„Wie kann man es denn verantworten, Fähigkeiten des Kindes vier Jahre lang brach liegen zu lassen, die sich im Vorschulalter schon entwickelten? Das Kind hat gebaut, gelegt, experimentiert und auf diese Weise im Raum Erfahrungen

¹ Besuden 1973

INHALTSVERZEICHNIS

1.EINLEITUNG   1

2.  ZUM KONZEPT DES GEOMETRISCHEN DENK- UND VORSTELLUNGSVERMÖGENS.  4

2.1.  Räumliches Vorstellungsvermögen  4

2.1.1.  Definition.  4

2.1.2.  Räumliches Vorstellungsvermögen und Intelligenz  4

2.1.3.  Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens  5

2.2.  Visuelle Wahrnehmungsfähigkeit.  5

3.  ENTWICKLUNG DES GEOMETRISCHEN DENK- UND VORSTELLUNGSVERMÖGENS  8

3.1.  Erkenntnistheorie nach Piaget  8

3.1.1.  Entwicklungsstufen nach Piaget.  9

3.1.2.  Kritik an Piaget  10

3.1.3.  Folgerungen für die Unterrichtsplanung.  10

3.2.  Repräsentionsformen nach Bruner  11

3.2.1.  Folgerungen für die Unterrichtsplanung.  12

3.3.  Stufenmodell nach van Hiele  12

3.3.1.  Folgerungen für die Unterrichtsplanung.  14

4.  KONSEQUENZEN FÜR DIE UNTERRICHTSPRAXIS  15

4.1.  Prinzipien zur Gestaltung des Geometrieunterrichts  15

4.2.  Prinzip des aktiv-entdeckenden Lernens.  16

5.  PLANUNG DER UNTERRICHTSEINHEIT ZUM THEMA ACHSENSYMMETRIE.  19

5.1.  Planung und Aufbau der Einheit.  19

5.2.  Intentionen und Lernziele der Einheit  20

5.3.  Situation der Lerngruppe  20

5.4.  Inhaltliche Lernvoraussetzungen  22

5.5.  Sachinformationen.  24

5.6.  Didaktische Begründungen.  27

5.7.  Methodische Begründungen.  30

5.7.1.  Arbeits- und Sozialform  35

5.7.2.  Medien.  35

5.7.3.  Differenzierung  36

6.  DOKUMENTATION DER UNTERRICHTSEINHEIT.  37

6.1.  Die 1. Unterrichtsstunde  37

6.1.1.  Thema der Stunde.  37

6.1.2.  Lernziel der Stunde  37

6.1.3.  Inhaltliche Lernvoraussetzungen.  38

6.1.4.  Sachinformationen  38

6.1.5.  Didaktische Begründungen  39

6.1.6.  Methodische Begründungen  40

6.1.7.  Verlaufsplanung.  43

6.1.8.  Reflexion der Stunde.  44

6.2.  Die 2. Unterrichtsstunde.  47

6.2.1.  Thema der Stunde.  47

6.2.2.  Lernziel der Stunde  47

6.2.3.  Verlaufsplanung.  47

6.2.4.  Reflexion der Stunde.  47

6.3.  Die 3. Unterrichtsstunde  48

6.3.1.  Thema der Stunde.  48

6.3.2.  Lernziel der Stunde  48

6.3.3.  Inhaltliche Lernvoraussetzungen.  48

6.3.4.  Sachinformationen  49

6.3.5.  Didaktische Begründungen  50

6.3.6.  Methodische Begründungen  51

6.3.7.  Verlaufsplanung.  54

6.3.8.  Reflexion.  54

6.4.  Die 4. Unterrichtsstunde.  58

6.4.1.  Thema der Stunde.  58

6.4.2.  Lernziel der Stunde  58

6.4.3.  Verlaufsplanung.  58

6.4.4.  Reflexion der Stunde.  58

6.5.  Die 5. Unterrichtsstunde.  61

6.5.1.  Thema der Stunde.  61

6.5.2.  Lernziel der Stunde  61

6.5.3.  Inhaltliche Lernvoraussetzungen.  61

6.5.4.  Sachinformationen  62

6.5.5.  Didaktische Begründungen  63

6.5.6.  Methodische Begründungen  64

6.5.7.  Verlaufsplanung.  67

6.5.8.  Reflexion der Stunde  67

6.6.  Die 6. Unterrichtsstunde.  70

6.6.1.  Thema der Stunde.  70

6.6.2.  Lernziel der Stunde  70

6.6.3.  Verlaufsplanung.  70

6.6.4.  Reflexion der Stunde.  71

6.7.  Die 7. Unterrichtsstunde.  73

6.7.1.  Thema der Stunde.  73

6.7.2.  Lernziel der Stunde  73

6.7.3.  Verlaufsplanung.  73

6.7.4.  Reflexion der Stunde.  74

7.  SCHLUSSREFLEXION.  76

8.  LITERATURVERZEICHNIS  80

EINLEITUNG 1

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„Wie kann man es denn verantworten, Fähigkeiten des Kindes vier Jahre lang brach liegen zu lassen, die sich im Vorschulalter schon entwickelten? Das Kind hat gebaut, gelegt, experimentiert und auf diese Weise im Raum Erfahrungen gesammelt, die fortgesetzt werden müssen“ 2

