Algorithmen für auf adiabatischer Entwicklung basierende Quantenrechner

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  3

1.1  Quantenrechner  3

1.2  Adiabatische Quantenberechnungen  4

1.3  Aufgabenstellung der Diplomarbeit  6

2  Quantenmechanische Grundlagen  9

2.1  Mathematische Vorbemerkungen  9

2.2  Die Schr odingergleichung  15

2.3  Die adiabatische Entwicklung  19

3  Anwendungen der adiabatischen Entwicklung in der Informatik  29

3.1  Grundlagen der theoretischen Informatik  29

3.2  Ein Algorithmus f ur MAX-3-SAT durch adiabatische Entwicklung  32

3.3  Ein Algorithmus f ur GRAPH ISOMORPHISM durch adiabatische Entwick-  

  lung  40

4  Absch atzungen der Erfolgswahrscheinlichkeit  65

4.1  Definitionen und Voraussetzungen an die Hamiltonoperatoren  65

4.2  Klassifikation der Eigenwerte  66

4.3  Absch atzung der Eigenwertdifferenz durch Gerschgorin-Kreise  70

4.4  Absch atzung der Eigenwertdifferenz nach Weinstein  77

4.5  Eigenwertberechnung nach Courant und Weyl  80

4.6  Analyse der Erfolgswahrscheinlichkeit  82

1

2  Inhaltsverzeichnis  Inhaltsverzeichnis

5  Implementierung  89

5.1  Lastenheft  89

5.2  GUI-Programmierung mit Qt  90

5.3  Die Architektur von PITA-Quamputation  91

5.4  Verfahren zur Ermittlung von Eigenwerten und -vektoren  96

5.5  Bestimmung der essentiellen Eigenwertdifferenz  101

5.6  Vergleich der Analysen der adiabatischen Entwicklung  103

6  Zusammenfassung und Ausblick  109

  A Handbuch  111

  A 1 Installation  111

  A 2 Der Programmstart  111

  A 3 Eingabem oglichkeiten f ur Probleminstanzen  112

  A 4 Auswertung  113

  Literaturverzeichnis  117

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Quantenrechner

Quantenrechner haben in den letzten Jahren einen regelrechten Boom ausgel¨ ost, sowohl bei den Informatikern als auch bei den Physiker. Historisch gesehen sind die Grundlagen be- reits seit dem ersten Viertel des zwanzigsten Jahrhunderts bekannt. Eine Ausnutzung der physikalischen Ph¨ anomene f¨ ur Berechnungen wurde allerdings erst in Angriff genommen, als David Deutsch 1985 das Modell des Universellen Quantencomputers (UQC) entwickel- te, in welchem beliebige physikalische Systeme, also auch klassische Computer, simuliert werden k¨ onnen.

Mit Hilfe dieses theoretischen Modells eines Quantencomputers zeigten Deutsch und Josza [DJ92] an einem einfachen Beispiel, dass ein solcher universeller Quantencomputer bzgl. der Auswertung einer Funktion, man sagt auch die Abfrage eines Orakels, eine st¨ arkere Rechenleistung hat als klassische Rechner, wie z.B. die Turingmaschine. Gegeben sei eine

Funktion f : {0, 1} n → {0, 1}, welche entweder konstant ist oder deren Anzahl an Einga- ben mit Ausgabe 1 und 0 gleich ist. F¨ ur diese Funktion kann der UQC mit nur O(1) vielen Funktionsauswertungen entscheiden, welche der beiden Eigenschaften f erf¨ ullt. Im Gegen- satz dazu ben¨ otigt eine Turingmaschine superpolynomiell viele Funktionsauswertungen.

Wesentlich popul¨ arer wurden die Quantenrechner, als Peter Shor 1994 einen Algorithmus [Sho97] vorstellte, der sowohl das Problem der Primfaktorzerlegung, als auch das des dis- kreten Logarithmus mit polynomiell vielen Rechenschritten l¨ oste – zwei Probleme, von denen man annimmt, sie haben keine effiziente L¨ osung auf Turingmaschinen. Damit ver- bunden ist auch die Unsicherheit des RSA-Kryptosystems, welches auf der Komplexit¨ at der Primfaktorzerlegung aufbaut.

Der zweite, sehr bekannt gewordene Algorithmus ist der von Lov Grover [Gro96] zur Suche in unstrukturierten Datenbanken. Gesucht wird eine Eingabe, f¨ ur die eine gegebene Funk-

tion f : {0, 1} n → {0, 1} den Wert 1 annimmt. Es darf darin nur ein Orakel f¨ ur f benutzt werden, welches den Funktionswert einer Eingabe liefert. Im Gegensatz zu klassischen

3

4 Kapitel 1. Einleitung

Rechnern, die im Erwartungswert Ω(2 n ) Orakelaufrufe ben¨ otigen, hat der Algorithmus

von Grover eine Komplexit¨ at von O(2 n/2 ). Quantenrechner haben also f¨ ur Algorithmen, die lediglich ein Orakel f¨ ur f benutzen und die Struktur der Funktion nicht anderweitig

ausnutzen d¨ urfen, einen quadratischen Komplexit¨ atsvorsprung vor Turingmaschinen. Man

kann auch zeigen, dass dieses Ergebnis f¨ ur Quantenrechner optimal ist.

Doch trotz großer Anstrengungen im Bereich der Quanteninformationsverarbeitung bleiben

die Algorithmen von Grover und Shor seit mehreren Jahren die einzigen Algorithmen f¨ ur

Quantenrechner, die nach derzeitigem Kenntnisstand eine effizientere Probleml¨ osung bieten

als klassische Rechner. Auch deren physikalische Implementierung sieht sich vor extrem

große Probleme gestellt. Die von Chuang et al. entwickelte, momentan leistungsst¨ arkste

Realisierung eines Quantenrechners konnte im Dezember 2001 mit Hilfe von sieben Qubits,

dem Quantenrechner-Analogon zum klassischen Bit, die Zahl 15 faktorisieren [VSB + 01].

