Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  1

2  Volatilität Definition und Betrachtung als eigenständiges Asset  3

2.1  Was ist Volatilität  3

2.2  Historische (realisierte) Volatilität  4

2.3  Implizite Volatilität  5

2.4  Betrachtung der Volatilität als eigenständiges Asset  6

3  Bestimmung und Eigenschaften der Volatilität  9

3.1  Methoden zur Bestimmung von Optionspreisen  10

3.1.1  Die Black Scholes Optionspreisformeln  10

3.1.2  Der Trinomialbaum  12

3.2  Numerische Iterationsverfahren  16

3.2.1  Bisektionsverfahren  16

3.2.2  Van Wijngaarden Dekker Brent Algorithmus  17

3.2.3  Brents Verfahren zur Minimierung  17

3.2.4  Konvergenzeigenschaften von ableitungsfreien Iterationsverfahren  18

3.3  Die Volatilitätsoberfläche  19

3.4  Vorhersagen der Volatilität  25

3.4.1  Historische Volatilität  25

3.4.2  Implizite Volatilität  26

3.4.3  ARCH und GARCH Modelle  27

3.4.4  Vergleich der Vorhersagegüte verschiedener Schätzer  31

4  Volatilitätsindizes und Instrumente zum Handeln der Volatilität  33

4.1  Volatilitätsindizes  33

4.2  Instrumente zum Handeln der Volatilität  37

4.2.1  Straddles  37

4.2.2  Volatility und Variance-Swaps  38

  ii  

4.3  Futures und Zertifikate auf Volatilitätsindizes  45

5  Investieren in Volatilität Empirische Untersuchungen  46

5.1  Studien mit fiktiven Indexzertifikaten  46

5.2  Studien zur Risikodiversifikation mit Variance-Swaps  48

5.3  Studie zum systematischen Verkauf von Volatilität  50

5.4  Studie zum systematischen Verkauf von Variance-Swaps  53

6  Zusammenfassung  58

  A Weitere Iterationsverfahren  62

  A 1 Newton-Raphson Algorithmus  62

  A 2 Das Sekantenverfahren  62

  A 3 Ridders Algorithmus  63

  A 4 The Worlds Best Root Finder (TWBRF)  64

  B Beweise zur Vorhersage der Volatilität mit GARCH Modellen  64

  B 1 Vorhersage mit einem GARCH(1 1) Modell  64

  B 2 Vorhersage mit einem GJR-GARCH(1 1) Modell  65

  C Kenngrößen von Optionen und Optionsportfolios  66

  C 1 Delta  66

  C 2 Gamma  67

  C 3 Theta  67

  C 4 Rho  67

  C 5 Vega  67

  D Hedgen von Optionsportfolios  68

  E Ergänzung zur Replikation von Variance-Swaps  69

  iii  

Abbildungsverzeichnis

  Abbildung 2 1: Vergleich der Payoff-Struktur von Volatilität und Put-Option  9

  Abbildung 3 1: Knoten eines Trinomialbaumes  13

  Abbildung 3 2: Nicht rekombinierender Baum bei Dividendenzahlungen  14

  Abbildung 3 3: Trinomialbaum des Prozesses S  15

  Abbildung 3 4: Volatility Smiles  20

  Abbildung 3 5: Volatility Term Structure  23

  Abbildung 3 6: Simuliertes weißes Rauschen (a) und zwei Finanzzeitreihen (b) und (c)  

   28

  Abbildung 4 1: Payoff-Struktur eines Straddles  37

  Abbildung 4 2: Payoff-Struktur von Strangle und Butterfly  38

  Abbildung 5 1: VDAX-NEW Partizipationszertifikat vs VDAX-NEW  48

  iv  

Tabellenverzeichnis

Tabelle 3 1:  Ergebnisse von vergleichenden Studien zur Volatilitätsvorhersage  32

Tabelle 5 1:  Renditen einer Long-Position in Variance-Swaps  50

Tabelle 5 2:  Renditen beim unbedingten Verkauf von Straddles  51

Tabelle 5 3:  Renditen beim bedingten Verkauf von Straddles  52

Tabelle 5 4:  Payoff der Short-Positionen bei Vorhersage mit der historischen Volatilität  

  der vorhergehenden 21 Handelstage  54

Tabelle 5 5:  Payoff der Short-Positionen bei Vorhersage mit der historischen Volatilität  

  der vorhergehenden 63 Handelstage  55

Tabelle 5 6:  Payoff der Short-Positionen bei Vorhersage mit einem GJR-Garch(1 1)  