Genau diese Aussage von H.Besuden beschreibt in eindrücklicher Art und Weise meine Motivation, die Schüler mit geometrischen Inhalten zu konfrontieren. So konnte ich die Schüler meiner Lerngruppe beobachten, wie sie sich stets voller Begeisterung und Konzentration mit geometrischen Inhalten beschäftigten. Diese Begeisterung zeigte sich u.a. im Rahmen der zu Beginn des 2.Schuljahres durchgeführten Unterrichtseinheit zum Thema „Tangram“ (vgl. 5.4.Inhaltliche Lernvoraussetzungen). Ferner beschäftigten sich viele Schüler in den letzten Wochen mit dem Erstellen von Papierflugzeugen, wobei sie sehr viel wert darauf legten, ihre Arbeiten zunehmend exakter und präziser durchzuführen. An dieser Stelle konnten sie bereits die Bedeutung und Notwendigkeit der Symmetrie für die Erschließung ihrer unmittelbaren Lebensumwelt unbewusst erfahren. Diese gegebene Lernmotivation möchte ich nutzen um die Schüler für den geometrischen Inhaltsbereich der Achsensymmetrie zu sensibilisieren und ihnen eine fachliche geometrische Kompetenz zu ermöglichen. Dadurch erhalten sie die Chance, ihre natürliche Umgebung bewusst wahrzunehmen, indem sie Strukturen und Phänomene entdecken, diese analysieren und zueinander in Beziehung setzen. Die Symmetrie gehört zu den fundamentalen geometrischen Ideen, die uns in unzähligen Stellen in der Natur, der Technik und der Kunst begegnen. Wie alle wichtigen mathematischen Ideen liegt ihre Wurzel nicht dort, wo mathematische Sätze formal hergeleitet werden, sondern in den konkreten Handlungserfahrungen. Den Schülern diese konkreten Handlungserfahrungen zu ermöglichen ist meine übergeordnete Intention.

Untersuchungen haben gezeigt, dass das Erkennen symmetrischer Eigenschaften ein Grundstein des räumlichen Vorstellungsvermögens ist (vgl. Radatz/ Schipper 1998). Diese Form des geometrischen Denk- und Vorstellungsvermögen ist für den Menschen und seine gesamte kognitive Entwicklung von entscheidender Bedeutung. „Nach Angaben von S. Bloom (1971) entwickeln sich bis zum 9./ 10.Lebensjahr 50% und bis zum 12./ 14.Lebensjahr rund 80% der Raumvorstellungsfähigkeit.“ ³ Schüler, die im Grundschulalter in diesem Bereich nicht gefördert und gefordert werden, weisen im Erwachsenenalter Defizite in der Raumvorstellung, die eng mit der menschlichen Intelligenz verbunden ist, auf.

² Besuden 1973

³ Dorothee, Knapstein, Spiegel 2002. S.4

EINLEITUNG 2

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Daraus schließe ich, dass eine unterrichtliche Begegnung mit der Symmetrie so früh wie möglich geschaffen werden sollte. Diese Erkenntnisse spiegeln sich auch in nahezu allen Rahmenrichtlinien wieder, welche der Geometrie im Allgemeinen eine wichtige Rolle im mathematischen Grundschulcurriculum zuweisen. Trotz dieser Einsichten konnte ich in meiner bisherigen Unterrichtspraxis beobachten, dass geometrische Unterrichtsinhalte eher peripher behandelt werden. Dies offenbarte sich mir u.a. durch einen Blick auf den schulinternen Stoffverteilungsplan, dessen Fokus eindeutig auf der Behandlung arithmetischer Inhalte liegt. Gleiches lässt sich für den Aufbau der Inhalte des mathematischen Schulbuches „Welt der Zahl“ sagen, mit dem die Schüler meiner Lerngruppe arbeiten. Hier werden geometrische Inhalte auf wenigen Seiten isoliert und zusammenhanglos abgehandelt. Außerdem erscheinen mir die angebotenen Aufgaben zum Thema Achsensymmetrie wenig ergiebig für eine angemessene Auseinandersetzung.

So wird es eines meiner Ziele sein, anspruchsvolle sowie kindgerechte Arbeitsmaterialien zu erstellen und den Schülern anzubieten, damit sie in angemessener und effektiver Form ihre Fähigkeiten im Bereich des geometrischen Denk- und Vorstellungsvermögens ausbilden können. Dabei ist es mein besonderes Anliegen, die Materialien so zu gestalten, dass die Schüler vielfältige Gelegenheiten zum Forschen und Fragen, Untersuchen und Entdecken, Ordnen, Vergleichen, Analysieren sowie Dokumentieren erhalten. Im Zentrum der Einheit stehen demnach konkrete Handlungserfahrungen, auf deren Grundlage die Schüler ihr räumliches Denken abstrahieren und ausbilden können.

Um den Aufbau der Inhalte sowie der Methoden dieser Unterrichtseinheit zielgerichtet auf meine Lerngruppe abzustimmen, werde ich mich im ersten Teil dieser Hausarbeit mit den wissenschaftlichen Erkenntnissen zum geometrischen Denk- und Vorstellungsvermögen auseinandersetzen.