Ursache f¨ ur die Tr¨ agheit des Fortschritts ist zum Einen die nicht intuitive Arbeitsweise von

Quantenrechnern, welche auf einer ¨

Uberlagerung verschiedener Zust¨ ande eines Systems von

Qubits arbeiten. Im Gegensatz dazu steht die langj¨ ahrige Praxis der Informatiker, Syste-

me zu betrachten, die in jedem Zeitpunkt einen genau definierten Zustand einnehmen. Ein

Vergleich mit Randomisierung ist nicht angemessen, da verschiedene Berechnungswege bei

Quantencomputern destruktiv interferieren k¨ onnen. Außerdem k¨ onnen Qubits miteinan-

der verschr¨ ankt sein, was bedeutet, dass der Zustand des einen Qubits von dem des An-

deren abh¨ angt. Diese wichtigen Eigenschaften sind mit klassischer Randomisierung nicht

erreichbar. Außerdem geh¨ oren die theoretischen Modelle der endlichen Quanten-Automaten

(QFAs) in keine der klassischen Komplexit¨ atsklassen: W¨ ahrend das einfache Beispiel einer

regul¨ aren, und somit eher leichten Sprache L reg = {0 ∗ 1 ∗ } f¨ ur QFAs ein Problem darstellt, wird das klassische Beispiel einer nicht-regul¨ aren, also f¨ ur klassische Automaten nicht er-

kennbaren Sprache L nicht−reg = {0 n 1 n |n ≥ 1} durch 2-Wege-QFAs mit Wahrscheinlichkeit

mindestens 1

2

Zum Anderen muss im Idealfall ein Quantenrechner komplett von der Umwelt abgeschlos-

sen sein, um Dekoh¨ arenz, also den Verlust von Informationen an das umgebende System

und damit die Zerst¨ orung der ¨

Uberlagerung der verschiedenen Zust¨ ande, zu verhindern. Die

heutigen Ann¨ aherungen an diesen Idealfall sehen Fehlerkorrekturcodes vor, deren Theorie

zwar ausgearbeitet ist, die Implementierung leidet aber immer noch unter großen techni-

schen Problemen. Lediglich die Kryptographie kann sich die Quanteneigenschaften bereits

kommerziell zu Nutze machen, wie Naica-Loebell in ihrem Artikel [NL02] schrieb.

1.2 Adiabatische Quantenberechnungen

Die bisher f¨ ur Quantenrechner gefundenen Algorithmen werden in Analogie zu klassischen

Rechnern auf Schaltkreisen, so genannten Quantenschaltkreisen (QSKs), aufgebaut. Diese

unterliegen bestimmten Einschr¨ ankungen aufgrund der Tatsache, dass f¨ ur sie, unter ande-

rem wegen ihrer Gr¨ oße, nicht die klassische N¨ aherung der quantenphysikalischen Gesetze

1.2. Adiabatische Quantenberechnungen 5

gilt. Diese klassische N¨ aherung erlaubt es z.B. mit klassischen Bits auch irreversible Re- chenoperationen durchzuf¨ uhren.

Diese Diplomarbeit besch¨ aftigt sich mit einem relativ neuen Ansatz im Bereich der Quan- tenrechner, der adiabatischen Quantenberechnung. Die Funktionsweise ist hierbei grund- legend anders als bei Quantenschaltkreisen, da sich das Gesamtsystem aus den n Qubits immer im jeweiligen Grundzustand |Ψ 0 , also dem Zustand mit der geringsten Energie, befindet. Dieser Grundzustand, und somit auch dessen Energie, h¨ angt sowohl von der je- weiligen Realisierung eines Qubits als auch von dessen Umgebung ab. Die Umgebung kann dabei z.B. aus weiteren Qubits bestehen, so dass die Zust¨ ande aller Qubits voneinander abh¨ angen k¨ onnen. Bei den bisher ¨ ublichen Quantenrechnern, die auf Quantenschaltkreisen aufbauten, ging man davon aus, die Qubits direkt zu manipulieren um eine gew¨ unschte

¨

Uberlagerung von Einzelzust¨ anden zu erhalten. Ziel ist es bei der adiabatischen Entwick- lung jedoch, eine Umgebung zu konstruieren, so dass der Grundzustand innerhalb dieser

Umgebung zu Anfang eine einfach zu konstruierende ¨

Uberlagerung aller m¨ oglichen Einga- ben f¨ ur das zu l¨ osende Problem kodiert. Der Verlauf des Algorithmus gestaltet sich nun so, dass die Umgebung derart ver¨ andert wird, dass am Ende der Grundzustand innerhalb dieser Umgebung genau eine L¨ osung der gegebenen Instanz des Problems repr¨ asentiert. Unter bestimmten Bedingungen bleibt das System im Grundzustand und man erh¨ alt die L¨ osung des Problems.

In der Quantenmechanik wird dies durch folgenden Formalismus ausgedr¨ uckt: Die ener- getisch m¨ oglichen Zust¨ ande werden durch eine Matrix H, dem sogenannten Hamiltonope- rator, repr¨ asentiert. Die Eigenwerte dieser Matrix bestimmen die m¨ oglichen Energien, die ein System unter dem Einfluss dieses Operators haben kann. Die dazugeh¨ origen Eigen- vektoren sind die Zust¨ ande, in denen sich das System befinden kann. Die adiabatische Entwicklung gestaltet sich nun so, dass der Gesamt-Hamiltonoperator eine Interpolation ist zwischen einem Basis-Hamiltonoperator H B , dessen Grundzustand leicht zu erstellen ist, und einem Problem-Hamiltonoperator H P , dessen Grundzustand die L¨ osung der be- trachteten Probleminstanz kodiert. Laut dem Adiabatensatz, siehe z.B. [Mes79a], bleibt das System im Grundzustand, solange die Interpolation langsam genug vonstatten geht. Man erh¨ alt also die L¨ osung einer Probleminstanz dadurch, dass man ein System aus Qubits im Grundzustand zu H B initialisiert und dieses System sich in den Grundzustand zu H P entwickeln l¨ asst. Am Ende misst man diesen Grundzustand und erh¨ alt eine L¨ osung f¨ ur die Probleminstanz.

Eine untere Schranke f¨ ur die Dauer der Entwicklung ist das eigentliche Problem bei der

Analyse der adiabatischen Entwicklung. Die ¨

T lautet gem¨ aß [vDMV02]

Hierin ist

zennorm genannt wird (s. [Sto99]) und g min ist der minimale Abstand der beiden niedrigs-

6 Kapitel 1. Einleitung

ten Eigenwerte von H(t) w¨ ahrend der Entwicklung. Die beiden Energieniveaus sind f¨ ur

ein einfaches Beispiel in Abbildung 1.1 dargestellt. Hierin ist auf der x-Achse der Inter- polationsparameter s(t) ∈ [0, 1], der die zeitliche Kontrolle der Entwicklung ¨ aufgetragen. Die untere Kurve deutet an, wie sich die Energie des Grundzustands entwi- ckelt, und die obere Kurve beschreibt die Entwicklung des ersten Energieniveaus. Der Wert g min wird in diesem Fall der Abstand der Niveaus zum Zeitpunkt s = 0.5 sein.