  Modell  56

Tabelle D 6 1:  Wert des Portfolios am darauf folgenden Tag  69

  v  

Abkürzungen

  ARCH autoregressive conditional heteroscedasticity  

  bzw. beziehungsweise  

  CBOE Chicago Board Options Exchange  

  EONIA Euro Overnight Index Average  

  EUREX European Exchange  

  usw. und so weiter  

  EURIBOR Euro Interbank Offered Rate  

  GARCH general autoregressive conditional heteroscedasticity  

  Kap. Kapitel  

  o.V. ohne Verfasser  

  vgl. vergleiche  

  z.B. zum Beispiel  

  vi  

1 Einleitung

Investieren in Volatilität ist derzeit ein viel diskutiertes Thema. Artikel über Vorzüge und Nachteile der Volatilität und über die Möglichkeiten in Volatilität zu investieren, sind dabei nicht nur in einschlägigen Finanzzeitschriften und -zeitungen, sondern auch in bekannten Tageszeitungen zu finden. Schon seit langem ist bekannt, dass die Volati- lität der Renditen des Aktienmarktes negativ mit den Renditen selbst korreliert ist. Bei steigendem Aktienmarkt wird die Volatilität in der Regel geringer; fällt der Aktien- markt, so steigt die Volatilität in der Regel an. Vor allem große Kurseinbrüche des Ak- tienmarktes führen zu einem sprunghaften Anstieg der Volatilität. Aus diesem Grund interessiert man sich schon seit langem für die Investition in Volatilität zur Diversifika- tion und Absicherung von Wertpapierportfolios. Bis vor wenigen Jahren war eine sol- che Investition in Volatilität jedoch nur mittels Optionsportfolios möglich, die zudem aufwendig und kostenintensiv gehedgt werden müssen, um sie unabhängig vom Wert des Underlyings zu machen und um ein reines Exposure gegenüber der Volatilität zu erhalten. Eine direkte Investition in Volatilität wurde mit OTC-Produkten wie Volatili- ty- und Variance-Swaps, deren Payoff nur von der realisierten Volatilität abhängt, er- möglicht. Heutzutage werden vor allem Variance-Swaps, deren Payoff sich theoretisch perfekt durch ein Portfolio aus Optionen und Futurekontrakten auf das Underlying rep- lizieren lässt, recht liquide gehandelt. Die neuen Berechnungsmethoden von Volatili- tätsindizes wie dem VIX und dem VDAX-NEW, die auf einem Portfolio von real ge- handelten Optionen beruhen, ermöglichen es die Indizes nachzubilden. Dies führte zu einem Angebot an börsennotierten Futurekontrakten und Zertifikaten auf diese Volatili- tätsindizes, wodurch es einer breiten Anlegerschicht bis hin zum Privatanleger ermög- licht wird, in Volatilität zu investieren. Immer mehr Broker bieten solche Zertifikate an, was die große Resonanz in Finanzzeitschriften und -zeitungen sowie allgemeinen Ta- geszeitungen erklärt. Bedenklich ist, dass gerade in den Tageszeitungen über die Inves- tition in Volatilität wenig kritisch berichtet wird, wodurch gerade Privatanlegern, die häufig keine Finanzzeitungen und -zeitschriften lesen, eine Investition in solche Volati- litätszertifikate schmackhaft gemacht wird. So wird etwa in dem in der WELT erschie- nenen Artikel „Privatanleger können jetzt vom VDAX profitieren“ von Nando Sommer- feldt 1 angegeben, dass es mehrere Studien gibt die belegen, dass eine kombinierte Anla- ge in den DAX und VDAX im Verhältnis 90:10 von 1992 bis 2003 eine um 2,2% höhe-

