunte Beulform, RB01  108

C.28  Sechseck: Zweite Beulform, RB05  108

C.29  Sechseck: Dritte Beulform, RB05  109

C.30  Sechseck: Vierte Beulform, RB05  109

C.31  Sechseck: Fünfte Beulform, RB05  109

C.32  Sechseck: Sechste Beulform, RB05  110

C.33  Sechseck: Siebte Beulform, RB05  110

Diplomarbeit  Alexander Bruns  v

ABBILDUNGSVERZEICHNIS   

C.34  Sechseck: Achte Beulform, RB05  110

C.35  Sechseck: Neunte Beulform, RB05  111

C.36  Sechseck: Zweite Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB01  111

C.37  Sechseck: Dritte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB01  111

C.38  Sechseck: Vierte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB01  112

C.39  Sechseck: Fünfte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB01  112

C.40  Sechseck: Erste Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB05  112

C.41  Sechseck: Zweite Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB05  113

C.42  Sechseck: Dritte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB05  113

C.43  Sechseck: Vierte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB05  113

C.44  Sechseck: Fünfte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB05  114

C.45  Sechseck: Imperfektionsempfindlichkeit, Form S1  115

C.46  Sechseck: Imperfektionsempfindlichkeit, Form S2  116

C.47  Sechseck: Imperfektionsempfindlichkeit, Form S3  117

C.48  Sechseck: Imperfektionsempfindlichkeit, Form S4  118

C.49  Sechseck: Vergleich Beulformen, S1, RB01, Ansicht1  119

C.50  Sechseck: Vergleich Beulformen, S1, RB01, Ansicht2  120

C.51  Sechseck: Vergleich Beulformen, S1, RB05, Ansicht1  121

C.52  Sechseck: Vergleich Beulformen, S1, RB05, Ansicht2  122

C.53  Sechseck: Vergleich Beulformen, S1, RB01, Ansicht1  123

C.54  Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S2, RB01, Ansicht2  124

C.55  Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S2, RB05, Ansicht1  125

C.56  Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S2, RB05, Ansicht2  126

C.57  Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S3, RB01, Ansicht1  127

C.58  Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S3, RB01, Ansicht2  128

C.59  Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S3, RB05, Ansicht1  129

C.60  Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S3, RB05, Ansicht2  130

C.61  Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S4, RB01, Ansicht1  131

C.62  Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S4, RB01, Ansicht2  132

C.63  Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S4, RB05, Ansicht1  133

C.64  Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S4, RB05, Ansicht2  134

C.65  Zellulär: Kritische Last pro Volumen nach Zellenanzahl  135

C.66  Zellulär: Erste Beulform, 1 Zelle, Version 2, RB01  136

C.67  Zellulär: Erste Beulform, 2 Zellen, Version 2, RB01  136

C.68  Zellulär: Erste Beulform, 3 Zellen, Version 2, RB01  136

C.69  Zellulär: Erste Beulform, 4 Zellen, Version 2, RB01  137

C.70  Zellulär: Erste Beulform, 7 Zellen, Version 2, RB01  137

C.71  Zellulär: Erste Beulform, 19 Zellen, Version 2, RB01  137

C.72  Zellulär: Erste Beulform, 1 Zelle, Version 2, RB05  138

C.73  Zellulär: Erste Beulform, 2 Zellen, Version 2, RB05  138

C.74  Zellulär: Erste Beulform, 3 Zellen, Version 2, RB05  138

C.75  Zellulär: Erste Beulform, 4 Zellen, Version 2, RB05  139

C.76  Zellulär: Erste Beulform, 7 Zellen, Version 2, RB05  139

C.77  Zellulär: Erste Beulform, 19 Zellen, Version 2, RB05  139

C.78  Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße, Form S1  140

C.79  Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße, Form S2  141

C.80  Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße, Form S3  142

C.81  Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße,Form S4  143

C.82  Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, eine Zelle  144

Diplomarbeit  Alexander Bruns  vi

ABBILDUNGSVERZEICHNIS   

C.83  Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, zwei Zellen  145

C.84  Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, drei Zellen  146

C.85  Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, vier Zellen  147

C.86  Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, sieben Zellen  148

C.87  Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, neunzehn Zellen  149

C.88  Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, eine Zelle  150

C.89  Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, zwei Zellen  151

C.90  Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, drei Zellen  152

C.91  Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, vier Zellen  153

C.92  Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, sieben Zellen  154

C.93  Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, neunzehn Zellen  155

C.94  Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Höhe, Form S1, RB01  156

C.95  Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Höhe, Form S1, RB01  157

Diplomarbeit  Alexander Bruns  vii

Bezeichnungen

Geometrie 3

x : Koordinatenrichtung

(horizontal nach außen) y : Koordinatenrichtung (vertikal in Zylinder-Höhe) z : Koordinatenrichtung (horizontal in Zylinder-Umfangsrichtung) r : Radius des Zylinders t : Wandstärke des Zylinders h : Höhe des Zylinders

Verschiebungen

∆ : Verschiebung

u : Verschiebung in y-Richtung

v : Verschiebung in z-Richtung w: Verschiebung in x-Richtung Abb. 0.1: Bezeichnungen am Zylinder δ : Verschiebung / Imperfektion in x-Richtung

Materialkennwerte

E : Elastizitätsmodul, E-Modul [N/mm 2 ] I : Trägheitsmoment [mm 4 ] ν : Querdehnzahl [−]

