INHALTSVERZEICHNIS

1  PROBLEMLAGE  1

2  DER BEGRIFF „KÖNNEN“  3

2.1  Allgemeines  3

2.2  Mathematisches Können  5

3  DER KOMPETENZBEGRIFF  7

4  ZIELVORSTELLUNGEN GEOMETRIE  11

4.1  Standards Klasse 4  11

4.1.1  Sich im Raum orientieren  11

4.1.2  Geometrische Figuren erkennen, benennen und  

darstellen   12

4.1.3  Einfache geometrische Abbildungen erkennen,  

benennen  und darstellen  13

4.1.4  Flächen- und Rauminhalte vergleichen und messen  13

4.2  Rahmenpläne  14

4.2.1  Rahmenplan Klasse 4  14

4.2.2  Rahmenplan Klasse 5/6  16

4.3  Schlussfolgerungen für das weitere Vorgehen  17

5  ANALYSEMÖGLICHKEITEN DER ZIELSTELLUNGEN  20

5.1  Testbegriff  20

5.2  Testkonstruktion  21

5.2.1  Test-Item  21

5.2.2  Konstruktionsstrategien  22

5.2.3  Bestimmung der Testart  23

5.2.4  Itemgestaltung  24

5.3  Folgerungen für die Erstellung eines Tests des  

geometrischen  Könnens am Ende der Klasse 4  24

6  DER TEST ZUM GEOMETRISCHEN KÖNNEN AM ENDE DER KLASSE 4  26

6.1  Auswahl der Testaufgaben  26

6.1.1  Sich im Raum orientieren  27

6.1.2  Geometrische Figuren erkennen, benennen und  

darstellen   32

6.1.3  Einfache geometrische Abbildungen erkennen,  

benennen  und darstellen  36

6.1.4  Flächen- und Rauminhalte vergleichen und messen  39

6.2  Weiterentwicklung des Tests  41

7  ANHANG  42

7.1  Testaufgaben und Testmanual  42

7.2  Testauswertung  74

LITERATURVERZEICHNIS   79

1 Problemlage

Das deutsche Bildungssystem ist derart gestaltet, dass die Schüler nach einer vier-bis sechsjährigen Grundschulzeit auf verschiedene

weiterführende Schulen aufgeteilt werden. In diesen weiterführenden Schulen soll nun,

anknüpfend an die Grundschulzeit, das Lernen im Fach Mathematik fortgesetzt werden. Eine

Fortsetzung ist aber nur dann möglich, wenn der Wissens- und Könnensstand zu diesem Zeitpunkt bekannt ist.

Durch die Standards der Kultusministerkonferenz ¹ ist ein bestimmtes mathematisches Können, das am Ende der vierten Klasse erreicht sein soll, als verbindlich festgelegt. Aber welches Können ist für das weiterführende Lernen und das Leben der Schüler von Bedeutung? Was ist notwendig, um in der fünften und sechsten Klasse erfolgreich zu lernen?

Um diese Fragen zu klären, müssen zuerst die Standards und der Rahmenplan sowohl der vierten Klasse, als auch der fünften und sechsten Klasse analysiert werden, um herauszufinden, welche objektiven Anforderungen sich aus dem Ziel-Inhalts-Konzept ergeben. Anschließend an diese Analyse stellt sich dann die Frage, ob die Kinder am Ende der vierten Klasse auch auf diesem Könnensstand angelangt sind. Dieses kann man mittels eines Tests herausfinden, welcher explizit den Könnensstand der Schüler zum Zeitpunkt desselben anzeigt.

¹ Beschlüsse der Kultusministerkonferenz. Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (Jahrgangsstufe 4). Bonn 2004

1

Somit könnte man sagen, dass derjenige Schüler, der diesen Test erfolgreich bewältigt, die

idealen Voraussetzungen mitbringt, um auch den Unterrichtsstoff im Fach Mathematik an der

weiterführenden Schule zu bewältigen. Der Test soll mehrere Funktionen erfüllen:

1. eine Analyse des momentanen Könnens des konkreten Schülers,

2. eine Weiterentwicklung des Könnens konkreter Kinder,

3. eine Bilanz des bisherigen Unterrichts, und 4. eine Weiterentwicklung des künftigen Unterrichts.