1 Siehe Sommerfeldt (2005).

1

re Rendite erzielt hätte als eine reine Investition in den DAX und das bei deutlich redu- ziertem Risiko. Des Weiteren wird durch ein Zitat des Leiters des Indexgeschäfts der Deutschen Börse der Eindruck erweckt mit den neuen Zertifikaten wäre eine 1:1 Parti- zipation am VDAX-NEW möglich:

„Anders als bislang können auf den VDAX-NEW Produkte aufgelegt werden, die sich direkt am Index orientieren. Bisher konnte dessen Entwicklung nicht eins zu eins nachgebildet werden.“ Vermutlich bezieht sich Sommerfeldt in seinem Artikel unter anderem auf eine Studie von Merrill Lynch, 2 in der davon ausgegangen wurde, man könne 1:1 am VDAX parti- zipieren. In dieser Studie wird mit einem 90:10 Mischportfolio aus DAX und VDAX eine 2,13% höhere Rendite bei gleichzeitig deutlich reduziertem Risiko erzielt. Aller- dings wird in dieser Studie darauf hingewiesen, dass die angenommene 1:1 Partizipati- on am VDAX nicht möglich ist. Das Problem besteht darin, dass in VDAX-NEW Zerti- fikaten die erwartete Entwicklung der Volatilität bereits eingepreist ist. Ein Anleger pro- fitiert also nicht durch jeden Anstieg des VDAX-NEW, sondern erst dann, wenn der Anstieg höher ausfällt als vom Markt erwartet wurde. Ein in der FAZ erschienener Ar- tikel „Investieren in Volatilität“ von Sigrid Müller und Carmen Weber 3 ist nur wenig kritischer. Es muss eingeräumt werden, dass beide Artikel bereits vor der Emission der Zertifikate erschienen sind. Mittlerweile finden sich in der Presse auch kritischere Töne. So weist Ralf Andreß 4 in dem in der WELT erschienenen Artikel „Spekulation auf VDAX hat Tücken“ darauf hin, dass mit den VDAX Zertifikaten keine 1:1 Partizipation am VDAX möglich ist – wie sonst bei Index Zertifikaten üblich – und führt weiter aus, dass eine Investition in die angebotenen VDAX Zertifikate bisher trotz steigendem VDAX zu Verlusten führte.

Zudem gibt es Studien, die belegen, dass eine Investition in Volatilität mit Variance- Swaps oder Straddles zur Diversifikation nicht lohnend ist, sondern es vielmehr lukrativ ist die Volatilität zu verkaufen, indem man Short-Positionen in Straddles oder Variance- Swaps einnimmt. Dennoch zeigen unter anderem die Studien von Merrill Lynch, dass in der Volatilität großes Diversifikationspotential steckt. Gut möglich, dass künftige Vola- tilitätsprodukte mit günstigeren Eigenschaften als die derzeit emittierten Zertifikate er-

2 Siehe Reiss/Amanti/Schneider/Maras (2004).

3 Siehe Müller/Weber (2005).

4 Siehe Andreß (2005).

2

scheinen, welche dann eine Diversifikation mit Volatilität lukrativer machen. Überdies scheint es profitabel zu sein, Short-Positionen in Volatilität einzunehmen. Es gibt daher genügend Gründe sich eingehender mit der Thematik zu befassen.

In dieser Arbeit werden die unterschiedlichen Volatilitätsbegriffe erläutert, verschiedene Verfahren zu ihrer Berechnung vorgestellt, wird illustriert, warum Volatilität als As- setklasse interessant ist und auf Chancen und Risiken bei der Investition in Volatilität hingewiesen. Hierzu werden zunächst im zweiten Kapitel die Begriffe historische und implizite Volatilität definiert. Anschließend wird erörtert, inwiefern man Volatilität als Assetklasse betrachten kann und welche Eigenschaften der Volatilität diese als As- setklasse interessant machen. Im dritten Kapitel wird auf die Berechnung und die Ei- genschaften der Volatilität eingegangen. Es werden Verfahren zur Berechnung der im- pliziten Volatilität beschrieben und besondere Eigenschaften der impliziten Volatilität erläutert. Des Weiteren werden verschiedene Schätzverfahren zur Vorhersage der Vola- tilität vorgestellt und deren Vorhersagegüte diskutiert. Volatilitätsindizes, die zum einen ein beliebtes Maß für die erwartete Entwicklung der Volatilität darstellen, zum anderen Basis für zahlreiche neue Volatilitätsprodukte sind, werden im vierten Kapitel beschrie- ben. Darüber hinaus werden die populärsten Instrumente zum Handeln von Volatilität erläutert. Den Inhalt des fünften Kapitels bilden empirische Studien zum Handeln von Volatilität. Im sechsten Kapitel schließlich werden die wesentlichen Punkte noch einmal zusammengefasst.