Neben der Angabe der Entwicklungszeit stellt der Energieoperator H P , in den die Problem- instanz kodiert wird, ein weiteres Problem dar. Dieser muss lokal sein. Das bedeutet, dass das Problem in eine polynomielle Anzahl nicht notwendigerweise disjunkter Teilprobleme zerfallen muss, die sich jeweils nur auf eine konstante Anzahl von Qubits auswirken. Diese Einschr¨ ankung r¨ uhrt daher, dass die Qubits untereinander nur beschr¨ ankt wechselwirken k¨ onnen.

Dadurch, dass die Teilprobleme im Allgemeinen nicht disjunkt sind, entstehen ¨

Uberschnei-

dungen. Bei Graphproblemen sind die Teilprobleme z.B. Teilgraphen und die ¨

Uberschnei- dungen z.B. Knoten oder auch Kanten, die in verschiedenen Teilgraphen vorkommen. Die

Lokalit¨ atsforderung sagt nun zudem aus, dass diese ¨

Uberschneidungen nicht zu groß sein sollten.

1.3 Aufgabenstellung der Diplomarbeit

Mit dieser Diplomarbeit sollte untersucht werden, inwieweit eine verbesserte Analyse der Laufzeit der adiabatischen Entwicklung unter anderem durch Eigenwertabsch¨ atzungen er- reicht werden kann. Weiterhin sollte ein Werkzeug geschaffen werden, welches dem Leser die Wirkungsweise der adiabatischen Quantenberechnung auf verschiedenen Probleminstanzen n¨ aherbringt.

1.3.1 Theoretischer Anteil dieser Arbeit

Bisherige Analysen von adiabatischen Quantenberechnungen nutzen die lineare Interpola- tion H(s) = (1 − s) · H B + s · H P

zwischen dem Basis-Hamiltonoperator und dem Problem-Hamiltonoperator mit dem Inter- polationsparameter s. Die Hamiltonoperatoren sind Matrizen, die die energetisch m¨ oglichen Zust¨ ande bestimmen und in denen sich die von außen m¨ ogliche Steuerung des Systems nie-

derschl¨ agt. s verkn¨ upft man meist durch die Gleichung s(t) = t

mit der Zeit t und der Gesamtdauer der Entwicklung T .

Die Dauer wird maßgeblich von dem reziproken Quadrat der kleinsten Differenz der beiden untersten Energieniveaus bestimmt (s. Abbildung 1.1). Da die Differenz bisher in den meis- ten Simulationen ein ausgepr¨ agtes, lokales Minimum durchl¨ auft, k¨ onnen große Abschnitte

1.3. Aufgabenstellung der Diplomarbeit 7

wesentlich schneller durchlaufen werden als es (1.1) angibt. Eine bessere Absch¨ atzung erh¨ alt man, wenn man die Entwicklung in infinitesimal kleine Abschnitte einteilt und jeden Ab- schnitt mit der geforderten Zeit durchl¨ auft. Die dadurch gewonnene asymptotische untere

Schranke (s. z.B. [vDMV02])

ist analytisch f¨ ur die meisten Probleme nicht zu l¨ osen. Im Rahmen der Diplomarbeit sollten Ideen entwickelt werden, inwieweit diese Absch¨ atzung konkretisiert werden kann.

Weiterhin sollte ein Algorithmus f¨ ur das Problem GRAPH ISOMORPHISM entwickelt werden und hinsichtlich einer m¨ oglichen Realisierbarkeit auf derzeitigen Implementierungen von Quantenrechnern analysiert werden.

Abbildung 1.1: Die untersten Energieniveaus einer adiabatischen Entwicklung

1.3.2 Praktischer Anteil dieser Arbeit

Praktisches Ziel dieser Arbeit war es, ein Werkzeug zu entwickeln, welches die Analyse des Algorithmus mittels adiabatischer Entwicklung f¨ ur die Probleme MAX-3-SAT und GRAPH

8 Kapitel 1. Einleitung

ISOMORPHISM, zwei Probleme aus der theoretischen Informatik, unterst¨ utzt. Folgende Aufgaben sollten dabei im Besonderen behandelt werden:

1. Implementierung effizienter und ergonomischer Methoden zur Eingabe einer Pro-

bleminstanz.

2. Entwicklung eines modularen Konzeptes, so dass die Anwendung auch zur Analyse

von adiabatischen Entwicklungen bezogen auf andere Probleme angewandt werden kann.

3. Plattformunabh¨ angigkeit, so dass die Anwendung, sowohl unter Linux/Unix als auch

unter Windows l¨ auft.

4. Die zentrale Problematik bei der adiabatischen Entwicklung ist der Abstand be-

stimmter Energieniveaus. Dieser Abstand sollte visualisiert werden, wobei der An- wender die Zusammenh¨ ange der Niveaus von der Anwendung erl¨ autert bekommen soll.

5. Einfluss der Ergebnisse aus dem theoretischen Teil der Arbeit.

6. Hinsichtlich der Tatsache, dass eine Verk¨ urzung der Laufzeit der Entwicklung ne-

gative Auswirkungen auf das Ergebnis hat, ist es w¨ unschenswert, die M¨ oglichkeit zu haben, die Gesamtzeit der Entwicklung m¨ oglichst genau vorherzusagen. Dieser Anforderung sollte nachgegangen werden.

7. Darstellung des Grundzustandes zu jedem Zeitpunkt der Entwicklung. Die Transfor-

mation dieses Zustandes von einer ¨

Uberlagerung aller m¨ oglichen Eingaben hin zu der L¨ osung des Problems sollte somit nachvollziehbar sein.

Die Anwendung tr¨ agt den Namen Performance Improvement Tool for Adiabatic Quantum Computation, kurz PITA-Quamputation.

Kapitel 2

Quantenmechanische Grundlagen

In diesem Kapitel werden wir die Grundlagen zusammentragen, auf denen der Formalismus

der Quantenmechanik aufbaut. Das Ziel ist es, einen ¨

Uberblick zu bekommen, mit dem wir das Prinzip der adiabatischen Entwicklung verstehen k¨ onnen.