3 Entgegen der üblichen Notation sind die Koordinatenachsen an die in ANSYS übliche Notation angepasst worden

Diplomarbeit Alexander Bruns viii

1 Einleitung

1.1 Themenstellung und Inhalt

Das Thema dieser Diplomarbeit lautet: „Numerische Untersuchung zum Tragverhalten von dünnwandigen, zylindrischen, zellulären Strukturen unter axialer Belastung“. Es soll erforscht werden, wie sich das Tragverhalten beim Wechsel von einzelligen zu mehrzelligen Strukturen ändert und ob eine Steigerung der Last im Vergleich zu einzelnen Zylindern auftritt. Zuerst werden einzelne Kreiszylinder (Kapitel 3) und Sechseckzylinder (Kapitel 4) auf das Verhalten bei Belastung untersucht. Das Verhalten von mehrzelligen Zylinderstrukturen wird anhand von Sechseckzylindern in Anordnungen von zwei, drei, vier, sieben und 19 Zellen untersucht (Kapitel 5). Ein Vergleich der Ergebnisse der Kreis- und Sechseckzylinder und der mehrzelligen Zylinder wird in Kapitel 6 unternommen. Die Schlussfolgerungen aus den Ergebnissen dieser Untersuchungen sind in Kapitel 7 zusammengefasst. Daran anschließend sind in Anhang A bis Anhang C die Ein- und Ausgabedateien der ANSYS-Berechnung angegeben, die Skripte, die bei der Berechnung Verwendung fanden, und die die folgenden Kapitel ergänzenden Abbildungen.

Abb. 1.1: Kreiszylinder Abb. 1.2: Sechseckzylinder Abb. 1.3: mehrz. Sechseckzylinder

1.2 Begriffsdefinitionen

Kritische Last, Verzweigungslast, Beullast

Wird die Last auf eine zylindrische Struktur kontinuierlich gesteigert, so gibt es zu jeder Last einen eindeutigen Gleichgewichtszustand. Wird eine bestimmte Last überschritten, so ist der Gleichgewichtszustand ab diesem Punkt nicht mehr eindeutig. Die Struktur beult aus und zweigt auf einen anderen Gleichgewichtspfad ab oder nimmt evtl. keine weitere Last mehr auf.

Gleichgewichtspfad

Trägt man die Last P zusammen mit der zugehörigen Verformung δ in ein Last-Verschiebungs-Diagramm ein,

so bewegen sich die zugehörigen Punkte auf einer Kurve. Da zu jedem Punkt ein Gleichgewichtszustand gehört, spricht man von einem Gleichgewichtspfad.

Diplomarbeit Alexander Bruns 1

Verzweigungspunkt

Das ist der Punkt in einem Last-Verschiebungs-Diagramm, an dem die Verzweigungslast erreicht ist. Der Gleichgewichtspfad hat an dieser Stelle einen Knick, da der Gleichgewichtszustand nicht mehr eindeutig ist und in einen anderen übergeht.

Beulen

Mit Beulen ist das Verhalten einer zylindrischen Struktur unter der Belastung mit der kritischen Last gemeint. Die Struktur ändert ihre Ausgangskonfiguration und wird nicht nur zusammengestaucht, sondern ändert die Form auch senkrecht zur Belastungsrichtung unter der kritischen Last.

Nachbeulverhalten

Erreicht die Belastung die kritische Last, so gibt es für das Verhalten der Struktur jenseits des Verzweigungspunktes zwei oder mehr Möglichkeiten. Ist nach dem Beulen eine weitere Belastung möglich, dann steigt der Gleichgewichtspfad nach dem Verzweigungspunkt an und man spricht von einem stabilen Nachbeulverhalten. Obwohl die Struktur sich durch das Ausbeulen verformt hat, ist eine weitere Aufnahme von Last möglich. Bricht die Struktur bei der kritischen Last zusammen, fällt der Gleichgewichtspfad nach dem Verzweigungspunkt ab. Es handelt sich dann um ein instabiles Nachbeulverhalten.

Imperfektionsempfindlichkeit

Bei einer zylindrischen Struktur spricht man von Imperfektionsempfindlichkeit, wenn kleine oder große Vorver-formungen senkrecht zur Belastungsachse signifikante Änderungen der kritischen Last hervorrufen und diese sich bei zunehmender Imperfektion verringert. Ändert sich die Last auch bei einer verformten Struktur nicht oder steigt die Last bei zunehmender Imperfektion sogar, so sagt man, dass die Struktur in dieser Form unempfindlich gegenüber Imperfektionen ist.

1.3 Motivation

Die Analyse des Tragverhaltens von dünnwandigen Strukturen setzt sich zum Ziel, Formen zu finden, die im Vergleich zu anderen gleichen Gewichts bessere Eigenschaften besitzen. Dies bedeutet nicht nur eine große aufzunehmende Last, sondern auch eine geringe Empfindlichkeit gegenüber Imperfektionen oder anderen Einflüssen, die die Tragwirkung beeinträchtigen können. Dabei sind die Strukturen und Formen interessant, die mit möglichst wenig Gewicht eine sehr hohe Tragfähigkeit erreichen und somit das Gewicht optimal in Tragwirkung umsetzen.

Diesem Ziel widmet sich die Forschung zum Thema „Ultraleichtbau“, welche nicht nur in den klassischen Disziplinen wie z. B. dem Flugzeugbau auf großes Interesse stößt. Auch im Bausektor werden zunehmend Materialien und Strukturen benötigt, die leichtere Tragwerke ermöglichen, ohne auf große Spannweiten oder große aufnehmbare Lasten verzichten zu müssen. Dabei gibt es zum einen den Weg, über das Material Gewicht einzusparen, zum anderen über die Formgebung das Material besser auszunutzen.

Die Frage, ob sich die Trageigenschaften signifikant ändern, wenn zylindrische Strukturen zellulär ange-ordnet werden und sich gegenseitig beeinflussen, wird in dieser Arbeit untersucht. Anhand von mehrzelligen Sechseckzylindern werden die Eigenschaften einer so entstandenen Bienenwabenstruktur mit den einzelligen Zylindern verglichen.

Diplomarbeit Alexander Bruns 2

1.4 Tragverhalten

Das Tragverhalten von mechanisch beanspruchten Strukturen wird zum einen durch das verwendete Material beeinflusst. Zum anderen bestimmt auch das System, also die geometrische Anordnung des Materials, das Versagen der Struktur.