Dazu möchte ich in Kapitel 2 zunächst der Frage nachgehen, aus welchen Komponenten sich das geometrische Denk- und Vorstellungsvermögen zusammensetzt. In diesem Zusammenhang werde ich einige Forschungsergebnisse zum räumlichen Vorstellungsvermögen (vgl. Besuden 1973 und Gardner 1991) sowie der visuellen Wahrnehmungsfähigkeit (vgl. Frostig 1978) darstellen.

In Kapitel 3 werde ich spezielle Erkenntnisse der Lern- und Entwicklungspsychologie beleuchten. Hierzu stelle ich zunächst J.Piagets (1971) Erkenntnistheorie zur Entwicklung des räumlichen Denkens vor. Daran anschließend werde ich mich mit den Forschungen J.Bruners (1972), der Piagets Ansatz aufgenommen und weitergeführt hat, auseinandersetzen. Abschließen werde ich dieses Kapitel mit der Präsentation eines Stufenmodells, welches vielen Ländern als Grundlage für die Gestaltung eines schulischen Geometrie-Curriculums dient. Das Ehepaar van Hiele (1978) entwickelte ein Modell, welches in eindrucksvoller Art und Weise die verschiedenen Entwicklungsstufen des geometrischen Denkens veranschaulicht.

Im 4.Kapitel werde ich dann der Frage nachgehen, welche praktische Konsequenzen sich für die Planung der Unterrichtseinheit ergeben. Dazu werde ich zunächst

EINLEITUNG 3

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grundlegende Prinzipien zur Gestaltung des Geometrieunterrichts in der Grundschule vorstellen. Auf der Basis dieser Erkenntnisse möchte ich das 4.Kapitel mit der Analyse eines konkreten didaktischen Unterrichtsprinzips abschließen, welches sich meiner Meinung nach ausgezeichnet dazu eignet, die theoretischen Erkenntnisse der Wissenschaft mit den praktischen Möglichkeiten des Schulunterrichtes zu verbinden. Meine Intention ist es, herauszuarbeiten, welche Möglichkeiten das Prinzip des aktiventdeckenden Lernens bietet, um das geometrische Denk- und Vorstellungsvermögen der Schüler meiner Lerngruppe effektiv auszubilden.

Aus diesen Intentionen heraus ergeben sich für mich zwei zentrale erkenntnisleitende Fragen, die ich im Rahmen einer praktischen Auseinandersetzung mit diesem Thema versuchen möchte, zu beantworten.

Kapitel 5 leitet dann den praktischen Teil meiner Hausarbeit ein. An dieser Stelle dokumentiere ich die konkrete Planung sowie den Aufbau der Unterrichtseinheit zum Thema Achsensymmetrie unter Beachtung methodischer sowie didaktischer Aspekte. Das 6.Kapitel dient der ausführlichen Dokumentation der Unterrichtseinheit. Hierzu erfolgen Kurzbeschreibungen der einzelnen Unterrichtsstunden, indem die jeweiligen Lernziele sowie Unterrichtsinhalte dargestellt werden. Am Beispiel von drei ausgewählten Unterrichtsstunden werde ich in detaillierter Art und Weise in Form eines ausführlichen Unterrichtsentwurfes verschiedene Möglichkeiten aufzeigen, wie man das geometrische Denk- und Vorstellungsvermögen der Schüler im Unterricht gezielt fördern kann. Darüber hinaus wird jede Stunde unter Berücksichtigung der eingangs formulierten Frage- und Problemstellungen analysiert und reflektiert. In der Schlussreflexion in Kapitel 7 möchte ich eine zusammenfassende Einschätzung der Unterrichtseinheit abgeben und die Lernergebnisse der Schüler unter Berücksichtigung der Zielsetzung dieser Hausarbeit kritisch auswerten. Der Anhang der Arbeit dient einer transparenten sowie bildhaften Dokumentation des Unterrichtsgeschehens. Hierzu liegen zu jeder Unterrichtsstunde aussagekräftige sowie prägnante Dokumente in Form von Fotos sowie Arbeitsblättern vor.

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Da der Bereich des geometrischen Denk- und Vorstellungsvermögens sehr allgemein gefasst ist und viele Teilbereiche beinhaltet, möchte ich ihn im Hinblick auf das Thema Achsensymmetrie meiner geplanten Unterrichtseinheit ein wenig eingrenzen. Dazu werde ich im Folgenden das räumliche Vorstellungsvermögen, als zentrale Komponente des geometrischen Denk- und Vorstellungsvermögens ausführlich beleuchten.

2.1. Räumliches Vorstellungsvermögen

Zentrales Ziel des Geometrieunterrichts in der Grundschule ist die Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögens. Darüber hinaus bildet es die Voraussetzung für schulisches Lernen überhaupt (vgl. Franke 2000).

2.1.1. Definition

Räumliches Vorstellungsvermögen umfasst nach Besuden (1973 und 1988) alle Fähigkeiten, die notwendig sind um im zwei- und dreidimensionalen Raum in der Wirklichkeit sowie in der Vorstellung handeln zu können. Wesentliche Voraussetzung dieser Fähigkeiten ist die räumliche Wahrnehmungsfähigkeit, die sich auf das Erfassen räumlicher Gegenstände und Beziehungen durch die Sinnesorgane bezieht. Palzkill und Schwirtz (1971) präzisieren in ihrer Definition die für räumliches Vorstellungsvermögen bedeutsamen Fähigkeiten: "Im Einzelnen bedeutet

Raumanschauung die Fähigkeit, Lagebeziehungen zwischen und an Gegenständen sowie geometrischen Grundformen an Gegenständen erkennen, sich vorstellen und beschreiben können." ⁴ Dem Erkennen von Lagebeziehungen gehen Handlungen an wirklichen Objekten oder in der Vorstellung voraus.

