II

Seite   

Gliederung   

Abk  ürzungsverzeichnis  III

Symbolverzeichnis   IV

Abbildungsverzeichnis   VI

Tabellenverzeichnis VII   

   1

1  Einleitung  

   3

2  Grundlagen der Portfolio-Theorie  

2.1  Die Portfolio Selection-Theorie  4

2.1.1  Modellannahmen  5

2.1.2  Risiko- und Ertragsmöglichkeiten  10

2.1.3  Die Effizienzlinie  12

2.1.4  Das Separationstheorem  13

2.1.5  Der Diversifikationseffekt  15

2.2  Das Capital Asset Pricing Model  17

2.2.1  Modellannahmen  17

2.2.2  Die Kapitalmarktgerade  18

2.2.3  Die Wertpapiermarktgerade  20

2.2.4  Nichtexistenz einer risikofreien Anlage  21

   24

3  Die Erweiterung auf internationale Portfolios  

3.1  Das internationale Portfolio Selection-Modell  24

3.1.1  Die internationale Effizienzlinie  24

3.1.2  Diversifikationsmöglichkeiten durch internationale  27

Streuung   29

3.1.3  Korrelationskoeffizienten im Zeitablauf  32

3.2  Das internationale Capital Asset Pricing Model  33

3.2.1  Der Ansatz von Grauer, Litzenberger und Stehle  35

3.2.2  Die Ansätze von Solnik, Sercu sowie Adler und Dumas  37

3.3  Zwischenfazit  38

38 4 Probleme des internationalen Portfolio-Managements 4.1 Der Einfluss von Wechselkursen 38

4.1.1 Rendite und Risiko einer ausländischen Aktie 41

4.1.2 Rendite und Risiko eines internationalen Portfolios 44

4.1.3 Hedging des Wechselkursrisikos 46

4.2 Integration versus Segmentierung der internationalen Märkte 47

4.2.1 Unterschiedliche Soll- und Habenzinsen 48 4.2.2 Kaufkraftparität 49

4.2.3 Direkte und indirekte Barrieren 50

4.3 Home Bias in internationalen Aktienportfolios 51

4.3.1 Internationale Diversifikation in den Portfolios 53 deutscher Anleger 54

4.3.2 Erklärungsansätze für den Home Bias 59

4.3.2.1 Monetäre Investitionsbarrieren 60

4.3.2.2 Regulative Investitionsbarrieren 61

4.3.2.3 Hedging des Inflationsrisikos 63

4.3.2.4 Informationsbarrieren 66

4.3.2.5 Aussagen des Behavioural Finance-Ansatzes 69

4.3.2.6 Weitere Erklärungsansätze 4.3.3 Kritische Würdigung der Erklärungsansätze 73

75 5 Fazit

Anhang 77 Literaturverzeichnis 90

Abkürzungsverzeichnis

APT Arbitrage Pricing Theory CAPM Capital Asset Pricing Model IDK Indifferenzkurve KKP Kaufkraftparität KML Kapitalmarktlinie LOP Law of One Price MPT Moderne Portfolio Theorie MVM Mean Variance-Modell resp. respektive WiSt Wirtschaftswissenschaftliches Studium WMG Wertpapiermarktgerade

Symbolverzeichnis

a Anteil der Aktie i am Portfolio P C Varianz-Kovarianz-Matrix cov(R i ,R j ) Kovarianz zwischen den Renditen der Aktien i und j ^{A A} cov(R i ,R j ) Kovarianz zwischen den Renditen der Aktien i und j im Ausland (lokale Markt-Kovarianz) ^{A WK} cov(R i ,R i ) Kovarianz zwischen der Rendite der Aktie i im Ausland