2 Volatilität – Definition und Betrachtung als eigen-

ständiges Asset

2.1 Was ist Volatilität?

Der Begriff Volatilität ist aus dem Lateinischen abgeleitet: lateinisch volare – fliegen bzw. volaticus – fliegend, flatterhaft, unbeständig. Im Börsenlexikon der ARD 5 findet sich folgende Definition:

„Die Volatilität ist ein Risikomaß und zeigt die Schwankungsintensität des Preises eines Basiswertes innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Je höher die Volatilität, um so stärker schlägt der Kurs nach oben und unten aus und desto

5 ARD o.V. (2005).

3

riskanter aber auch chancenreicher ist eine Investition in das Basisobjekt. Es

werden historische und implizite Volatilität unterschieden.“ Die Volatilität ist folglich ein Maß für die Größe der Schwankungen des Preises eines

bestimmten Basiswertes – z.B. Zinsen, Aktienrenditen, Rohstoffpreise oder Wechsel-

kurse. Die Volatilität ist jedoch kein ideales Risikomaß, da sie nur Auskunft über die

Schwankungsbreite des Basiswertes und keine weitere Information über den Verlauf der

Verteilungsfunktion der Kursausschläge gibt. 6 So bleibt zum Beispiel völlig unklar, ob große Kursveränderungen nach unten wahrscheinlicher sind als große Kursveränderun-

gen nach oben. In den beiden nächsten Abschnitten werden die zu unterscheidenden

Begriffe historische und implizite Volatilität näher erläutert.

2.2 Historische (realisierte) Volatilität

Der Begriff historische Volatilität bezeichnet die tatsächliche Schwankungsintensität

eines Basiswertes über einen bestimmten Zeitraum. In der Regel wird er als Standard-

abweichung des Basiswertes über diesen Zeitraum definiert. Im Folgenden werden Ak-

tienrenditen als Basiswerte betrachtet. Da man die Volatilität üblicherweise annualisiert

angibt, ergibt sich:

V

Gleichung 2-1

mit:

Anzahl der Zeitintervalle im betrachteten Zeitraum n

Rendite im i-ten Zeitintervall R i

P

Mittelwert der Rendite im betrachteten Zeitraum

A Viele Volatilitätsderivate basieren auf der Volatilität von Tagesrenditen. Da der Erwar-

tungswert von Tagesrenditen relativ klein ist, wird in diesen Kontrakten die realisierte

Volatilität häufig folgendermaßen definiert:

6 Poon (2005) Kap. 1.

4

Gleichung 2-2

Zu beachten ist hierbei, dass das System in Gleichung 2-2 einen Freiheitsgrad mehr hat

als in Gleichung 2-1 7 , weshalb durch n und nicht etwa durch n-1 dividiert werden

muss. 8 Ein gebräuchlicher Wert für den Annualisierungsfaktor A bei der Verwendung

von Tagesrenditen ist 252. 9 Die Renditen R i werden entweder als diskrete oder kontinu- ierliche Renditen berechnet:

S

Gleichung 2-3

mit:

Aktienkurs am Tag i.

S i

Da es keine allgemein gültige Definition des Berechnungsverfahrens der historischen

(realisierten) Volatilität gibt, muss stets angegeben werden auf welche Weise die histo-

rische (realisierte) Volatilität zu berechnen ist.

