Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis........................................................................................   II

Abk  ürzungsverzeichnis  III

Abbildungsverzeichnis.   III

1  Einleitung  1

2  Grundlagen der Geometrie.  2

2.1  Geschichte  2

2.2  Die Euklidische Geometrie.  2

2.3  Grenzen der Euklidischen Geometrie.  4

3  Die Fraktale Geometrie  5

3.1  Beschreibung einer fraktalen Dimension.  5

3.2  Die Koch Kurve  6

3.3  Selbstähnlichkeit  7

3.4  Anwendung auf die Küstenlinie Britanniens  8

4  Anwendungsbereiche von Fraktalen und deren Zusammenhang zur  

Chaostheorie   9

5  Schlußfolgerung  11

Literaturverzeichnis   12

Abkürzungsverzeichnis

Abb. Abbildung Abs. Absatz bzw. beziehungsweise d. h. das heißt ff. fortfolgende o.V. ohne Verfasser S. Seite s. o. siehe oben sog. so genannte u. a. unter anderem u. A. und Andere u. U. unter Umständen usw. und so weiter v. Chr. vor Christus Vgl. Vergleiche z. B. zum Beispiel

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Konstruktion der Koch Kurve, URL: http://members.aol.com/mathfuzzy /THEORIE/KOMPLEX/frak4.html Abbildung 2: Kochsche Küstenlinie, URL: http://science.kairo.at/physics/fba_mandelbrot/kap5.html

Einleitung 1

Es liegt in der Natur des Menschen, komplizierte Sachverhalte zu hinterfragen und zu verstehen. So beschäftigen sich Wissenschaftler seit Jahrhunderten damit, ihre Umwelt und vor allem dort auftauchende, scheinbar chaotische Systeme in eine geordnete und verständliche Struktur zu bringen. Ein Beispiel hierfür ist die über zweitausend Jahre gültige Euklidische Geometrie, die als Standardgeometrie ein Bestandteil der klassischen Mathematik ist und unter anderem unsere Umwelt in ein ganzzahlig dimensionales System einordnet. Sie ermöglicht z. B. Daten mittels grafischer Instrumente aufzuarbeiten, zu veranschaulichen und daraus folgend besser analysieren bzw. verstehen zu können.

Der Wissenschaftler Benoit Mandelbrot hat seit den sechziger Jahren mit seinen wissenschaftlichen Forschungen und seiner Gabe, Muster und Formen intuitiv zu erfassen, ein neues Gebiet der Geometrie erschlossen, das sich auf Grenzen der euklidischen Dimension bezieht. Ausgangspunkt hierfür waren Überlegungen über eine bis dahin vollkommen neue Ansicht der geometrischen Welt. Diese zeigt sich in Gebilden mathematischer Monster wie der Koch Kurve, deren Dimensionen nach Mandelbrot den „fraktalen Dimensionen“ zugeordnet werden. Inwiefern Mandelbrots Erkenntnisse die bis dahin gültige Wissenschaft revolutionierte und der Wissenschaft bis zum heutigen Zeitpunkt neue, leistungsfähige Methoden bereitstellt, wird in den folgenden Kapiteln betrachtet.

Zunächst wird in Kapitel 2 auf die Geschichte, die Euklidische Geometrie und ihre Grenzen eingegangen. In Kapitel 3 wird die fraktale Geometrie bzw. die gebrochenzahlige Dimension sowie die Koch Kurve dargestellt, wobei insbesondere das Wesen einer Küstenlinie näher analysiert wird. Zudem wird auf den Begriff der Selbstähnlichkeit eingegangen. Kapitel 4 erläutert abschließend die Zusammenhänge zwischen Fraktalen und der Chaostheorie und zeigt Anwendungsbereiche der fraktalen Mathematik auf.

Grundlagen der Geometrie 2

2.1 Geschichte

Die Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches in weitere Bereiche (z. B. Differentialgeometrie, Analytische Geometrie usw.) unterteilt werden kann. Der Wortursprung der Geometrie findet sich im Griechischen wieder, wobei die wörtliche Übersetzung ,Landmessung’ bedeutet. Die Anfänge geometrischer Berechnungen beschritten zunächst die Chaldäer und Ägypter, etwa bei dem Bau der Pyramiden. Nachfolgend begründete Thales (639-548 v. Chr.) in Milet ¹ die so genannte Ionische Schule, aus der die ersten ernstzunehmenden, wissenschaftlichen Arbeiten über dieses Teilgebiet der Mathematik entstammen. [Vgl. Chasles, 1968, S. 1] Von den griechischen Naturphilosophen der Antike entwickelte Formeln, Gesetze und Regeln auf dem Gebiet der Geometrie wurden bis in unsere heutige Zeit überliefert und sind größtenteils noch grundlegend für die Mathematik der Neuzeit. Zu den bekanntesten Naturphilosophen der damaligen Zeit gehören u. a. Thales, Pythagoras, Euklid und Platon. Thales erforschte insbesondere die Beschaffenheit und Zusammenhänge von Dreiecken. Pythagoras bekanntester Satz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat = + ² c b a über der Hypotenuse ist ( ). Platon entwickelte Gesetze und Formeln für die

Betrachtung und Beschreibung von Körpern und Euklid verfasste mit seinem Werk „Die Elemente“ eine Zusammenfassung der damaligen Mathematik. Entscheidend dabei ist, dass in den Überlegungen der Griechen, im Gegensatz zu den Ägypter und Babyloniern, erstmals mathematische Beweise formuliert wurden. Die Griechen leiteten dabei nicht nur eigene Formeln aus Gesetzen her, sondern bewiesen auch die Sätze und Formeln der Babylonier und Ägypter. [Vgl. Kaiser; Nöbauer, 1984, S. 10-11]

2.2 Die Euklidische Geometrie

Eine Menge enthält eine Zusammenfassung von mathematischen Elementen z. B. Zahlen. Eine Menge kann leer sein, niemals aber mehrere Exemplare eines Elements enthalten; diese würden als ein einziges betrachtet.[Vgl. Stein, 1999, S. 62] Ein Raum

¹ Eine Stadt in Ägypten