2.1 Mathematische Vorbemerkungen

In der Quantenmechanik wird im Allgemeinen mit Operatoren gerechnet, also mit Abbil- dungen von Funktionen auf Funktionen. Im Folgenden beschr¨ anken wir uns auf R¨ aume mit endlicher Dimension N . Da bei den Operatoren aber immer die Linearit¨ at vorausgesetzt wird, k¨ onnen wir diese auch als Matrizen betrachten.

Definition 2.1 (hermitesch, unit¨ ar) Eine Matrix U heißt unit¨ ar, wenn gilt

U † U = I

mit I = Identit¨ at. U † entsteht aus U durch Komplexkonjugation und Transposition. Gilt

f¨ ur eine Matrix H

H † = H,

so nennt man H hermitesch oder selbstadjungiert.

Bemerkung 2.2 Physikalische Gr¨ oßen werden durch hermitesche Matrizen beschrieben, da diese reelle Eigenwerte besitzen. 1

Die Ursache daf¨ ur, dass gerade die hermiteschen Operatoren physikalische Gr¨ oßen, soge- nannte Observablen, beschreiben, ist, dass die Eigenwerte der Operatoren eben genau die

1 Siehe Nielsen und Chuang [NC00a] f¨ ur einen Beweis, dass die Eigenwerte reell sind.

9

10 Kapitel 2. Quantenmechanische Grundlagen

m¨ oglichen Werte der zugeh¨ origen Gr¨ oßen repr¨ asentieren. Vereinfacht k¨ onnen wir den Zu- sammenhang so verstehen: Wenn die Energie eines Teilchens durch einen Operator mit den Eigenwerten 10 und 100 dargestellt wird, kann dieses Teilchen nur die Energien 10 und 100 Joule haben. Weil physikalische Gr¨ oßen (Energie, Ort, Impuls, ...) aber nur reelle Werte annehmen k¨ onnen – es gibt keinen imagin¨ aren Ort –, d¨ urfen Operatoren nur reelle Eigenwerte besitzen, wenn sie diese Gr¨ oßen repr¨ asentieren sollen.

Definition 2.3 (Dirac-Notation, ket- und bra-Vektoren) Im endlichdimensionalen

Fall werden Zust¨ ande von Systemen durch normierte Vektoren des Vektorraums C N be- schrieben. In der Dirac-Notation benutzt man f¨ ur einen Zustandsvektor zum Zustand Ψ

den ket-Vektor |Ψ. Der dazu duale bra-Vektor Ψ| entsteht durch Komplexkonjugation und Transposition von |Ψ. Die Norm |·| f¨ ur einen Zustand |Ψ ist definiert als die Wurzel des Skalarproduktes der Vektoren Ψ| und |Ψ:

||Ψ| :=

Die Namen bra und ket kommen von dem Wort braket (engl. Klammer) in Zusammenhang mit der Schreibweise des Skalarproduktes. Den Zustandsraum nennt man auch Hilbert- raum, welcher im endlichdimensionalen Fall definiert ist als ein vollst¨ andiger Vektorraum

mit zugeh¨ origem Skalarprodukt. Die Norm ·· f¨ ur Matrizen H des Hilbertraums H ist

ublicherweise die Grenzennorm lub 2 (H) aus [Sto99] ¨

lub 2 (H) := max

ubereinstimmt mit der Wurzel des gr¨ oßten Eigenwertes λ max der Matrix H † H. ¨

die ¨ Ublich sind auch die Bezeichnungen ” Operatornorm“ oder ” Supremumsnorm“.

Bemerkung 2.4 Jede hermitesche Matrix H besitzt eine Basis aus Eigenvektoren |k, die die Eigenzust¨ ande eines Systems repr¨ asentieren. Sie gen¨ ugen der Eigenwertgleichung

H |k = λ k |k ,

mit λ k ∈ R Eigenwert zu |k. Der Operator l¨ asst sich in dieser Basis darstellen als

Im Folgenden bezeichnen wir die Indizes mit dem Buchstaben k, um einer Verwechslung

√

mit ı =

Eigenvektoren zu einer orthonormalen Basis transformiert werden, so dass fortan |k einen

2.1. Mathematische Vorbemerkungen 11

Basisvektor einer orthonormalen Basis darstellt. Es gilt also f¨ ur zwei dieser Basisvektoren

|k 1 und |k 2

k 1 |k 2 = δ k 1 ,k 2 ,

mit δ k 1 ,k 2 das Kroneckerprodukt

Falls der Operator H von einem Parameter, z.B. t, abh¨ angig ist, so schreiben wir die

Abh¨ angigkeit der Eigenzust¨ ande von diesem Parameter aufgrund der ¨ Ubersichtlichkeit

nicht als Argument, sondern als Index an den Zustand. So ist |k t ein Eigenzustand von H(t) zum Eigenwert λ k (t). Wir wollen aber die betrachteten Systeme soweit abstrahieren,

dass uns weitere m¨ ogliche Abh¨ angigkeiten, z.B. von Ortskoordinaten, nicht interessieren.

Da diese aber prinzipiell existieren k¨ onnen verwenden wir f¨ ur Ableitungen nach t die Sym-

bole der partiellen Ableitung ∂ .

∂t

Definition 2.5 (kommutierende Operatoren) Wenn zwei Operatoren in Rechnungen

vertauschbar sind, so sagt man, sie kommutieren. Man notiert dazu

[A, B] = 0

mit

[A, B] := A B − B A.

¨ Ublich ist auch der etwas gew¨ ohnungsbed¨ urftige Ausdruck e H , in dem der Operator im Exponenten steht. Seine Wirkung auf einen Zustand |Ψ erschließt sich aus der Reihen-

entwicklung der Exponentialfunktion. Der Zustand |Ψ wird dabei nach einer Basis von

Eigenzust¨ anden |k des Operators H entwickelt:

∞

∞ N −1 N −1 ∞ N −1

e H |Ψ =

Wenn ein Operator im Exponenten steht, so bedeutet dies also, dass wir den Zustand,

auf den dieser Operator wirkt, in eine Basis aus Eigenzust¨ anden des Operators entwickeln

m¨ ussen. Der k-te Summand dieser Entwicklung erh¨ alt sodann als zus¨ atzlichen Koeffizien-

ten e λ k , mit λ k Eigenwert zum Eigenzustand |k. Weitere konstante Vorfaktoren vor dem Operator im Exponenten ¨ ubertragen sich auf den Eigenwert im Exponenten, wie sich leicht

nachrechnen l¨ asst.

