Prozentrechnung - ein traditionsreiches Thema des Mathematikunterrichts

  Einleitung  2

Inhaltsverzeichnis

  Einleitung  3

1.  Die geschichtliche Entwicklung der Prozentrechnung  4

1.1  Die Entwicklung der Prozentrechnung  5

1.2  Die Entstehung des Symbols  7

2.  Die Grundlagen der Prozentrechnung  7

2.1  Definitionen und Grundbegriffe  8

2.2  Prozentangaben als Bruch- und Dezimalzahlen  13

2.3  Die Struktur von Prozentaufgaben  14

2.4  Die drei Grundaufgaben  18

2.4.1  Berechnung des Prozentwertes (Aufgabentyp I)  19

2.4.2  Berechnung des Grundwertes (Aufgabentyp II)  19

2.4.3  Berechnung des Prozentsatzes (Aufgabentyp III)  19

2.5  Was ist Prozent denn nun? Eine Begriffsbestimmung  21

2.5.1  Prozent als Zahl  21

2.5.2  Prozent als statistische Angabe oder Funktion  21

2.5.3  Prozent als intensive quantity  23

2.5.4  Prozent als Bruchteil oder Verhältnis  23

2.5.5  Zusammenfassung  25

3.  Die Behandlung der Prozentrechnung im Unterricht  25

3.1  Die Prozentrechnung in den Richtlinien  26

3.2  Verschiedene Behandlungsweisen der Prozentrechnung im Unterricht  28

3.2.1  Übliche Verfahren zur Behandlung der Prozentrechnung  28

3.2.2  Weitere Verfahren  35

3.2.3  Vergleich der Verfahren  38

4.  Schülerprobleme und Hilfsmittel  43

4.1  Studien zu Schülerproblemen  44

4.2  Hilfsmittel zur Prozentrechnung  50

4.2.1  Modelle und Visualisierungshilfen  50

4.2.2  Der Taschenrechner  55

5.  Die Prozentrechnung in Schulbüchern  59

6.  Schlussbemerkung  63

  Literaturverzeichnis  66

Einleitung 3

Einleitung

Die Prozentrechnung ist wohl eines der wichtigsten und alltagsrelevantesten Gebiete der Mathematik. In jeder Zeitung, in jeder Nachrichtensendung und sogar in der Alltagssprache werden Prozentangaben verwendet („Ich bin mir

100%ig sicher.“; „In diesem Geschäft bekomme ich Prozente“ etc.). Aufgrund dieser großen Bedeutung für das Alltagsleben nimmt die Prozentrechnung traditionell auch einen wichtigen Platz im Mathematikunterricht ein. Dennoch scheint sie eines der schwierigsten und unbeliebtesten mathematischen Themen nicht nur bei Schülern zu sein, sondern auch bei den Lehrern ¹ , die sie unterrichten (Parker/Leinhardt 1995:428). Anscheinend wird der Unterricht zur Prozentrechnung bzw. die von den Schülern (nicht) erbrachten Leistungen als so problematisch erachtet, dass „sich nur die besseren oder selbstbewußteren Lehrer“ (Meißner 1982:131) an Untersuchungen zur Prozentrechnung beteiligen, andererseits werden aber auch Aussagen gemacht wie „Die Prozentrechnung ist so einfach, da braucht man keine neue Methode...“ ² . Dass Schüler meist keine guten Resultate in der Prozentrechnung erzielen, hat bereits Anfang des letzten Jahrhunderts Anlass für Untersuchungen gegeben, die die Gründe für dieses Scheitern erhellen sollten. Wird die Prozentrechnung mittels inadäquater Methoden unterrichtet? Welche Fehler machen Schüler? Welche Auffassung von Prozent kommt dem Schüler in seinem Verständnis von Prozent am meisten entgegen und erleichtert eine befriedigende Einsicht? In jüngerer Zeit haben sich Didaktiker zudem die Frage gestellt, welche Hilfsmittel die Behandlung unterstützen und Schülern das Begreifen und Behalten der Prozentrechnung vereinfachen können. Doch trotz dieser langen Beschäftigung der Didaktiker mit der Prozentrechnung haben Schüler auch heutzutage noch Probleme auf diesem Gebiet. Es stellt sich die Frage, wie nach über 80 Jahren der Forschung in diesem Bereich anscheinend immer noch keine Schüler-angemessene Behandlungsweise der Prozentrechnung gefunden werden konnte. Wie im Folgenden deutlich wird, ist die Prozentrechnung ein sehr komplexes Konzept, das zwar als Anwendung eine äußerst bedeutende Rolle

¹ Zur Vereinfachung werden jeweils nur die männlichen Bezeichnungen angegeben; weibliche Personen sind hierbei natürlich inbegriffen.

² Teilnehmer einer Didaktik-Fachtagung, nach Meißner (1982: 130) zitiert.

1. Die geschichtliche Entwicklung der Prozentrechnung 4

spielt, mathematisch jedoch auch von Fachwissenschaftlern nicht eindeutig gefasst werden kann. Die Prozentrechnung kann auf vielfältigste Weise eingesetzt werden und erschwert wegen dieser großen Anzahl von Einsatzmöglichkeiten die Angabe einer präzisen Definition, welche alle Aspekte von Prozent genau erfasst.