In beiden Definitionsansätzen wird sowohl der Raum als auch die Vorstellungsebene miteinbezogen.

Rost (1977) hingegen definiert räumliches Vorstellungsvermögen als "Fähigkeit, mit zwei- und dreidimensionalen Objekten auf der Vorstellungsebene zu operieren." ⁵ Von zentraler Bedeutung ist für ihn das Vorstellen und Bewegen, also das gedankliche Handeln und Hantieren mit räumlichen Objekten, Begriffen und Relationen. Alle Definitionsansätze unterscheiden zwischen räumlichem Vorstellungsvermögen und Wahrnehmungsfähigkeit.

2.1.2. Räumliches Vorstellungsvermögen und Intelligenz

Thurstone (1937) stellte als einer der ersten fest, dass räumliches Vorstellungsvermögen ein bedeutender Faktor der menschlichen Intelligenz ist. Dies konnte in den nachfolgenden Jahren von den meisten Intelligenzforschern bestätigt werden. So stellt die Räumliche Intelligenz beispielsweise in Gardners (1991) Intelligenzmodell einen wichtigen Faktor dar.

⁴ Palzkill und Schwirtz 1971, S.13

⁵ Rost 1977, S.20

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Bei beiden Wissenschaftlern setzt sich die Intelligenz aus verschiedenen Teilkomponenten zusammen, wobei jeweils das räumliche Vorstellungsvermögen eine dieser Komponenten repräsentiert. Gardner unterteilt zum Beispiel in folgende Bereiche:

Die räumliche Intelligenz beschreibt er mit den Teilfähigkeiten "… die visuelle Welt richtig wahrzunehmen, die ursprüngliche Wahrnehmung zu transformieren und zu modifizieren und Bilder der visuellen Erfahrung auch dann zu reproduzieren, wenn entsprechende physische Stimulierungen fehlen." 6

Somit betrachtet Gardner das räumliche Vorstellungsvermögen als Sammlung mehrerer Fähigkeiten. Diese Teilkomponenten werde ich in der Folge detaillierter beleuchten.

2.1.3. Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens

Man .findet in der Literatur eine Fülle empirischer Untersuchungen zum räumlichen Vorstellungsvermögen. Der Begriff wird dabei nicht einheitlich definiert. Da der Intelligenzfaktor räumliches Vorstellungsvermögen sehr komplex ist, hat man versucht, ihn über mehrere Teilkomponenten zu charakterisieren. Ich möchte an dieser Stelle drei nicht voneinander unabhängige Teilaspekte vorstellen (vgl. Besuden 1973): (1) Räumliches Orientieren beschreibt die Fähigkeit, sich real oder gedanklich im Raum zurechtfinden zu können (z.B. als Fußgänger). Dies erfordert die räumliche Einordnung der eigenen Person in eine räumliche Situation. (2) Räumliches Vorstellen ist als Fähigkeit zu verstehen, die es uns ermöglicht, Objekte oder Beziehungen in der Vorstellung reproduzieren zu können (vgl. 6.2. Die 2.Unterrichtsstunde).

(3) Räumliches Denken repräsentiert die Fähigkeit, mit Vorstellungsinhalten gedanklich zu operieren. Das bedeutet, ihre Lage bzw. Beziehung zueinander in der Vorstellung zu verändern (z.B. das gedankliche Ergänzen einer

achsensymmetrischen Figur; vgl. 6.5. Die 5.Unterrichtsstunde). Für eine umfangreiche Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens ist die Ausbildung visuell-räumlicher Wahrnehmungsfähigkeiten von ausschlaggebender Bedeutung.

2.2. Visuelle Wahrnehmungsfähigkeit

Visuelle Wahrnehmung ist die Fähigkeit, visuelle Reize zu erkennen, zu unterscheiden und sie durch frühere Erfahrungen und Assoziationen zu integrieren. Dadurch wird sie zu einem aktiven Prozess, der sich vom reinen Sehen durch das Auge

⁶ Gardner 1991, S.163

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unterscheidet. Der Wahrnehmungsprozess ist fest mit weiteren Funktionen verbunden. Hierzu zählen Gedächtnis, darin gespeicherte Erfahrungen, Vorstellungen, Denken sowie Sprache (vgl. Franke 2000, S.38).

Visuelle Wahrnehmungsfähigkeit spielt nicht nur in der Geometrie eine entscheidende Rolle, sie ist auch beim Lesen- und Schreibenlernen sowie in der Arithmetik, etwa beim Erkennen und Operieren mit den vielen Darstellungen und Veranschaulichungen relevant. Teilleistungsschwächen beim Operieren, Erkennen und Speichern visueller Informationen können fatale Folgen für das Verstehen in vielen Unterrichtsfächern haben (vgl. Radatz/ Rickmeyer 1991, S.15). Nach Frostig (1978, S.120) lassen sich fünf Bereiche der visuellen Wahrnehmung unterscheiden. Ihre Funktion und Bedeutung für die Mathematik möchte ich nun im Folgenden erläutern.