Ich werde in meiner Examensarbeit das Können im Fach Mathematik, insbesondere der Geometrie, am Ende der vierten Klasse analysieren. Da die Grenzen zwischen Arithmetik und Geometrie jedoch fließend sind, was auch den Kindern immer wieder bewusst gemacht werden sollte, werden auch arithmetische Probleme ihre Berücksichtigung finden.

2

2 Der Begriff „Können“

2.1 Allgemeines

Die keineswegs neue Forschung ² geht davon aus, dass es neben der Aneignung von Kenntnissen von großer Bedeutung ist, die Schüler zum

selbstständigen Kenntniserwerb zu befähigen, was sich am besten mit einer Handlungsorientierung des Unterrichts erreichen lässt. In der Lernpsychologie gilt es als sicher, dass Denkstrukturen aus verinnerlichten Handlungs-

strukturen entwickelt werden. Deshalb sollte Wissen nicht in fertiger Form an die Lernenden vermittelt werden, sondern es sollte ihnen

ermöglicht werden, es sich handelnd anzueignen. ³ Nach den Erkenntnissen der Motivationspsychologie kann der handlungsorientierte Unterricht ⁴ die Motivation der Schülerinnen und Schüler erhöhen, weil sich bei handelndem Lernen Emotion und Kognition adäquat ergänzen und beeinflussen. ⁵ Die neue Didaktikdiskussion (konstruktivistische Didaktik) geht davon aus, dass der Lernende sein Denken selbst baut und konstruiert, wobei jeder als sich selbst organisierendes System ganz

² Faust, Helmut u.a.: Probleme der Könnensentwicklung im Unterricht. Volk und Wissen Volkseigener Verlag Berlin. Berlin 1981. S. 29 f.

³ Edelmann, W. (1996). Lernpsychologie. München-Weinheim: Beltz, 5. Vollst. Überarb. Aufl.

⁴ Unter Handlungsorientiertem Unterricht versteht man nach Jank/Meyer (1994) einen ganzheitlichen und schüleraktiven Unterricht, in dem die zwischen dem Lehrer und den Schülern vereinbarte Handlungsprodukte die Gestaltung des Unterrichtsprozesses leiten, so dass Kopf- und Handarbeit der Schüler in ein ausgewogenes Verhältnis zueinander gebracht werden können.

⁵ Edelmann 1996

3

individuell lernt. ⁶ Das, was gelernt wird, hängt von der jeweiligen Erfahrung des Lerners ab, da er sich seine Welt selbst konstruiert hat. Deshalb wird dieses Wissen auch besonders nachhaltig gespeichert, und kann in neuen

Situationen angewendet werden. ⁷ in Bezug auf den Handlungsorientierung

Mathematikunterricht bedeutet die Verknüpfung von äußeren Handlungen und inneren Tätigkeiten des Schülers. Erst wenn eine äußere Handlung mit einer entsprechenden inneren Tätigkeit verbunden wird, erhält diese einen Sinn, und kann zu einer Erweiterung der geistigen Fähigkeiten führen. Wenn äußere Prozesse, also Handlungen mit

konkreten Gegenständen, in geistige Prozesse übergehen, so spricht man von Interiorisation. Während dieses Übergangs werden die Prozesse verallgemeinert, verbalisiert, verkürzt und „[…] zu einer Weiterentwicklung fähig, die über die Möglichkeiten der äußeren Tätigkeit hinausgeht“. ⁸ Eine menschliche Tätigkeit enthält also immer sowohl äußere, als auch innere Prozesse, welche in einer ständigen wechselseitigen Beziehung stehen. Ziel des Handlungsorientierten Unterrichts ist es, den Kindern die

