Inhaltsverzeichnis

1.  Einleitung  5

2.  Warum sollten Spiele im Unterricht eingesetzt werden?  

Eine  didaktisch- methodische Begründung  8

2.1.  Das Spiel - Versuch einer allgemeinen Begriffsbestimmung  8

2.2.  Didaktisch- methodische Begründung  9

2.2.1.  Spiele im Unterricht  9

2.2.2.  Spiele im Mathematikunterricht  12

3.  Parkettierungen  16

3.1.  Begriffsbestimmung und parkettierfähige Formen  16

3.2.  Einsatz von Parkettierungen im Unterricht  20

4.  Was sind Legespiele?  24

4.1.  Dominos  25

4.1.1.  Das Domino  26

4.1.2.  Die Augendominos (Occulide)  30

4.1.3.  Die Farbdominos (Coloride)  34

4.2.  Tangramme  38

4.2.1.  Synthetograme  40

4.2.2.  Analytograme  43

4.3.  Puzzles  45

4.3.1.  Bildpuzzles (Pictoide)  46

4.3.2.  Codepuzzles (Kryptoide)  46

4.4.  Räumliche Legespiele  47

5.  Ziele der Legespiele und deren Einsatz im  

Mathematikunterricht   48

5.1.  Legen mit Plättchen  50

5.2.  Tetromino  54

5.3.  Domino - das klassische Legespiel und weitere Varianten  54

5.4.  Räumliche Legespiele  58

6.  Das Tangram im Mathematikunterricht  62

6.1.  Geschichte des Tangrams  62

6.2.  Herstellung des Spieles und Sachanalyse der einzelnen  

geometrischen  Spielformen  66

6.2.1.  Die Dreiecke  67

6.2.2.  Das Parallelogramm  68

6.2.3.  Das Quadrat  68

6.3.  Spielregeln des Tangrams  70

6.4.  Didaktische Anmerkungen  71

6.4.1.  Differenzierungsmöglichkeiten  74

6.4.2.  Einsatzmöglichkeiten im Unterricht  76

7.  Fazit  86

8.  Abbildungsnachweis  89

9.  Literaturverzeichnis  91

10.  Anhang  99

1. Einleitung 5

1. Einleitung

Der Geometrieunterricht in der Grundschule wird bis heute noch vernachlässigt. Als Grund geben die Lehrerinnen und Lehrer ¹ häufig an, dass der Unterrichtsstoff der Arithmetik durchgearbeitet werden müsse und für geometrische Themen deshalb zu wenig Zeit übrig bleibe oder aber die Erstellung und Bereitstellung von geeigneten Materialien erfordere einen zu hohen Aufwand. 2

Diese Einstellung schlägt sich auch in den in NRW zugelassenen Lehrbüchern für Mathematik nieder. So enthalten im Durchschnitt nicht mehr als 11,8 % der Seiten eines Mathematikbuchs geometrische Aufgabenstellungen. ³ Bedenkt man die Tatsache, dass

Geometrieaufgaben flächenmäßig wesentlich mehr Platz in Anspruch nehmen als beispielsweise Additionsaufgaben, so macht der in Mathematikbüchern für die Grundschule behandelte Lehrstoff der Geometrie nur einen kleinen Bruchteil aus.

Dabei ist Geometrie im Unterricht mindestens genauso wichtig wie die Vermittlung von arithmetischen Rechenfertigkeiten, da die Schüler im Alltag immer wieder mit geometrischen Sachverhalten konfrontiert werden (z.B. Verkehrsschilder, Straßenkarten, etc). „Speziell mit der Geometrie werden die Herausbildung des logischen Denkens und des Vorstellungsvermögens […] in Zusammenhang gebracht.“ ⁴ Auch bedient sich der Arithmetikunterricht häufig geometrischer Veranschaulichungen, z.B. Punktbilder beim Darstellen verschiedener Mengen ⁵ oder Säulendiagramme ⁶ . Dieses Anschauungsmaterial ist für den Schüler wertlos, wenn er nicht über das notwendige geometrische Verständnis verfügt.

¹ Teilweise wird in dieser Arbeit anstatt der längeren Schreibweise Lehrerinnen und

Lehrer, bzw. Schülerinnen und Schüler nur die Bezeichnung Lehrer oder Schüler

verwendet. Diese Titulierung beinhaltet keinerlei Wertung, sondern wird lediglich zur

besseren Lesbarkeit der Arbeit benutzt.

² Vgl. Backe-Neuwald, D.: Über den Geometrieunterricht in der Grundschule, S. 9.

³ Eine Übersicht der untersuchten Mathematikbücher für die Grundschule befindet sich

im Anhang.

⁴ Becker, G.: Geometrieunterricht, S. 22.

⁵ Vgl. z.B. Rinkens, H.-D./ Hönisch, K. (Hrsg.): Welt der Zahl 1, S. 2.

⁶ Vgl. z.B. Rinkens, H.-D./ Hönisch, K. (Hrsg.): Welt der Zahl 2, S. 16.

1. Einleitung 6

Der Geometrieunterricht sollte deshalb das Fundament des Mathematikunterrichts bilden, denn „geometrische Erfahrungen sind Vorraussetzung und Bestandteil des Denkens, sie sind eine Komponente der menschlichen Intelligenz.“ 7

Vielfach wird Spielen im Unterricht immer noch mit Spielerei gleichgesetzt und als Zeitverschwendung und bloße Auflockerung des Unterrichts abgetan. Dabei lassen sich gerade im Spiel wichtige Lernziele erreichen, die die oben genannte „menschliche Intelligenz“ fördern. Das LBS- Kinderbarometer hält fest, dass nicht nur die Erwachsenen, sondern auch die Kinder zwischen neun und vierzehn Jahren das Fach Mathematik als sehr wichtig für ihre Zukunft einschätzen. ⁸ Warum sollte man dann nicht auch die Methoden zur Erarbeitung des Stoffes wählen, die den Schülern aller Voraussicht nach Spaß machen, wie z. B. das Spiel?

