Inhalt

Einleitung.   6

1.  Formale Systeme am Beispiel des MIU-Systems  6

IV.)  UU kann aus jedem SATZ gestrichen werden  6

2.  Verschiedene Lösungsmöglichkeiten.  7

2.1  Entscheidungsverfahren  7

MI   7

2.2  Die Meta-Ebene.  8

2.3  Eine dritte Möglichkeit der „Lösung“  9

2.4  Das MU-Rätsel in der Zahlentheorie  10

3.  Gödelisierung von formalen Systemen  11

MI  - Axiom - 31  12

MUIIU  - Regel IV - 30110  12

Das  Axiom lautet:  31

Zeile  1  12

4.  Doppelte Bedeutungen durch Gödelisierung  14

Im  Garten steht ein Baum.  15

5.  Selbstbezüglichkeit durch doppelte Bedeutungen  15

S0  0.  15

6.  Unentscheidbarkeit durch Selbstbezüglichkeit  16

6.1  Der nicht-paradoxe Satz G  16

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G  : „Ich bin kein SATZ von TNT“  16

6.2  Koan und der Unvollständigkeitssatz.  17

6.3  Wittgensteins Grenze  19

1.  Heinrich Dumolin Mumonkan. Die Schranke ohne Tor Mainz  1975

   21

3.  Douglas R. Hofstadter Gödel, Escher, Bach. ein Endlos Geflochtenes Band  

Stuttgart  1991  21

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Einleitung

Bei der vorliegenden Arbeit handelt es sich um die Ausarbeitung eines Referats, das ich am 3. November 2003 im Rahmen des Seminars „Seltsame Schleifen bei Gödel, Escher und Bach“ hielt. Das Referat behandelt die Kapitel I und IX des Buches Gödel, Escher, Bach. ein Endlos Geflochtenes Band von Douglas R. Hofstadter, in denen anhand des zunächst eingeführten „MIU-Systems“ das Prinzip von Gödels Unvollständigkeitssatz umrissen wird. Die an das Referat anschließende Diskussion sowie einzelne Gespräche mit Kommilitonen außerhalb des Seminars, gaben mir verschiedene Denkanstöße, die ich implizit in diese Ausarbeitung mit habe einfließen lassen. Insbesondere hat sich meine Bewertung der Perspektive Wittgensteins dank dieser Gespräche ausdifferenziert.

1. Formale Systeme am Beispiel des MIU-Systems

Im ersten Kapitel seines Buches Gödel, Escher, Bach. ein Endlos Geflochtenes Band 1 führt Douglas R. Hofstadter zunächst formale Systeme ein und erklärt deren Aufbau anhand eines denkbar simplen Beispiels, das den Leser gleichzeitig dazu einlädt, mit ihm zu spielen: Er entwirft das MIU-System.

Das MIU-System besteht aus Elementen, vier Regeln und einem Axiom. Elemente sind die Buchstabenzeichen M, I und U, die dem System gleichzeitig den Namen geben. Das Axiom ist die Buchstabenfolge MI, von der per definitionem bekannt ist, daß sie ein SATZ des MIU-Systems ist. Die Regeln lauten wie folgt: I.) Wenn xI ein SATZ ist, dann auch xIU II.) Wenn Mx ein SATZ ist, dann auch Mxx III.) In jedem SATZ kann III durch U ersetzt werden IV.) UU kann aus jedem SATZ gestrichen werden

Aus den Elementen M, I und U lassen sich unendlich viele beliebige Zeichenketten bilden, beispielsweise die Sätze MII, MIU, UIIIM, MIIMIU und MU. Diese Zeichenketten bezeichnen wir vorerst als Sätze des MIU-Systems, da sie vordergründig nicht dessen Grammatik wiedersprechen, d.h. nur aus Elementen des Systems bestehen (im Gegensatz zu einer Kette wie z.B. MAMA). Wir wissen allerdings bisher nicht, ob sie nach den Regeln des Systems auch aus dem Axiom erzeugt werden können, d.h. ob sie SÄTZE des Systems sind.

¹ Da die vorliegende Arbeit sich bis auf das letzte Kapitel eng an den Hofstadtertext anlehnt, sind im

weiteren keine Verweise mehr darauf gegeben. Die zugrunde gelegte Ausgabe ist: Douglas R. Hofstadter; Gödel,

Escher; Bach. ein Endlos Geflochtenes Band, Stuttgart 1991

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Man beachte den Unterschied zwischen grammatisch korrekten Sätzen und „inhaltlich“ sinnvollen SÄTZEN.