Falls H von einem Parameter t abh¨ angig ist, so gilt insbesondere ∞ ∞ ∞

l=0

12 Kapitel 2. Quantenmechanische Grundlagen

Das Qubit

Um den Begriff Qubit als das quantenmechanische Analogon zum klassischen Bit ein- zuf¨ uhren, k¨ onnen wir z.B. ein Elektron betrachten. Elementarteilchen haben eine physi- kalische Eigenschaft, die wir Spin nennen und die wir als Eigendrehimpuls des Teilchens interpretieren k¨ onnen. Diese Observable kann f¨ ur Elektronen bez¨ uglich einer vorgegebenen Achse genau zwei Werte annehmen (Der Einfachheit halber seien die m¨ oglichen Werte ±1). Der Spin ist also eine Observable, bzgl. der das Elektron genau zwei Zust¨ ande annehmen kann. Ein solches Zwei-Zustands-System nennt man Qubit. Die hermiteschen Matrizen, die die Spin-Observablen f¨ ur die drei Raumrichtungen x, y und z beschreiben, lauten

σ x :=

mit zugeh¨ origen orthonormalen Eigenzust¨ anden

|Ψ x :=

zu den Eigenwerten ±1. Die Basiszust¨ ande der Basis, in der die Zust¨ ande und Matrizen angeben sind, werden durch die Eigenvektoren von σ z gegeben und wir schreiben k¨ urzer

1 0

|0 :=

Ein Qubit kann sich nun in einer ¨

Uberlagerung, oder auch Superposition von verschiedenen Eigenzust¨ anden befinden. Die Entwicklung eines beliebigen Zustandes |Ψ nach diesen Eigenzust¨ anden induziert dabei die im Allgemeinen komplexen Koeffizienten a k . Diese Koeffizienten werden Amplituden genannt.

|Ψ = a 0 |0 + a 1 |1 , a 0 , a 1 ∈ C.

(2.13)

Wird ein Qubit gemessen, welches sich im Zustand (2.13) befindet, so misst man mit

Wahrscheinlichkeit |a k | 2 den Wert λ k und das System befindet sich anschließend im Zustand |Ψ = |k. Dies wird im Allgemeinen als Kopenhagener Deutung der Quantenph¨ anomene bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation ist durch die Normierung des Zustandes |Ψ mathematisch abgesichert. Es gilt somit:

|a 0 | 2 + |a 1 | 2 = 1.

Die Tatsache, dass die Amplituden nicht unbedingt positiv sein m¨ ussen, sondern im All- gemeinen komplex sind, begr¨ undet den entscheidenden Vorteil der Interferenz gegen¨ uber klassischen, probabilistischen Methoden. Siehe hierzu auch Nielsen und Chuang [NC00b].

2.1. Mathematische Vorbemerkungen 13

Mehrere Qubits

Unter dem Begriff System von Qubits verstehen wir einen Zusammenhang von sich unter- einander beeinflussenden Qubits. Mit Hilfe des sowohl f¨ ur Vektoren als auch f¨ ur Matrizen definierten Kroneckerproduktes

 

A ⊗ B :=





k¨ onnen wir ein System von Qubits mathematisch beschreiben. Setzt sich ein System aus n Qubits zusammen, so schreiben wir die resultierenden Eigenzust¨ ande des Gesamtsystems durch das Kroneckerprodukt der Eigenzust¨ ande des Spin-Operators σ z :

k 1 , . . . k n ∈ {0, 1},

|k 1 ⊗ |k 2 ⊗ . . . ⊗ |k n = |k 1 k 2 · · · k n = |k ,

k ∈ {0, . . . , 2 n − 1}.

Hierin wird k als Bin¨ arzahl der 0-1-Folge k 1 . . . k n aufgefasst. Sind die einzelnen Qubits physikalisch unabh¨ angig voneinander, so l¨ asst sich ein Zustand |Ψ des Gesamtsystems faktorisieren zu |Ψ = |Ψ 1 ⊗ |Ψ 2 ⊗ . . . ⊗ |Ψ n .

(2.17)

Falls dies nicht m¨ oglich sein sollte, so nennen wir die Qubits miteinander verschr¨ ankt. Ein Beispiel f¨ ur zwei verschr¨ ankte Qubits ist das EPR-Paar

benannt nach seinen Entdeckern Einstein, Podolsky und Rosen. Bei einer Messung k¨ onnen also nur die Zust¨ ande |00 oder |11 auftreten. Die Messungen der Qubits sind also abh¨ angig voneinander – daher der Ausdruck verschr¨ ankt.

Auch Operatoren k¨ onnen separierbar sein, so dass sich die Wirkung des Operators auf einzelne Qubits explizit angeben l¨ asst. F¨ ur diese Separation wird ebenfalls das ⊗-Zeichen verwendet:

(A ⊗ B) · (|Ψ 0 ⊗ |Ψ 1 ) := (A · |Ψ 0 ) ⊗ (B · |Ψ 1 ) .

(2.18)

Wir sehen, dass das Distributivgesetz im Allgemeinen nicht gilt:

i.A.

(A + C) ⊗ (B + D)

Bemerkung 2.6 Operatoren, die nur auf 1, 2 oder eine Menge von Qubits eine nicht- triviale Wirkung haben, bezeichnen wir mit geklammerten oberen Indizes der Qubits oder der Qubitmenge, auf die der Operator wirkt. Auf die anderen Qubits wirkt dann die Iden- tit¨ at.

14 Kapitel 2. Quantenmechanische Grundlagen

Basiswechsel

Ein Wechsel zwischen orthonormalen Basen kann im Allgemeinen durch unit¨ are Matrizen

erfolgen. Ein Basiswechsel ist jedoch nur ein mathematisches Hilfsmittel ohne physikalische

Auswirkung, wie folgende Bemerkung zeigt:

Bemerkung 2.7 Die Eigenwerte sind unabh¨ angig von der betrachteten orthonormalen Ba-

sis.