Eine Möglichkeit geometrische Erfahrungen zu machen, bieten die sogenannten Legespiele. Absicht dieser Arbeit ist es deshalb die Ziele, die mit Legespielen verfolgt werden, aufzuzeigen und einen möglichen Einsatz in der Grundschule darzulegen.

Dazu soll in Kapitel 2 zunächst erläutert werden, warum Spiele im Unterricht eingesetzt werden können und sollten. Eine Klassifizierung von Legespielen wird in Kapitel 4 vorgenommen, um die Vielzahl der Möglichkeiten aufzuzeigen. Zuvor wird auf die Parkettierungen als Vorraussetzung für Legespiele eingegangen (Kapitel 3). In Kapitel 5 werden allgemeine Ziele von Legespielen und deren Einsatz im Mathematikunterricht angesprochen und einige speziellere Beispiele gegeben.

Kapitel 6 ist dem Tangram gewidmet. An dieser Stelle wird ausführlich sowohl auf die Geschichte, als auch auf das Spiel selbst und seine Einsatzmöglichkeiten im Unterricht eingegangen. Diese Auflistung stellt

⁷ Franke, M.: Didaktik der Geometrie, S. 1.

⁸ Vgl. LBS- Kinderbarometer NRW 2003/ 2004, S. 36.

1. Einleitung 7

keinerlei Ansprüche auf Vollständigkeit, sondern soll lediglich einen Einblick in die Vielzahl der Verwendungsmöglichkeiten gewähren. Am Schluss dieser Arbeit befindet sich ein Fazit (Kapitel 7), das die gewonnenen Erkenntnisse zusammenfasst.

Weil Anschaulichkeit zum Mathematikunterricht der Grundschule unbedingt dazu gehört, werde auch ich zum besseren Verständnis manche Beschreibungen mit einer Abbildung versehen. Sofern die Abbildungen nicht von mir stammen, sind die Quellen im Bildnachweis einzusehen.

2. Warum sollten Spiele im Unterricht eingesetzt werden? 8

2. Warum sollten Spiele im Unterricht eingesetzt

werden? Eine didaktisch- methodische Begründung

2.1 Das Spiel - Versuch einer allgemeinen Begriffsbestimmung „Wenn Mark Twain […] erklärt: ‚Arbeit ist das, was man tun muß, und Spiel ist das, was man nicht tun muß’ […]“ ⁹ , so ist es verständlich, dass dem Spiel in der Schule immer noch das Image des bloßen Zeitvertreibs und der Beliebigkeit anhaftet. Oftmals wird das Spiel auch als Belohnung am Ende einer Stunde eingesetzt.

Der englische Philosoph und Politiker John Locke stellt die wichtige Bedeutung des Spiels für Kinder heraus: „Die größte Kunst ist, den Kindern alles, was sie tun oder lernen sollen, zum Spiel zu machen.“ ¹⁰ Damit stellt sich zunächst einmal die Frage, was überhaupt unter einem Spiel zu verstehen ist.

⁹ Thiele, R.: Spielend denken, denkend spielen, S. 56.

¹⁰ Zitat von John Locke (1632 - 1704), http://www.aphorismen.de.

¹¹ Huizinga, Johan: Homo ludens. Vom Ursprung der Kultur im Spiegel (1938). Reinbek:

Rowohlt, 1991, S. 37; zitiert nach http://de.wikipedia.org/wiki/Spiel.

2. Warum sollten Spiele im Unterricht eingesetzt werden? 9

In dieser Arbeit werde ich den Begriff des Spiels im Sinne Johan Huizingas verwenden, jedoch soll das „Bewusstsein des 'Andersseins' als das 'gewöhnliche Leben'“ ¹⁸ nur im Hinblick darauf bestehen, dass das Spiel eine Abwechslung zum gewöhnlichen Alltag darstellt. Ergänzt werden soll die Begrifflichkeit aber durch die lebenspraktische Anwendung, bei der Wissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten auf eine ungezwungene Weise vermittelt werden.

2.2 Didaktisch- methodische Begründung

2.2.1 Spiele im Unterricht

¹² Huizinga, Johan: Homo ludens. Vom Ursprung der Kultur im Spiegel (1938). Reinbek:

Rowohlt, 1991, S. 37; zitiert nach http://de.wikipedia.org/wiki/Spiel.

¹³ Thiele, R.: Spielend denken, denkend spielen, S. 56.

¹⁴ Vgl. „Spieltheorie“. In: http://de.wikipedia.org/wiki/Spieltheorie.

¹⁵ Das Werk „The Theory of Games and Economic Behavior“ schrieb der in Budapest

geborene Mathematiker mit dem Co- Autor Oskar Morgenstern 1944. (Vgl. „John von

Neumann“. In: http://de.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann).

¹⁶ „Spiel (Spieltheorie)“. In: http://de.wikipedia.org/wiki/Spiel_(Spieltheorie).

¹⁷ Vgl. ebd.

¹⁸ Huizinga, Johan: Homo ludens. Vom Ursprung der Kultur im Spiegel (1938). Reinbek:

Rowohlt, 1991, S. 37; zitiert nach http://de.wikipedia.org/wiki/Spiel.

2. Warum sollten Spiele im Unterricht eingesetzt werden? 10

werden, hält man sie in den weiterführenden Schulen für abkömmlich und überflüssig.