(1) Visumotorische Koordination ist die Fähigkeit, das Sehen mit den Bewegungen des Körpers oder Teilen des Körpers zu koordinieren. Diese Fähigkeit wird beispielsweise beim Ausschneiden von geometrischen Formen deutlich (vgl. 6.1. Die 1.Unterrichtsstunde). Sehr oft ist zu beobachten, wie Schüler mit dem ganzen Körper "schneiden", wobei sich die Bewegungen nicht nur auf Hände und Arme beschränken. Weiter lässt sich die visumotorische Koordinationsfähigkeit beim Hantieren mit geometrischen Formen (vgl. 6.5. Die 5.Unterrichtsstunde) sowie beim genauen Falten (vgl. 6.3. Die 3.Unterrichtsstunde) beobachten. Für den Mathematikunterricht ist die visumotorische Koordination eine entscheidende Teilfähigkeit. Sie ist unumgänglich für das Erfassen und Begreifen mathematischer Begriffe, vermittelt ein Vorstellungsbild durch Handhabung, hilft Formen, Objekte und deren Merkmale sowie Zusammenhänge zu erkennen und ist auf der enaktiven Ebene (vgl. 3.2. Repräsentationsformen nach Bruner), dem Ausgangspunkt allen mathematischen Tuns (wie zum Beispiel: ordnen, zuordnen, zählen), unbedingt notwendig. Durch sie erschließen wir unsere Umwelt und sie hilft uns, eine Raumvorstellung zu entwickeln.

(2) Die Figur-Grund-Diskrimination ist die Fähigkeit, aus einem komplexen Hintergrund bzw. einer Gesamtfigur, eingebettete Teilfiguren zu erkennen und zu isolieren (vgl. 6.5. Die 5.Unterrichtsstunde). Im Mathematikunterricht ist die Figur-Grund-Diskrimination notwendig für das Erkennen von Ziffern in der Anordnung mehrstelliger Zahlen, beim Stellenwert, bei Reihenfolgen, bei räumlichen Begriffen, bei der Orientierung auf einer Buchseite und beim Erkennen des Tafelbildes. Ein Mangel in der Figur-Grund-Diskrimination kann bereits im pränumerischen Bereich das Strukturieren von und das Umgehen mit Mengen erschweren sowie Lücken in der Raumorientierung hinterlassen.

(3) Die Wahrnehmungskonstanz befähigt uns Menschen, Gegenstände und Objekte trotz eingetretener Veränderung (Größe, Anordnung, räumliche Lage, Färbungen) als dieselben wieder zu erkennen und von anderen Figuren zu unterscheiden (vgl. 6.5. Die 5.Unterrichtsstunde). Voraussetzung dafür ist die vorherige taktile und visuelle Erfassung des Gegenstandes.

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(4) Die Wahrnehmung räumlicher Beziehungen ist die Fähigkeit, Objekte im Raum in Beziehung zu setzen und deren Lage zueinander erkennen und beschreiben zu können. Formen, Muster, Linien und Geradenstellungen können analysiert werden (vgl. 6.6. Die 6.Unterrichtsstunde). Für den Mathematikunterricht ist diese Teilfähigkeit sehr wichtig, da sie es ermöglicht, das Verhältnis von Mengen und Objekten zueinander zu erkennen. Gleich oder ungleich, größer oder kleiner, mehr oder weniger sind Begriffe, die dadurch leichter zugeordnet werden können. (5) Die Wahrnehmung der Raumlage, ist die Fähigkeit, die Lage von zwei oder mehr Gegenständen in Bezug zu sich selbst und zueinander wahrzunehmen (vgl. 6.5. Die 5.Unterrichtsstunde). Zum Erkennen der Lage im Raum muss die Vertikale als eine Bezugsrichtung zur Schwerkraft für die Orientierung im Raum ausgebildet, ein Bewusstsein für die zwei Körperhälften, die horizontale Rechts-Links-Achse und in einem weiteren Schritt die Bevorzugung einer Hand entwickelt sein. Für den Mathematikunterricht ist vor allem das Richtungsempfinden für das Schreiben von Zahlen und Zeichen wichtig, aber auch ein gesichertes Bezugssystem für die Lage von Objekten im dreidimensionalen Raum.

Sind die genannten Entwicklungsprozesse abgeschlossen, kann man den Raum durchaus als erobert betrachten. Sind Teilbereiche aber unzureichend angeeignet worden, so kann das zu mathematischen Problemen führen, die nur durch Nachreifung dieser Basisfunktionen und spezielle Förderung wettgemacht werden können.

Mein Ziel muss es sein, herauszufinden, wie ich im Rahmen der Unterrichtseinheit zum Thema Achsensymmetrie möglichst viele Bereiche der visuellen

Wahrnehmungsfähigkeit fördern und ausbilden kann (vgl. 5.6. Didaktische Begründungen und 5.7. Methodische Begründungen).

ENTWICKLUNG DES GEOMETRISCHEN DENK- UND VORSTELLUNGSVERMÖGENS 8

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Ziel dieses Kapitels ist es, darzustellen, wie sich bei den Schülern die Entwicklung des geometrischen Denk- und Vorstellungsvermögens vollzieht. Dazu werde ich exemplarisch einige zentrale Theorien vorstellen sowie praktische Konsequenzen für den Unterricht in meiner Lerngruppe aufzeigen.