Beweis: Es gelte: H |Ψ = λ |Ψ, also ist λ der Eigenwert des Operators H zum Eigenzu-

stand |Ψ. Weiterhin sei U der unit¨ are Operator, der den Basiswechsel durchf¨ uhrt. Dann

folgt

H |Ψ = HU † U |Ψ = λ · |Ψ

U HU † U |Ψ = λ · U |Ψ

Ein Basiswechsel bedeutet also lediglich eine andere Darstellung der Operatoren und Zu-

st¨ ande. Der Wert einer Gr¨ oße, also der Eigenwert dieses Operators, ver¨ andert sich hierdurch

nicht.

Ein wichtiges Mittel, unter anderem f¨ ur Basiswechsel, ist die in [NC00a] bewiesene Voll-

st¨ andigkeitsrelation

Wollen wir einen Zustand, der in einer Basis |k , k ∈ {0, . . . N − 1} aus orthonormalen

Eigenvektoren zu einem Operator H gegeben ist, in eine Darstellung bez¨ uglich einer Basis

|k , k ∈ {0, . . . N −1} aus orthonormalen Eigenvektoren zu einem Operator H umwandeln,

so k¨ onnen wir dies leicht mit Hilfe von (2.19) durchf¨ uhren:

N −1

|Ψ =

Die Koeffizienten in der neuen Basis sind nun durch die Klammer gegeben. Das Skalar-

produkt k |k wird im Englischen auch als inneres Produkt der beiden Vektoren k | und |k bezeichnet. F¨ ur zwei Basisvektoren der gleichen orthonormalen Basis ist dies 0 f¨ ur ver-

schiedene und 1 f¨ ur identische Basisvektoren. Dr¨ ucken wir die neuen Basisvektoren in der

Basis der alten aus – oder umgekehrt –, so k¨ onnen wir mit Hilfe des Skalarprodukts die

Koeffizienten in (2.20) berechnen.

2.2. Die Schr¨ odingergleichung 15

2.2 Die Schr¨ odingergleichung

Die Schr¨ odingergleichung hat in der Quantenmechanik eine sehr große Bedeutung. Viele

quantenmechanische Problemstellungen lassen sich darauf reduzieren, f¨ ur eine gegebene

Energieverteilung die L¨ osungen der dazugeh¨ origen Schr¨ odingergleichung zu finden. Dabei

wollen wir hier nicht den allgemeinen unendlichdimensionalen Fall betrachten, sondern die

aus dem vorherigen Abschnitt bekannten Grundlagen f¨ ur Zust¨ ande aus Hilbertr¨ aumen mit

endlicher Dimension weiterf¨ uhren.

Definition 2.8 (zeitabh¨ angige Schr¨ odingergleichung) Die zeitabh¨ angige Schr¨ odinger-

gleichung ist eine Differentialgleichung der Form

∂t

in der die L¨ osungen |Ψ t die m¨ oglichen Zust¨ ande eines gegebenen Systems beschreiben.

ist das Plancksche Wirkungsquantum dividiert durch 2π, = 1.05457 · 10 −34 Js. Der

Operator H(t) ist der Hamiltonoperator, der auch Energieoperator genannt wird, da er

die Dimension einer Energie hat. Seine Eigenwerte E k (t) sind die m¨ oglichen Energiewerte,

die ein Teilchen oder auch ein ganzes System von Teilchen besitzen kann.

Der Zustand selbst wird durch die Amplituden beschrieben, die er in der Darstellung einer

bestimmten Basis, zum Beispiel aus den zu H(t) geh¨ orenden Eigenzust¨ anden |k t , annimmt.

Definition 2.9 (Grundzustand, degenerierte Zust¨ ande) Der Grundzustand eines Sy-

stems ist derjenige Eigenzustand zu H(t), welcher den niedrigsten Energieeigenwert besitzt.

Dieser wird mit |0 t bezeichnet. Unter Umst¨ anden gibt es mehrere Eigenzust¨ ande zum glei- chen Energieeigenwert und man sagt dann, der Zustand sei degeneriert oder entartet.

Das System befindet sich also zu einem Zeitpunkt t im Grundzustand, wenn gilt: |Ψ t = |0 t .

Falls H unabh¨ angig von t ist, so existiert die allgemeine, formale L¨ osung

|Ψ S t = e − ı

wie sich durch einsetzen in (2.21) leicht verifizieren l¨ asst. |Ψ S t stellt hierbei einen zeitabh¨ angi-

gen Zustandsvektor dar, der gleichzeitig L¨ osung der Schr¨ odingergleichung ist. |Ψ H ist die

zeitunabh¨ angige Komponente dieses Zustandes. Weiterhin sagt man, |Ψ S ist eine L¨ osung

im Schr¨ odingerbild und |Ψ H ist eine L¨ osung im Heisenbergbild. Dieser Aussage werden wir im n¨ achsten Abschnitt genauer nachgehen.

16 Kapitel 2. Quantenmechanische Grundlagen

2.2.1 Das Wechselwirkungsbild

In der Quantenmechanik werden haupts¨ achlich drei Ans¨ atze zur L¨ osung der Schr¨ odinger- gleichung mit zeitunabh¨ angigem Hamiltonoperator H angeboten.

Das nach Erwin Schr¨ odinger benannte Schr¨ odingerbild stellt die Zusammenh¨ ange so dar,

wie es in Gleichung (2.21) beschrieben wurde. Wenn der Hamiltonoperator zeitunabh¨ angig ist, dann wird die zeitliche Entwicklung der Zust¨ ande durch (2.22) beschrieben.

Werner Heisenberg favorisierte hingegen Zust¨ ande, die sich ¨

Deshalb f¨ uhrte er mit Hilfe des unit¨ aren Operators S † (t) = e

Hamiltonoperators H aus dem Schr¨ odingerbild eine Transformation durch. Der Zustand

|Ψ S t aus dem Schr¨ odingerbild wird zu S † (t) · |Ψ S t = |Ψ H im Heisenbergbild und ist

zeitunabh¨ angig.

Die Schr¨ odingergleichung im Heisenbergbild hat nun die folgende Gestalt:

∂ ∂

S(t) · |Ψ H = H · |Ψ S t = H · S(t)S † (t) · |Ψ S t = HS(t) · |Ψ H |Ψ S t = ı ı

⇒ ı

Zur Definition von |Ψ S und |Ψ H siehe (2.22).

