Limitsysteme  auf Basis des Value at Risk in Banken  

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis   II

Tabellenverzeichnis. III   

Abk  ürzungs- und Symbolverzeichnis  IV

1.  Einleitung  1

2.  Der Value-at-Risk  2

2.1  Definition und Aussage des VaR  2

2.2  Berechnung des VaR  4

3.  Limitsysteme in Banken.  5

3.1  Gestalt und Wirkungsweise von Limitsystemen  5

3.2  Gründe für die Einführung von Limitsystemen  6

3.3  Eignung des VaR für Limitsysteme  7

4.  Value-at-Risk Limitsysteme.  8

4.1  Zeitadjustierung der Limite  9

4.1.1  Die SQRT-Methode  9

4.1.2  Weitere Ansätze  10

4.2  Allokation des Gesamtlimits auf die Handelsbereiche.  11

4.2.1  Anforderungen an eine effiziente Risikokapitalallokation.  12

4.2.2  Allokationsmethoden.  13

4.2.2.1  Zentrale Optimierungsansätze  13

4.2.2.2  Optimierung durch Einführung eines Treasurers  17

4.2.2.3  Interner Markt für Risikokapital.  20

4.3  Variabilität der Limite  22

4.3.1  Starre Limite.  23

4.3.2  Verlustbegrenzungslimite.  25

4.3.3.  Dynamische Limite  26

4.3.4  Limitvergleich  27

4.3.5  Weitere Ansätze  30

5  Schlussbetrachtungen  31

Anhang   33

Literaturverzeichnis.   41

I

Limitsysteme  auf Basis des Value at Risk in Banken  

Abbildungsverzeichnis   

Abb.  1 Grafik zur Veranschaulichung des VaR  

Abb.  2 Verteilung des Tagesergebnisses ohne Treasurer  

Abb.  3 Verteilung des Tagesergebnisses mit Treasurer.  

Abb.  4 Verteilung der Jahresergebnisse bei Starrem Limit  

Abb.  5 Verteilung der Jahresergebnisse bei Verlustbegrenzungslimit  

Abb.  6 Verteilung der Jahresergebnisse bei Dynamischem Limit  

II

Limitsysteme auf Basis des Value at Risk in Banken

Tabellenverzeichnis

Tab. 1 Ergebnisse der Simulation mit und ohne Treasurer ...............................18 Tab. 2 Ergebnisse der Simulation für die Limitarten über 1000 Jahre .............27 Tab. 3: Mittelwerte und Standardabweichungen der Renditen auf Jahresbasis 33 Tab. 4: Korrelationsmatrix der Renditen...........................................................33

III

Limitsysteme auf Basis des Value at Risk in Banken

Abkürzungs- und Symbolverzeichnis

α Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung δ Delta einer Option μ Erwartungswert σ Standardabweichung ρ Korrelation BaKred Bundesaufsichtsamt für das Kreditwesen f Dichtefunktion H Haltedauer iid unabhängig identisch verteilt L(p) p-Fraktil der Standardnormaverteilung JL Jahreslimit MaH Mindestanforderungen an das Betreiben von Handelsbuchinstituten PF Portfolio R Korrelationsmatrix der einzelnen Händler RAPM Risikoadjustierte Performacekennzahl RORAC Return on Risk adjusted Capital RARoRAC Risk adjusted Return on Risk adjusted Capital Aktienkurs zum Zeitpunkt t S ^t T Gesamthaltedauer t Haltedauer von einem Tag TL Tageslimit VaR Value-at-Risk VL Vektor der VaR-Limite der einzelnen Händler VL i,t VaR-Limit des Händlers i im Zeitpunkt t ΔV t Marktwertänderung zum Zeitpunkt t w i Gewichtungsfaktor z α α-Quantil der Standardnormalverteilung

IV

Limitsysteme auf Basis des Value at Risk in Banken

1. Einleitung

In der Vergangenheit zeigten sich viele Beispiele, in denen ein ungenügendes Risikomanagement zu Finanzkrisen in Unternehmen wie Metallgesellschaft AG (1993), Baring’s (1995) ¹ etc. geführt hat. Vor diesem Hintergrund und aufgrund aktueller Entwicklungen wie die Liberalisierung der Finanzmärkte, Entwicklung von Finanzinnovationen und vor allem der

bankaufsichtsrechtlichen Neuregelungen werden höhere Anforderungen an das bankinterne Erfolgs- und Risikomanagement gestellt.