^{A WK} cov(R i ,R j ) Kovarianz zwischen der Rendite der Aktie i im Ausland

^{WK WK} cov(R i ,R j ) Kovarianz zwischen den Wechselkursrenditen bezogen auf die Aktien i und j (Wechselkurskovarianz) cov(R i ,R M ) Kovarianz zwischen der Rendite der Aktie i und der des Markt-portfolios M cov(R i ,R W ) Kovarianz zwischen der Rendite der Aktie i und der des Welt-marktportfolios cov(R N ,R W ) Kovarianz zwischen der Rendite des nationalen Marktportfolios und der des Weltmarktportfolios D M Dividendenrendite des Marktportfolios D i Dividendenrendite der Aktie i E(R i ) erwartete Rendite der Aktie i ^A E(R i ) erwartete Rendite der Aktie i im Ausland ^I E(R i ) erwartete Rendite der Aktie i im Inland ^WK E(R i ) erwartete Wechselkursrendite bezogen auf die Aktie i E(R IN ) erwartete Rendite des internationalen Portfolios E(R M ) erwartete Rendite des Marktportfolios M E(R N ) erwartete Rendite des nationalen Marktportfolios E(R P ) erwartete Portfoliorendite E(R I P ) erwartete Portfoliorendite im Inland E(R W ) erwartete Rendite des Weltmarktportfolios

E(R Z ) erwartete Rendite des varianzminimalen Zero-Beta-Portfolios IDK Indifferenzkurve M Marktportfolio p s Eintrittswahrscheinlichkeit für den Zustand s R Vektor der Aktienrenditen R f Zinssatz für risikolose Kapitalanlage und -aufnahme R H Zinssatz für Kapitalanlage (Habenzins) R is szenarienabhängige Rendite der Aktie i R S Zinssatz für Kapitalaufnahme (Sollzins) T Tangentialportfolio Tobin-Fonds t Steuersatz t d durchschnittliche Steuerrate auf Dividenden t k durchschnittliche Steuerrate auf Kapitalgewinne U Risiko-Nutzen-Funktion var(R i ) Varianz der Rendite der Aktie i ^A var(R i ) Varianz der Rendite der Aktie i im Ausland (lokale Marktvarianz) ^I var(R i ) Varianz der Rendite der Aktie i im Inland ^WK var(R i ) Varianz der Wechselkursrendite bezogen auf die Aktie i var(R M ) Varianz der Rendite des Marktportfolios M var(R P ) Varianz der Portfoliorendite var(R I P ) Varianz der Portfoliorendite im Inland x i Gewichtungsfaktor der Aktie i x ^T Vektor der Aktiengewichte (transponiert) β i Beta-Faktor der Aktie i β i(M) Beta-Faktor der Aktie i in Abhängigkeit des Portfolios M β N Beta-Faktor des nationalen Marktportfolios β P Beta-Faktor des Portfolios P σ i Standardabweichung der Rendite der Aktie i σ IN Standardabweichung der internationalen Portfoliorendite σ M Standardabweichung der Rendite des Marktportfolios M

σ P Standardabweichung der Rendite des Portfolios P σ W Standardabweichung der Rendite des Weltmarktportfolios ρ ij Korrelationskoeffizient zwischen den Renditen der Aktien i und j 1-a Anteil des Marktportfolios M am Portfolio P