Kinder lernen schon von klein auf im Spiel. Das beginnt schon bei den entwicklungspsychologischen Rollenspielen, beispielsweise dem „Vater-Mutter-Kind“- Spiel. Aus diesem Grund ist für sie der Begriff des Spiels im Gegensatz zum Begriff des Lernens nicht negativ belastet. Zudem werden im Spiel allgemeine Fähigkeiten erworben, die sowohl die fachliche wie auch soziale Kompetenz betreffen. Im Spiel lernen die Kinder aufeinander Rücksicht zu nehmen, sich an aufgestellte Regeln zu halten, mit den Mitspielern zu kommunizieren und ihnen ihr Vorgehen gegebenenfalls zu begründen. Keiner ist im Spiel nur auf sich gestellt, sondern es findet immer eine gemeinsame Auseinandersetzung statt, in der das Kind auch sein eigenes Agieren reflektieren muss. Kurz gesagt geht es um Teamfähigkeit, die im späteren (Berufs-) Leben eine immer größere Rolle einnimmt und deshalb frühzeitig eingeübt werden sollte. Dabei bietet das Spiel einen Schutzraum, in dem das Kind seine Fähigkeiten ausprobieren und einüben kann. Der Schüler lernt mit Fehlern umzugehen und sie konstruktiv zu nutzen: Fehler ziehen nicht

²⁰ Zitat von Johann Christoph Friedrich von Schiller (1759 - 1805),

http://www.aphorismen.de.

2. Warum sollten Spiele im Unterricht eingesetzt werden? 11

unweigerlich negative Konsequenzen nach sich. Im schlimmsten Fall verliert man zwar das Spiel, aber eben weil es nur ein Spiel ist, kann man von vorne anfangen und es wiederholen. Experimentieren ist ohne Angst vor Sanktionen möglich. Auch die Auswirkung auf die Persönlichkeitsentwicklung/ Psyche ist zu berücksichtigen. Verliert man ein Spiel, so hat dies nicht zwangsläufig mit den eigenen Fähigkeiten zu tun, sondern kann auch an der Struktur des Spiels liegen. Denn vielfach tritt in Spielen auch die Komponente des Zufalls auf, wie z. B. im Mensch-ärgere-dich-nicht durch das Würfeln.

In Fächern der Grundschule, wie z. B. dem Sport- oder Sachunterricht, haben Spiele wichtige Funktionen im Lernprozess der Schüler übernommen. Der Mathematikunterricht sollte hier keine Ausnahme bilden. Gerade das Spiel kann dazu verhelfen, die Schülerinnen und Schüler zum Unterricht zu motivieren und damit das Erreichen von Zielen des Faches zu unterstützen. Spiele erhöhen auch die Attraktivität des Faches, obwohl Mathematikunterricht in der Grundschule - im Gegensatz zu den weiterführenden Schulen - noch zu den Lieblingsfächern gehört. Im LBS Kinderbarometer NRW von 2000 - der letzte Bericht in dem auch nach Lieblingsfächern gefragt wurde - liegt Mathematik mit 22% auf Platz zwei bei Kindern im Alter von 9-14 Jahren (4. bis 7. Klasse). Bei den befragten Grundschülern ist es noch deutlicher: Der Prozentsatz liegt hier bei 28%. ²¹ Jedoch nimmt die Beliebtheit des Faches nach dem vierten Schuljahr rapide ab: in der siebten Klasse macht Mathematik als Lieblingsfach nur noch 18% aus. 22

²¹ Im LBS- Kinderbarometer NRW von 1998/ 1999 war sogar bei 34% der befragten

Viertklässler Mathematik das Lieblingsfach, welches damit auf der Rangliste Platz 1

belegte.

²² Vgl. LBS-Kinderbarometer NRW 1999/ 2000, S. 79.

2. Warum sollten Spiele im Unterricht eingesetzt werden? 12

2.2.2 Spiele im Mathematikunterricht

Spiele sollen als „[…] lohnenswerte Bereicherung im mathematischen Lernprozess verstanden werden“ ²³ . Sie sollten nicht unbedacht, sondern immer den Inhalten des Mathematikunterrichts und den angestrebten mathematischen Ziele entsprechend eingesetzt werden. So übernehmen sie verschiedene Funktionen, die Bobrowski und Forthaus beschreiben mit 1. Grundlagen schaffen 2. Fertigkeiten produktiv üben 3. Neues Entdecken und 4. Fähigkeiten erproben. 24

Fragestellungen zu wecken und zur Beschäftigung mit denselben zu motivieren. Das Spiel „fördert Freude an der Mathematik und eine positive Einstellung zum Mathematiklernen“ ²⁵ , wie es laut Lehrplan eine allgemeine Aufgabe des Mathematikunterrichts sein soll. Selbst in höheren Jahrgängen kann mit Spielen die Freude an der Mathematik wieder geweckt oder erhalten werden. Auch durch Spiele erleben Schülerinnen und Schüler die Freude beim Entdecken von Sachverhalten und Zusammenhängen.

Kinder brauchen grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, um darauf aufbauend weitere Erfahrungen und Einblicke erwerben zu können. Sie müssen versuchen bekannte Strukturen in neuen Situationen anzuwenden. Nur wenn sie ohne weiteres auf diese Grundlage zurückgreifen, d.h. ihr Wissen nutzbar machen können, sind sie in der Lage, zu neuen Erkenntnissen zu gelangen. Deshalb muss am Ende eines Lernprozesses immer die Automatisierung der grundlegenden Wissensbestände und Fähigkeiten angestrebt werden,

²³ Bobrowski, S./ Forthaus, R.: Lernspiele im Mathematikunterricht, S. 7.

²⁴ Ebd.

²⁵ Ministerium für Schule, Jugend und Kinder des Landes Nordrhein-Westfalen:

Richtlinien und Lehrpläne zur Erprobung für die Grundschule in NRW, S. 71.

2. Warum sollten Spiele im Unterricht eingesetzt werden? 13

die dann wiederum für weitere Lernprozesse zur Verfügung stehen. ²⁶ „Die Kernideen [...] und die dazugehörenden Inhalte werden im Unterricht nach dem Spiralprinzip immer wieder aufgegriffen und zunehmend umfassender behandelt.“ 27

So kann z. B. auch das Legespiel Tangram zunächst auf einem niedrigeren Niveau eingeführt werden, später kommen komplexere Aufgaben hinzu, die aber auf den schon erworbenen Kenntnissen aufbauen.