Sowohl der effiziente Einsatz von Risikokapital als auch die Limitierung von Risiken sind essenziell im Bankgeschäft. Dabei nimmt die Bedeutung des Value-at-Risk (VaR) als Risikomaß zu. Durch die kürzlich eingeführte bankaufsichtsrechtliche Anerkennung des VaR wurde seine breite Akzeptanz entscheidend gesteigert. Dies führte neben einer Anregung zur Messung der Risiken innerhalb der Banken auch zu einer Forderung nach Limitierung von Risiken durch den VaR. Vor allem der Handelsbereich innerhalb einer Bank ist hiervon betroffen.

Ein konsistentes Limitsystem auf Basis des VaR führt zu organisatorischer Vereinfachung und effizienteren Ergebnissen. Bisherige Limitsysteme durch Volumenbeschränkung der Positionen berücksichtigen das Risiko nur unzureichend, weswegen eine Weiterentwicklung den Einsatz des VaR als Basis für ein vorteilhaftes Limitsystem benötigt. 2

Trotzdem beschäftigt sich die Forschung hauptsächlich mit der Risikomessung und weniger mit der Risikosteuerung. Diese Arbeit soll den Einsatz von VaR Limitsystemen als Instrumenten der Risikosteuerung darstellen.

Ziel dieser Arbeit ist es, zu zeigen, welche Möglichkeiten bestehen, ein schlüssiges VaR-Limitsystem in Banken und dabei vor allem im Eigenhandelsbereich einzurichten. Dazu werden zunächst in Kapitel 2 die Konzeption und Berechnung des VaR dargestellt. Anschließend soll nach

¹ Vgl. Wilkens (2004) S.12.

² Vgl. Strassberger (2002), S.260.

1

Limitsysteme auf Basis des Value at Risk in Banken

einer Erläuterung über die Notwendigkeit und Wirkungsweise von Limitsystemen in Kapitel 4 auf eine genaue Zuteilung von VaR-Limiten für Handelseinheiten eingegangen werden. Hierzu werden an einem simulierten Beispiel die unterschiedlichen Möglichkeiten der Allokation von Risikokapital und deren Ergebnisse gezeigt. In der Literatur diskutierte mögliche Ausgestaltungen der zugeteilten Limite werden in einem letzten Schritt mit einem weiteren Simulationsbeispiel erörtert.

2. Der Value-at-Risk

Im Folgenden soll genauer auf den VaR als Instrument der Risikomessung und -steuerung eingegangen werden. Nach Darstellung des Aussagegehaltes soll kurz auf die Berechnung des VaR eingegangen werden.

2.1 Definition und Aussage des VaR

Der VaR zählt zu den Downside-Risikomaßen. Im Gegensatz zu Risikomaßen wie Standardabweichung, die auch positive Abweichungen in ihrer Berechnung mit einbeziehen, spiegelt der VaR nur Verlustgefahren in den festgelegten Betrachtungszeiträumen wider.

Der Begriff „Value-at-Risk“ wird im allgemeinen verstanden als die erwartete maximale negative Änderung des Marktwertes einer Position oder eines Portfolios in Geldeinheiten innerhalb eines festgelegten Zeitraums (Haltedauer H) aufgrund der Schwankung spezifischer Marktfaktoren bzw. Risikofaktoren. Dabei wird der VaR auf der Basis eines statistischen Modells für die Risikoparameter berechnet. Ein spezifiziertes Konfidenzniveau 1-α stellt sicher, dass der erwartete Verlustbetrag nur mit einer Wahrscheinlichkeit von α von den tatsächlichen Verlusten überschritten wird. 3

Ein VaR von z.B. 1 Mio EUR bei einem Konfidenzniveau von 1-α = 99% und einer Haltedauer von H=1 Tag bedeutet damit, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% der Verlust bis zum nächsten Tag unter 1 Mio EUR beträgt

³ Zur Definition des VaR vgl. Völker (2001), S.69; Dresel (2003), S. 23; Meyer (1999), S.12 f..

2

Limitsysteme auf Basis des Value at Risk in Banken

Der VaR stellt keinen Maximalverlust, sondern eine Verlustschranke dar. Daher sind nur erwartete und keine unerwarteten Verluste erfasst. 4

Die festgelegte Haltedauer H entspricht üblicherweise einem Zeitraum von einem Tag, kann aber durch Skalierung des VaR auch auf andere Haltedauern gesetzt werden (Siehe hierzu 4.1).

Der VaR entspricht dem α-Quantil der Dichtefunktion f der Marktwertänderungen ΔV t (bzw. der Ergebnisverteilung).

− VaR α − ¹ ∫ α Δ = ) ( t dx V f

∞ −

Abb. 1 Grafik zur Veranschaulichung des VaR 5

Die VaR Berechnung folgt dem „mark to market“ Prinzip, da durch ihn die potentiellen Änderungen des Marktwertes einer Position oder eines Portfolios dargestellt werden. Somit wird, unabhängig davon ob es sich um kurzfristige oder langfristige Anlagepositionen handelt, eine Risikomessung immer auf Grundlage aktueller Marktwerte durchgeführt. 6

⁴ Vgl. Dresel (2003), S. 24.