Wechselbeziehung zwischen äußerer Handlung und innerer Tätigkeit soweit bewusst zu machen, dass sie zu jeder von ihnen durchgeführten äußeren Handlung auch eine damit im Zusammenhang stehende innere Handlung entwickeln können, die den

theoretischen Aspekt derselben erfasst. Dieser

⁶ Aebli, Hans: Denken: Das Ordnen des Tuns. Band 1: Kognitive Aspekte der Handlungstheorie. Bd. 2 Denkprozesse. Stuttgart 1980,1981

⁷ www.wikipedia.de (14.10.2005)

⁸ Leontjew, A.: Tätigkeit Bewusstsein Persönlichkeit. Volk und Wissen Volkseigener Verlag. Berlin 1987, S. 95

4

Prozess erfordert vor allem in der Grundschule eine ausführliche Anleitung durch den Lehrer, da die Kinder von sich aus oft nicht in der Lage sind die übergeordnete Perspektive einzunehmen, sondern sich lediglich am Handlungsprodukt

erfreuen. Hier ist aber sehr viel Feingefühl vom Lehrer gefordert, da sich sonst der Sinn der Handlungsorientierung, nämlich das selbst

gesteuerte Lernen, ins Gegenteil verkehren würde.

Das sichere Beherrschen von Tätigkeiten, im Sinne von äußeren Handlungen, wird in der Pädagogik als Können bezeichnet. ⁹ Das Können ist eine komplexe Eigenschaft, für welche Kenntnisse bezüglich des Inhalts, des Zieles und des Verlaufs notwendig sind. Es kann sich auf verschiedenen Niveaustufen zeigen, und integriert die Komponenten Kenntnisse, Fähigkeiten, Fertigkeiten, Gewohnheiten und Einstellungen.

2.2 Mathematisches Können

Die besondere Qualität des mathematischen Könnens wird durch seine ganz eigene Spezifik bestimmt: hier können, neben den mathematischen Fähigkeiten, geistige Fähigkeiten allgemeine

entwickelt werden. Das hängt damit zusammen, dass der Erwerb eines Systems von Begriffen, Sätzen und Verfahren immer eng mit der Entwicklung bestimmter Tätigkeiten verbunden ist. Es werden also sowohl spezielle als auch allgemeine

geistige Fähigkeiten entwickelt, die die Art des Denkens an sich, über die Mathematik hinaus,

⁹ Faust 1981. S. 35

5

beeinflussen. Dazu gehören eine Vielfalt

kognitiver Stützfunktionen, wie das abstraktlogische Denken, die klare Gliederung von Gedankengängen, die Fähigkeit zum Verallgemeinern, die Suche nach rationellen Lösungswegen, Konzentration und Klarheit im Ausdruck. 10

Das zu erwerbende Können umfasst dabei das Anwenden „mathematischer Begriffe, Sätze,

Verfahren, Methoden sowie Denk- und Arbeitsweisen bei der Erfassung, Beschreibung und Veränderung von Natur und Gesellschaft[…].“ ¹¹ Eine Tätigkeit im Mathematikunterricht muss also immer sowohl unter dem inhaltlichen Aspekt, als auch unter dem Aspekt der Aneignung dieser Tätigkeit betrachtete werden. Auf der einen Seite ist sie Ziel der Könnensentwicklung und auf der anderen Seite Mittel zum Erwerb anderer Inhalte des Mathematikunterrichts.

¹⁰ Ebd. S. 153 f.