Um herauszufinden, welche der oben als Beispiele aufgeführten Sätze SÄTZE sind, gibt es verschiedene Lösungsmöglichkeiten, die unterschiedlich effektiv sind.

2. Verschiedene Lösungsmöglichkeiten

2.1 Entscheidungsverfahren

Der vermutlich erste Ansatz, um eine solche Fragestellung zu bearbeiten, ist das Ausprobieren. Hofstadter bezeichnet es als mechanischen Modus, weil man quasi mechanisch Regeln anwendet, ohne dabei zu denken. So fordert Hofstadter seine Leser auf, eine große Menge Ableitungen zu konstruieren, also vom Axiom ausgehend durch Anwendung der Regeln wahllos SÄTZE zu erzeugen. Die systematische Version dieses Ausprobierens ist das Baum- bzw. Flußdiagramm, in dem durch Anwendung aller möglichen Regeln auf die jeweils vorliegenden SÄTZE sämtliche möglichen folgenden SÄTZE erzeugt werden. Ausgehend vom Axiom würde ein solches Diagramm für das MIU-System folgendermaßen aussehen:

Das Problem, das sich bei diesem Lösungsansatz ergibt besteht darin, daß, da die Regeln I und II die Zeichenketten immer weiter verlängern und es keine Regel für eine maximale Länge einer Zeichenkette gibt, ein solches Flußdiagramm unendlich fortzusetzen ist. Man wird niemals alle SÄTZE des MIU-Systems erzeugt haben. Es ist also auf diese Art nur möglich, einzelne Sätze mehr oder weniger zufällig zu verifizieren. Eine Falsifizierung ist so unmöglich.

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Und tatsächlich hat das Flußdiagramm ergeben, daß zwei unserer Beispielsätze SÄTZE des MIU-Systems sind. MII und MIU tauchen hier auf (sie sind im Diagramm fettgedruckt). Eine Aussage über die Sätze UIIIM, MIIMIU und MU ist weiterhin nicht möglich. Dieses Ergebnis läßt sich verallgemeinern zu der Aussage, daß Entscheidungsverfahren dieser Art nur dann funktionieren, wenn sie in einer endlichen Zeitspanne ein Ende finden.

2.2 Die Meta-Ebene

Als nächstes schlägt Hofstadter vor, aus dem System auszusteigen und durch Nachdenken über das System Regelmäßigkeiten zu finden, die Aufschluß über das Wesen der SÄTZE geben. Er führt also den Leser nun auf die Metaebene, gewissermaßen die Vogelperspektive auf das System, indem nun keine neuen SÄTZE mehr erzeugt werden, sondern vielmehr die Menge der bisher erzeugten SÄTZE betrachtet und erforscht wird. Diese Methode nennt er den Intelligenzmodus, weil der darin agierende im Gegensatz zum mechanischen Modus endlich sein Gehirn benutzen kann.

Dabei ergeben sich tatsächlich gewisse Regelmäßigkeiten. Beispielsweise beginnen alle SÄTZE mit M. Ketten, die nicht mit einem M beginnen, sind also offensichtlich keine SÄTZE. Andererseits taucht in keinem der SÄTZE ein M an einer anderen Stelle der Zeichenkette als am Anfang auf. Ketten, die ein M in ihrer Mitte oder dem Ende tragen, sind also ebenfalls keine SÄTZE. Diese Aussagen lassen sich besonders deshalb treffen, weil wir neben der Menge der erzeugten SÄTZE auch die Regeln betrachten können, deren keine einen Einfluß auf die M in den Zeichenketten hat.

Anhand dieser Überlegungen läßt sich Klarheit über zwei weitere der Beispielsätze gewinnen: UIIIM und MIIMIU sind offensichtlich keine SÄTZE des MIU-Systems. Dieser „Anfangsbuchstabentest“ falsifiziert also ganz deutlich eine gewisse Menge von Sätzen. Er verifiziert dabei allerdings nicht gleichzeitig die bleibende Restmenge. Mit anderen Worten: Er sagt nichts über die Vollständigkeit der Menge der falsifizierten Sätze aus. Konkret zeigt sich das Problem an dem verbleibenden Beispielsatz: Noch immer läßt sich nicht sagen, ob MU ein SATZ des MIU-Systems ist oder nicht.

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