3.1. Erkenntnistheorie nach Piaget

Jean Piaget stellte eine umfassende Erkenntnistheorie zur Entwicklung des räumlichen Denkens auf. Für das Verständnis geometrischen Lernens bilden seine Untersuchungsergebnisse bis heute die bedeutendsten Erkenntnisgrundlagen. "Für Piaget kann die Entwicklung geometrischer Begriffe nicht durch ein Ablesen von Eigenschaften erfolgen, sondern nur über Handlungserfahrungen an Materialien oder im realen Raum." 7

Piaget hatte eine aktivistische Grundvorstellung vom Lernen. Darauf basierend entwickelte er die Äquilibrationstheorie. Sie geht davon aus, dass das Individuum in einer Umwelt lebt, die Zwänge und Kräfte ausübt und sich ständig verändert. Dadurch ist das Individuum zur Auseinandersetzung mit der Umwelt gezwungen. Für diese Auseinandersetzung baut das Individuum so genannte Schemata auf. Nach Wittmann (1987) ist ein Schema ein "Operations-, Denk- oder Erklärungsmuster, das in die kognitive Gesamtorganisation des Individuums integriert ist und die Aktivitäten des Individuums steuert." 8

Das Individuum ist nach Meinung Piagets immer bestrebt, dass zwischen Umwelt und den eigenen Erklärungsmustern ein Gleichgewicht herrscht. Ist dieser Zustand erreicht, so lebt das Individuum im Einklang mit seiner Umwelt. Sind Umwelt und Schema jedoch nicht in Einklang, so besteht das Bestreben, diesen Einklang herzustellen (Adaption). Dies kann auf zwei Arten geschehen:

Während bei der Assimilation das Schema konstant bleibt und die Erscheinungen variieren, wird bei der Akkomodation die neue Erscheinung festgehalten, und die inneren Erklärungsmuster (Schemata) werden variiert (vgl. Lauter 1997). Bezogen auf die Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens, erkannte Piaget, dass räumliche Beziehungen schrittweise aufgebaut werden. Das Kind empfängt diese Beziehungen nicht passiv nur aufgrund von Wahrnehmung, sondern es konstruiert diese ausgehend vom konkreten Handeln mit räumlichen Gegenständen. Nachdem das Kind etwas wahrgenommen hat, folgt ein Prozess der inneren Nachahmung, des Handelns

⁷ Radatz/ Rickmeyer 1991, S.11

⁸ Wittmann 1987

ENTWICKLUNG DES GEOMETRISCHEN DENK- UND VORSTELLUNGSVERMÖGENS 9

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mit Vorstellungsbildern. So erfolgt eine Abstraktion vom simplen sensomotorischen Tun zum inneren systematischen Operieren mit geometrischen Objekten auf einer höheren Stufe (vgl. 6.3.8. Reflexion der 3.Unterrichtsstunde). Entscheidend ist im Sinne Piagets eine handlungsorientierte, verinnerlichte Vorgehensweise, welche den Übergang von effektiver Handlung zu vorgestellter Handlung bewusst fördern möchte.

3.1.1. Entwicklungsstufen nach Piaget

Piagets Theorie ist vor dem Hintergrund zur Entwicklung der Intelligenz zu sehen. Anhand seiner Beobachtungen und Interviews mit Kindern stellte er eine Stufentheorie der Intelligenzentwicklung auf. Dabei lassen sich folgende fünf aufeinander folgende Entwicklungsstufen unterscheiden (vgl. Lauter 1997):

Die ersten drei Stufen werden auch zum präoperatorischen Stadium zusammengefasst. Stufe vier bezeichnet Piaget auch als konkret operatorisches Stadium, Stufe fünf als formal operatives Stadium.

Aufgrund der unterschiedlichen Entwicklungsfortschritte der Kinder sollten die Altersangaben nur als grobe Orientierung verstanden werden. Für meine Lerngruppe sind die Stufen des symbolisch-anschaulichen Denkens, die Stufe des logisch konkreten Denkens sowie der Übergang zwischen diesen beiden Stufen von Bedeutung (vgl. 5.4. Inhaltliche Lernvoraussetzungen).

Im präoperatorischen Stadium erwirbt das Kind auf der Grundlage sensomotorischer Aktionen räumliche Schemata, die zunehmend mobiler und strukturierter werden. Am Ende dieses Stadiums zeigen sich Ansätze der Transformation. Im Alter von 7 bis 8 Jahren wird die operationale Stufe der Entwicklung des räumlichen Denkens erreicht. In dieser Phase sind die Aktionen der Kinder mobil, reversibel und in konkrete Operationen transformierbar (vgl. Radatz/ Rickmeyer 1991, S.12). "Das Kind ist jetzt zu weit mehr aktiven Manipulationen an Bildern und Objekten im räumlichen Bereich fähig. Es kann jetzt durch reversible mentale Operationen einschätzen, wie Objekte für jemanden aussehen, der einen anderen Standort einnimmt.“ ⁹ Der Begriff Operation kann vereinfacht als verinnerlichte Handlung verstanden werden. Die wichtigsten Eigenschaften von Operationen sind: (1) Die Kompositionsfähigkeit, d.h. Operationen lassen sich zu ganzen Operationssystemen, so genannten Gruppierungen, zusammensetzen. (2) Assoziativität, d.h. bei der Zusammensetzung von Operationen kommt es nicht auf die Reihenfolge an.