Ein sehr kurzes I-Profil aus Stahl zum Beispiel, das durch eine axiale Kraft zusammengedrückt wird, versagt wegen der Überschreitung der zulässigen Spannungen im Stahl. Es liegt ein Materialversagen vor. Mit zunehmender Länge des Profils bestimmen Erscheinungen wie Knicken oder Biege-Drill-Knicken das Versagen. Damit liegt ein Systemversagen vor. Dabei liegt die kritische Last, bei der der Stab ausknickt, unterhalb derer, bei der das Material versagen würde. Ist ein Stab genügend lang, so bestimmt sein System die Last, bei der er versagt. Die kritische Last dieser sehr einfachen geometrischen Form kann beeinflusst werden über die Randbedingungen, also die Lagerungen an beiden Enden. Man spricht dann von einem Euler-Stab 4 , dessen analytische Lösung für die kritische Last bei allen Randbedingungen bestimmt werden kann und bekannt ist. Wird bei dem Stab die kritische Last überschritten, so bricht das System nicht sofort zusammen. Der Stab knickt oder beult aus und eine weitere Laststeigerung ist möglich. Man spricht von einem stabilen Nachbeulverhalten.

Ein ähnliches Verhalten weisen Schalenkonstruktionen auf. Je dünner eine Schale ist, desto mehr bestimmt die Anordnung des Materials die Tragfähigkeit. Zusätzlich spielen die Randbedingungen (Lagerung, freie Ränder, Verstärkungen an den Rändern) und Krümmungen eine große Rolle, denn sie bestimmen die Verteilung der Kräfte innerhalb der Struktur. Auch Schalen besitzen kritische Lasten, bei denen sie ein Beulverhalten zeigen.

Dieses Beulen von dünnwandigen Schalen-Strukturen ist ein nichtlineares strukturmechanisches Problem. Eine einfache analytische Lösung wie beim Euler-Stab ist bei diesen Formen allgemein nicht möglich. Nur durch sehr einschneidende Vereinfachungen und Annahmen können für die Zylinderschalen mit kreisrundem Querschnitt überhaupt analytische Aussagen über das Tragverhalten getroffen werden. Dabei muss teilweise ein lineares Verhalten angenommen werden, so dass diese Lösungen das exakte Verhalten nicht widerspiegeln. Die bekannte hohe Tragfähigkeit von Schalenkonstruktionen war aber schon immer von großem Interesse und wollte erforscht werden. Aus diesem Grunde wurden im letzten Jahrhundert zahlreiche praktische Versuche 5 durchgeführt und dadurch das Tragverhalten auf sehr kostspielige Weise untersucht. Erst durch eine numerische Behandlung des Problems in Form von Finite-Element-Methoden 6 können genauere Aussagen über das Tragverhalten getroffen und viele Varianten bei einer Untersuchung durchgerechnet werden. Mit der Verfügbarkeit von schnellen Rechnern können diese Strukturen so detailliert analysiert werden, dass das Verhalten von ähnlichen realen Versuchen simuliert werden kann. Dabei ist der Einsatz von nichtlinearen Finite-Element-Methoden 7 nötig, um Beulanalysen rechnergestützt durchzuführen.

Die dünnwandigen Zylinderschalen, die in dieser Arbeit untersucht werden, haben genau wie der Stab eine kritische Last, bei der die Struktur anfängt zu beulen. Die Dünnwandigkeit des Systems bestimmt das Verhalten der Struktur bei der Aufnahme von axialen Lasten. Bei den Theorien zum Tragverhalten von kreisrunden Zylinderschalen, die sehr detailliert von Brush und Almroth 8 dargelegt werden, wird von unendlich langen Schalen ausgegangen. Die kritische Last zeigt keine Abhängigkeit von der Länge der Schale, außer dass bei sehr kurzen Schalen der Einfluss des Systems seinen Einfluss gegenüber dem des Materials verliert. Eine numerische Behandlung solcher Zylinderschalen kann nur an endlich langen Strukturen durchgeführt werden. Durch die richtige Wahl der Randbedingungen am Anfang und am Ende der Schale kann jedoch das aus den analytischen Lösungen bekannte Verhalten bestätigt werden. Es können Lasten ermittelt werden, bei denen der Gleichgewichtszustand nicht mehr eindeutig ist und es können die zugehörigen Beulformen dargestellt werden.

4 nach Brush und Almroth siehe [1], Seite 22

5 siehe [1] und [2] 6 siehe Bathe [6] 7 siehe Wriggers [7] 8 ebd. siehe [1], Kapitel 5

Diplomarbeit Alexander Bruns 3

Nach dem Verzweigungspunkt, an dem das System den primären Gleichgewichtspfad verlässt, zeigen Kreiszylinder und Sechseckzylinder unterschiedliches Verhalten. Vergleichbar mit dem Stab kann der Sechseckzylinder nach der Beullast noch weiter belastet werden. Er hat also ebenfalls ein stabiles Nachbeulverhalten. Der Kreiszylinder dagegen hat ein instabiles Nachbeulverhalten. Er bricht unter der Beullast zusammen und zeigt deutliche Deformationen. Das unterschiedliche Verhalten veranschaulichen Abb. 1.4(a) und Abb. 1.4(b)

Die Zylinderstrukturen weisen noch ein weiteres Verhalten auf: Sie sind teilweise anfällig gegenüber Vor-verformungen. Dieses als Imperfektionsempfindlichkeit bezeichnete Verhalten steht in engem Zusammenhang mit dem Nachbeulverhalten. Der Kreiszylinder, der ein instabiles Nachbeulverhalten aufweist, ist sehr anfällig gegenüber Imperfektionen. Erreicht die perfekte oder imperfekte Struktur die Beullast, so ist keine Laststeigerung mehr möglich und die Struktur erleidet große Verformungen. Der Sechseckzylinder, der ein stabiles Nachbeulverhalten aufweist, ist nicht anfällig gegenüber Imperfektionen und ermöglicht der imperfekten Form teilweise eine größere Last als der perfekten Ausgangsform.