¹¹ Ebd. S. 154

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3 Der Kompetenzbegriff

Der Begriff der Kompetenz hat in den letzten Jahren in der Pädagogik stark an Bedeutung gewonnen. Auch wenn die Verwendung in Bezug auf Lern- und Lehrprozesse nicht ganz neu ist ¹² , so hat sich aber der Begriffsinhalt in den letzten Jahren stark verändert. Kompetenz ¹³ Im Duden wird der Begriff folgendermaßen erklärt: „Sachverstand, Fähigkeiten; Zuständigkeit“. ¹⁴ Gemeint ist also eine Kombination aus Kenntnissen und Fähigkeiten. Kompetenz im Sinne der Standards der

Kultusministerkonferenz im Fach Mathematik muss aber als „[…]ein normatives Modell verstanden werden, das zusammenstellt, was sein soll […]“. ¹⁵ Um die Funktion des Faches Mathematik zu

bestimmen, wird davon ausgegangen, dass die Grundschulbildung den Grundstein für alles weitere Lernen legt. Aus den ersten mathematischen Alltagserfahrungen sollen

grundlegende mathematische Kompetenzen entwickelt werden, die den Anforderungen des täglichen Lebens genügen, und eine Grundlage für den Mathematikunterricht an den weiterführenden

Schulen bilden. ¹⁶ Da dieses am besten über zentrale Leitideen umgesetzt werden kann, bauen die Standards weniger auf den Sachgebieten des Mathematikunterrichts, als auf „inhaltsbezogenen

¹² Roth, Heinrich: Pädagogische Anthropologie. 2 Bände. Schröder Verlag. Hannover 1971

¹³ Lateinisch: competere - fähig sein

¹⁴ Duden. Dudenverlag. Mannheim Leipzig Wien Zürich 1996

¹⁵ Eckerle, G.-A.: Kompetenz - ein nicht mehr neuer Begriff, mit alten Zielen aufgeladen. März 2000. S.9

¹⁶ Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (Jahrgangsstufe 4), S.7

7

mathematischen Kompetenzen“ ¹⁷ auf. Diese stehen in einer engen Wechselbeziehung mit den allgemeinen mathematischen Kompetenzen. Eine große Bedeutung für den Erfolg im Fach Mathematik hat also die Art der Auseinandersetzung mit den Inhalten. Die allgemeinen Kompetenzen sollen von den Schülern nicht nur im Mathematikunterricht,

sondern auch außerhalb dessen angewendet werden können. Es werden fünf allgemeine mathematische Kompetenzen angeführt:

1. Problemlösen

Das Problemlösen beinhaltet das Anwenden der mathematischen Kenntnisse, Fertigkeiten und

Fähigkeiten bei der Aufgabenbearbeitung, das Anwenden von Lösungsstrategien, und das Erkennen und Nutzen von Zusammenhängen.

2. Kommunizieren

Die Schüler sollen über mathematische

Vorgehensweisen reflektieren, dabei Fachbegriffe benutzen und sich an Regeln halten.

3. Argumentieren

Mathematische Aussagen sollen nicht als gegeben hingenommen, sondern hinterfragt und geprüft werden. Die Schüler sollen Vermutungen anstellen und nach Begründungen suchen.

4. Modellieren

Die Schüler sollen in der Lage sein, aus dem Mathematikunterricht heraus einen Lebensweltbezug herzustellen, also Sachtexten Informationen zu entnehmen, diese in die Mathematik zu übertragen,

¹⁷ Ebd.

8

dort zu lösen und anschließend außermathematisch anzuwenden.

5. Darstellen

Mathematische Probleme sollen mit Hilfe

geeigneter Darstellungen bearbeitet werden, und die Schüler sollen in der Lage sein, die Darstellungen ineinander zu übertragen, mit-einander zu vergleichen und zu bewerten. 18

Zugleich stehen fünf inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen im Mittelpunkt:

1. Zahlen und Operationen

2. Raum und Form 3. Muster und Strukturen 4. Größen und Messen

5. Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. 19

Die Beziehung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen und der inhaltsbezogenen Kompetenzen lässt sich gut graphisch darstellen:

¹⁸ Ebd. S.9

¹⁹ Ebd. S. 11

9

Aus diesen inhaltsbezogenen Kompetenzen wurden die Standards für den Unterricht abgeleitet, bei denen beide Seiten des Kompetenzbegriffes

gleichermaßen beachtet werden. Diese werden im folgenden Kapitel ausführlich erläutert.

²⁰ Ebd.