VIII

Abbildungsverzeichnis   

Abb.  1: Risiko- und Ertragsmöglichkeiten im Zwei-Wertpapier-  

Fall   

Abb.  2: Auswahl des optimalen Portfolios  

Abb.  3: Optimale Portfolios bei Separation  

Abb.  4: Verschiedene Risikoeinstellungen  

Abb.  5: Diversifizierbares und nicht diversifizierbares Risiko  

Abb.  6: Die Kapitalmarktlinie im CAPM  

Abb.  7: Die Wertpapiermarktgerade im CAPM  

Abb.  8: Zero-Beta-Portfolios bei Nichtexistenz einer  

risikofreien  Anlage  

Abb.  9: Übergang von nationaler zu internationaler  

Effizienzlinie   

Abb.  10: Vorteilhaftigkeit internationaler Portfolios  

Abb.  11: Risikoreduktion durch internationale Streuung  

Abb.  12: Korrelationskoeffizienten im Zeitablauf  

Abb.  13: Risikoreduktion durch internationale Streuung und Hedging  

Abb.  14: Unterschiedliche Soll- und Habenzinssätze  

Abb.  15: Anteil ausländischer Aktien am Portfolio deutscher Anleger  

Abb.  16: Internationale Effizienzlinie und Portfolio mit Home Bias  

Abb.  17: Effizienzlinie mit und ohne Transaktionskosten  

Abb.  18: Effizienzlinien mit unterschiedlichen Steuersätzen  

Abb  19: Heterogene Erwartungen  

Tabellenverzeichnis

Tab. 1: Korrelationskoeffizienten großer Industriestaaten

Tab. 2: Korrelationskoeffizienten ausgewählter

Tab. 3: Varianzzusammensetzung bei Auslandsanlagen, Referenzwährung: DM

1 Einleitung

Die moderne Portfolio-Selektions-Theorie wurde durch Harry M. Markowitz begründet. In seinen 1952 und 1959 veröffentlichten Arbeiten legte er den Grundstein für alle später verfassten Texte zu diesem Thema. ¹ Das traditionelle Portfolio-Management wurde dahingehend ergänzt, dass nicht nur eine einseitige Beurteilung, sondern nun auch eine erfassbare Beziehung zwischen Risiko und Rendite einzelner Aktien und ganzer Portfolios vorgenommen wurde. ² Seitdem entwickelte sich diese Disziplin in einer rasanten Geschwindigkeit, wobei sich Theorie und Praxis in starkem Maße gegenseitig beeinflusst haben und es auch heute noch tun. Auch deshalb ist es angemessen, vom Portfolio-Management zu sprechen, und nicht lediglich von einer Portfolio-Theorie. In den Jahren 1964 bis 1966 wurde von Sharpe, Lintner und Mossin das Capital Asset Pricing Model (CAPM) entwickelt. ³ Es basiert auf den von Markowitz veröffentlichten Arbeiten und „beschreibt in einfacher Art und Weise die Beziehung zwischen Risiko und Ertrag eines Wertpapiers beziehungsweise Portfolios.“ ⁴ Der entscheidende Unterschied liegt beim CAPM darin, dass eine Bewertung der Aktien stattfindet. ⁵ Dies wird durch die Verwendung eines aktien- beziehungsweise portfoliospezifischen Risikos, des so genannten Betas, erreicht.

Ein weiterer großer Untersuchungsgegenstand ist die Formalisierung und Beurteilung eines international diversifizierten Portfolios. Viele Autoren haben gezeigt, dass ein international gestreutes Portfolio einem nationalen eindeutig überlegen ist, da sich das Risiko verringern lässt, ohne dass man einen Rückgang der erwarteten Rendite in Kauf nehmen muss. Dementsprechend wurden auch mehrere Versuche angestellt, das CAPM in einen internationalen Kontext zu übertragen. Die wichtigsten Arbeiten zu diesem Thema wurden von Grauer, Litzenberger und Stehle, Solnik, Sercu

¹ Vgl. MARKOWITZ (1952), S. 77 - 91; MARKOWITZ (1959)

² Vgl. ELTON/GRUBER (1995), S. 46

³ Vgl. SHARPE (1964), S. 425 - 442; LINTNER (1965), S. 13 - 37;

MOSSIN (1966), S. 768 - 783

⁴ HOTZ (1989), S. 4

⁵ Vgl. HAUGEN (2001), S. 201

sowie Adler und Dumas verfasst. ⁶ Durch sie konnte eine Bewertung einzelner Aktien nun auch im internationalen Zusammenhang vorgenommen werden.