Wollen wir nun Situationen beschreiben, in denen zwei oder mehrere Teilchen miteinan- der in Wechselwirkung treten, z.B. ein freies Elektron, welches in die N¨ ahe eines Atomes gelangt, so k¨ onnen wir das Wechselwirkungsbild verwenden. Der Hamiltonoperator kann dann aufgespalten werden in die Summanden H 0 und V , wobei letzterer den Einfluss der Wechselwirkung enth¨ alt. H 0 beschreibt die energetisch m¨ oglichen Zust¨ ande der einzelnen Teilchen, wenn man sie isoliert voneinander betrachtet.

Um nun einen gegebenen Zusammenhang, z.B. die Schr¨ odingergleichung eines Systems, in das Wechselwirkungsbild zu transformieren, benutzen wir die unit¨ are Transformation

∂ ı

U (t) = e

∂t

und transformieren gem¨ aß

ı H 0 ·t · e − ı H·t · |Ψ H

Es sei angemerkt, dass die beiden Operatoren H 0 und U (t) kommutieren, da sie bzgl. der gleichen Basis diagonalisierbar sind. Sie d¨ urfen in Gleichungen also vertauscht werden. Die

2.2. Die Schr¨ odingergleichung 17

damit aus (2.21) resultierende Differentialgleichung lautet:

∂t

Der Vorteil des Wechselwirkungsbildes ist, dass die L¨ osungen ohne Wechselwirkung meist gut bekannt sind. Wir stellen uns ein einfaches Atom vor, in dem die Elektronen ihre sta- tion¨ aren Zust¨ ande in den einzelnen Energieniveaus eingenommen haben. Die Wechselwir- kung erfolgt nun mit einem freien Elektron, welches unter anderem durch seine elektrische Anziehungskraft den Hamiltonoperator beeinflusst. Dadurch, dass die Zeitabh¨ angigkeit der L¨ osungen von (2.26) ausschließlich durch diese Wechselwirkung V W (t) beeinflusst wird, ist die Berechnung der Zust¨ ande |Ψ W t wesentlich einfacher im Vergleich zu der von |Ψ S t .

Die Wechselwirkung V kann im Allgemeinen selbst noch von der Zeit abh¨ angen wie z.B. bei der adiabatischen Entwicklung. Der daraus resultierende Hamiltonoperator H(t) w¨ urde die

Gleichung (2.21) zu komplex machen. Ohne den Ansatz des Wechselwirkungsbildes w¨ are eine analytische L¨ osung f¨ ur die Zeitentwicklung der Zust¨ ande nicht herzuleiten. Aus (2.26) lassen sich jedoch n¨ utzliche N¨ aherungen ableiten, wie z.B. bei Dawydow [Daw73].

2.2.2 Das Bild der sich drehenden Achsen

F¨ ur den Beweis des Adiabatensatzes, auf dem diese Arbeit aufbaut, ist es notwendig, das Bild der sich drehenden Achsen einzuf¨ uhren. Im Allgemeinen kann ein Hamiltonoperator H(t) zeitabh¨ angig sein und hat demnach zeitabh¨ angige Eigenwerte und -vektoren. Letztere werden als sich ver¨ andernde Eigenr¨ aume, bzw. laut [Mes79a] als sich drehende Achsen aufgefasst, so dass wir H(t) durch die Einf¨ uhrung von Projektionsoperatoren P k (t) auf diese Achsen wie folgt schreiben k¨ onnen:

Diese Projektionsoperatoren, die die Drehungen der Achsen beinhalten, k¨ onnen wir mit einem geeigneten, unit¨ aren Operator A(t) auch schreiben als

P k (t) = A(t) P k (0) A † (t).

18 Kapitel 2. Quantenmechanische Grundlagen

Der Drehoperator A † (t) f¨ uhrt also eine Drehung auf die Achsen zum Zeitpunkt t = 0 durch.

Die Projektion erfolgt nun auf die k-te Achse zu t = 0 und der dadurch erhaltene Zustand

wird anschließend auf die k-te Achse zum Zeitpunkt t zur¨ uck gedreht.

Analog zum Wechselwirkungsbild transformiert sich der Hamiltonoperator beim ¨ Ubergang

in das Bild der sich drehenden Achsen nun zu

H (A) (t) := A † (t) · H(t) · A(t) = A † (t) ·

=

k

Wir erkennen, dass im Bild der sich drehenden Achsen lediglich die Eigenwerte, nicht je-

doch die Projektionsoperatoren zeitabh¨ angig sind. Diese m¨ ussen also nur einmal f¨ ur den

Zeitpunkt t = 0 berechnet werden. Den Zustand transformieren wir analog zum Wechsel-

wirkungsbild zu

|Ψ A t := A † (t) |Ψ S t

und den Hamiltonoperator zu

so dass die Schr¨ odingergleichung im Wechselwirkungsbild die Form (2.34) hat. Diese erhal-

ten wir aus der Schr¨ odingergleichung im Schr¨ odingerbild wie folgt:

∂

|Ψ S t = H(t) |Ψ S t

ı

A † (t) ı

ı A † (t)

k

Bilden wir die Ableitung der Identit¨ at

d ∂ ∂ ∂

und addieren auf der rechten Seite

d

−ı · A † (t)

2.3. Die adiabatische Entwicklung 19

so erhalten wir

∂ ∂

ı · A † (t)

ı

Hierf¨ ur definieren wir wie Messiah [Mes79a]

Mit diesen Vorbemerkungen sollten wir nun in der Lage sein, den Beweis aus [Mes79a]

des im n¨ achsten Kapitel besprochenen Adiabatensatzes, auf dem die Diplomarbeit auf-

baut, nachvollziehen zu k¨ onnen. Als umfassende Lehrb¨ ucher ¨

eine tiefergehende Untersuchung haben sich z.B. Messiah [Mes79b] und [Mes79a], sowie

Dawydow [Daw73] bew¨ ahrt.

2.3 Die adiabatische Entwicklung

Als adiabatische ( ˆ = ohne W¨ armeaustausch) Entwicklung wird ein zeitlich fortschreitender

Prozess bezeichnet, der in einem isolierten System abl¨ auft und w¨ ahrend der Prozessdauer

n¨ aherungsweise keine Energie mit seiner Umgebung austauscht. Das Attribut ” adiabatisch“

wird nicht im strengen Sinne benutzt. Der Austausch von Energie findet jedoch so langsam

statt, dass der gesamte Vorgang als adiabatisch bezeichnet werden kann. Vom mathematischen Standpunkt her setzen wir bei der adiabatischen Entwicklung einen

zeitabh¨ angigen Hamiltonoperator

t t

T T

an, und betrachten die Zeitentwicklung f¨ ur F¨ alle, in denen T sehr groß wird. Dies bedeutet,

dass die Entwicklung vom anf¨ anglichen Operator H 0 zum Zieloperator H 1 sehr langsam

vollzogen wird. Aufgrund der einfacheren Notation substituieren wir den Term t .