Für eine detailliertere Beschreibung des hier dargelegten Tragverhaltens wird auf die Ausführungen von Brush und Almroth unter [1] und von Koiter unter [2] verwiesen.

Diplomarbeit Alexander Bruns 4

2 FEM mit ANSYS

An dieser Stelle wird auf die Anwendung der Finite-Element-Methoden, die bei dieser Untersuchung Verwendung fanden, eingegangen. Die Handhabung von ANSYS und die dabei verwendeten Funktionen und Elemente werden erläutert.

2.1 Verwendung der FEM

Eine numerische Untersuchung, die das Tragverhalten von mechanisch beanspruchten Strukturen analysiert, basiert zur heutigen Zeit auf den Finite-Element-Methoden 9 . Dabei wird das mechanische Problem, das durch Differentialgleichungen höherer Ordnung beschrieben ist, nicht durch das analytisch exakte Lösen der DGL beschrieben — was meistens nicht möglich ist, da die analytische Lösung nicht existiert — sondern die Lösung wird numerisch angenähert. Die Struktur wird in finite, also endliche, Elemente zerlegt, was auch als Vernetzung bezeichnet wird. An den Knotenpunkten dieses Netzes werden durch die Finite-Element-Methoden Näherungen für die Lösung der DGLs berechnet. Hierbei werden die Gleichgewichtsbedingungen, die durch die DGLs ausgedrückt werden, durch die Variationsmethoden 10 in eine Matrizen-Schreibweise umformuliert. Diese bietet die Möglichkeit, durch numerische Algorithmen näherungsweise im Rechner gelöst zu werden.

Die einzelnen Knoten, die das Netz über die Struktur bildet, werden durch Randbedingungen so definiert, dass sie das zu lösende Problem möglichst genau wiedergeben. Diese Randbedingungen sind Kräfte, Lagerungen oder auch Einschränkungen von Verschiebungen. Die Elemente des Netzes besitzen an ihren Knoten die nötigen Freiheitsgrade, die die für die Lösung des Problems nötigen Kräfte oder Verschiebungen repräsentieren. Eine Vereinfachung und Idealisierung des Problems ist auch bei den heute zur Verfügung stehenden Rechenkapazitäten nötig, da dadurch zum einen Rechenzeit gespart wird und zum anderen nur die wirklich relevanten Ergebnisse berechnet werden.

Die Vorgehensweise bei dieser Untersuchung sieht wie folgt aus:

1. Erstellen der Geometrie des Zylinders.

2. Vernetzen der Geometrie mit Elementen, die als Freiheitsgrade Verschiebungen und Verdrehungen zulassen.

3. Einschränkung der Ränder des Zylinders auf die Randbedingungen (Verschiebungen und Lagerungen).

4. Belastung des Zylinders mit Einzellasten auf jedem Knoten.

5. Statische Berechnung unter einer Einheitslast von eins.

6. Berechnung der Beullast und von zugehörigen Beulformen als Vielfaches der Einheitslast.

7. Ausgabe der entsprechenden Beulformen.

9 siehe Bathe [6]

10 ebd. Seite 132

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Die Berechnung der kritischen Beullast stellt mathematisch gesehen das Finden der Kraft dar, bei der die Determinante der Steifigkeitsmatrix gleich null wird (DetK = 0). Aufgrund der geometrischen Nichtlinearität beim Beulen und der Nichtlinearität des Gleichgewichtspfads im Last-Verschiebungs-Diagramm kann die Beullast nicht direkt linear bestimmt werden. Mit dem Newton-Raphson-Verfahren 11 werden in definierten Iterationsschritten die zu der entsprechenden Last gehörenden Verschiebungen und Spannungen iterativ berechnet. Das Iterationsverfahren nach Lanczos 12 wird dabei benutzt, um die Eigenwerte der Steifigkeitsmatrix und deren Eigenformen zu bestimmen.

2.2 Anwendung von ANSYS

Das Software-Paket ANSYS bietet zahlreiche Programme für die Simulation von Beanspruchungen, die auf frei wählbare Strukturen und Geometrien wirken können. Dazu gehören Möglichkeiten für Untersuchungen von mechanischen, dynamischen, thermischen, elektrischen, magnetischen, akustischen und elektromagnetischen Beanspruchungen. Für diese Untersuchung wurden die Möglichkeiten für nichtlineare statische Berechnungen und Beuluntersuchungen mit ANSYS Multiphysics benutzt.

Die Arbeit mit ANSYS besteht dabei aus drei Teilen: Preprocessing, Solution und Postprocessing 13 . Preprocessing ist der erste Teil einer Berechnung, in dem die Geometrie festgelegt und die Vernetzung durchgeführt wird. Hier werden Materialien bestimmt und die Eigenschaften der Elemente, die die Vernetzung bestimmen, werden definiert. Im Solution-Teil können Kräfte auf Knoten aufgebracht und Randbedingungen definiert werden. Damit wird das zu lösende Gleichungssystem beeinflusst, dessen Berechnung und Lösung am Ende dieses Teils steht. Die Auswertung der Ergebnisse geschieht im Postprocessing-Teil. Farbige Darstellungen der Spannungsverläufe über die Struktur und die zu den berechneten kritischen Lasten gehörenden Beulformen werden hier ausgegeben.

Die Berechnungen mit ANSYS können in einem grafischen Programm-Modus vorbereitet und ausgewertet oder im Batch-Modus ohne grafische Ausgabe durchgeführt werden. Für den letzteren Fall stellt ANSYS eine mächtige eigene Programmiersprache zur Verfügung, in der alle Schritte, die grafisch möglich sind, durch Befehle und zugehörige Parameter realisiert sind. Die Untersuchung mit ANSYS besteht somit i. A. aus der Entwicklung der Eingabedateien in der ANSYS-Programmiersprache. Alle Schritte in ANSYS, die im grafischen Modus getätigt werden, können in einer History-Liste nachgesehen werden und helfen bei der Erstellung der Skripte. Für die Berechnung wird ANSYS im Batch-Modus gestartet, bei dem die Berechnungsschritte durch eine Eingabe-Datei eingelesen und die berechneten Werte in der Ausgabedatei und in von ANSYS generierten Bildern ausgegeben werden. Dieses Vorgehen ist detailliert in Anhang B beschrieben.