10

4 Zielvorstellungen Geometrie

4.1 Standards Klasse 4

Wie bereits erläutert setzen sich die angestrebten inhaltsbezogenen mathematischen

Kompetenzen in den Standards der Kultusministerkonferenz aus fünf Teilbereichen zusammen. Die Geometrie wird dabei durch den Bereich Raum und Form repräsentiert, welcher sich wiederum in vier Punkte unterteilt.

4.1.1 Sich im Raum orientieren

Die Schüler sollen am Ende der vierten Klasse über ein ausgeprägtes räumliches Vorstellungsvermögen verfügen. Das bedeutet, dass sie

räumliche Beziehungen, wie zum Beispiel unten, oben, rechts, links, vor, hinter, über, unter, rechts von und links von kennen und nutzen können, um Lagebeziehungen, Ansichten und Wege zu beschreiben und Pläne lesen zu können. Das räumliche Vorstellungsvermögen hat einen

besonders starken Alltagsbezug. Es kommt immer wieder vor, dass Kinder sich zu zweidimensionalen Darstellungen dreidimensionale Objekte vorstellen müssen, zum Beispiel beim Lesen von

Bauanleitungen, zum Aufbau von Möbelstücken, Gebrauchsanweisungen für Elektrogeräte, Benutzen von Stadtplänen oder beim Beschreiben oder

Verstehen der Beschreibung eines Weges. Außerdem ist auch beim Lernen von Arithmetik die Fähigkeit, mit Vorstellungsinhalten zu operieren, sehr hilfreich. Zu guter Letzt fördert das Operieren mit

Vorstellungsinhalten die Konzentration und bietet

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die Möglichkeit, mathematische Inhalte auf einer außermathematischen Ebene zu lösen.

4.1.2 Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen

Die Kenntnis geometrischer Figuren bildet die Basis für alles weitere geometrische Lernen und besitzt eine Werkzeugfunktion. Die Schüler müssen grundlegende Figuren und Körper unterscheiden und beschreiben können, damit sie später Formeln zur Berechnung von Flächen- und Rauminhalt sowie komplexere geometrische Inhalte, wie sie zum Beispiel in der Analytischen Geometrie vorkommen, verstehen können. Außerdem besteht auch hier wieder ein ganz konkreter Umweltbezug:

schließlich bestehen die meisten Dinge in unserer Umwelt aus den geometrischen Grundfiguren. Hier sollen die Schüler den Hintergrund und den Nutzen desselben kennen lernen, sowie dadurch in die Lage versetzt werden, ihre Umwelt zu beschreiben. Konkret bedeutet das, dass sie Körper und Figuren benennen und beschreiben können, diese in der Umwelt wieder erkennen, Modelle derselben

herstellen, untersuchen und beschreiben, und diese mit und ohne Hilfsmittel zeichnen können. Das letztere setzt natürlich Fertigkeiten im Umgang mit den Hilfsmitteln, also Lineal,

Geodreieck, Bleistift und Zirkel voraus. Die Schüler sollten folgende ebene Figuren und Körper kennen: Quadrat, Rechteck, Trapez,

Rhombus, Parallelogramm, Drachenviereck, Dreieck, Kreis, Quader, Würfel, Kugel, Kegel und Zylinder. Außerdem sollten sie die Vierecke nach ihren Eigenschaften (Seiten und Innenwinkel) systematisieren können.

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4.1.3 Einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen

Grundschulrelevante Abbildungen sind Spiegelung, Drehung und Verschiebung. Die Bedeutung der Symmetrie ergibt sich daraus, dass sie nahezu alle Lebensbereiche durchdringt, und sich unter anderem auch in der Arithmetik, zum Beispiel bei der Symmetrie einer Relation oder der Symmetrie von Gleichungen, wieder findet. Speziell die Spiegelung bietet den Kindern auch einen guten Zugang zur Beschreibung und Erklärung ihrer Umwelt. Sie bildet die Grundlage für die spätere Beschäftigung mit Verschiebungs-und Drehsymmetrie.