⁹ Gardner 1991, S.168

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(3) Reversibilität, d.h. eine Operation lässt sich umkehren. Zu jeder Operation gibt es eine entgegen gesetzte Operation. Dies ist die Eigenschaft, die am leichtesten zur Identifizierung von Operationen beiträgt (vgl. 6.3.8. Reflexion der

3.Unterrichtsstunde).

Im Stadium der formalen Operation gelangt die Anschauung zu ihrer Vollendung und der Jugendliche ist fähig, mit abstrakten Räumen oder formalen Raumgesetzen umzugehen (vgl. Maier 1994).

3.1.2. Kritik an Piaget

Es gibt zahlreiche Kritiken an der Theorie Piagets. An dieser Stelle möchte ich aber nur einige wenige aufzählen und mich verstärkt auf die Erkenntnisse berufen, die ich aus seinen Ergebnissen für meine Unterrichtsplanung ziehen kann. Folgende Punkte gilt es dabei aber kritisch zu beachten (vgl. Maier 1994):

N Aus heutiger Sicht sind die durchgeführten Tests nicht hinreichend empirisch abgesichert. Freudenthal (1981) macht auf die starke verbale Komponente in den Testaufgaben aufmerksam. In vielen Fällen hätten die Schüler die Fragen nicht verstanden.

N Die Altersangaben sind höchstens als grobe statistische Anhaltspunkte einzuschätzen.

3.1.3. Folgerungen für die Unterrichtsplanung

Die wichtigste Konsequenz ist sicher die Förderung des operativen Denkens als zentrales Ziel des Mathematikunterrichts in der Grundschule (vgl. 5.6. Didaktische Begründungen). Hier ist vor allem den konkreten Handlungen, aus denen sich erst Operationen entwickeln, Beachtung zu schenken. Eine Verinnerlichung geometrischer Begriffe muss im Grundschulalter über Handlungserfahrungen sowie den Umgang mit vielfältigen konkreten Materialien und Modellen erfolgen (vgl. Radatz/ Rickmeyer 1991, S.12). In diesem Zusammenhang wurde das so genannte operative Prinzip abgeleitet, welches die Begründung für die Verwendung von Arbeitsmaterial für die Hand des Schülers gibt. Eine weitere Folgerung ist die Beachtung reversibler Aufgabenstellungen, wo immer sie möglich sind um operatives Denken weiter ausbilden zu können (vgl. Lauter 1997, S.19).

Da das Verständnis grundlegender geometrischer Begriffe sehr früh abgeschlossen ist, erachte ich es als notwendig, dass die Schüler in der Grundschule räumliche Handlungserfahrungen sammeln können. Eine gründliche Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens ist Voraussetzung für die Umwelterschließung und kognitive Entwicklung des Kindes (vgl. 5.6. Didaktische Begründungen). Aus Piagets Ergebnissen bezüglich seiner Äquilibrationstheorie folgere ich, dass sich das Lernen der Schüler dadurch aktivieren lässt, indem ich bei ihnen ein inneres Ungleichgewicht erzeuge. Piaget spricht in diesem Zusammenhang auch von einem kognitiven Konflikt. Meiner Meinung nach eignet sich das Prinzip des Entdeckenden Lernens (vgl. 4.2. Prinzip des aktiv-entdeckenden Lernens) hervorragend um den Lernprozess nach Piagets Vorstellung effektiv voran zu treiben.

ENTWICKLUNG DES GEOMETRISCHEN DENK- UND VORSTELLUNGSVERMÖGENS 11

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3.2. Repräsentionsformen nach Bruner

J.S. Bruner hat den Ansatz von Piaget aufgenommen und weitergeführt. Seine provozierende Ausgangshypothese lautet: "Jedes Kind kann auf jeder Entwicklungsstufe jeder Lehrgegenstand in einer intellektuell ehrlichen Form erfolgreich gelehrt werden.“ ¹⁰ Für mich als Lehrer hat diese Hypothese zu Folge, dass ich im Unterricht die Struktur des Gegenstandes so darstellen muss, wie das Kind diese sieht und wahrnimmt. Ähnlich wie Piaget geht Bruner nämlich davon aus, "…dass das Kind auf jeder Entwicklungsstufe eine charakteristische Art und Weise hat, die Welt zu betrachten und für sich selbst zu erklären.“ 11

Im Unterschied zu Piaget betont Bruner die folgenreichen Auswirkungen der jeweiligen Kultur, in der ein ganz bestimmtes motorisches, sensorisches und reflektierendes Verhalten herrscht. Diese Auswirkungen würden seiner Ansicht nach die kognitive Entwicklung des Kindes maßgeblich beeinflussen. Der Sprache billigt Bruner hierbei eine zentrale Rolle zu (vgl. 5.6. Didaktische Begründungen). An diesem Punkt wird der Unterschied zu Piaget deutlich, da für Piaget die Sprache gegenüber der Handlung nur eine untergeordnete Rolle spielt (vgl. Lauter 1997). Bruner geht davon aus, dass es in der Art und Weise wie Kinder sich die Welt darstellen, drei aufeinander aufbauende Entwicklungsstufen gibt. Im Laufe der kindlichen Entwicklung kommt es zu Verschiebungen des Schwerpunktes zwischen diesen Darstellungsformen.