2.3 Numerisches Modell

Bei der Untersuchung der dünnwandigen Strukturen in dieser Arbeit wurden die Zylinder als Regelformen mit definiertem Radius, Wandstärke und Höhe eingegeben. Dabei wurden die Strukturen durch die Möglichkeiten der ANSYS-Programmiersprache erzeugt und aus Regelformen generiert. Dieses als Solid-Modeling 14 bezeichnete Verfahren hat den Vorteil, dass die Vernetzung des Modells mit den definierten Elementen mit der ANSYS eigenen Intelligenz durchgeführt wird. Somit können Berechnungsfehler durch eine schlecht gewählte Vernetzung ausgeschlossen werden. Eine Programmierung der Knotenpunkte des Netzes selber wäre zwar auch möglich gewesen, liefert aber die gleichen Ergebnisse bei größerem Programmieraufwand.

11 vgl. Bathe [6], Seite 897 ff.

12 ebd. Seite 1129 ff. 13 vgl. ANSYS-Dokumentation [8] 14 ebd., Modeling and Meshing Guide

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Bei der Generierung des Netzes wurden ebene Vier-Knoten-Elemente verwendet. Diesen kann als Parameter die Wandstärke übergeben werden. Eine Vernetzung mit Volumenelementen ist bei dünnwandigen Strukturen nicht nötig, da sie zu unnötiger Rechenzeit bei gleichen Ergebnissen führen.

Aus der von ANSYS bereitgestellten Bibliothek wurde das Element SHELL63 gewählt. Es besitzt vier Knoten und hat die Möglichkeit, Membran- und Biege-Schnittkräfte zu berechnen. Da das Beulverhalten von Zylinderstrukturen ohne Biegeschnittgrößen nicht stattfinden kann, ist diese Möglichkeit besonders wichtig. Das Element erlaubt die Belastung in Normalenrichtung und in Richtung der Elementebene. An jedem Knoten hat es sechs Freiheitsgrade, so dass drei Verschiebungen und drei Verdrehungen bestimmt werden können.

Das Koordinatensystem dieses Elementes hat eine leicht andere Notation als das globale Koordinatensystem in ANSYS. Es handelt sich um zwei voneinander getrennte Koordinatensysteme. Dieses muss aber nur bei der Auswertung der Spannungen und Ergebnisse pro Element berücksichtigt werden. Die Knoten des Netzes richten sich nach dem globalen KOS, solange dieses Knoten-KOS nicht gedreht wird. Da sich die Randbedingungen nach dem KOS der Knoten richten, müssen die Knoten vor dem Definieren der Randbedingungen gedreht und angepasst werden. Den Unterschied zeigen Abb. 2.2(a) und Abb. 2.2(b):

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Sollen Imperfektionen vor der Berechnung auf die Geometrie aufgegeben werden, so kann dies auf zwei Arten geschehen. Das Solid-Model kann imperfekt generiert werden. Dazu werden die Grundelemente, aus denen die Flächen erzeugt werden, verschoben generiert. Soll die Struktur nach der Vernetzung verändert werden, so reagiert ANSYS darauf allergisch mit Fehlermeldungen. Durch das nachträgliche Verschieben der Knotenko-ordianten bleiben die Elemente nicht mehr eben. Abb. 2.3(a) und Abb. 2.3(b) zeigen das erzeugte Solid-Model und die vernetzte Struktur.

Es besteht allerdings die Möglichkeit, ein perfektes Modell durchzurechnen, in einer erneuten Berechnung zu laden und die Geometrie durch die zuvor berechnete Beulform zu ersetzen. Dieses Verfahren wird als Updaten der Geometrie bezeichnet. Es entspricht dem bevorzugten Vorgehen beim Untersuchen der Imperfektionsempfindlichkeit. Man geht allgemein davon aus, dass eine Form, die aus der Geometrie der ersten Beulform als imperfekte Form generiert wird, zu Imperfektionsempfindlichkeit neigt. Abb. 2.4(a) und Abb. 2.4(b) zeigen das vernetzte Modell vor und nach dem Updaten der Geometrie.

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3 Untersuchung des Kreiszylinders

Die Untersuchung des Kreiszylinders dient der Verifizierung des verwendeten numerischen Modells und als Grundlage für den Vergleich mit den Sechseckzylindern. Da analytische Lösungsansätze 15 für die Differentialgleichungen, die die Gleichgewichtsbedingungen für den Kreiszylinder beschreiben, vorliegen, kann das analytische Ergebnis für die Größe der kritischen bestimmt Beullast mit dem numerischen Ergebnis direkt verglichen werden.

Als Grundlage für diese Untersuchung wird ein Kreiszylinder mit den folgenden Kennwerten gewählt:

Für dünnwandige Zylinderstrukturen mit kreisrundem Querschnitt ist die kritische Last, bei der der Verzweigungspunkt erreicht ist und das Beulen einsetzt, näherungsweise analytisch nach der folgenden Formel zu ermitteln 16 :

P Cr = σ Cr · A

Für diesen Fall ergibt sich:

15 vgl. Brush und Almroth siehe [1], Kapitel 5

16 ebd., Seite 168 (5.52)

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Die Höhe des Kreiszylinders kann beliebig gewählt werden, wobei darauf geachtet werden muss, dass der Zylinder nicht sehr klein ist und somit das Systemversagen nicht in den Hintergrund gerückt wird. Um die für den Kreiszylinder bekannte Beulform zu begünstigen, wird die Höhe aus einem Vielfachen der sog. Beullänge 17 bestimmt, die eine Länge der sich ergebenden Beulwellen darstellt. Diese besteht aus der zweifachen halben Wellenlänge, die sich wie folgt bestimmen lässt:

π √

Für diesen Fall ergibt sich:

π

Die Höhe des Zylinders wird aus vier Wellenlängen gewählt und ergibt sich zu:

Sobald die Höhe des Kreiszylinders aus einem Vielfachen dieser Wellenlänge besteht, stellt sich die zugehörige Beulform als „Baumkuchenform“ ein. Abb. 3.1 veranschaulicht dieser Beulform:

17 vgl. Kollá und Dulácska, siehe [3], Seite 25

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3.1 Numerisches Modell

Um die kritische Last mit ANSYS numerisch zu berechnen, wird ein Kreiszylinder mit den folgenden, an die analytische Lösung angeglichenen, Kennwerten erzeugt:

3.1.1 Solid-Model

Von dem Zylinder mit kreisrundem Querschnitt ist die auftretende Beulform bekannt, die einer „Baumkuchen-form“ ähnlich ist. Aus diesem Grund wird das Solid-Model schon so erstellt, dass eine imperfekte „Baumku-chenform“ erzeugt werden kann, die dann vernetzt wird.

Zuerst werden Titel und Farben definiert, die die Ausgabe der erzeugten Grafiken beeinflussen:

Dann werden Variablen definiert und die das Solid-Model beeinflussenden Größen berechnet. Nach den Formeln für die analytische Beullast und Beullänge werden Höhe und Wanddicke berechnet:

Alle Werte, die für die Parameterstudien aller Berechnungen dieser Untersuchung verändert werden müssen, sind nur in dieser am Anfang der Eingabedatei zu findenden Stelle zu variieren.

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Nach der Festlegung und Berechnung der Eingangsgrößen beginnt der Preprocessing-Teil in ANSYS. Es wird das Element für die Vernetzung festgelegt und die Eigenschaften wie Dicke, E-Modul und Querdehnzahl definiert:

Beim Erzeugen von ANSYS-Elementen — dazu zählen Linien, Flächen, Volumen, Keypoints, Knoten und Elemente — wird jedem Element eine eindeutige Nummer zugeordnet. Es ist von Vorteil, dieses in Abhängigkeit von schon vorhandenen ANSYS-Elementen zu tun. Dazu werden Variablen definiert, die die vorhandene Anzahl dieser ANSYS-Elemente speichern:

Nun wird das Solid-Model erstellt. Dieses geschieht durch die folgenden Schritte:

1. Erzeugen einer cosinusförmigen Kurve der Länge der Wellenlänge und der Amplitude der angegeben Anfangsimperfektion.

2. Diese Kurve wird nach der definierten Anzahl der gewünschten Wellen aneinander gehängt, so dass die Außenkante des Zylinders erzeugt wird.

3. Diese Linie wird um die Mittalachse des Kreiszylinders rotiert und somit das Solid-Model erstellt.

Diese Schritte sehen nacheinander so aus:

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Die erzeugte einfache Wellenlänge als Spline zeigt Abb. 3.2(a).

Die komplette Außenkante aus den kopierten erzeugten Splines zeigt Abb. 3.2(b).

Das fertige Solid-Model, das aus der Rotation der Außenkante um die Mittelachse des Zylinders erzeugt wurde, zeigen Abb. 3.3(a) und Abb. 3.3(b).

Um die einzelnen Elemente des Solid-Models später wieder einfach aufrufen zu können und auszuwählen, werden diese gruppiert:

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3.1.2 Netzgenerierung

Der Schritt der Netzgenerierung wird in ANSYS als Meshing bezeichnet. Dabei werden die generierten Flächen mit dem definierten Element in der eingestellten Elementgröße vermascht. Anschließend werden die obere und untere Knotenreihe gruppiert und die erzeugten Knoten und Elemente einzelnen Gruppen zugeordnet:

Anschließend werden noch die Koordinatensysteme der erzeugten Knoten gedreht, damit die Randbedingungen richtig aufgegeben werden können.

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Die vernetzte Struktur am Ende des Preprocessing zeigt Abb. 3.4

3.1.3 Randbedingungen

Die Randbedingungen beeinflussen das Verfor-

mungsverhalten der Struktur. Ohne die richtige Wahl

der Randbedingungen tritt das zu untersuchende Beulverhalten nicht auf. Auf den ersten Blick reicht eine Belastung der oberen Knotenreihe und eine vertikale Unverschieblichkeit in der unteren Knotenreihe. Mit dieser sehr einfachen Randbedingung kann ANSYS keine kritische Last und keine Beulform finden. Der Zylinder verdreht sich nur in Umfangsrichtung (Z-Achse) und wird vertikal zusammengestaucht. Wählt man die Randbedingung mit Unverschieblichkeit UZ, tritt eine andere Erscheinung auf. Die Struktur krempelt sich an den Zylinderenden auf, wie Abb. 3.5 veranschaulicht.

Um die einfachste Randbedingung, die dem Zu-

stand des unendlich langen Sechseckzylinders ent- Abb.3.5: Kreis: Aufgekrempelte Beulform spricht, zu definieren, muss zusätzlich noch die Rotation um die Z-Achse verhindert werden. Dadurch wird gewährleistet, dass die Struktur an der Stelle der

Krafteinleitung und der vertikalen Auflagerung auch wirklich tangential zur Kraft- bzw. Auflagerrichtung bleibt. Dabei muss beachtet werden, dass die Randbedingungen am oberen und am unteren Rand der Struktur gleich sind, ausgenommen der vertikalen Unverschieblichkeit.

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Die einfachste Randbedingung, bei der die gewünschte Beulform auftritt, ist die Randbedingung RB01 wie Abb. 3.6 zeigt.

Die Randbedingung wird in ANSYS genau wie die Belastung im Solution-Teil angegeben:

Zusätzlich zu den einzelnen Randbedingungen werden alle Knoten in der oberen Ebene aneinander gekoppelt. Das bedeutet, dass sich die Knoten in dieser Ebene alle gleichförmig vertikal verschieben und somit dem Verhalten der unendlich langen Struktur entsprechen.

