Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis.......................................................................................................................   2

Notationsverzeichnis   3

1  Fragestellung  4

2  Grundlegendes Modell  5

3  Optimale Versicherungsleistung  6

4  Schadenminderung  8

5  First Best Lösung  11

6  Second Best Lösung  12

7  Diskussion und Vergleich mit der Praxis der Versicherungswirtschaft.  14

Literaturverzeichnis   17

Notationsverzeichnis

f (x s) Dichtefunktion zu X I(X) Versicherungsleistung i=1,2 Index für Versicherter (Agent), Versicherer (Prinzipalin) P Versicherungsprämie R i

[ ]

∈ , 0 s

′ ′ ′ 0 < > 0 , u i Nutzenfunktion, wobei gilt u u û 1 Gesamtnutzenniveau ′ ′ ′ 0 > > 0 , v 1 (s) Nutzeneinbusse durch s, v v X Schadenhöhe

[ )

∈ , 0 T x Zufallsvariabel für Schadenverteilung Y(X) R 1 - P - X + I(X) Z(X) R 2 + P - I(X) θ Umweltzustand

1 Fragestellung

Versicherungsverträge können als Verträge über den Transfer von Risiko betrachtet werden. Dadurch kommt es zu einer Teilung des Risikos zwischen Versicherer und Versicherten. Aus volkswirtschaftlicher Sicht kommt dabei sofort die Frage nach einer paretooptimalen Verteilung des Risikos auf.

Einer der einschlägigen Artikel dazu „Unvertainty and the Welfare Economics of Medical Care“ wurde 1963 von J.K. Arrow verfasst. ¹ . Die Lösung von Arrow soll kurz dargelegt werden, da sie auch aus betriebswirtschaftlicher Sicht für konkrete Vertragsausgestaltungen von Interesse sind.

Aus Sicht der Agency Theory kann ein Versicherungsvertragsverhältnis als Agency Problem betrachtet werden. Dabei kommt dem Versicherer die Rolle der Prinzipalin und dem Versicherten die Rolle des Agenten zu.

Grundsätzlich lassen sich auf den Versicherungsvertrag die meisten klassischen Probleme der Agency Theory übertragen. Beispielsweise hat der Agent bessere Informationen über das Risiko als die Prinzipalin, wodurch ein Adverse Selection Problem entsteht. Andererseits kann der Agent nach Vertragsabschluss Maßnahmen setzen, die die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Schadens, bzw. die Schadenhöhe beeinflussen. Diese Maßnahmen sind vom Versicherer im Normalfall nicht beobachtbar und können daher auch nicht vertraglich vereinbart werden. Dieses Problemstellung wir als Moral Hazard Problem bezeichnet.

Wir wollen uns in dieser Arbeit mit dem letzteren Problem beschäftigen. Im Blickpunkt unserer Untersuchung soll dabei liegen, welchen Effekt die dargelegte Informationsasymmetrie bezüglich der vom Versicherten gesetzten

Schadenminderungsannahmen auf die optimale Verteilung von Risiko hat. Was die Wirkung der Schadenminderungsaktivitäten auf die Schadenverteilung betrifft, so werden wir der von J.A. Mirrlees 1974 in seinem Artikel „Welfare Economics, information and uncertainy“ vorgeschlagenen Formalisierung folgen. ² Was die Lösung des Moral Hazard Problems betrifft, so werden wir die Lösung, die von K. Bender und A. Richter 2002 im

¹ Arrow 1963. Der Artikel ist zwar eigentlich auf die Krankenversicherung zugeschnitten. Aber wie auch Arrow

selbst anmerkt, lassen sich die zentralen Aussagen mühelos auch auf alle anderen Formen der

Risikoversicherung umlegen.

² Mirrlees 1974.

Artikel „Optimales Vertragsdesign bei moralischem Risiko in der Rückversicherung“ im darlegen und diskutieren. 3

Abschließend wollen wir die Ergebnisse dieser formalen Betrachtungen mit den konkreten Praktiken der Versicherer in der Realität vergleichen.

2 Grundlegendes Modell

Wir betrachten einen Versicherungsvertrag. ⁴ Der Agent (Versicherter) versichert sich vor Schäden X. X wird maßgeblich von einer Dichtefunktion f zur diskreten Zufallsvariablen x∈[0,T] bestimmt.

Beim Eintritt von Schäden im Ausmaß von X, erhält der Agent aufgrund des Vertrages von der Prinzipalin die vertragsmäßig vereinbarte schadensabhängige Leistung I(X). Dafür leistet der Agent bei Vertragsbeginn die Prämie P. Der

Schadenverminderungsniveau s [ ]

setzen. Die genaue Wirkungsweise dieser Maßnahmen wird in Kapitel 4 besprochen. Sowohl die Prinzipalin als auch der Agent sind riskoavers und maximieren ihren erwarteten Nutzen u 1 (R 1 - P - X + I(X)) für den Agenten und u 2 (R 2 +P-I(X)) für die Prinzipalin, wobei R 1 und R 2 die Anfangsvermögen von Agent, bzw. Prinzipalin bezeichnen. ′ ′ ′ 0 < > 0 , . Die entsprechenden Nutzenfunktionen sind streng konkav, so dass gilt u u

Für das Setzen von Schadenminderungsmaßnahmen erleidet der Agent einen Disnutzen von v 1 (s), wobei wir strenge Separierbarkeit des Gesamtnutzenniveaus û 1 wie folgt annehmen: 5

′ ′ ′ 0 > > Die Disnutzenfunktion soll streng konvex sein, so dass gilt 0 , . v v

³ Bender/Richter 2003. In dem betreffenden Artikel geht es zwar prinzipiell um Rückversicherungsverträge aus

formaler Sicht gibt sich aber kein Unterschied zu herkömmlichen Versicherungsverträgen.

⁴ Die forgestellte Formalisierung wurde mit wenig Änderungen von Bender/Richter 2003, S.7f übernommen.

⁵ Zur Annahme strenger Separierbarkeit vgl. auch Clarke/Darrough 1980, S. 307f.