Im Folgenden möchte ich diese einzelnen Repräsentationsformen ausführlich vorstellen: 1. Enaktive Repräsentationsform

In dieser Entwicklungsstufe setzt sich das Kind mit einem Gegenstand handelnd auseinander. Dabei sind Handlungen des Greifens, des Zum-Munde-Führens, des Haltens usw. die Mittel mit denen das Kleinkind die Welt erschließt. Durch eine wiederholende Beschäftigung mit dem Gegenstand, wird das Kind befähigt diesen im Geiste zu bewahren. 2. Ikonische Repräsentationsform

Ausgehend von der elementaren Phase der Handlungen, entwickelt sich schrittweise die bildhafte (ikonische) Darstellungsform. Sie greift auf Vorstellungsbilder der Kinder zurück. Diese sind nun in der Lage, sich von konkreten Handlungen zu lösen und die Welt flexibler zu erfassen. Dabei muss man jedoch beachten, dass die Wahrnehmung der Kinder, im Gegensatz zu der der Erwachsenen, immer egozentriert ist. Trotzdem bewirkt die ikonische Darstellungsform eine größere Distanzierung des Kindes von seiner Umwelt und ist somit abstrakter als die enaktive Repräsentationsform. 3. Symbolische Repräsentationsform

Diese Darstellungsform bildet die abstrakteste Stufe der kognitiven Entwicklung. Anstatt von Handlungen oder Bildern werden nun Zeichen und Symbole verwendet. Die Wurzel der symbolischen Darstellungsform geht nach Bruner auf das urmenschliche Verhalten

¹⁰ Bruner 1972

¹¹ Lauter 1997, S. 21

ENTWICKLUNG DES GEOMETRISCHEN DENK- UND VORSTELLUNGSVERMÖGENS 12

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zurück, Dinge mit Namen zu belegen. Er ist der Meinung, dass Denken verinnerlichte Sprache sei.

Alle drei Repräsentationsformen sind grundlegend für den Aufbau kognitiver Systeme beim Kind. "Jede dieser Darstellungsformen prägt das geistige Leben des Menschen in verschiedenen Altersstufen, und die Wechselwirkung ihrer Anwendungen bleibt Hauptmerkmal des intellektuellen Lebens des Erwachsenen.“ 12

3.2.1. Folgerungen für die Unterrichtsplanung Zur Förderung der kognitiven Entwicklung des Kindes müssen die

Repräsentationsformen enaktiv - ikonisch - symbolisch in den Unterricht übernommen werden. Entscheidend dabei ist, dass man die drei Darstellungsformen nicht isoliert voneinander betrachten sollte, sondern die zahlreichen Übergänge zwischen ihnen beachtet und pflegt. Übergänge in die ikonische Darstellung werden als Ikonisierung bezeichnet. Den Übergang zur symbolischen Form nennt man Symbolisierung, wobei dem Übertritt zum sprachlichen Darstellungssystem, bezeichnet als Verbalisierung, eine besondere Rolle zugebilligt wird. Allgemein spricht man bei der Übertragung von einer Repräsentationsform in eine andere von einem "Intermodalen Transfer" (Bauersfeld 1972a, S.244). Meine Aufgabe als Lehrer ist es, im Unterricht diesen intermodalen Transfer ständig und intensiv zu fördern.

Förderlich für dieses Vorhaben hat sich das didaktische Prinzip der Curriculum-Spirale erwiesen. Das so genannte Spiralprinzip besagt, man solle "…denselben Lerngegenstand auf verschiedenen Stufen der Entwicklung aufgreifen, ihn dort mit dem den Kind zur Verfügung stehenden Mitteln bis zu einem vorläufigen Abschluss entwickeln und ihn später wieder aufgreifen.“ 13

Neben der Piagetschen Erkenntnistheorie zur Entwicklung geometrischer Begriffe und Beziehungen sowie Bruners Theorie der Repräsentationsformen möchte ich im Folgenden ein weiteres Modell des holländischen Ehepaares Dina van Hiele-Geldof und Pierre Marie van Hiele (1978) vorstellen, um verschiedene Aspekte der visuellen Wahrnehmungsentwicklung zu veranschaulichen.

3.3. Stufenmodell nach van Hiele

Die Forschungsergebnisse des Ehepaares van Hiele wurden durch zahlreiche Untersuchungen bestätigt (z.B. Clements/ Batista 1992) und dienen in vielen Ländern als Grundlage der Gestaltung eine schulischen Geometrie-Curriculums. In ihren Überlegungen gehen sie davon aus, "…dass Piagets Ergebnisse zu wichtigen Schlussfolgerungen führen können, wenn man sie mit dem Verlauf eines kontrollierbaren Lernprozesses in Zusammenhang bringt.“ ¹⁴ Das von ihnen entwickelte Modell, welches sich weitgehend an den Fähigkeiten älterer Schüler orientiert, gliedert sich in fünf Denkebenen, die der Entwicklung des geometrischen Denkens inhärent sind. Ihrer Meinung nach, kann das Erreichen der verschiedenen Niveaustufen durch

¹² Bruner 1972, S.21

¹³ Lauter 1991, S.24