In der Praxis ist ein besonderes Phänomen zu beobachten. Die Anleger, vor allem private Investoren, halten ein nur in unzureichendem Maße diversifiziertes Portfolio. In den meisten Fällen, unabhängig davon, aus welchem Land der Investor stammt, wird ein Aktienpaket gehalten, das einen deutlichen Überhang an inländischen Wertpapieren aufweist. Dieser starke Bezug zu im Heimatmarkt gehandelten Titeln wird, in der englischwie auch in der deutschsprachigen Literatur, Home Bias genannt. In der vorliegenden Arbeit werden zunächst die Grundlagen des Portfolio-Managements in Form der Theorien des Portfolio Selection-Modells sowie des Capital Asset Pricing Models dargestellt. Danach wird auf die Vorteilhaftigkeit international diversifizierter Portfolios eingegangen und die Erweiterung des Bewertungsmodells in den internationalen Kontext vorgenommen. Anschließend werden Problemstellungen im

internationalen Kontext genauer untersucht, wobei das Hauptaugenmerk auf der Untersuchung des Home Bias liegt. Dabei ist zu beobachten, dass die theoretischen Handlungsanweisungen in der Realität nicht adäquat umgesetzt werden. Daher stellt sich die Frage, ob es bei der Portfoliobildung noch andere Faktoren gibt, die berücksichtigt werden müssen oder ob die entsprechenden Investoren einem großen Irrtum unterliegen und deshalb ihre Portfolios nur derart gering international streuen.

⁶ Vgl. SOLNIK (1974a), S. 500 - 524; GRAUER/LITZENBERGER/STEHLE (1976),

S. 233 - 256; SERCU (1980), S. 91 - 135; ADLER/DUMAS (1983), S. 925 - 984

2 Grundlagen der Portfolio-Theorie

Die verschiedenen Möglichkeiten ein Portfolio zu verwalten hängen sehr stark von den Präferenzen des Portfolio-Managers ab. Es ist zu entscheiden, ob die Renditemaximierung im Vordergrund stehen soll oder ob man eher eine breitere Diversifikation zur Risikominimierung anstrebt. Man muss also festlegen, welche Technik zur grundsätzlichen Verwaltung des Portfolios herangezogen werden soll. Hierbei wird zwischen einer aktiven und einer passiven Politik sowie quantitativen und traditionellen, qualitativen Methoden unterschieden. 7

Beim aktiven Portfolio-Management wird angenommen, dass es auf Grund einer gewissen Ineffizienz zumindest zeitweise zu Marktungleichgewichten kommt. Durch geeignete Informationsbeschaffung und -verarbeitung und entsprechende Portfolioumschichtungen sollen die Ineffizienzen ausgenutzt werden, um überdurchschnittliche Renditen zu erzielen. ⁸ Allerdings wird dabei ein höheres Risiko in Kauf genommen und die Transaktionskosten steigen, was durch das Erreichen höherer Renditen ausgeglichen werden muss. 9

Bei der Anwendung einer passiven Strategie wird angenommen, dass die Finanzmärkte hinreichend effizient und entsprechend verwaltete Portfolios stabil sind und auf lange Sicht eher der Markt-Performance gleichkommen, als dies durch ein aktives Management erreicht werden könnte. ¹⁰ Allerdings bedeutet das nicht, dass bei dieser Technik vollkommen auf Veränderungen des Portfolios verzichtet wird. Es wird versucht, den Markt, der selbst immer wieder Änderungen unterliegt, möglichst exakt und kostengünstig nachzubilden. ¹¹ Welcher der beiden Ansätze vorzuziehen ist, kann nicht abschließend festgestellt werden. Damit das aktive Management ein besseres Ergebnis erzielt als das passive, müssen die damit verbundenen höheren Kosten überkompensiert werden. Diese setzen sich aus den Informationskosten