2.3 Implizite Volatilität

Im Gegensatz zur historischen Volatilität werden zur Berechnung der impliziten Volati-

lität keine historischen Daten des Basiswertes herangezogen. Sie beruht vielmehr auf

den aktuellen Preisen der Optionen auf den Basiswert. Aus einem Optionspreismodell

kann man, sofern alle Parameter mit Ausnahme der Volatilität bekannt sind, die implizi-

te Volatilität bestimmen. Dabei bezeichnet die implizite Volatilität denjenigen Wert für

die Volatilität, für den das Optionspreismodell für die Option einen mit dem am Markt

gehandelten Preis identischen Preis liefert. In der Regel wird als Optionspreismodell das

Black&Scholes Modell herangezogen. Als Eingabeparameter benötigt man in diesem

7 In Gleichung 2-1 geht ein Freiheitsgrad für die Bestimmung des Mittelwertes verloren. 8 Siehe Windcliff/Forsyth,/Vetzal (2003).

9 Es gibt in etwa 252 Handelstage pro Jahr.

5

Fall den Preis, den Strike und die Restlaufzeit der Option sowie den aktuellen Kurs des

Basiswertes und den risikofreien Zins für die Restlaufzeit. Aus den Black&Scholes

Formeln kann man dann mit Hilfe dieser Parameter die implizite Volatilität bestimmen.

Da die Black&Scholes Formeln nicht analytisch nach der Volatilität aufgelöst werden

können, 10 kann die implizite Volatilität nur mit Hilfe von Iterationsverfahren bestimmt

werden, indem man die Volatilität solange variiert bis der mit dem Modell berechnete

Optionspreis gleich dem Marktpreis der Option ist, wobei alle sonstigen Parameter kon-

stant gehalten werden. In Kapitel 3 wird die Methodik zur Bestimmung der impliziten

Volatilität im Detail erläutert.

Häufig wird postuliert, die implizite Volatilität sei der vom Markt erwartete Wert der

zukünftigen Volatilität. 11 Dies trifft jedoch nur bedingt zu, da, wie in Abschnitt 3.3 erör-

tert, auch noch andere Faktoren – wie etwa Nachfrage und Angebot an Optionen – den

Wert der impliziten Volatilität beeinflussen. Eine interessante Anwendung der implizi-

ten Volatilität ist der Vergleich von Optionspreisen. Die Optionspreise von Optionen

über verschiedene Strike-Preise lassen sich nicht direkt vergleichen. Daher ist es nicht

möglich anhand des Optionspreises zu entscheiden, welche Option eher günstig und

welche eher teuer ist. Bestimmt man jedoch die implizite Volatilität der Optionen, so

kann man die Optionen mit einer höheren impliziten Volatilität als eindeutig teurer i-

dentifizieren. 12

2.4 Betrachtung der Volatilität als eigenständiges Asset

In den vorigen Abschnitten ist die Volatilität als statistische Größe – im Falle der histo-

rischen (realisierten) Volatilität – beziehungsweise als Parameter eines Optionspreismo-

dells – im Falle der impliziten Volatilität – vorgestellt worden. In diesem Abschnitt

wird nun geklärt, inwiefern eine statistische Größe oder ein Modell-Parameter als eigen-

ständige Assetklasse betrachtet werden kann. Des Weiteren wird erläutert, welche Ei-

genschaften der Volatilität diese als Assetklasse besonders interessant machen.

Wie kann man in Volatilität investieren? Zunächst einmal hat jeder, der eine Long- oder

Short-Position in Optionen hält, auch in Volatilität investiert, da die Optionspreise nicht

10 Dies gilt auch für andere Optionspreismodelle; die meisten Modelle besitzen keine analytische Darstel- lung, weshalb eine analytische Bestimmung der impliziten Volatilität ohnehin nicht möglich ist. 11 Siehe z.B. Christensen/Hansen (2002).

12 Siehe Chance (2003).

6

nur vom Wert des Underlyings, sondern auch von der Volatilität abhängen. 13 Steigt die

Volatilität, so steigt auch der Wert von Optionen; fällt die Volatilität, so sinkt der Wert

der Optionen. Zwar hängt der Payoff einer einfachen Long- oder Short-Position wesent-

lich vom Wert des Underlyings ab; es gibt jedoch einfach zu konstruierende Portfolios

aus Optionen – wie etwa Straddles oder Butterflies 14 – deren Payoff kaum oder gar

nicht vom Wert des Underlyings beeinflusst, sondern im Wesentlichen von der Höhe

der Volatilität bestimmt wird. Des Weiteren werden Over-The-Counter Produkte ge-

handelt, deren Payoff völlig unabhängig vom Wert des Underlyings ist und nur von der