Das Tangram fördert z. B. geometrische Grundlagen wie das Erkennen und Benennen von Grundformen, ebene Figuren legen, zerlegen oder zusammensetzen zu können. Ausführlicher wird dies in Kapitel 6 behandelt.

Besonders für leistungsschwache Kinder bietet das Spiel ein breites Feld zum Üben von Fertigkeiten.

Ein Spiel kann immer wieder gespielt werden, es verliert selten seinen Reiz, da immer wieder andere Spielsituationen auftauchen, die es zu bewältigen gilt. Andererseits sind sie immer ähnlich und bieten so die Möglichkeit bereits erworbene Fertigkeiten (z. B. Strategien) anzuwenden oder einzubeziehen. So kann im Unterricht bereits erworbenes Wissen nachhaltig geübt und gesichert werden. Das Üben soll „[…] im Sinne einer produktiven Auseinandersetzung mit einem [...] Problem immanent geleistet werden“ ²⁸ und nicht als ein bloßes Anwenden von eingeübten Schemata erfolgen.

„Ein anderer Weg, Kenntnisse zu vertiefen und sicher beherrschen zu lassen, ist die Durchführung von Übungen, die auf eine Vertiefung der Einsicht in den Sinnzusammenhang abzielen.“ ²⁹ So kann die Vertiefung bei Legespielen in einer sorgfältigen Betrachtung und Untersuchung der

²⁶ Vgl. Wittmann, E. Ch.: Aktiv- entdeckendes und soziales Lernen im Rechenunterricht,

S. 20.

²⁷ Franke, M.: Didaktik der Geometrie, S. 26.

²⁸ Bobrowski, S./ Forthaus, R.: Lernspiele im Mathematikunterricht, S. 34.

²⁹ Radatz, H./ Schipper, W.: Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen,

S. 169.

2. Warum sollten Spiele im Unterricht eingesetzt werden? 14

Beziehungen zwischen den einzelnen Spielsteinen liegen, die z. B. in der Aufgabe eine bestimmte Figur zu legen, immanent geleistet wird.

Radatz und Schipper erläuterten in ihrem Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen, dass mit „[…] mathematischen Lernspielen […] in neue Inhalte des Mathematikunterrichts der Grundschule eingeführt werden“ ³⁰ kann.

Dabei können die Spiele als Einstieg dienen, mit denen die Schüler zur weiteren Auseinandersetzung mit dem Thema motiviert werden. Mit der Bereitschaft ein bisschen Einsatz zu zeigen, müssen die Schüler dabei in der Lage sein, die Aufgaben mit Überlegung und ein wenig Anstrengung zu lösen. Die Aufgaben sollten also von einem mittleren Schwierigkeitsgrad sein, so dass jeder Mitspieler die Möglichkeit hat, mit Erfolg am Spiel teilzunehmen, denn „zu schwere und zu leichte Anforderungen zerstören jeden Spielreiz“ ³¹ .

Haben sie aber einmal die Erfahrung gemacht, dass die Beschäftigung mit einem Problem zum Erfolg führt, werden sie vermutlich auch Mut zum Nachdenken haben, wenn der Lösungsweg nicht offensichtlich ist. Durch Spiele kann also eine positive Einstellung zur eigenen Leistungsfähigkeit gefördert werden.

Auch wenn Spiele meistens eine Vereinfachung eines bestimmten Sachverhalts darstellen, wird mit ihnen nicht nur ein bestimmtes Lernziel verfolgt. Sogar einfache Spiele bedürfen der Einbeziehung unterschiedlichster Fähigkeiten und Fertigkeiten. Neben „[…] inhaltlichen Aspekten spielen fast immer verschiedene geistige Grundtechniken und Fähigkeiten hinein“ ³² .

Es gibt relativ wenig empirische Untersuchungen zur Effektivität des Spiels. Die meisten beziehen sich nur auf die verschiedenen Typen von Spielern. Dabei hat man allerdings festgestellt, „[…] daß Kinder, die gerne

³⁰ Radatz, H./ Schipper, W.: Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen,

S. 172.

³¹ Ebd., S. 165.

³² Ebd., S. 177.

2. Warum sollten Spiele im Unterricht eingesetzt werden? 15

spielen, bei Kreativitätsaufgaben besser abschneiden als Kinder, die nicht so gerne spielen“ ³³ . Dies allein ist schon ein Grund, Spiele in den Mathematikunterricht mit einzubeziehen, da viele mathematikhaltige Probleme das Finden von Problemlösestrategien erfordern.

Auch wenn Spiele als Motivation dienen, sollte man ihren Einsatz im Unterricht zwar optimal ausnutzen, aber nicht übertreiben! Denn sowohl die „Inflation des Spielens“ ³⁴ , als auch jedwede unterrichtliche Aktivität als ‚Spiel’ zu bezeichnen, kann zu einem Überdruss führen.

„Wichtiger als jede Einführung, Erarbeitung und Übung in

Spielform umzusetzen, ist die schon erwähnte

„spielerische Atmosphäre“, in der auch die Arbeit Spaß

machen kann, wenn sie abwechslungsreich gestaltet

wird. Spiele sollten ein regelmäßiger, aber nicht

überstrapazierter Bestandteil des Mathematikunterrichts

sein.“ 35

Den Kindern ist durchaus bewusst, dass sie in die Schule gehen, um zu lernen und nicht, um zu spielen. Man kann ihnen das Lernen aber mit der Methode des Spiels erleichtern.

³³ Radatz, H./ Schipper, W.: Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen,

S. 166.

³⁴ Ebd., S. 172.

³⁵ Ebd., S. 172.