Zusätzlich zu der Randbedingung RB01 wurden noch zwei weitere untersucht. Bei Randbedingung RB02 wird zusätzlich die Verdrehung um die X-Achse und bei RB03 zusätzlich die Verdrehung um die Y-Achse verhindert. Diese Randbedingungen zeigen Abb. 3.7 und Abb. 3.8.

Die Randbedingung RB02 wird in ANSYS wie folgt definiert:

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Die Randbedingung RB03 wird in ANSYS wie folgt definiert:

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Die Definition der Belastung geschieht im Solution-Teil der Berechnung. Hier wird eine Last der Größe eins auf die Knoten der obersten Ebene gegeben. Die eins-Last wird durch die Anzahl der Knoten dividiert. Da bei der Lösung der Matrix und der Beulberechnung die Beullast als ein Vielfaches der hier definierten Last angegeben wird, erhält man aus der Berechnung auf diesem Wege direkt die absolute Größe der Beullast.

Die Last wird in ANSYS wie folgt definiert:

Die fertigen Randbedingungen RB01 am Kreiszylinder zeigt Abb. 3.9.

3.1.4 Berechnung

Nachdem das Netz generiert wurde und Randbedingungen und Lasten definiert sind, werden in zwei Schritten die Beullasten und zugehörigen Beulformen berechnet. Im ersten Schritt wird eine statische Berechnung durchgeführt und die Reaktionen der Struktur unter der eins-Belastung ermittelt.

Im zweiten Schritt werden von ANSYS die Eigenwerte der Matrix aus dem ersten Schritt und damit die kritischen Beullasten iterativ ermittelt. Die zugehörigen Eigenformen bilden die Beulformen.

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3.1.5 Ausgabe

Im letzten Teil der Untersuchung, dem Postprocessing in ANSYS, werden automatisch die Beulformen in drei Ansichten als Grafik exportiert. Dabei wird eine Schleife über die berechnete Anzahl an Beulformen durchlaufen:

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3.2 Ergebnisse der Berechnungen

Das zuvor dargestellte numerische Modell dient zur Untersuchung und Berechnung in Form von diversen Parameterstudien. In einem ersten Schritt wird die Elementgröße variiert und der Einfluss auf die Genauigkeit der Berechnung bestimmt. Daran anschließend werden die Höhe des Zylinders und die Wandstärke variiert und der Einfluss auf die kritische Last bestimmt. Als letzte Untersuchung wird der Einfluss von Imperfektionen vor der Belastung des Kreiszylinders analysiert.

3.2.1 Variation der Elementgröße

Die Elementgröße bestimmt, wie fein und genau das Netz über die Struktur gelegt wird. Diese Untersuchung dient dazu herauszufinden, ab welcher Genauigkeit die Berechnung brauchbare Ergebnisse liefert. Die Elementgröße wurde von 1,00 mm bis 50,00 mm verändert. Dabei war die Berechnung mit dem Wert 1,00 mm nicht möglich, da die maximale Grenze der erlaubten Knoten von 512.000 18 überschritten wurde. Die Kurve in Abb. 3.10(a) steigt stark an. Erst ab einer Elementgröße von 6,00 mm bis 5,00 mm ändert sich die Größe der berechneten kritischen Last nicht mehr merklich. Die Treppen in der Kurve sind durch den Umstand begründet, dass ANSYS bei sehr großen Elementen nicht bei jeder Verfeinerung unbedingt mehr Elemente und Knoten benutzt. Erst ab einer Elementgröße von 20,00 mm ist jede Berechnung unterschiedlich.

In Abb. 3.10(b) ist die Größe der berechneten kritischen Beullast jeweils durch den Wert der bekannten analytischen Lösung dividiert. Bei einer Elementgröße von 5,00 mm erhält man eine

Durch diese große Übereinstimmung kann davon ausgegangen werden, dass das numerische Modell brauchbar für diese Untersuchung ist. Die Übereinstimmung der Kurven der drei aufgegebenen Randbedingungen zeigt darüber hinaus, dass der Kreiszylinder weitestgehend unabhängig gegenüber den Verhältnissen am Rand ist. Dies zeigen auch die Beulformen, die ANSYS zugehörig zu den Beullasten findet. Bei allen drei Randbedingungen ist die erste Beulform gleich der erwarteten „Baumkuchenform“. Die folgenden Beulformen sind dieser sehr ähnlich und liegen mit den zugehörigen Beullasten alle sehr nahe beieinander.

18 Fehlermeldung: The maximum number of nodes that this version of ANSYS supports ( 512000 ) has been exceeded. Contact your ANSYS support person for more information

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Die Beulformen nach der ersten sind jedoch nur theoretische Formen, da sie zu Beullasten gehören, die größer sind als die erste und kleinste kritische Last. Wegen des instabilen Nachbeulverhaltens des Kreiszylinders können diese Lasten nicht erreicht werden und die zugehörigen Formen können nicht auftreten. Die Struktur bricht beim Erreichen der kritischen Last zusammen.

Eine Übersicht über die weiteren vier Beulformen und die jeweils fünf Beulformen zu den Randbedingungen RB02 und RB03 ist in Abb. C.1(a) bis Abb. C.14(c) im Anhang C aufgeführt.

3.2.2 Variation der Höhe

Bei dieser Untersuchung wird der Einfluss der Höhe des Zylinders auf die kritische Last behandelt. Die Höhe wird nicht absolut variiert sondern die Anzahl der Beullängen l x bestimmt. Um eine möglichst genaue Aussage zu erhalten, werden die Zylinder mit einer Elementgröße von 5,00 mm vernetzt. Dadurch ist das Netz auf dem Zylinder bei einer sehr großen Höhe sehr fein und die Knotenanzahl sehr groß. Es werden Zylinder aus 1,00 bis 40,00 ganzen Wellenlängen untersucht, da in diesem Bereich ein sinnvolles Verhältnis aus benötigter Rechenzeit und erhaltener Aussage liegt. Die Berechnung des Kreiszylinders aus 40,00 Wellenlängen dauert allein bereits mehr als 18 Stunden.

