Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  1

2  Anwendungsbeispiel: Hedge Ratio Berechnung  1

3  Darstellung vom BEKK-Modell  3

3.1  Multivariate Modellierung  3

3.2  BEKK-Modell.  5

3.3  Prüfung der Geeignetheit von multivariaten GARCH Spezifikation  8

4  Schätzung  9

4.1  Daten. Test auf Normalverteilung, ARCH-Effekte und Stationarität  9

4.2  Ergebnisse der BEKK-Schätzung  10

5  Vergleich der BEKK- und OLS-Hedge Ratios  11

6  Zusammenfassung.  12

Literaturverzeichnis   

Anhang   

I

1 Einleitung

Zur Berücksichtigung der bei Finanzmarktrenditezeitreihen häufig vorhandenen Volatilitätscluster und leptokurtischen Verteilung wurden univariate Modelle: ARCH und GARCH entwickelt. Nachteil von diesen Modellen ist jedoch, dass sie die bei Finanzmarktdaten häufig anzutreffende gegenseitige Einflüße mehrerer Zeitreihen vernachlässigen. ¹ Beispiel für enge Zusammenhänge der Zeitreihen sind Kurse verschiedener Aktien vergleichbarer Firmen. Um diese zu berücksichtigen, wurden univariate GARCH-Spezifikationen auf den multivariaten Fall erweitert. Bei den multivariaten Modellen werden mehrere Prozesse simultan analysiert und die bedingten Varianzen und Kovarianzen verschiedener Prozesse gemeinsam betrachtet. Dies führt zu einer Verbesserung der Modellqualität und damit zu einer besseren Prognose.

Multivariate GARCH-Modelle sind wichtige Hilfsmittel in vielen Anwendungsgebieten der Kapitalmarkttheorie, denn in vielen Gebieten sind kontemporäre Beziehungen der Zeitreihen zu beobachten. Die Schätzungen der bedingten Varianzkovarianzmatrix finden Anwendung in den bedingten Asset Pricing Modellen, in der Portfolio-Optimierung, bei der Erforschung der Zusammenhänge zwischen den Volatilitäten verschiedener Märkte, beim Value at risk, der Bewertung von Optionen, welche mehrere Basiswerte haben und beim Min-Varianz Hedging. 2

2 Anwendungsbeispiel: Hedge Ratio Berechnung

Hedge Ratio wird folgendermassen definiert: Einheiten des Gegengeschäftes wie z.B. der Futurekontrakten (short), die pro Einheit der Kassaposition (long) benötigt werden, um das Kursrisiko der Kassaposition möglichst vollständig abzusichern. Das Gegengeschäft sollte so ausgewählt werden, dass es hinsichtlich seiner Art und seines

¹ Vgl. Hamao, Masulis, Ng (1990), S.281

² Vgl. Harris, Stoja, Tucker (2004), S.2; Vgl.Bauwens, Laurent, Rombouts (2003), S.1-2

1

Umfangs die Risiken der Kassaposition weitgehend abdecken kann. Eine perfekte Hedge Ratio von 1 gelingt nur selten, da der Basiswert, die Laufzeit und das Kontraktvolumen bezogen auf die gehaltene Position meistens nicht passend sind, und die Determinanten des Futurepreises schwanken. Ziel des Hedgings ist eine vollständige Absicherung des Kursrisikos ³ , d.h. eine Rendite der gehedgten Position von Null und die Reduzierung der Varianz der Position. ⁴ Basierend auf diesem Ziel, wird Hedge Ratio traditionell in der Form vom Verhältnis zwischen der Kovarianz zwischen dem Kassa- und Terminpreis und der Varianz des Terminpreises berechnet: Cov t = . ⁵ Dies wird mit der Methode der Kleinsten Quadrate (im t HR

) ( F Var

t

folgenden OLS-Methode genannt) geschätzt und entspricht der Steigung der

Regressionsgerade zwischen Kassa und Future Renditen. ⁶ Diese Berechnungsmethode führt jedoch zur verzerrten Schätzung, da sie Heteroskedastizität in den Zeitreihendaten ⁷ nicht berücksichtigt. ⁸ Die Kovarianzen und Varianzen der Kassa- und Futurepreise sind zeitvariant ⁹ und sollten mit den bedingten heteroskedastischen Schocks dargestellt werden. Univariate GARCH Modelle können dazu nicht verwendet, weil die Modellierung der bedingten Kovarianz gemeinsam mit den Varianzen nicht berücksichtigt wird. Um die bedingte Varianz-Kovarianz Matrix zu erstellen und optimale Hedge Ratios zu berechnen, werden multivariate GARCH Modelle

³ spekulative Ziele des Hedgings werden hier nicht betrachtet

⁴ Vgl. Floros, Vougas (2004), S.1

⁵ Vgl.Brooks, Burke, Persand (2003), S.6

⁶ Vgl.Bauwens, Laurent, Rombouts (2003), S.1-2

⁷ (Geschätzte) generalisierte Methode der kleinsten Quadrate ((E)GLS) ist vor allem für uerschnittsdaten,

nicht für Zeitreihendaten geeignet

⁸ Vgl. Kim, Leuthold (2000),S.1; Vgl. Bell, Krasker (1986), S.34

⁹ Vgl.Bera,Garcia, Roh(1997), S.346-368; Vgl.Kroner, Sultan (1991), S.397-412; Vgl.Longin,