Volatilität abhängt. Die bekanntesten OTC-Produkte, welche am liquidesten gehandelt

werden, sind die sogenannten Variance-Swaps. Der Payoff eines Variance-Swaps ist die

Differenz zwischen der während der Laufzeit des Produkts realisierten Varianz 15 und

einem zu Beginn des Kontraktes festgelegten Referenzwert für die Varianz, und ist da-

mit nur von der realisierten Varianz und nicht vom Wert des Underlyings abhängig. 16

Zudem gibt es mittlerweile börsennotierte Futures und Zertifikate auf Volatilitätsindi-

zes. So hat die Chicago Board Options Exchange (CBOE) im März 2004 den Handel

von VIX Future Kontrakten eröffnet. 17 Darüber hinaus plant die CBOE mit VIX Optio-

nen ein weiteres börsennotiertes Volatilitätsprodukt einzuführen. Zertifikate für den im

Dezember 2004 von der Deutschen Börse eingeführten VDAX-NEW werden ebenfalls

gehandelt. So bietet etwa Goldman & Sachs seit Juni 2005 Partizipationszertifikate auf

den VDAX-NEW an. Auch Merrill Lynch und die Société Général bieten ähnliche Pro-

dukte an. 18 Es gibt also zahlreiche Möglichkeiten direkt und indirekt in Volatilität zu

investieren. Im Folgenden soll nun geklärt werden, welche Eigenschaften der Volatilität

sie als Assetklasse für Anleger besonders reizvoll machen.

Zur Attraktivität von Volatilität als Assetklasse tragen vor allem folgende Eigenschaften

bei:

x Volatilität kann nicht auf Null zurückgehen und nicht beliebig ansteigen.

13 Siehe Kapitel 3.

14 Siehe Kapitel 4.

15 Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung bzw. der Volatilität.

16 Für eine detaillierte Beschreibung von Variance-Swaps siehe Kapitel 4.

17 Für weitere Informationen siehe Abschnitt 4.3.

18 Für weitere Informationen siehe Abschnitt 4.3.

7

x Volatilität ist im Allgemeinen negativ mit den Renditen des Underlyings korre-

liert.

x Insbesondere sind hohe Wertverluste des Underlyings verbunden mit einem

starken Anstieg der Volatilität.

x Volatilität hat die Eigenschaft gegen einen langfristigen Mittelwert zu streben.

x Volatilität hat eine Tendenz zur Clusterbildung. Hohen Volatilitätswerten folgen

meist hohe Volatilitätswerte in der unmittelbaren Zukunft, niedrigen Volatili-

tätswerten folgen meist auch niedrige Volatilitätswerte in der unmittelbaren Zu-

kunft.

x Volatilität hat eine negative Risikoprämie.

Da Volatilität nicht auf Null zurückgehen kann, kann eine Investition in einen Volatili-

tätsindex nicht zu einem totalen Verlust der Investition führen. Durch negative Korrela-

tion mit den Renditen des Underlyings kann durch Beimischen von Volatilität in ein

Portfolio ein großer Diversifikationseffekt erzielt werden. 19 Dass hohe Wertverluste des

Underlyings mit einem großen Anstieg der Volatilität verbunden sind, machen Long-

Positionen in Volatilität zu einem interessanten Instrument um Portfolios vor Wertver-

lusten im Falle eines Crashes abzusichern. In diesem Zusammenhang ist zu erwähnen,

dass die Payoff-Struktur einer Long-Position in Volatilität der Payoff-Struktur einer

Long-Position in at-the-money Puts sehr ähnlich ist, was in Abbildung 2-1 deutlich

wird. 20 Investitionen in Volatilität stellen daher eine Alternative zur Portfolio-Insurance

mit Put-Optionen dar.

Das Streben nach einem langfristigen Mittelwert und die Neigung zur Clusterbildung

führen dazu, dass sich Volatilität weitaus besser vorhersagen lässt als Aktienrenditen,

was Volatilität als Assetklasse zusätzlich interessant macht. 21 Es ist allerdings allgemei-

ner Konsens, dass Volatilität eine negative Risikoprämie hat, d.h. Verkäufer von Volati-

19 Siehe Bowler/Ebens/Davi/Kolanovic (2003).

20 Siehe Bowler/Ebens/Davi/Kolanovic (2003), Hafner/Wallmeier (2005), Toikka/ Tom/Chadwick/Bolt- Christmas (2004) und Reiss/Amanti/Schneider/Maras (2004).