Die Schüler sollen ebene Figuren in Gitternetzen abbilden können, den Begriff der Symmetrieachse kennen, und selber Symmetrie herstellen können. Zusätzlich können schon erste Erfahrungen mit der Drehsymmetrie angebahnt werden.

4.1.4 Flächen- und Rauminhalte vergleichen und messen

Durch eine erste Auseinandersetzung mit Flächen-und Rauminhalten, werden die Schüler mit der Idee des Messens vertraut gemacht. Das geschieht durch das Auslegen von Figuren und Körpern mit Einheitsflächen beziehungsweise

Einheitswürfeln. In den weiterführenden Schulen können darauf aufbauend die Formeln für die Flächen-und Rauminhaltsberechnung erarbeitet werden.

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4.2 Rahmenpläne

Im deutschen Bildungssystem gibt es gegenüber anderen Ländern eine Besonderheit: Durch den Föderalismus haben die einzelnen Bundesländer eine so genannte "Kulturhoheit", die ihnen eine weitgehend eigenständige Ausgestaltung des allgemeinen Bildungswesens erlaubt. Die Kultusministerkonferenz soll dabei eine Abstimmung zwischen den Ländern erreichen,

allerdings unterscheiden sich die Rahmenpläne trotzdem von Bundesland zu Bundesland. Obwohl es dennoch eine gemeinsame Basis gibt, würde es den Rahmen dieser Arbeit sprengen, sich mit allen Rahmenplänen im Einzelnen auseinanderzusetzen. Deswegen habe ich mein Hauptaugenmerk auf den gemeinsamen Rahmenplan der Länder Berlin, Brandenburg, Mecklenburg-Vorpommern und der

Hansestadt Bremen gerichtet, und werde nur an einer Stelle Bezug auf den Rahmenplan Sachsens nehmen, da in diesem die Geometrie einen

besonderen Stellenwert einnimmt.

4.2.1 Rahmenplan Klasse 4

Im gemeinsamen Rahmenplan der Länder Berlin, Brandenburg, Mecklenburg-Vorpommern und Bremen werden die Ziele am Ende der Klasse 4 als Standards zusammengefasst. Diese werden in

allgemeine mathematische Fähigkeiten und vier spezielle Bereiche (Form und Veränderung, Zahlen und Operationen, Größen und Messen und Daten und Zufall) gegliedert. Die allgemeinen mathematischen Fähigkeiten umfassen die allgemeinen mathematischen Kompetenzen der Standards der Kultusministerkonferenz. Auffallend ist nur die

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klarere Strukturierung der Standards der Kultusministerkonferenz, die den einzelnen

Fähigkeiten übergeordnete Begriffe zuordnet. In dem Bereich Form und Veränderung werden die geometrischen Ziele zusammengefasst. Auch diese decken sich weitestgehend mit den Standards und unterscheiden sich wiederum nur in der Gliederung derselben.

Im Rahmenplan des Bundeslandes Sachsen ²¹ , welcher nicht auf dem Mecklenburger Kompetenzmodell

aufbaut, werden die Ziele der vierten Klasse anders klassifiziert. Unter vier Aspekten werden die mathematischen Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten betrachtet. Hierbei treten einige Neuheiten auf, die ich im Folgenden nennen werde:

1. Entwickeln der Wahrnehmungs- und Vorstellungsfähigkeit

Die Vorstellungen der Symmetrie werden beim „[…] Erkennen von geometrischen und arithmetischen Strukturen und zum vorteilhaften Rechnen [genutzt]“. 22

2. Operieren mit geometrischen Objekten, Zahlen und Größen

Die Schüler „nutzen […] die Verbindungen zwischen geometrischen und arithmetischen Strukturen zum Veranschaulichen und Rechnen“. 23

3. Entwickeln von Fähigkeiten, mathematische Probleme zu lösen

²¹ Rahmenplan Mathematik Grundschule Sachsen. 2004. S. 22

²² Ebd.

²³ Ebd.

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