Bestimmung der Zähigkeit von Flüssigkeiten

1. Physikalische Grundlagen

1.1. Auftriebskraft und hydrostatischer Druck

Die Auftriebskraft ( d F K ) e i n e s K ö r p e r s K innerhalb eines Mediums M entspricht der

entgegengesetzten Gewichtskraft ( d G M ) des Volumens (VK) des vom Körper K verdrängten Mediums, also:

Hydrostatischer Druck (p) an einem Punkt bestimmter 'Tiefe' (h) wird in einem flüssigen Medium M von der Gewichtskraft der auf dem Punkt stehenden Säule des Mediums ausgeübt, also:

pŒ M ƒgƒh

1.2. Innere Reibung

Die Reibungskraft einer Flüssigkeit wirkt stets der Bewegungsrichtung Anschaulich beschreiben lässt sich die Ursache der Reibungskraft durch die Vorstellung die Flüssigkeit bestünde aus Platten, die sich zur Bewegung gegeneinander verschieben müssen. Hierbei sind die Platten, die sich nahe an einer festen Wand bewegen die langsamsten, mit zunehmendem Abstand d zur Wand nimmt die Plattengeschwindigkeit zu. In unmittelbarer Nähe zur Wand bildet sich eine Haftschicht (grün) aus, der sich praktisch nicht bewegt. Um die Platten gegeneinander zu verschieben ist eine Kraft nötig, die der Reibungskraft zwischen ihnen entgegenwirkt. Die gesamte Flüssigkeitsreibungskraft ergibt sich durch die Addition aller zur Plattenbewegung nötigen Kräfte.

1.3. Dynamische Viskosität

Da sich ein Objekt nur dann mit Geschwindigkeit fortbewegen kann , wenn sich alle aufheben, muss somit eine der entgegengerichtete Kraft ( F v ) wirken. Greift nun diese Kraft F v an, so bewegt sich die Haftschicht am Objekt (rote Schicht) annähernd mit der wohingegen gegenüberliegende Haftschicht in der Distanz d (an der Wand des Gefässes) weiterhin in Ruhe bleibt (grüne Zwischenplatten bewegen sich mit einer kleiner als v, linear abhängig von ihrer Entfernung zur bewegten Haftschicht.

Da die Reibungskraft mit der Geschwindigkeit v zunimmt, nimmt ebenso F v mit v zu.

Desweiteren wächst F v abhängig von der Reibefläche A zwischen den Platten direkt proportional. Als letzter Faktor muss die Distanz d zwischen den Haftschichten berücksichtigt werden. Diese geht jedoch indirekt proportional mit ein, da geringere Distanz gleichbedeutend mit weniger Flüssigkeitsschichten ist auf die die Reibung “verteilt“ werden kann, also ergibt sich die Proportionalität:

Av

Wenn wir hier die dynamische Viskosität Æ einführen, lässt sich folgende Aussage treffen:

d

1.4. Laminare und turbulente Strömung, Reynoldsche Zahl

Das oben verwendete Bild der Strömungsvorgänge, Flüssigkeit aneinander unterteilt, ist nur bei laminaren Strömungen gültig. Sobald Dichte Ï oder Flussgeschwindigkeit v einen gewissen Wert über- und/oder die Viskosität l einen gewissen Wert unterschreitet tritt eine turbulente Stömung Bewegungsrichtung Strömungsrichtung auf.

Ob eine Flüssigkeit turbulentes oder laminares Strömungsverhalten zeigt,

lässt sich anhand der Reynoldschen Zahl errechnen, die sich in folgender Form auf in Röhren des Radius rG fliessende Flüssigkeiten anwenden lässt:

2 r G Œv

Die Reynoldschen Zahl gibt zwar einen Wert für den Übergang von laminarer in turbulente Strömung an, doch treten starke statistische Schwankungen auf, so dass sich nur in etwa sagen lässt ab wann eine Flüssigkeit ihren Strömungszustand ändert. Laminare Strömung herrscht bei einer Reynoldschen Zahl von grob unter 2000 – turbulent wird es ab über 3000.

1.5. Hagen-Poiseuillesches Gesetz

Wie bereits erwähnt können laminare Strömungen durch infinitesimal dünne Flüssigkeitsschichten angenähert werden, welche sich aufeinander bewegen und somit zur konstanten Bewegung Reibungskräfte überwinden müssen. Diese Schichten treten nun bei Rohren des Radius rG und der Länge lG in Form von ineinander liegenden Zylindern auf, deren Radius sich von 0 bis rG erstreckt. Die Geschwindigkeit der Zylinder wächst mit zunehmendem Abstand zur Haftschicht an der Rohrwand – also indirekt proportional zum Radius rG (siehe Abbildung 2).

Bei der Annahme konstanter Geschwindigkeit v setzt ein Gleichgewichtszustand zwischen der Reibungskraft innerhalb der Flüssigkeit FR und der Kraft des hydrostatischen Druckes Fp ein:

F R F p ;

Bei Betrachtung eines Rohres gilt

Mantelflächen der Zylinder sind. Ausserdem bezeichnet Ar den horizontalen Querschnitt des

2

Rohres, also: A r ‹ r G

Nach Einsetzen von AM, Ar und anschliessendem Vereinfachen ergibt sich:

r pr G r pr G

rv

Nach Isolation von rG:

Nach der Integration beider Seiten:

4 ‚ l G

2‚ l G

r p r p

2

Da die Geschwindigkeit der Haftschicht an der Wand gleich null ist, ergibt sich für C=rv². rv ist der Radius des von der Kraft Fv bewegten Zylinders. Umformung ergibt die Geschwindigkeit der laminaren Strömung in einem Rohr:

r pfr G

2 #r v 2 g

¨p beschreibt die Druckdifferenz zwischen den Rohrenden, also gilt in der Mitte des Rohres (bei rv=0):

4 ‚ l G

Schliesslich ergibt sich der Volumenstrom pro Zeiteinheit anhand der Integration von v(rv) nach dem Querschnitt des Rohres: