Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis   3

Abbildungsverzeichnis.   5

Teil  A Einführung.  6

1.  Einleitung.  6

2.  Was ist die „klassische“ Logik?  6

Teil  B Nichtklassische Logiken  9

3.  Warum braucht man nicht-klassische Logiken?  9

4.  Überblick über die wesentlichen nichtklassischen Logiken  11

4.1  Logiken, die der klassischen Wahrheitstheorie widersprechen  12

4.2  Logiken, deren Umfang von logischen Operatoren sich von der klassischen  

Logik  unterscheiden.  13

4.3  Logiken, deren logischen Operatoren eine andere Bedeutung zugeschrieben wird,  

als  in der klassischen Logik  14

5.  Zwei ausgewählte Beispiele für nichtklassische Logiken  14

Das  dreiwertige System von Łukasiewicz (Ł 3 )  14

   5.1

  Überblick über Ł 3  14

   5.1.1

5.1.2  Wahrheitstafeln, Syntax und Semantik.  15

5.2  Modallogik S 5  18

5.2.1  Überblick über S 5  18

5.2.2  Axiomatisierung von S 5  19

Teil  C Klassische vs. Nichtklassische Logiken  21

6.  Gemeinsamkeiten.  21

7.  Das Problem unterschiedlicher Notationen  22

7.1  Allgemeines  22

Unterschiedliche  Notationen als Argument gegen die Widersprüchlichkeit von Ł  3

   7.2

und  PC.  23

8.  Übersetzungen zwischen logischen Systemen.  25

8.1  Grammatikalische Übersetzungen  25

8.1.1  Definitionen und Bedingungen von grammatikalischen Übersetzungen.  25

8.1.2  Grammatikalische Übersetzung von PC nach L 3  27

8.2  Übersetzung von PC nach S 5  29

Die  Nichtübersetzbarkeit von Ł 3 und S 5 nach PC.  30

   8.3

9.  Rivalisierende vs. nicht-rivalisierende Logiken  33

10.  Extensionen und Deviationen  35

10.1  Definitionen von Extensionen und Deviationen  35

  Ł 3 : Deviation oder Extension?  38

   10.2

10.3  S 5 : Deviation oder Extension?  40

11.  Bedingungen für Rivalität.  41

11.1  Allgemeines  41

11.2  Rivalität von Deviationen und Extensionen  45

Die  Rivalität von Ł 3  47

   11.3

11.4  Die Rivalität von S 5  50

3

Teil  D Mögliche Positionen im Hinblick auf Konflikte zwischen Klassischer Logik  

und  alternativen Logiken  51

12.  Mögliche Positionen gegenüber rivalisierenden Theorien  51

13.  Mögliche Positionen nach HAACK.  52

13.1  „Korrektheit“ von logischen Systemen.  53

13.2  Monismus.  54

13.3  Pluralismus.  55

13.3.1  Lokaler Pluralismus  55

13.3.2  Globaler Pluralismus.  55

13.4  Instrumentalismus  56

13.5  Zusammenfassung der Positionen.  57

14.  Relativismus und Absolutismus in der Logik nach RESCHER  58

15.  EPSTEINS semantischer Ansatz  60

16.  Versuch eines neuen Ansatzes  65

17.  Zusammenfassung.  69

Anhang A:  Notationsübersicht  71

Anhang B:  Semantik und Axiomatisierung von PC  74

Anhang C:  Axiomatisierung von Ł 3  75

Bibliographie   76

4

Abbildungsverzeichnis   

Abbildung  4.1 Wahrheitsfunktionale Komplettheit von PC.  

Abbildung  5.1 Wahrheitstafeln von Ł 3  

Abbildung  5.2 Wahrheitstafel des Bisubjunktors in Ł 3  

Abbildung  5.3 Wahrheitstafel des Słupecki Operators.  

Abbildung  5.4 Wahrheitstafel von I φ  

Abbildung  8.1 Wahrheitstafel von 2.  

Abbildung  8.2 Wahrheitstafel für die Negation, bei Übersetzung von PC nach Ł 3  

Abbildung  8.3 Wahrheitstafel für die Subjunktion bei Übersetzung von PC nach Ł 3  

Abbildung  8.4 Übersetzung des Satzes des ausgeschlossenen Drittens  

Abbildung  9.1: rivalisierende und nicht rivalisierende Systeme  

Abbildung  11.1 Formale Rivalität  

Abbildung  11.2 Semantische Rivalität  

Abbildung  11.3 Instrumentale Rivalität.  

Abbildung  11.4 Rivalität von Extensionen.  

Abbildung  11.5 Wahrheitstafel von ( φ (φ ψ)) in PC und Ł 3  

Abbildung  12.1 Mögliche Positionen auf rivalisierende Theorien.  

Abbildung  13.1 Korrektheit von logischen Systemen  

Abbildung  13.2 Mögliche Positionen bei einer Pluralität von logischen Positionen  

Abbildung  14.1 Absolutismus vs. Relativismus  

Abbildung  15.1 Umfeld und Funktionalität.  

Abbildung  15.2 Allgemeine und spezifische Hintergrundannahmen für logische Systeme  

Abbildung  15.3 Allgemeine und spezifische Hintergrundannahmen für logische Systeme II  

Abbildung  15.4 Erweiterung des Hintergrundschemas auf Gegenstände und Prozesse  

Abbildung  16.1 Allgemeine Prinzipien, spezifische Prinzipien und deren Formalisierungen  

Abbildung  B.1 Wahrheitstafeln für PC  

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Teil A Einführung

1. Einleitung

In der vorliegenden Arbeit sollen einige metaphysische Fragen betreffend die Logik behandelt werden, die sich aus der (möglichen) Existenz unterschiedlicher und mit der klassischen Logik rivalisierender logischer Systeme ergeben: Wenn zwei logische Systeme rivalisieren, kann nur eines korrekt sein oder können beide korrekt sein? Was bedeutet es für ein logisches System „korrekt“ zu sein? Und was bedeutet es überhaupt für logische Systeme zu „rivalisieren“?

Zur Beantwortung dieser Fragen soll etwas weiter ausgeholt werden, obwohl diese Fragen a priori grundsätzlich behandelt werden könnte ohne auf konkrete logische Systeme einzugehen. Trotzdem sollen in dieser Arbeit gewisse Themen und Begriffe anhand zweier Beispiele von zur klassischen Logik abweichenden Systemen illustriert werden. Die Teile A und B dieser Arbeit sollen in die Thematik einführen. Im Kapitel 2 soll die klassische Logik kurz vorgestellt werden, während im Teil B ein kurzer Überblick über die existierenden nichtklassischen logischen Systeme, ihre Verwendung und Begründung gegeben werden soll und schließlich die zwei Beispielsysteme vorgestellt werden. Teil B versucht Unterschiede im Verhältnis einzelner nichtklassischer logischer Systeme mit der klassischen Logik aufzuzeichnen. So werden vor allem Gemeinsamkeiten, Übersetzungsmöglichkeiten und Rivalität thematisiert.

Teil C hingegen charakterisiert schließlich möglich Positionen im Hinblick auf die Existenz mehrerer logischer Systeme. Hierbei soll vor allem auf die Arbeiten von HAACK, EPSTEIN und RESCHER eingegangen werden.

Alle Übersetzungen von Zitaten englischer Originalwerke wurden vom Autor vorliegender Arbeit ins Deutsche übersetzt.

2. Was ist die „klassische“ Logik?

In diesem Kapitel soll geklärt werden, was an der klassischen Logik „klassisch“ ist und welche Vorteile die klassische Logik hat. Dabei wird die klassische Logik in ihren Grundzügen als bekannt vorausgesetzt. Für eine semantische Definition und eine

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Axiomatisierung der klassischen Logik wird auf den Anhang B verwiesen. Im Folgenden wird mit „klassischer Logik“ die klassische Junktorenlogik gemeint sein. Wenn wir von der konkreten Formalisierung, wie sie in Anhang B gegeben wird, sprechen, so werden wir von „PC“ sprechen. Wenn wir den theoretischen Hintergrund meinen, so werden wir weiterhin von der „klassischen Logik“ sprechen.

Man könnte fälschlicherweise meinen, dass „klassisch“ sich auf die Tatsache bezieht, dass PC das einzige logische System war, das seit der griechischen Antike diskutiert wurde. Vielmehr entsprach es aber nur einer von mehreren aus der Antike stammenden logischen Traditionen. 1

Warum nimmt PC aber dann einen so gewichtigen Stellenwert unter den logischen Systemen ein. EPSTEIN gibt dafür die folgenden Gründe: 2

1.) PC ist sehr simpel. Tatsächlich kommt EPSTEIN sogar zum Schluss, dass es sich um die einfachste Semantik handelt, die einem logischen System zugewiesen werden kann. 3

2.) PC ist einfach zu benutzen und zwar sowohl rein formal als auch in Anwendungen, aufgrund der verwendeten Wahrheitstafeln. Und diese Einfachheit ist laut EPSTEIN essentiell, da wir Logik ja verwenden wollen um über irgendein Thema nachzudenken. Wenn Logik schwerer zu verstehen oder anzuwenden wäre, gäbe es keine Motivation um das zu tun.

3.) PC hat ein weites Spektrum: Wir können es auf jeden atomaren Satz anwenden, dem wir zugestehen über einen Wahrheitswert zu verfügen.

4.) Wir können eine simple Axiomatisation für PC geben, mit dem Ergebnis, dass die resultierende syntaktische Konsequenzrelation äquivalent mit der semantischen Konsequenzrelation ist.

5.) Im Allgemeinen entsprechen die Ergebnisse von PC dem, was wir intuitiv als wahr beziehungsweise als falsch ansehen würden. Hierfür gibt es zwar ein paar Ausnahmen und diese Paradoxe führten auch teilweise zu Entstehung von alternativen Logiken.

¹ Vgl. Epstein 1990, S. 58.

² Vgl. ebd., S. 58.

³ Zumindest was die Aussagenlogik betrifft.

7

Ein Beispiel für solche Fälle wären etwa Sätze des Typus „Wenn der Mond aus Käse ist, dann ist 2 + 2 = 4.“. Es würde zu weit führen und den Rahmen dieser Arbeit sprengen an dieser Stelle alle diesen Paradoxen auf den Grund zu gehen und aufzuzeigen welche Lösungsvorschläge es dafür gibt. Wenn ein solches Paradoxon mit einem der behandelten alternativen Systeme verbunden ist, dann soll es an dieser Stelle besprochen werden.

Die Antwort der klassischen Logiker auf solche Fälle ist zumeist jedenfalls die Ansicht, dass es gar keine paradoxale Situation gibt, da die klassische Logik oder ihre Ergebnisse in diesen Fällen missverstanden wird.

Weiters soll hier auf zwei wichtige Eigenschaften der klassischen Logik hingewiesen werden, die für die weitere Diskussion von Bedeutung sind: Zum einen wird die klassische Logik durch das Bivalenzprinzip charakterisiert, welches besagt, dass jede Aussage und jede Formel genau einen von zwei Wahrheitswerten - nämlich „wahr“ oder „falsch“ - einnehmen muss.

Das zweite für diese Arbeit wichtige Charakteristikum der klassischen Logik ist ihre Wahrheitsfunktionalität: Der Wahrheitswert, den eine Formel φ einnimmt, ist eindeutig durch den Wahrheitswert der Teilformeln von φ festgelegt.

8

Teil B Nichtklassische Logiken

3. Warum braucht man nicht-klassische Logiken?

Es ist eine unumstrittene Tatsache, dass zahlreiche nicht klassische logische Systeme entwickelt wurden und auch als Ergänzungen der klassischen Logik oder Gegenspieler zu ihr vorgeschlagen wurden. Eine andere Frage ist es aber, ob eine Veränderung der Logik überhaupt möglich ist oder ob die klassische Logik die einzig und immer gültige Wahrheit ist. Die Diskussion über die Möglichkeit, bzw. Korrektheit von logischen Systemen wird vor allem durch die traditionelle und noch immer vertretene Meinung dominiert, dass eine Revision von Logik unmöglich ist.

Dieses Problem ist für unsere Arbeit insofern bedeutend, dass es, wenn es keine Möglichkeit für eine Veränderung der Logik gibt, wenig Sinn macht, Systeme, die mit der klassischen Logik rivalisieren, genauer zu untersuchen. 4

Einer der prominentesten Vertreter der Ansicht, dass die klassische Logik vollendet ist und nicht mehr veränderbar ist war wohl KANT. So meinte er beispielsweise:

„Es gibt wenige Wissenschaften, die einen permanenten Zustand erreichen, welcher keine weiteren Änderungen mehr erlaubt. Zu diesen zählen die Logik und die Metaphysik. Aristoteles hat keinen wesentlichen Punkt des Wissens ausgelassen. In unseren eigenen Zeiten hat es keinen berühmten Logiker gegeben und wirklich, wir benötigen keine neuen Entdeckungen in der Logik mehr, weil sie bloß die Form des Denkens beinhaltet.“ 5

Doch KANTS Position ist heute nicht unbestritten. So haben sich einige bedeutende Philosophen auch dafür ausgesprochen, dass es gute Gründe für eine Änderung der Logik geben könnte. So meinte etwa QUINE:

„[…] keine Aussage ist immun gegen Revision. Selbst eine Revision des logischen Gesetz des ausgeschlossenen Drittens wurde vorgeschlagen, um die Quantenmechanik zu vereinfachen; und

⁴ Vgl. Haack 1974, S. 25.

⁵ Kant zitiert nach Haack 1974, S. 27.

9

was für ein Unterschied besteht zwischen so einer Veränderung und der Veränderung mit der Kepler an die Stelle von Ptolemeus trat oder Einstein von Newton oder Darwin von Aristoteles.“ 6

Vor allem die starke formalistische Strömung und die Erkenntnisse der mathematischen Logik am Anfang des 20. Jahrhunderts brachte die Logik selbst unter Kritik, die wohl ihre markanteste Formulierung im bekannten Ausspruch von CARNAP findet: „In der Logik gibt es keine Moral“. 7

Die Diskussion um die Pluralität von Logiken war vor allem in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts sehr lebhaft. Sie wurde hauptsächlich durch die Entwicklung von unterschiedlichen (von der klassischen Logik abweichenden) logischen Systeme hervorgerufen. 8

Allen Konzepten für nicht-klassische Logiken liegt entweder der Gedanke zu Grunde, dass die klassische Logik falsch ist oder dass das vorgeschlagene nicht-klassische System in seiner Anwendung praktischer ist als die klassische Logik. ⁹ Obwohl der Wert der theoretischen Diskussion über die Unantastbarkeit der klassischen Logik nicht anzuzweifeln ist, können m.E. die wesentlichen Argumente gegen eine solche nur aus der praktischen Nicht-Anwendbarkeit oder gar der Falsifikation durch die Praxis kommen.

Aus praktischer Sicht ergeben sich mit der klassischen Logik sehr bald Probleme. So etwa WEINGARTNER: „Im Allgemeinen kommen Probleme auf, sobald [klassische] Logik auf andere Gebiete als Logik und Mathematik angewandt wird.“ 10

Als Paradebeispiel für die schlechte Anwendbarkeit der klassischen Logik gilt sicherlich die Physik und dort vor allem die Quantenphysik. Manche Autoren sehen aber die klassische Logik auch in anderen Disziplinen als problematisch, so etwa schon in philosophischen Disziplinen, wie etwa Wissenschaftstheorie, Erkenntnistheorie, Aktionstheorie, Ethik oder Metaphysik. 11

Die stärkste Kritik an der klassischen Logik kommt sicherlich noch aus der Physik, wo man hauptsächlich im Bereich der Quantenphysik (aber nicht nur dort) größere Anwendungsschwierigkeiten hat. So kommt etwa MITTELSTAEDT zu dem Schluss: „[…]

⁶ Quine 1951, S. 43.

⁷ Carnap 1934, S. 37.

⁸ Vgl. Agazzi 2003, S.3

⁹ Auf die Konsequenzen, die aus diesen beiden unterschiedlichen Begründungen folgen und auch auf die Frage,

was es bedeutet, dass ein logisches System falsch ist, werden wir im Teil D dieser Arbeit genauer eingehen.

¹⁰ Weingartner 2003, S.235.

¹¹ Vgl. ebd. Für einen guten Überblick für den Fall der Metaphysik vgl. Quesada 2003.

10

die Anwendung der klassischen Logik verlangt in jedem Fall eine Rechtfertigung. […] die klassische Logik kann nicht für den Normalfall gehalten werden.“ 12 Was den theoretischen Standpunkt anbetrifft, so wollen wir uns dem beispielsweise von HAACK vertretenen Pragmatismus anschließen. Leider würde es an dieser Stelle zu weit führen, eine genaue Begründung dieser Position zu geben, so wollen wir versuchen, nur kurz diesen Standpunkt zu beschreiben. 13

Gemäß der pragmatistischen Position ist die Logik eine Theorie, wie andere Theorien auch. Zugegeben, die Logik ist eine sehr allgemeine Theorie im Vergleich zu den meisten anderen wissenschaftlichen Theorien, sie bleibt aber dennoch eine Theorie. Und wie bei anderen Theorien haben wir ihre Wahl durch Ökonomie, Kohärenz und Simplizität zu begründen. 14

Obwohl wir uns dieser Position grundsätzlich anschließen wollen, werden wir in der weiteren Diskussion um mögliche Standpunkte gegenüber rivalisierenden logischen Systemen auch auf absolutistische Standpunkte treffen, nach denen die Gesetze der Logik unveränderbar sind und die damit im krassen Widerspruch zum pragmatistischen Standpunkt stehen. Obwohl ein Anhänger einer solchen absolutistischen Ansicht theoretisch auch ein von der klassischen Logik abweichendes System vertreten könnte, zeigt sich in der Praxis, dass die Vertreter dieser Ansicht doch fast ausschließlich Anhänger der klassischen Logik sind.

4. Überblick über die wesentlichen nichtklassischen Logiken

In diesem Kapitel soll versucht werden, eine Übersicht über die wesentlichen nichtklassischen Logiken zu geben, indem wir sie danach klassifizieren, welchen Bestandteil der klassischen Logik sie ablehnen, bzw. widersprechen. M.E. weichen solche Logiken im Wesentlichen in einem der folgenden drei fundamentalen Bestandteile von der klassischen Logik ab, wobei natürlich Kombinationen möglich sind: den Wahrheitswerten, den Umfang der logischen Operatoren und die Bedeutung der logischen Operatoren. 15

¹² Mittelstaedt 2003, S.283.

¹³ Für eine ausführliche und einleuchtende Argumentation für diesen Standpunkt, vgl. Haack 1974, S. 30ff. Im

Teil D dieser Arbeit, und dort vor allem im Kapitel 16 soll auf den Zusammenhang zwischen der Position, die

man der Logik selbst zuschreibt und der Position, die man hinsichtlich der Existenz mehrerer logischer Systeme

einnimmt, genauer eingegangen werden.

¹⁴ Vgl. ebd., S. 20.

¹⁵ Diese Einteilung konnte in dieser Form nicht in der Literatur zu finden und ist sicherlich als ein Versuch zu

klassifizieren.

11

Ein wesentlicher Ausgangspunkt für die Entwicklung neuer logischen Systeme, ist die Kritik an der Tatsache, dass in der klassischen Logik jedem Satz entweder der Wahrheitswert „wahr“ oder „falsch“ zugeordnet wird (Bivalenzprinzip). Diese Gesetzmäßigkeit führt nach Auffassung mancher Autoren in manchen Bereichen, wie etwa der Quantentheorie oder Aussagen über die Zukunft zu unakzeptablen Aussagen. ¹⁶ Als Reaktion darauf sind laut HAACK folgende Standpunkte möglich: 17

1.) Die betreffenden Aussagen sind keine Objekte, mit denen sich die Logik befasst oder befassen sollte.

2.) Die betreffenden Aussagen sind zwar Objekte, mit denen sich die Logik befasst, sie haben aber nicht die Form, die sie zu scheinen haben.

3.) Die betreffenden Aussagen sind zwar Objekte, mit denen sich die Logik befasst, sie sind aber weder wahr noch falsch, sondern ohne Wahrheitswert. 4.) Die betreffenden Aussagen sind zwar Objekte, mit denen sich die Logik befasst, sie sind aber weder wahr noch falsch, sondern haben einen (oder mehrere) andere(n) Wahrheitswert(e).

Während die ersten zwei Positionen die Beibehaltung der klassischen Logik unterstützen, sind die Positionen 3 und 4 der ideale Nährboden für die Entwicklung neuer logischer Systeme. So basieren auf Position 4 beispielsweise die dreiwertigen Logiken von Łukasiewicz und Kleene, Logiken mit unendlich vielen Wahrheitswerten oder etwa die Fuzzylogic. Auf Position 3 basiert hingegen beispielsweise die Logik mit Wahrheitswertlücken von van Fraasen.

¹⁶ Vgl. Haack 1978, S. 47.

¹⁷ Vgl. ebd., S. 47.

12

Gewisse abweichende Logiken bauen auf dem Grundgedanken auf, dass das Instrumentarium der klassischen logischen Operatoren nicht dazu ausreicht, all das auszudrücken, was es ausdrücken sollen müsste, um auf alle Gebiete angewendet werden zu können, auf die sie angewendet werden sollten.

Diese These mag insofern als problematisch erscheinen, da PC eigentlich ein wahrheitsfunktional komplettes System ist, d.h. dass sich alle möglichen Kombinationen von Wahrheitswerten durch seine Operatoren ausdrücken lassen können. Die folgenden Beispiele sollen das anhand von Wahrheitstafeln für den Fall zweier Formeln verdeutlichen:

Trotzdem gibt es einige Philosophen die der Ansicht sind, dass eben nicht alle Sätze, die durch die Logik formalisierbar sein sollten, durch dieses Instrumentarium formalisierbar sind. Eines der prominentesten Beispiele für Logiken, die aus diesem Grund vorgeschlagen worden sind, sind die klassischen Modallogiken, die Operatoren für Notwendigkeit und Möglichkeit einführen. Ein Beispiel für eine solche Modallogik ist etwa das System S 5, das später in dieser Arbeit vorgestellt werden soll.

13

Schließlich wären noch solche logische Systeme denkbar, die zwar die gleichen logischen Operatoren wie PC verwenden, diesen aber eine andere wahrheitsfunktionale Bedeutung zuschreiben.

Bei solchen Systemen stellt sich aber die Frage, ob sie dann überhaupt die gleichen logischen Operatoren verwenden oder ob sie eigentlich etwas anderes meinen und nur das gleiche Symbol für etwas gänzlich anderes verwenden. Dieser Frage soll in Kapitel 7 dieser Arbeit nachgegangen sein.

5. Zwei ausgewählte Beispiele für nichtklassische Logiken

Der große Unterschied von mehrwertigen Logiken, wie etwa Ł 3 , und der klassischen Logik ist die Aufgabe des Prinzips der Bivalenz. So gibt es etwa im System Ł 3 drei Wahrheitswerte.