⁷ Vgl. LOTTENBACH (1995), S. 67

⁸ Vgl. GAST (1998), S. 36

⁹ Vgl. PODDIG/BRINKMANN/SEILER (2005), S. 114

¹⁰ Vgl. RUDD/CLASING (1982), S. 256

¹¹ Vgl. GARZ/GÜNTHER/MORIABADI (1997), S. 156

für genauere Vorhersagen über die Kursentwicklung, dem Ausfallrisiko durch ein höheres diversifizierbares Risiko, den Transaktionskosten wegen häufigerer Portfolioumschichtungen und den Steuern auf Grund der Besteuerung von öfter realisierten Kapitalgewinnen zusammen. ¹² Im traditionellen Portfolio-Management wurden die Investitionsobjekte isoliert betrachtet und lediglich auf die Rendite als Entscheidungskriterium abgestellt. ¹³ Dem Risiko der einzelnen Aktien beziehungsweise des ganzen Portfolios wird kaum Beachtung geschenkt. Die Moderne Portfolio-Theorie (MPT) hingegen stellt die Rendite-Risiko-Beziehung der einzelnen Wertpapiere beziehungsweise des gesamten Portfolios in den Vordergrund. Sie hat sich seit der Veröffentlichung der Arbeiten von Markowitz rasant entwickelt. Dabei wurden viele Theorien aufgestellt, von denen einige keine Beachtung, andere wiederum eine sehr große erfuhren. In der MPT lassen sich normative und deskriptive Modelle unterscheiden: ¹⁴ Erstere beschreiben die optimale Aufteilung des Vermögens eines Investors bei gegebenem Risiko und gesetzten Annahmen auf die realisierbaren Anlagemöglichkeiten. Hierzu gehören die Ansätze von Markowitz und Tobin sowie das Single- und das Multi-Index-Modell nach Sharpe beziehungsweise Cohen und Pogue. ¹⁵ Zu den deskriptiven Modellen gehören das Capital Asset Pricing Model nach Sharpe, Lintner und Mossin und die von Ross entwickelte Arbitrage Pricing Theory (APT), welche die Preisbildungsprozesse an Kapitalmärkten beschreiben. 16

2.1 Die Portfolio Selection-Theorie

Auch wenn es erst Markowitz gelang, ein Maß für das Risiko einer Anlage beziehungsweise eines Portfolios zu entwickeln, so war man sich auch vorher schon bewusst, dass es nicht sinnvoll ist, ausschließlich die

¹² Vgl. ELTON/GRUBER (1995), S. 693

¹³ Vgl. BRUNS/MEYER-BULLERDIEK (2000), S. 69

¹⁴ Vgl. PODDIG/BRINKMANN/SEILER (2005), S. 29

¹⁵ Vgl. TOBIN (1958), S. 65 - 86; SHARPE (1963), S. 277 - 293;

COHEN/POGUE (1967), S. 166 - 193

¹⁶ Vgl. ROSS (1976), S. 341 - 360

Rendite zu maximieren. Um das Risiko - dessen man sich sehr wohl bewusst war - zu streuen, wurde schon damals das eingesetzte Kapital auf verschiedene Vermögensgegenstände verteilt, um nicht „alle Eier in einen Korb“ zu legen. ¹⁷ Markowitz konnte mit seinem Ansatz aber genau formalisieren, wie Rendite und Risiko einer Aktie beziehungsweise eines Portfolios miteinander in Beziehung stehen.

2.1.1 Modellannahmen

Markowitz ist der Meinung, dass es darum geht, ein möglichst gut diversifiziertes Portfolio anzulegen. „A good portfolio is more than a long list of good stocks and bonds. It is a balanced whole, providing the investor with protections and opportunities with respect to a wide range of contingencies.” ¹⁸ Er geht in seinem Mean Variance-Modell (MVM) von folgenden Annahmen aus: 19

1. Investoren verhalten sich grundsätzlich risikoavers, das heißt sie ziehen bei gleichem Risiko das Wertpapier mit der höheren erwarteten Rendite beziehungsweise bei gleicher erwarteter Rendite das Wertpapier mit dem geringeren Risiko vor. 2. Für die Investoren sind der Erwartungswert und die Standardabweichung (beziehungsweise die Varianz) der

Wertpapierrenditen die einzigen Entscheidungskriterien. 3. Investoren verhalten sich rational und versuchen, den erwarteten Nutzen zu maximieren.