⁵ Eigene Darstellung: Verteilung der Renditen einer Position i.H.v. 1000 mit μ=7%, σ=24%.

⁶ Vgl. Völker (2001), S. 70.

3

Limitsysteme auf Basis des Value at Risk in Banken

2.2 Berechnung des VaR

Die Berechnung des VaR lässt sich auf drei Berechnungsmethoden zurückführen. Die in der Literatur im Zusammenhang mit Limitsystemen am Häufigsten angeführte Varianz-Kovarianz-Methode wird im Folgenden kurz vorgestellt.

Die Varianz-Kovarianz-Methode ist die einfachste und schnellste VaR-Berechnungsmöglichkeit. Als Prämissen dieses Modells unterstellt man eine iid-Normalverteilung der Renditen und eine konstante Zusammensetzung eines Portfolios während der Haltedauer, für die der VaR berechnet wird.

Durch Bildung der VaR-Formel aus der Verteilungsfunktion der Renditen ergibt sich für den VaR einer Einzelposition:

σ μ ⁷ ⋅ + ⋅ − = p L V VaR ) ) ( (

t t t T

L(p) ist dabei das Fraktil der Standardnormalverteilung, das dem Konfidenzniveau 1-p entspricht. Falls man den VaR für eine Shortposition berechnen will, wird L(p) durch L(1-p) ersetzt.

Eine Vereinfachung der Berechnung ergibt sich durch Setzen des Erwartungswertes gleich null. Dies bewirkt zwar eine Verzerrung des VaR, mögliche Schätzfehler bei der Bestimmung des Erwartungswertes der Rendite werden jedoch vermieden. Für kurze Haltedauern verursacht diese Vereinfachung keine großen Fehler, da die damit verbundenen erwarteten Renditen in der Regel nahe bei null liegen. Somit ergibt sich in diesem Fall der VaR als:

σ ⁸ ⋅ ⋅ − = p L V VaR ) (

t t t

Da bei der VaR-Berechnung für ein Portfolio Korrelationseffekte zwischen den einzelnen Positionen berücksichtigt werden müssen, ergibt sich für den Gesamt-VaR folgender Zusammenhang:

⁷ Vgl. Beeck/Johanning/Rudolph (1999), S.264.

⁸ Vgl. Dresel (2003), S.29.

4

Limitsysteme auf Basis des Value at Risk in Banken

Der VaR des Portfolios berechnet sich somit aus einer Kombination des transponierten VaR-Verktors der Kovarianzmatrix und des VaR-Vektors abzüglich der erwarteten Renditen. Wird μ=0 unterstellt, so gilt für VaR :

PF

= T VaR R VaR VaR

PF

Neben den Vorteilen der einfachen und schnellen Berechnung des VaR durch die Kovarianz-Methode, lassen sich auch Nachteile anführen. Die in diesem Modell behauptete Stationarität der Parameter Erwartungswert, Volatilität und Korrelationen kann in Extremsituationen nicht mehr eintreten. Außerdem schränkt sich die Eignung bei Einbeziehen von nicht-normalverteilten Renditen, wie z.B. bei Optionspositionen bzw. nicht-linearen Positionen, weiter ein.

Wie in 4.1 dargestellt liegt ein entscheidender Vorteil der Varianz-Kovarianz-Methode in der einfachen Skalierungsmöglichkeit auf verschiedene Haltedauern. Auf die Darstellung der beiden Simulationsmethoden soll daher nicht weiter eingegangen werden. 11

3. Limitsysteme in Banken

Limitsysteme werden in Banken als Instrument des passiven Risikomanagements eingesetzt um maximale Risiken zu begrenzen. In folgenden wollen wir kurz darauf eingehen, wie Limitsysteme ausgestaltet sind (Kapitel 3.1) und welche Gründe sich für ihre Einführung in Banken identifizieren lassen (Kapitel 3.2).

3.1 Gestalt und Wirkungsweise von Limitsystemen

Limitsysteme setzen den dezentraler Handlungsspielräumen

Entscheidungsträger Grenzen mit dem Ziel, das Gesamtrisiko der Bank auf ein bestimmtes zentral vorgegebenes Limit zu beschränken. Innerhalb des vorgegebenen Rahmens kann der Entscheidungsträger jedoch weiterhin

⁹ Vgl. Dresel (2003), S.30.

¹⁰ Vgl. Dresel (2003), S.30.

¹¹ Zu den Simulationsmethoden siehe z.B. Jendruschewitz (1997), S. 64-81; Rau-Bredow

(2001), S. 318f.; Völker(2001), S. 102-106.

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