3. Parkettierungen 16

3. Parkettierungen

Um die Legespiele ausführlich vorstellen zu können, muss zuvor auf Parkettierungen eingegangen werden, da ein Kennzeichen von Legespielen deren parkettierfähige Spielsteine sind. ³⁶ Zunächst soll der Begriff der Parkettierung geklärt werden, um dann einen möglichen Einsatz der Parkettierungen im Unterricht der Grundschule zu skizzieren.

3.1 Begriffsbestimmung und parkettierfähige Formen

Eine einheitliche mathematische Definition des Begriffs „Parkettieren“ gibt es nicht. Grundsätzlich versteht man aber unter dem Begriff des Parkettierens „[…] eine lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der Ebene […]“ ³⁷ . Dabei finden sich die Unterschiede der verschiedenen Definitionen hauptsächlich in der Voraussetzung, mit wie vielen verschiedenen Formen eine Fläche parkettiert werden darf. Während Lauter Parkettierungen nur für deckungsgleiche Figuren definiert ³⁸ , können bei Besuden ³⁹ auch verschiedene Figuren zum Parkettieren einer Fläche verwendet werden, solange ein

wiederkehrendes Muster entsteht.

Ein weiteres Kennzeichen von Parkettierungen, welches in der Bedingung von Besuden schon anklingt, liegt in der Möglichkeit, das beim Auslegen der Fläche entstehende Muster an allen Rändern beliebig weit fortführen zu können.

Parkettierungen sind aber keine Erfindung der Mathematik, sondern kommen schon in der Natur vor. Ein sehr eindrückliches Beispiel sind die regelmäßigen sechseckigen Basaltsäulen an der Küste Nordirlands, die beim Abkühlen der heißen Basalt- Lava entstanden sind. ⁴⁰ Ein dem

³⁶ Vgl. Kapitel 4: Was sind Legespiele?, S. 24.

³⁷ „Parkettierungen“. In: http://de.wikipedia.org/wiki/Parkettierung.

³⁸ Vgl. Lauter, J.: Methodik der Grundschulmathematik, S. 195.

³⁹ Vgl. Besuden, H.: Thema: Winkelplättchen, 11.11.

⁴⁰ Vgl. Stobbe, M./ Grässle, W.: Parkettieren, S. 35.

3. Parkettierungen 17

Lebensraum eines Grundschulkindes näheres Beispiel dürften aber die ebenfalls aus regelmäßigen Sechsecken bestehenden Bienenwaben sein. Die in der Natur vorkommenden Parkettierungen wurden von den Menschen in verschiedenen Bereichen übernommen, so z. B. beim Pflastern von Plätzen oder Gehwegen, wie auch in der Kunst.

Die vielfältigsten Parkettierungen wurden von dem Niederländer Maurits Cornelis Escher in seinen Kunstwerken umgesetzt. Dass die Figur, mit der eine Fläche parkettiert wird, nicht nur eine einfache Grundform sein muss, sondern in ihrer Komplexität durchaus variieren kann, zeigt er sehr eindrucksvoll. Dabei findet man auch bei ihm Parkettierungen, die mit nur einer Form auskommen (Reptilien, Abb. 6),

aber auch solche, bei denen eine Fläche mit zwei oder ausgelegt (Symmetriezeichnung C), Abb. 2). Dies führt zu der Frage, welche Formen

überhaupt parkettierfähig sind. Bei der Beantwortung dieser Frage beschränke ich mich auf Vielecke, welche gradlinig begrenzt sind, da die Spielsteine der meisten Legespiele diese Gestalt haben. Krummlinig begrenzte Parkettierungsformen, wie M. C. Escher sie fast ausschließlich verwendet, und sie auch in vielen Bildpuzzles vorkommen, sollen nur am Rande betrachtet werden, da sie im Mathematikunterricht der Grundschule weniger Beachtung finden. Allerdings wird Escher im Mathematikbuch „Leonardo“ erwähnt, wenn auch seine Parkettierungen nicht in ihrer ganzen Komplexität behandelt werden. 41

Dabei soll es in diesem Fall nur um Parkettierungen gehen, bei der die gesamte Fläche mit kongruenten Formen ausgelegt wird. Bei Formen, mit denen dies nicht möglich ist, könnten die entstandenen Lücken mit einer weiteren Form gefüllt werden. Die Auslegung der Fläche wäre damit wieder lückenlos und es gäbe in der Parkettierung nur Doppelkonturen -

⁴¹ Vgl. Stein, M. u. a.: Leonardo 3, S. 60f.

3. Parkettierungen 18

also Konturen, die sowohl zu der einen, wie auch zu der anderen Parkettierungsform gehören. Diese Doppelkonturen stellen ein Kennzeichen der Parkettierung dar.

Das Dreieck ist unabhängig von seinen Winkeln grundsätzlich parkettierfähig. An der Stelle, an der die Dreiecke beim Parkettieren zusammenstoßen, dem sogenannten Knotenpunkt ⁴² , ist jeder der drei Innenwinkel zweimal vertreten. Da die Innenwinkelsumme des Dreiecks genau 180° beträgt, ist ein lückenloses Auslegen der Fläche möglich. Beim Parkettieren müssen dann die einzelnen Kantenlängen des Dreiecks berücksichtigt werden.

Ähnlich verhält es sich mit jedem

beliebigen Viereck. Jeder der vier Innenwinkel stößt genau einmal an einem Knotenpunkt (vgl. Abb. 3) zusammen, da die Innenwinkelsumme doppelt so groß wie in einem Dreieck ist.

Mit 360° ist deshalb jedes beliebige Viereck parkettierfähig. ⁴³ Eine

Aber schon das Fünfeck ist nicht mehr

bedingungslos parkettierfähig. Es gibt zwar beliebig viele Fünfecke, mit denen eine Fläche mit nur einer Form parkettiert werden kann, das „Fünfeck muß dann aber verschiedene Innenwinkel haben“ ⁴⁴ .