21 Siehe Toikka/ Tom/Chadwick/Bolt-Christmas (2004).

8

lität werden für das Bereitstellen einer Absicherung mit einer Prämie belohnt. 22 Es

hängt von der Höhe dieser Prämie ab, ob eine Beimischung von Volatilität zu einem

Portfolio lohnend ist; ist die Prämie zu hoch, so wird der Diversifikationseffekt durch

Beimischen von Volatilität in das Portfolio teuer erkauft und erscheint unrentabel. In

diesem Fall allerdings würde eine Strategie, die systematisch Volatilität verkauft, Profi-

te abwerfen. Es wäre also profitabel, ständig Short-Positionen in Volatilität einzuneh-

men. 23

Abbildung 2-1: Vergleich der Payoff-Struktur von Volatilität und Put-Option 24

3 Bestimmung und Eigenschaften der Volatilität

Wie bereits erwähnt, gibt es keine Möglichkeit, die implizite Volatilität direkt zu

bestimmen. Um die implizite Volatilität berechnen zu können, benötigt man zunächst

Verfahren mit denen sich der Optionspreis bei gegebenen Parametern (Spot-Preis des

Underlyings, Strike-Preis der Option, Restlaufzeit der Option, risikofreier Zinssatz und

22 Siehe Bakshi/Kapadia (2001), Carr/Wu (2005), Moise (2005) und Reiss/Amanti/Schneider/Maras (2004).

23 Für eine ausführliche Diskussion siehe Kapitel 5.

24 Abbildung aus Reiss/Amanti/Schneider/Maras (2004).

9

Volatilität) bestimmen lässt. Deshalb werden im nächsten Abschnitt zwei solcher Ver-

fahren vorgestellt. Die Berechnung der impliziten Volatilität erfolgt dann iterativ. Be-

zeichnet V(V) den Optionspreis bei gegebenem V 25 , dann bestimmt man iterativ den

Wert der impliziten Volatilität V imp , für den V(V imp ) gleich dem am Markt beobachteten

Preis der Option V Markt ist. Weil V(V) theoretisch eine streng monoton steigende Funkti-

on ist, hat die Funktion

Gleichung 3-1

genau eine Nullstelle und die Funktion

2

Gleichung 3-2

genau ein Minimum. Für die iterative Bestimmung der impliziten Volatilität können da-

her sowohl numerische Verfahren zur Nullstellensuche als auch numerische Verfahren

zur Minimierung 26 einer Funktion eingesetzt werden. In Abschnitt 3.2 werden einige

solcher Verfahren beschrieben und ihre Konvergenzgeschwindigkeit verglichen.

3.1 Methoden zur Bestimmung von Optionspreisen

3.1.1 Die Black&Scholes Optionspreisformeln

Das von Black und Scholes 1973 entwickelte Modell gilt als Meilenstein in der Opti-

onspreistheorie. Obwohl das Black&Scholes Modell bei der Erklärung von Optionsprei-

sen sehr erfolgreich ist, gibt es einige Kritikpunkte. So wird vor allem die Annahme ei-

ner konstanten Volatilität und eines konstanten risikofreien Zinssatzes in Frage gestellt.

Um den Unzulänglichkeiten des Black&Scholes Modells Rechnung zu tragen, sind in

der Literatur zahlreiche erweiterte Modelle 27 , wie etwa die Jump Diffusion Modelle 28

oder Stochastic-Volatility 29 Modelle, vorgeschlagen worden; dennoch wird auch heut-

25 Alle anderen Parameter sind fix und entsprechen den Werten der am Markt beobachteten Option. 26 Auch Verfahren zur Maximierung können eingesetzt werden, indem man –f min maximiert. 27 Siehe auch Abschnitt 3.3.

28 Siehe Merton (1978).

29 Siehe z.B. Hull/White (1988), Stein/Stein (1991) und Heston (1993).

10