Solnik(1995),S.3-26

¹⁰ Vgl.Watt (1997), S.18; Vgl.Malo,, Kanto (2005), S.8

2

Viele Studien vergleichen die Performance der Hedge Ratios, welche mit den multivariaten GARCH Modellen geschätzt werden, mit den Hedge Ratios, welche mit der OLS-Methode geschätzt werden. ¹¹ Es wurde eine Reihe von Kriterien

vorgeschlagen und angewendet, die beurteilen können, ob ein Hedge erfolgreich, d.h effizient ist. ¹² Da das Ziel des Hedgings die Minimierung der Varianz ist, wird in dieser

Arbeit die Varianzreduzierungs-Ratio verwendet ¹³ :

Im Rahmen dieser Arbeit wird zuerst die multivariate Modellierung und das multivariates GARCH-Modell: BEKK dargestellt. Anschliessend werden die Siemens Aktie und der Dax-Index Future mit dem BEKK-Modell geschätzt. Da keine Futures auf Aktien vorhanden sind, finden zum Hedging von Kursrisiken einzelner Aktienwerte Aktienindex-Futures Anwendung ¹⁴ . Voraussetzung ist, dass zwischen der Aktien und

dem Aktienindex, der diese Aktie enthält, eine ähnliche Entwicklung besteht. Mit Hilfe des obengenannten VR-Kriteriums wird zum Schluss dieser Arbeit überprüft, ob die Effizienz der BEKK-Hedge-Ratios sich von der Effizienz der OLS-Hedge-Ratios unterscheidet.

3 Darstellung vom BEKK-Modell

3.1 Multivariate Modellierung

Bestandteil multivariater GARCH-Modelle ist ein n-dimensionaler Störprozess e eines

t

Regressionsmodells für einen n-dimensionalen Vektor der zu erklärenden Variable

¹¹ Überblick der Literatur dazu unter: Floros,Vougas (2004), S.4

¹² Überblick der Literatur dazu unter: Floros, Vougas (2004), S.2-3

¹³ Vgl.Park, Switzer (1995), S.131

¹⁴ Nur das systematische Risiko wird berücksichtigt;Genauere Information über die Absicherung von

Aktien mit den Aktienindexfutures und Berechnung der Hedge Ratio dazu ist zu finden unter: Brealey,

Myers (2003), S.758-761, 769-770; http://www.deifin.de/fuhedge5.htm; Ableitung der Hedge Ratio

unter: In, Kim (2003), S.8-9

3

, ,..., u u ut =( )`. Die allgemeine Form eines multivariaten GARCH-Modells im

t N t a ^, Zeitpunkt t-1:

( ) H

= µ

/ e Var e u F

−1 t t t t t t

( F )

µ

/ ⁻ u ist der bedingte Erwartungswert von u , bedingt auf E

t ¹ t t t Ft 1 Informationsmenge − , die angibt, welche Informationen zum Zeitpunkt t-1

vorliegen. Um die für die multivariate Modelle komplexe Notation nicht weiter zu erschweren, wird in dieser Arbeit der bedingte Erwartungswert auf 0 gesetzt und = ¹⁵ ut et gesetzt ¹⁶ .

Ht ist eine symmetrische positiv (semi) definite bedingte Varianz-Kovarianzmatrix von

e t et . Diese Matrix hat als Hauptdiagonalelemente die bedingten Varianzen von und

i,

neben der Hauptdiagonalen die bedingten Kovarianzen von e und . e ist e t

t i, j, t

/ − ~ ( )

. ¹⁷ Im mehrdimensionalen Fall ist die e t H t F N , 0 multivariat Normalverteilt:

¹ t

Aufteilung des n-dimensionalen Störvektors e in die bedingte Varianz H t und einen

t

n-dimensionalen Prozess unabhängig identisch verteilter Größen v möglich:

t

=

v E H . Für die Verteilung des Zufallsvektors v kann die multivariate t t t t

. ¹⁸ Normalverteilung angenommen werden v ~ ( I N ) , 0 N

t

Der Dreh- und Angelpunkt bei der Modellierung von multivariaten GARCH-Modellen liegt in einer strukturellen Festlegung der bedingten Varianz-Kovarianzmatrix. Bei der Festlegung der Struktur der Varianz-Kovarianzmatrix soll ein Ausgleich zwischen der

¹⁵ Diese Spezifikation liegt den Schätzungen in JMulTi ebenso zugrunde.

¹⁶ Bedingungen dazu unter: Bera, Higgins (1993), S. 305 -366; Tse, Tsui (2001),S.4

¹⁷ Vgl. Engle, Kroner (1995), S.124

¹⁸ Vgl. Fengler, Herwartz (2002), S.250

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