Hat es z. B. „2 rechte Winkel, 2 Winkel von 114,3°

⁴² Vgl. Hestermeyer, W. u. G.: Inhaltsberechnung ist mehr als eine Formel, S. 203.

⁴³ Vgl. ebd.

⁴⁴ Ebd.

3. Parkettierungen 19

und einen Winkel von 131,4° (zusammen 3 · 180°)“ ⁴⁵ , so lassen sich diese gleichseitigen Fünfecke so zusammenlegen, dass sich je drei (2 · 114,3°+ 1 · 131,4°) oder vier Winkel (4 · 90°) an einem Knotenpunkt zu 360° ergänzen.

Jeweils vier jener Fünfecke lassen sich zu einem Sechseck vereinigen. Das entstehende Muster enthält ein Zerrbild der Parkettierung mit einem regelmäßigen Sechseck.

Alle regelmäßigen konvexen Vielecke mit einer höheren Eckenanzahl (n) als sechs sind nicht parkettierfähig. Dies kann man mit Hilfe der Innenwinkelsumme beweisen.

Bezeichnet man die Winkel eines regelmäßigen Polygons mit α, so ergänzen sich diese Winkel im Knotenpunkt einer Parkettierung zu 360°. Nimmt man jetzt an, dass genau k Ecken in diesem Punkt aneinander liegen, so gilt k·α = 360°. Mit der Innenwinkelsumme eines Polygons kann man die Gleichung n·α = (n-2)180° aufstellen. Daraus ergibt sich die Gleichung 2n = k(n-2), die nur für n = 3, n = 4 und n = 6 lösbar ist. ⁴⁶ Nicht- konvexe Vielecke stellen aber z. B. die Polyominos dar. Die durch Zusammenfügung von Quadraten gleicher Größe entstandenen Formen sind ebenfalls parkettierfähig, was ja auch die Grundaufgabe bei den Polyominos ist. ⁴⁷ Dabei können isomorphe Polyomino- Steine oder aber auch - wie bei dem Legespiel - unterschiedlich gestaltete Spielsteine zur Parkettierung verwendet werden.

Krummlinig begrenzte Parkettierungsformen entstehen meist aus den oben erwähnten Formen mit Hilfe verschiedener Techniken, die die Parkettierfähigkeit der Form berücksichtigen und beibehalten.

Als Beispiel kann man hier wiederum die Reptilien von M. C. Escher heranziehen. In diesem Ausschnitt der Zeichnung kann man sehr gut erkennen, dass die Parkettierform der Echse aus einem regelmäßigen

⁴⁵ Hestermeyer, W. u. G.: Inhaltsberechnung ist mehr als eine Formel, S. 203.

⁴⁶ Vgl. Scheid, H.: Elemente der Geometrie, S. 39 u. 226.

⁴⁷ Vgl. Kapitel 4.2.2 Analytograme, S. 43.

3. Parkettierungen 20

Sechseck entstanden ist. Die in dieser

Parkettierform ausgesparten Stücke (Fuß, Schnauze, Schwanz) wurden an die entsprechenden Außenkanten des Sechsecks wieder angesetzt, so dass die entstehende Figur parkettierfähig bleibt. Das ursprüngliche Bienenwabenmuster ist in der Abbildung aber ebenfalls noch zu erkennen.

3.2 Einsatz von Parkettierungen im Unterricht

Parkettierungen ermöglichen einen intensiven Umgang mit

unterschiedlichen Flächenformen. Vor allem die geometrischen Grundformen wie das Dreieck, Rechteck und Quadrat werden mit ihren Eigenschaften (Kantenlängen, Winkeln, Symmetrien) beim Parkettieren „begriffen“. Parkettieren ist also eine gute Möglichkeit, geometrisches Wissen über diese Formen zu wiederholen und zu vertiefen. Beim Parkettieren müssen die Kinder die Eigenschaften ihrer Parkettierungsform beachten und können dadurch Erfahrungen mit der Deckungsgleichheit von Flächen machen, die eine Vorbereitung auf Kongruenzabbildungen in höheren Klassen darstellt. Durch den handelnden Umgang mit den Formen beim Parkettieren lassen sich aber nicht nur Erfahrungen zur Deckungsgleichheit von Figuren machen, sondern auch zur Symmetrie, da die Figuren beim Versuch der Flächenauslegung auch gedreht oder umgeklappt werden können. Den Kindern sollten dabei sowohl einfache als auch komplexere Formen zur Verfügung stehen. Durch das Verwenden einer einfachen Parkettierform wird gewährleistet, dass das Kind früher oder später ein Erfolgserlebnis hat und dadurch motiviert ist, weitere und auch schwierigere Formen auszuprobieren. Beim Auslegen einer Fläche mit komplexen Formen sind Fehler, also falsches Aneinanderlegen einer parkettierfähigen Form, so dass eine Fläche nicht mehr lückenlos ausgelegt werden kann, sehr viel wahrscheinlicher. Diese Fehlversuche

3. Parkettierungen 21

sollte man nicht nur nicht verhindern, sondern sogar versuchen sie zu ermöglichen, da gerade sie dafür sorgen, sich intensiv mit den Eigenschaften der Form auseinander zu setzen und die Regeln der Parkettierung zu verstehen. Auf diese Art wird „ein konstruktiver Umgang mit Fehlern und Schwierigkeiten“ ⁴⁸ ausgebildet, wie er im Lehrplan gefordert ist. Die Schülerinnen und Schüler erfahren, wie eine Fläche beschaffen sein muss und wie man sie bewegt, um eine Parkettierung zu erhalten.