Dadurch kommt es zu Abweichungen von der klassischen Logik, weil, wie wir weiter unten sehen werden, einige Theoreme der klassischen Logik, wie etwa das Gesetz des ausgeschlossen Dritten, nicht mehr gelten.

Ł 3 wurde von Łukasiewicz 1920 entwickelt. Ursprünglich ging es ihm um den Umgang mit Aussagen über zukünftige Ereignisse:

„Ich kann ohne Widerspruch annehmen, dass meine Anwesenheit in Warschau an einem bestimmten Zeitpunkt nächsten Jahres, z.B. zu Mittag am 21. Dezember, zum derzeitigen Zeitpunkt weder positiv noch negativ bestimmbar ist. Daher ist es möglich, aber nicht notwendig, dass ich zu diesem Zeitpunkt in Warschau anwesend sein werde. Unter dieser Annahme kann der Satz „Ich werde am 21. Dezember nächsten Jahres zu Mittag in Wahrschau sein“ zum derzeitigen Zeitpunkt weder wahr noch falsch zu sein. Denn, falls es

14

jetzt wahr sein sollte, wäre meine zukünftige Anwesenheit in Warschau notwendig, was widersprüchlich zu der Annahme wäre. Wenn es andererseits jetzt falsch wäre, würde meine zukünftige Anwesenheit in Warschau unmöglich sein, was auch widersprüchlich zu der Annahme wäre. Daher ist die entsprechende Aussage zum derzeitigen Zeitpunkt weder wahr noch falsch sondern muss über einen dritten Wahrheitswert verfügen, anders als ,0´ oder wahr oder ,1´ oder falsch. Diesen Wert können wir mit ,½´ bezeichnen. Er repräsentiert „das mögliche“ und folgt „dem wahren“ und „dem falschen“ als dritter Wahrheitswert.“ 18

5.1.2 Wahrheitstafeln, Syntax und Semantik

In diesem Kapitel wollen wir kurz die Wahrheitstafeln, Syntax und Semantik von Ł ³ vorstellen. Der Vollständigkeit halber ist im Anhang C auch eine mögliche Axiomatisierung von Ł 3 abgebildet, die aber für die weitere Diskussion ohne Bedeutung ist. In Ł 3 wird jeder Formel einer von folgenden drei möglichen Wahrheitswerten zugeordnet: 1, ½, oder 0. ¹⁹ Diese Wahrheitswerte sind wie folgt zu verstehen:

φ ist bestimmt wahr. e(φ) = 1 φ ist bestimmt falsch. e(φ) = 0

φ ist weder bestimmt wahr noch falsch. ²⁰ e(φ) = ½

Im Falle, dass eine Formel den Wahrheitswert ½ annimmt, können wir von dieser Formel als unbestimmt, möglich oder neutral sprechen. Wie schon oben erwähnt, war es der Grundgedanke von Łukasiewicz mit Einführung dieses dritten Wahrheitswerts ein Instrument zur logischen Handhabung von Aussagen über zukünftige mögliche Sachverhalte zu schaffen. Es ergeben sich nach Łukasiewicz die folgenden Wahrheitstafeln: 21

¹⁸ Łukasiewicz zitiert nach Rescher 1969, S. 22f.

¹⁹ Vgl. Urquhart 2001, S. 250.

²⁰ Vgl. Epstein 1990, S. 235.

²¹ Vgl. ebd., S. 235.

15

Dieses System kann durch die folgenden Regeln abgebildet und generalisiert werden: 22

Den Bisubjunktor (↔) definieren wir wie folgt:

(φ ↔ ψ) ≡ Def ((φ → ψ) ∧ (ψ → φ)). ²³ v.

Es ergibt sich ergo folgende Wahrheitstafel:

²² Vgl. Haack 1978, S. 206. Diese Regeln kann man ebenso für mehrwertige Logiken mit mehr als drei

Wahrheitswerten und sogar unendlich vielen benutzen.

²³ Vgl. Epstein 1990, S. 235.

16