T Lemma 2.10 Sei s := t , dann lautet die Schr¨ odingergleichung im Bild der sich drehenden

Achsen mit dem Hamiltonoperator (2.36)

ı

∂s

20 Kapitel 2. Quantenmechanische Grundlagen

Beweis: Diese Gleichung unterscheidet sich von (2.34) nur durch den Faktor T vor H (A) (t). Dieser entsteht durch die Substitution von t durch s und Anwendung der Kettenregel auf

der linken Seite und in K (A) (s) (s. (2.35)).

Der Adiabatensatz lautet nun gem¨ aß [Mes79a] wie folgt:

Satz 2.11 (Adiabatensatz) Seien die Definitionen wie in Lemma 2.10 und |Ψ A s ei- ne L¨ osung der Schr¨ odingergleichung aus diesem Lemma. Weiterhin sei P k (s) der zweimal stetig differenzierbare Projektionsoperator auf die nichtentarteten, orthonormalen Eigen-

zust¨ ande |k s des Hamiltonoperators H(s) und U T (s) der Operator, der die von T · H(s) induzierte Zeitentwicklung der Zust¨ ande im Schr¨ odingerbild beschreibt:

s

U T (s) = e − ı

Dann folgt, dass f¨ ur große T das System in jedem Zeitpunkt s nahe einem Eigenzustand ist, sofern es sich zu Anfang in einem Eigenzustand befunden hat:

1

∀ k : U T (s) P k (0) − P k (s)U T (s) = O

Im asymptotischen Grenzfall stimmt also die Projektion eines ¨

Zustandes auf einen Eigenzustand |k s zu einem beliebigen Zeitpunkt s ¨ uber die Zeit bis zu s entwickelten Grundzustand |k 0 .

¨

Sei |Φ T s eine L¨ osung der N¨ aherung

der Schr¨ odingergleichung aus Lemma 2.10. Dann bezeichnen wir

U T (1) |Ψ A 0 − A(1) |Φ T 1 = O

als adiabatische N¨ aherung, worin A die Drehung des Bildwechsels beschreibt.

Dies bedeutet: Befindet sich das System am Anfang der Entwicklung im Eigenzustand

|k s=0 und hat es dort einen bestimmten Energieeigenwert λ k (s = 0), so hat f¨ ur große Entwicklungsdauern T der Eigenzustand |k s w¨ ahrend der Entwicklung bis zum Zeitpunkt s = 1 einen großen Anteil am Zustand |Ψ s des Systems. N¨ aherungsweise k¨ onnen wir an- nehmen, dass das System w¨ ahrend der Entwicklung in diesem Eigenzustand |k s von H(s) zum Eigenwert λ k (s) bleibt. Insbesondere bleibt ein System mit hoher Wahrscheinlichkeit im Grundzustand, wenn es sich zu Anfang in diesem befunden hat. Eine obere Schranke f¨ ur den Fehler dieser Ann¨ aherung liefert der Adiabatensatz.

2.3. Die adiabatische Entwicklung 21

Als Voraussetzung wird dabei meist genannt, dass die Zust¨ ande nicht entartet sind, zu ei-

nem Eigenwert also nicht mehrere Zust¨ ande existieren. In unseren weiteren ¨ Uberlegungen

nehmen wir jedoch an, dass es ausreicht, wenn der anfangs angenommene Eigenzustand

w¨ ahrend der Entwicklung nicht entartet ist. Weiterhin nehmen wir f¨ ur die Anwendungen

des Adiabatensatzes in sp¨ ateren Kapiteln an, dass die Eigenvektoren stetig in s differen-

zierbare Funktionen sind und die Voraussetzungen des Adiabatensatzes somit erf¨ ullt sind.

2.3.1 G¨ ultigkeit und Dauer der adiabatischen N¨ aherung

Eine genaue Herleitung des Adiabatensatzes ¨ ubersteigt den Rahmen dieser Diplomarbeit,

da der Beweis recht langwierig ist. Ein wichtiges Element ist jedoch eine analytische Dar-

stellung der Wahrscheinlichkeit p i →j , mit der ein System von dem Eigenzustand |i 0 des

urspr¨ unglichen Hamiltonoperators in einen Eigenzustand |j 1 von H 1 ¨ ubergeht. Falls die

Voraussetzungen des Adiabatensatzes erf¨ ullt sind und somit unter anderem der betrachtete

Zustand im Laufe der Entwicklung nicht entartet ist, dann folgt f¨ ur p i →j

p i →j = ||j| 1 · U T (1) · |i 0 | 2

2

≤ max

wobei die Gleichungen dem Messiah [Mes79a] §17.2.7 entnommen wurden. Als ¨ gabe finden wir an dieser Stelle das folgende Lemma:

λ j (t)−λ i (t)

Lemma 2.12 F¨ ur i = j, ω j,i :=

Eigenwerten λ 0 (t), λ 1 (t), . . . und

∂

α j,i (t) := j| 0 A † (t)

∂t

gilt

Beweis: Es gilt

N −1 N −1

und nach [Mes79a] §17.2.7 α j,i (t) = j| t

∂t

22 Kapitel 2. Quantenmechanische Grundlagen

mit |0 t , |1 t , . . . Vektoren einer orthonormalen Basis aus Eigenvektoren zu H(t). Mit der

Produktregel folgt hieraus

N −1

∂

−

Da die Vektoren |k orthonormal sind, folgt nun mit

−

= −

=

=

λ j (t) − λ i (t)

∂

= j| t |i t

∂t

= α j,i (t)

die Behauptung.

(H 1 − H 0 ) folgt f¨ ur die ¨ Da ∂ H(t) = 1 Ubergangswahrscheinlichkeit nun

∂t T

2

p i →j ≤ max

Wir erhalten nun aus (2.45) eine obere Schranke f¨ ur die Wahrscheinlichkeit , einen Zustand

|i t zu verlassen:

2