Parkettierungen erfüllen damit eine Vielzahl der Aufgaben, die im Lehrplan für das Fach Mathematik formuliert sind. Das lückenlose Auslegen der Fläche „entwickelt einen verständigen Umgang mit Formen, Maßen, Lagebeziehungen und mit geometrischen Grundoperationen“ ⁴⁹ . Zudem ermöglichen sie erste Erfahrungen mit dem Winkelbegriff, auch wenn dieser in der Grundschule dabei nicht explizit geäußert wird, sondern in Formulierungen wie z. B. „ …,weil die Ecke spitzer ist“ oder „…, weil die Ecke nicht mehr da rein passt“ enthalten ist. Die Schüler und Schülerinnen sind durch das Parkettieren mit kongruenten Formen in der Lage, die verschiedenen Formen zu untersuchen, zu beschreiben, den Inhalt der Flächen miteinander in Beziehung zu setzen und mit Hilfe der Zerlegung oder Ergänzung zu vergleichen. Dabei stehen vor allem die Grundformen Rechteck, Quadrat und Dreieck im Mittelpunkt. 50

„Durch das Auslegen von Vielecken mit Plättchen und das […] Zerlegen von Vielecken in kongruente Teilvielecke lernt der Schüler, verschiedene Vielecke bezüglich ihres Flächeninhalts zu vergleichen.“ ⁵¹ Dieser Prozess dauert über die Grundschulzeit hinaus an und reicht bis ins 5. Schuljahr hinein. Im Lehrplan wird nicht nur das Handeln mit den Formen erwähnt, sondern auch ausdrücklich Wert auf das Herstellen dieser Formen gelegt. Dies geschieht in Form des Bauens, Modellierens (z. B. mit Ton) oderwie hier - des Legens.

⁴⁸ Ministerium für Schule, Jugend und Kinder des Landes Nordrhein-Westfalen:

Richtlinien und Lehrpläne zur Erprobung für die Grundschule in NRW, S. 72.

⁴⁹ Ebd., S. 71.

⁵⁰ Vgl. ebd., S. 80.

⁵¹ Holland, G.: Geometrie für Lehrer und Studenten, S. 121.

3. Parkettierungen 22

Die Parkettierungen tragen auch dem Spiralprinzip Rechnung. Unterrichtsgegenstand der Klassen 1 und 2 ist das Legen, Zerlegen, Zusammensetzen, Fortsetzen und Beschreiben ebener Figuren und Muster. In den Klassen 3 und 4 kommt das Umstrukturieren und Zeichnen derselben hinzu. Außerdem sollen Grundvorstellungen zum Flächeninhalt - in Form von Einheitsquadraten - und Umfang entwickelt werden. 52

Um die damit verbundenen Ziele zu erreichen, kann man in den ersten beiden Schuljahren mit einer oder mehreren einfachen Parkettierformen Schmuckbänder herstellen, welche eine schlichte Variante der Parkettierung darstellen.

Legt man diese Bänder aneinander, erhält man wieder eine Parkettierung im oben genannten Sinn. Eine mögliche Parkettierung ließe sich mit verschiedenfarbigen Quadraten erzielen. Auch

Parkettierungsformen, die sich aus Zerlegungen eines Quadrates ergeben (Abb. 7), wären denkbar. In den weiteren Klassen können die Formen und Parkettierungsmuster immer anspruchsvoller werden. Nicht mehr nur die Grundformen (bisher vor allem regelmäßige Vielecke), sondern auch zusammengesetzte Figuren sind als Parkettierungsform denkbar.

Ebenso bietet sich dieses Feld der Geometrie an, fächerübergreifenden Unterricht zu gestalten.

So kann man die im Mathematikunterricht gemachten Erfahrungen mit Parkettierungen im Kunstunterricht kreativ umsetzen. Mit Hilfe der Parkettierungen kann der Schüler eine Fläche mit schönen Mustern legen. Es lassen sich aber auch Parkettierungen entwerfen, die in ihrer Art denen von M. C. Escher ähneln. Die Parkettierformen können dann aus geometrischen Grundformen entwickelt werden. 53

⁵² Vgl. Ministerium für Schule, Jugend und Kinder des Landes Nordrhein-Westfalen:

Richtlinien und Lehrpläne zur Erprobung für die Grundschule in NRW, S. 80.

⁵³ Vgl. Kapitel 3.1 Begriffsbestimmung und parkettierfähige Formen, S. 16.

3. Parkettierungen 23

Auch im Laufe der ersten zwei Jahre der Grundschule können Parkettierungen im Kunstunterricht eingesetzt werden. Dabei lassen sich die Aufgabenstellungen durchaus differenzieren. So kann man z. B. aus buntem Papier die unterschiedlichsten Parkettierformen schneiden und zu einem schönen Muster aufkleben. Eine weitere Aufgabe wäre das Zeichnen von Parkettierung mit Hilfe von Schablonen. Hierbei, wie auch beim Abzeichnen von gelegten Mustern, bzw. Parkettierungen, kann der Umgang mit dem Lineal und weitere zeichnerische Fertigkeiten geübt werden, die als verbindliche Anforderungen nach der Grundschule ⁵⁴ an das Kind gestellt werden.

⁵⁴ Vgl. Ministerium für Schule, Jugend und Kinder des Landes Nordrhein-Westfalen:

Richtlinien und Lehrpläne zur Erprobung für die Grundschule in NRW, S. 84 ff.

4. Was sind Legespiele? 24

4. Was sind Legespiele?

Bei Legespielen, in der Fachsprache auch Legoide ⁵⁵ genannt, geht es darum, Teile gleicher oder unterschiedlicher Form nach einem vorgegebenen Schema zu Mustern, Formen oder Bildern zusammenzusetzen.

Das charakteristische Merkmal liegt also in der Vereinigung von Teilstücken zu einem Ganzen. Die Spielsteine müssen dabei die Eigenschaft haben, in der Ebene oder im Raum parkettierfähig zu sein.