4. Der Planungshorizont, an dem sich die Entscheidungen der Investoren ausrichten, beträgt eine Periode.

Im Modell wird den Annahmen durch verschiedene Einflussfaktoren Rechnung getragen. Die erwartete Rendite E(R i ) einer Aktie i repräsentiert den erwarteten Rückfluss aus der Investition und die Standardabweichung σ i beziehungsweise die Varianz var(R i ) der Rendite eines Titels i misst

¹⁷ Vgl. KRUSCHWITZ (1999), S. 155

¹⁸ MARKOWITZ (2003), S. 3

¹⁹ Vgl. HAUSMANN/DIENER/KÄSLER (2002), S. 7f

deren Risiko. Die Kovarianz cov(R i ,R j ) beziehungsweise der Korrelationskoeffizient ρ ij zwischen den Renditen der Aktien i und j beschreibt den Grad der Parallelität in der Entwicklung zweier Wertpapiere.

Die erwartete Rendite ist eine ungewisse Größe, da es sich stets um unsichere Ereignisse handelt. ²⁰ Die Unsicherheit über das tatsächliche Ergebnis ist also ein wichtiger Bestandteil der Portfolio-Selektion. Die erwartete Rendite einer Aktie i ist „der gewichtete Durchschnitt aller szenarienabhängigen Renditen, wobei die Gewichte die

Wahrscheinlichkeiten sind“ ²¹ :

E(R

i

mit: E(R i ) … erwartete Rendite der Aktie i R is … szenarienabhängige Rendite der Aktie i … p Eintrittswahrscheinlichkeit für den Zustand s (hier: dass R is eintrifft)

Die szenarienabhängigen Renditen R is , die mit den

Eintrittswahrscheinlichkeiten p s gewichtet werden, sind unsichere Größen, die aus Vergangenheitswerten (ex-post-Werten) geschätzt werden. Die erwartete Rendite eines Portfolios E(R P ) lässt sich aus dem mit den Portfolioanteilen gewichteten Durchschnitt der erwarteten Einzelrenditen der im Portfolio befindlichen Aktien berechnen. Die Gewichtung eines Wertpapiers bezieht sich dabei auf ihren Anteil am gesamten Portfolio. 22

( E

²⁰ Vgl. MARKOWITZ (1952), S. 77

²¹ AUCKENTHALER (2001), S. 18

²² Vgl. STEINER/BRUNS (2002), S. 7

mit: E(R P ) … erwartete Portfoliorendite x i … Gewichtungsfaktor der Aktie i

Je mehr Wertpapiere in Gleichung (2) einbezogen werden, umso länger und damit unübersichtlicher wird diese. Deshalb wird in diesem Fall zumeist die Vektorschreibweise herangezogen, um die erwartete Portfoliorendite darzustellen: 23

R ( E

P

mit: x ^T … Vektor der Aktiengewichte (transponiert) R … Vektor der Aktienrenditen

Die Streuung der möglichen Renditen um die erwartete Rendite, und damit das Risiko einer Aktie i lässt sich in zwei Maßzahlen ausdrücken: der Standardabweichung σ i und der Varianz var(R i ). Je stärker die möglichen Renditen um die erwartete streuen, umso höher ist das mit dem Papier verbundene Risiko. Welche der beiden Variablen zur Berechnung des Risikos herangezogen wird, ist unerheblich.

mit: var(R i ) … Varianz der Rendite der Aktie i

²³ Vgl. STEINER/UHLIR (2001), S. 137

Die Varianz ist die mit der Eintrittswahrscheinlichkeit gewichtete quadrierte Abweichung vom Erwartungswert. Die Standardabweichung berechnet sich aus der Wurzel der Varianz. 24