Es zeigt sich, dass die Größe der kritischen Last weitgehend unabhängig von der Länge des Zylinders ist. Dieses wird auch durch die aus der analytischen Behandlung von unendlich langen Kreiszylindern bekannten Aussagen und Ergebnisse untermauert.

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Die Beulformen ergeben sich genauso wie beim zuvor untersuchten Kreiszylinder aus nur vier Wellenlängen. Die „Baumkuchenform“ stellt sich in der Wellenlänge der doppelten Beullänge ein und sieht bei einem aus 20·l x bestehenden Kreiszylinder wie eine Ziehharmonika aus:

Eine Übersicht der weiteren vier Beulformen ist in Abb. C.15(a) bis Abb. C.18(c) im Anhang C aufgeführt.

3.2.3 Variation der Wandstärke

Bei der Variation der Wandstärke wird der gleiche Kreiszylinder wie in Kapitel 3.2.1 gewählt. Durchmesser und Höhe bleiben unverändert, nur das Verhältnis r/t wird variiert. Um eine möglichst genaue Aussage zu erhalten, werden auch hier die Zylinder mit einer Elementgröße von 5,00 mm vernetzt. Das Netz auf dem Zylinder ist bei allen Berechnungen dieser Untersuchung gleich groß, da die Dicke des Zylinders, die durch das r/t-Verhältnis bestimmt wird, nur in der Definition des Elementes berücksichtigt wird. Alle Berechnungen benötigen die gleiche Zeit. Dabei wird das r/t-Verhältnis von 1,00 bis 400,00 variiert. Obwohl der Wert des r/t-Verhältnisses linear gesteigert wird und auch in ANSYS bei jeder Berechnung die Elementanzahl, Knotenanzahl, Randbedingungen und die Größe der Matrix gleich bleiben und die Variation nur eine lineare Veränderung eines Kennwertes des Elementes darstellt, ist das Ergebnis nicht linear:

Je geringer das r/t-Verhältnis wird, je dicker also die Wandstärke ist, desto mehr Last kann der Zylinder aufnehmen. Dabei steigt die kritische Last logarithmisch an.

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3.2.4 Imperfektionsempfindlichkeit

Bei den bisherigen Untersuchungen kann das in Kapitel 3.1 vorgestellte Modell angewendet werden. Es werden nur die entsprechenden Werte bei der Durchführung der Parameterstudien variiert. Da das Modell so programmiert ist, dass Imperfektionen aufgegeben werden können, indem das Solid-Model imperfekt generiert wird, reicht das Modell auch für die Untersuchung der Imperfektionsempfindlichkeit. Dies ist aber nur deshalb eine richtige Annahme, da die Beulform bereits bekannt ist.

Sollen auf die Geometrie vor der Berechnung Imperfektionen aufgegeben werden, so kann dieses auf zwei Arten geschehen. Das Solid-Model kann zum einen imperfekt generiert werden. Diese Möglichkeit bietet bereits das vorhandene numerische Modell. Eine zweite Möglichkeit ist ein perfektes Modell durchzurechnen. Dieses wird dann in einer erneuten Berechnung geladen und die Geometrie wird durch die zuvor berechnete Beulform ersetzt. Hierbei ist die maximale Auslenkung in der Beulform schon auf den Wert eins normiert, so dass der Faktor beim Updaten der Geometrie gleich der zu berechnenden Imperfektion entspricht.

Bei dieser Untersuchung werden Imperfektionen auf den Zylinder aufgegeben und eine erneute Berechnung der kritischen Last durchgeführt. Dabei wird die Imperfektion δ in Abhängigkeit von der Wandstärke t ausge-

drückt. Eine Imperfektion von eins bedeutet, dass die Form an einer Stelle maximal in der Größe der Blechdicke ausgelenkt ist.

Der Weg über das Updaten der Geometrie ist vorzuziehen, da meistens die Form der Beulform nicht bekannt ist und von dieser Form unabhängig ist. Die Änderungen an der Eingabedatei von ANSYS werden nun kurz angegeben.

Die Vorgehensweise dabei sieht wie folgt aus:

1. Laden der Ergebnisse der Berechnung der perfekten Form.

2. Berechnen des Faktors für das Geometrie-Update.

3. Updaten der Geometrie.

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Danach ist eine imperfekte Geometrie mit den gleichen Randbedingungen und Lasten wie in der vorhergehenden Berechnung vorhanden. Es folgen die bekannten Schritte wie bei der Lösung des Gleichungssystems, Berechnung der Beullast und Beulform sowie Ausgabe der Grafiken.

In Abb. 3.15 ist die kritische Last in Abhängigkeit der Last der perfekten Form aufgetragen. Das Ergebnis dieser Untersuchung liefert für alle drei Randbedingungen die gleiche Aussage. Auch sind die Ergebnisse aus der Berechnung mit imperfektem Solid-Model und aus dem Weg über das Geometrie-Update identisch. Die Kreiszylinderstruktur ist empfindlich gegenüber Imperfektionen. Bereits ab einer Imperfektion in der Größen-ordnung der einfachen Blechdicke beträgt die kritische Last nur noch 20 % der Last der perfekten Struktur:

Die Spitzen in der Kurve können wie folgt begründet und gedeutet werden: Brush und Almroth geben für den Kreiszylinder unter axialer Belastung eine analytische Lösung 19 an, in der der Eigenwert, der die kritische Last repräsentiert, abhängig ist von einem Paar natürlicher Parameter m und n.

Danach ist jeweils der kleinste Eigenwert der Wert der kritischen Last, welcher aus Kombinationen von m und n gebildet werden kann. In der Kurve, die aus den Berechnungen resultiert, sind die spitzen Berge Punkte, an denen der relevante kleinste Eigenwert sich aus einer anderen Kombination von m und n ergibt.

19 vgl. Brush und Almroth siehe [1], Seite 167, Kapitel 5.5b

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