Für Legespiele gilt der etwas weiter gefasste Parkettierbegriff, bei dem zum Auslegen einer Ebene auch mehrere Formen Verwendung finden dürfen. ⁵⁶ Jedoch ist der Begriff der Parkettierfähigkeit bei einigen Legespielen, insbesondere in der Ordnung der Tangramme, nur in eingeschränkter Weise zu verstehen. Die runden Tangramme, wie zum Beispiel Das Ei, Das Kreisrätsel, Die Acht oder Das gebrochene Herz lassen nur eine lückenlose Parkettierung ihrer Grundform (Ei, Kreis oder Herz), also einer Fläche und nicht der ganzen Ebene, zu. Dies liegt an den teilweise krummlinig begrenzten Flächen der einzelnen Teilstücke, dieum parkettierfähig sein zu können - ein Gegenstück besitzen müssten. Dies ist in den jeweiligen Legespielen jedoch nicht vorhanden. Diese Spiele werden aber trotzdem zu den Legespielen gerechnet, weil die Parkettierfähigkeit nur ein untergeordnetes Kennzeichen der Legespiele darstellt und von der Ebene auf eine bestimmte Fläche eingeschränkt wurde.

Sind alle Teilsstücke gelegt worden, ist das Legespiel beendet. Es werden also keine Züge einzelner Spielsteine vorgenommen, wie das bei anderen Spielen der Fall ist (z. B. bei Mühle ⁵⁷ ). In einer Beschreibung über

⁵⁵ Vgl. Koch, K.-H.: ...lege Spiele!, S. 229.

⁵⁶ Vgl. Kapitel 3.1 Begriffsbestimmung und parkettierfähige Formen, S. 16.

⁵⁷ Hier legen zwei Spieler nacheinander die Spielsteine ihrer Farbe auf dem Spielfeld ab.

Sind alle Steine gelegt, kann man bei jedem Zug die Anordnung seiner Spielsteine

verändern (also kein Legespiel). Ziel ist es durch geschicktes Legen drei Steine seiner

Farbe in einer Reihe liegen zu haben und seinem Gegenspieler dadurch Zug um Zug

alle Spielsteine abnehmen zu können.

4. Was sind Legespiele? 25

chinesische Rätselkästchen heißt es, „[...] das Vergnügen liege in der Suche nach dem Schatz, nicht im Finden.“ ⁵⁸ Ebenso verhält es sich mit den Legespielen: Das Legen selbst ist das eigentliche Spiel.

Karl- Heinz Koch klassifiziert die Legespiele in einem „Stammbaum der Spiele“ ⁵⁹ , wobei er die Legespiele als Spiele 1. Klasse in drei Ordnungen unterteilt: 1. Ordnung: Domino 2. Ordnung: Tangram 3. Ordnung: Puzzles

Seine Anthologie erhebt dabei keine Ansprüche auf Vollständigkeit, vielmehr versteht Koch sie als repräsentativen Querschnitt, wie es bei seiner Darstellung des Dominos zum Ausdruck kommt. ⁶⁰ Im Folgenden sollen diese drei Ordnungen der Legespiele erläutert, weiter differenziert und einige Vertreter dieser Untergliederungen vorgestellt werden. Dabei folge ich im Wesentlichen dem Aufbau, den Koch in seiner Anthologie der Legespiele verwendet, da er eine sehr ausführliche und systematische Gliederung entworfen hat.

4.1 Dominos

Das wichtigste Merkmal, welches Dominos von der Ordnung der Tangramme oder Puzzles unterscheidet, sind die Spielsteine. Abgesehen von ihrer Kennzeichnung mit Augen oder Farbe, sind die Spielsteine

⁵⁸ Wood, B.: Das Haus der Harmonie, S. 61.

⁵⁹ Koch, K.-H.: ...lege Spiele!, S. 225.

⁶⁰ Vgl. ebd., S. 15.

4. Was sind Legespiele? 26

identisch. Die Steine eines Spiels, genauer einer Art, haben alle die gleiche Form. Sofern man grundsätzlich eine Fläche mit ihnen parkettieren kann, können die Spielsteine innerhalb der Ordnung verschiedene Formen annehmen. So entstehen dann das Triomino, Quadromino etc.. Da die Dominos wahrscheinlich alle von dem Namensgeber dieser Ordnung abstammen, soll zunächst das ursprüngliche Dominospiel näher betrachtet werden.

4.1.1 Das Domino

Die Entstehung des Dominos ist nicht sicher zu belegen. Das bekannteste Domino ähnelt mit seinem Punktmuster dem zweier aneinander gelegter Würfel. Die Anzahl der sogenannten Augen auf den beiden quadratischen Feldern eines Steins durchläuft wie beim Spielwürfel die Zahlen eins bis sechs. Die „Null“, durch ein Blankofeld dargestellt, soll erst im 18. Jahrhundert hinzugefügt worden sein. 61

Ein Spielsatz besteht aus allen Kombinationsmöglichkeiten dieser sieben Zahlen und umfasst deshalb 28 Spielsteine. Heutzutage findet man auch Dominospiele mit den Zahlen von null bis neun. Diese Variation bietet den Vorteil, fast doppelt so viele Permutationen, also auch Spielsteine, zu beinhalten, wodurch auch die Anzahl der Mitspieler erhöht werden kann. Anders als Koch in seiner Anthologie der Legespiele schreibt, besteht dieses Domino nicht aus 52 Spielsteinen. ⁶² Wie die Abbildung 9 veranschaulicht, errechnet sich die Anzahl der Spielsteine aus der Summe n+(n-1)+(n-2)+...+2+1= n(n+1)

Bei einem Spiel mit Augenzahlen von null bis neun ist die Anzahl der Spielsteine also 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1= 10 (10+1) = 55. 2

Durch die systematische Darstellung der Dominosteine (s. Abb. 9) liegen alle Spielsteine mit gleicher Augenzahl auf beiden Feldern auf einer Diagonalen (in der Abbildung durch einen roten Balken gekennzeichnet).

⁶¹ Vgl. Koch, K.-H.: ...lege Spiele!, S. 12.

⁶² Vgl. ebd.