σ

i

mit: σ i … Standardabweichung der Rendite der Aktie i

Das Risiko eines Portfolios lässt sich allerdings nicht so einfach berechnen wie die erwartete Portfoliorendite. Man muss hierbei den Zusammenhang zwischen den Renditeentwicklungen der Aktien berücksichtigen, die so genannte Kovarianz. Sie misst Richtung und Stärke des Zusammenspiels zweier Wertpapiere. ²⁵ Diese Beziehung ist ein weiterer wichtiger Bestandteil der Portfolio Selection-Theorie: Die Kovarianz ist positiv, wenn sich zwei Aktien tendenziell in die gleiche Richtung bewegen, und ist umso größer, je paralleler die Entwicklung der beiden Anlagen stattfindet. Umgekehrt ist die Kovarianz negativ, wenn sich die Wertpapiere tendenziell gegenläufig bewegen. Beträgt sie Null, dann besteht kein linearer Zusammenhang zwischen den Renditen der beiden Anlagealternativen. 26

R cov(

mit: cov(R i ,R j ) … Kovarianz zwischen den Renditen der Aktien i und j

Der Korrelationskoeffizient ρ ist der Kovarianz sehr ähnlich, hat aber den großen Vorteil, dass er von den Maßeinheiten unberührt bleibt. ²⁷ Er ist ein

²⁴ Vgl. MARKOWITZ (2003), S. 73

²⁵ Vgl. MAGINN/TUTTLE (1983), S. 35

²⁶ Vgl. HAUGEN (2001), S. 37

²⁷ Vgl. RIEGEL (1992), S. 8

wesentlich eingänglicheres Maß, da er nur noch Werte zwischen -1 und +1 annimmt. Seine Berechnung erfolgt durch die Division der Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen. 28

ρ

ij

mit: ρ ij … Korrelationskoeffizient zwischen den Renditen der Aktien i und j

Analog zur Kovarianz gilt: Zwei Wertpapiere bewegen sich vollkommen parallel, wenn sie einen Korrelationskoeffizienten von +1 haben, es besteht also ein perfekter positiver linearer Zusammenhang. Liegt der Korrelationskoeffizient zwischen +1 und 0, dann bewegen sie sich tendenziell in die gleiche Richtung. Eine vollständig negative lineare Beziehung liegt vor, wenn er -1 beträgt. Dabei verändern sich die Aktien folglich vollkommen entgegengesetzt. Eine Korrelation zwischen -1 und 0 ist gleichbedeutend mit einer mehr oder weniger starken gegensätzlichen Entwicklung. Ist der Korrelationskoeffizient 0, dann entwickeln sich die Aktien voneinander unabhängig. 29

Das Risiko eines Portfolios mit zwei Titeln lässt sich schlussendlich also nach folgender Formel berechnen: 30

R var(

mit: var(R P ) … Varianz der Portfoliorendite

²⁸ Vgl. MARKOWITZ (2003), S. 85

²⁹ Vgl. SHARPE (2000), S. 37f

³⁰ Vgl. KRUSCHWITZ (1999), S. 185

Bei der Darstellung der Varianz der Portfoliorendite bietet sich, wie schon bei der erwarteten Portfoliorendite selbst, die vor allem im Mehr-Papier-Fall übersichtlichere Vektorschreibweise an: 31

mit: C … Varianz-Kovarianz-Matrix

Abhängig von der Stärke der Korrelation kann das Risiko eines Portfolios mehr oder weniger stark diversifiziert werden. Werden nur Titel aufgenommen, die perfekt positiv miteinander korrelieren, dann kommt es zu keiner Risikominderung. Werden hingegen nur perfekt negativ korrelierende Aktien zu einem Portfolio zusammengestellt, dann ist es rein theoretisch sogar möglich, ein vollständig risikofreies Portfolio zu erhalten. Generell lässt sich jedoch festhalten, dass das Risiko eines Portfolios unter dem Durchschnittsrisiko der darin enthaltenen Aktien liegt, weil diese in der Regel nicht perfekt positiv korreliert sind. ³² Die Korrelation von Wertpapierrenditen sowie die sich daraus ergebenden Rendite-Risiko-Kombinationen sind Gegenstand des nächsten Kapitels.

2.1.2 Risiko- und Ertragsmöglichkeiten

Für ein aus zwei Titeln A und B bestehendes Portfolio ergeben sich abhängig von den Ausprägungen der Korrelationskoeffizienten die folgenden Risiko- und Ertragsmöglichkeiten:

³¹ Vgl. STEINER/UHLIR (2001), S. 138

³² Vgl. LOTTENBACH (1995), S. 86

Erwartungswert

C

Abb. 1: Risiko- und Ertragsmöglichkeiten im Zwei-Wertpapier-Fall,

eigene Bearbeitung nach LEVY/SARNAT (1984), S. 291

Bei einer Korrelation der Wertpapiere von +1 kann man alle Portfolios realisieren, deren Risiko- und Ertragsmöglichkeiten zwischen den Punkten A und B liegen. Haben die beiden Wertpapiere eine Korrelation von -1 könnte man hingegen alle Portfolios auf der Verbindungslinie zwischen den Punkten B, C und A realisieren, wobei alle effizienten Kombinationen auf der Strecke BC liegen. Sie haben bei gleichem Risiko einen höheren Ertrag, werden also auf Grund der ersten Annahme aus Teil 2.1.1 denen, die auf der Strecke AC liegen, vorgezogen. Theoretisch wäre es dann möglich, ein Portfolio mit einer Varianz von Null zu konstruieren. ³³ Der Punkt C stellt ein Portfolio mit einem Risiko von Null dar, liefert also eine sichere Rendite, und entspricht daher einer synthetisch hergestellten risikofreien Anlage.

Da die tatsächliche Korrelation der Wertpapiere mit hoher Wahrscheinlichkeit zwischen diesen beiden Extremen liegt, weist die Kurve aller realisierbaren Portfolios in Wirklichkeit eine gekrümmte Form auf und liegt zwischen den Strecken BA und BC. ³⁴ Die Krümmung und somit die Lage dieser Kurve hängen von der Ausprägung des Korrelationskoeffizienten ab. Je geringer die Korrelation zwischen den beiden Wertpapieren ist, desto stärker ist die Kurve gekrümmt und desto

³³ Vgl. FARRELL (1997), S. 32

³⁴ Vgl. GARZ/GÜNTHER/MORIABADI (1997), S. 41

weiter liegt sie links in der Grafik. ³⁵ Dementsprechend ist auch der Risikoreduktionseffekt umso größer, je geringer die beiden Wertpapiere miteinander korrelieren. 36

Im Punkt D ist, bei einem Korrelationskoeffizienten von Null, das varianzminimale Portfolio erreicht, das heißt hier wird das Portfolio mit dem geringst möglichen Risiko realisiert. ³⁷ Alle effizienten Portfolios liegen also auf der Kurve BD, während die Wertpapierkombinationen, die auf der Verbindungslinie zwischen den Punkten D und A liegen, ineffizient sind. ³⁸ Sie weisen bei einer geringeren erwarteten Rendite ein höheres Risiko auf und werden zumindest vom varianzminimalen Portfolio dominiert.

2.1.3 Die Effizienzlinie

Bezieht man immer mehr Aktien in die Portfoliobildung mit ein, dann lässt sich letztendlich die Linie effizienter Portfolios berechnen und darstellen. Sie spiegelt alle Portfolio-Kombinationen wider, welche die höchste erwartete Rendite für das jeweils gegebene Risiko aufweisen oder umgekehrt das geringste Risiko für eine gegebene erwartete Rendite haben. 39

Erwartungswert

³⁵ Vgl. JONES (2000), S. 173

³⁶ Vgl. BODIE/KANE/MARCUS (2005), S. 233

³⁷ Vgl. KLEEBERG (2002), S. 363

³⁸ Vgl. SERCU/UPPAL (1995), S. 403

³⁹ Vgl. RUDD/CLASING (1982), S. 16