Im Rahmen dieser Arbeit soll ein Überblick über die geschichtliche Entwicklung der Prozentrechnung, eine Begriffsbestimmung auf mathematischer Grundlage und als Schwerpunkt eine Einsicht in die didaktische Diskussion um die Prozentrechnung gegeben werden. Welche Behandlungsweisen von Prozent helfen Schülern in ihrem Aufbau des Begriffsverständnisses? Welche Methoden sind möglicherweise nicht Schülerangemessen? Lassen sich typische Schülerfehler klassifizieren und systematisch analysieren?

Auf dieser Grundlage werden schließlich Hilfsmittel zur Behandlung von Prozent untersucht sowie ein Schulbuchvergleich einiger Werke bezüglich der favorisierten Behandlungsweise durchgeführt.

1. Die geschichtliche Entwicklung der Prozentrechnung

Heutzutage beschreibt der Begriff „Prozent“ bzw. das Prozentsymbol „%“ ein komplexes Konzept, welches den relativen Vergleich verschiedener Mengen, gleich welcher Art, ermöglicht. Hierbei kann „%“ aufgefasst werden als Operator, welcher zwei Größen miteinander verknüpft (Kilian 1977: 68), als „Spezialfall der Bruchrechnung“ (Scherer 1996: 462), als „standardized ratio comparison that is often used to describe relative amounts of increase and decrease“ (Parker 1997: 406), als Funktion oder als Verständigungsmittel zur Beschreibung quantitativer Beziehungen (Breinlinger/Schlesinger 1983:

44). Die Prozentrechnung ermöglicht die Angabe von Zahlenverhältnissen, liefert also keine absoluten Zahlwerte, sondern abstrakte Vergleichsgrößen, die sich auf einen unter Umständen nicht genannten Referenzwert beziehen ³ . Durch diese Abstraktion kann die Prozentrechnung in verschiedensten

³ Bei der Angabe „6%“ muss zuerst deutlich gemacht werden, was die Referenzgröße und deren Einheit ist, bevor eine Aussage über die konkrete Zahl gemacht werden kann, auf die sich die Angabe „6%“ bezieht. Zusätzlich benötigt man noch die Information, ob es sich um einen Anteil von 6% handelt, oder um eine Vermehrung oder Verringerung einer Menge.

1. Die geschichtliche Entwicklung der Prozentrechnung 5

Gebieten eingesetzt werden: Im finanziellen Bereich bei der Angabe von Steuersätzen, Gewinnanteilen oder Zinsen, bei statistischen Angaben wie Wahl- oder Umfrageergebnissen, bei der Angabe von Wahrscheinlichkeiten oder bei Wachstums- und Zerfallsprozessen. Hierbei sind die Prozentangaben je nach Fragestellung auch größer als 100.

1.1 Die Entwicklung der Prozentrechnung

Die ältesten Wurzeln unserer heutigen Prozentrechnung liegen vermutlich bereits um 2100 v. Chr. in Babylon. Die Babylonier gaben Zinssätze in Form einfacher Brüche an. War der Zins beispielsweise 1/3 der geliehenen Menge (Geld, Getreide,...), so wurde die geliehene Menge in drei gleich große Teile geteilt. Zu zahlen war demnach die Menge Geld oder Getreide, die einem dieser drei Teile entsprach. Dieses Verfahren konnte mit anderem Nenner auch für größere Mengen angewendet werden (Parker/Leinhardt 1995:429). Hierbei handelte es sich um additive Verfahren, die nicht auf der Verhältnisrechnung beruhten, sondern lediglich auf der Äquivalenz von Mengen. Später tauchten in vielen kommerziellen Zentren Berechnungen von Zinsen und Zöllen auf, die sich auf den Nenner 100 bezogen, so z.B. in Indien ab 300 v. Chr. und in China ab 200 v. Chr. (Parker/Leinhardt 1995:431), sowie in babylonischen, ägyptischen und griechischen Gebieten, wie aus Schriftstücken hervorgeht (Tropfke 1980:530). Aus China stammt auch der Dreisatz (Rule of Three), eine Berechnungsformel für Proportionen mit drei gegebenen Größen: Multiply the fruit by the desire and divide by the measure. The result will be the fruit of the desire. (Boyer/ Merzbach 1979: 233). Diese Rechenregel ist gleichbedeutend mit folgender Aussage in unserer = ⇔ = ⋅ c b c a heutigen Schreibweise: x ,

a x b

wobei a „measure“, b „fruit“, c „desire“ und x „fruit of the desire“ entspricht. Die ungewöhnliche Formulierung rührt wohl daher, dass sich diese Rechenregel auf konkrete Güter, also Erträge oder Früchte, bezog und nicht in abstrakter Form dargestellt wurde.

Ab 500 n. Chr. existierte auch in Indien eine dem Dreisatz ähnliche kaufmännische Rechenvorschrift, die jedoch lediglich als „Rechentrick“ oder Vereinfachung verwendet wurde und keine Einsichten in die

1. Die geschichtliche Entwicklung der Prozentrechnung 6

Verhältnisrechnung bot. Diese Verbindung wurde vermutlich erst in der Renaissance gezogen, obwohl die Grundlagen dafür schon von den alten Griechen ab 300 v. Chr. durch deren algebraische und geometrische Einsichten in die Proportionalität gelegt worden waren (z.B. in Euklids „Elemente“). Die Dreierregel wurde wegen ihrer guten/effizienten Anwendbarkeit noch bis ins

19. Jahrhundert als hauptsächliche Grundlage der Berechnung von Zöllen oder Zinsen genutzt und wird auch heute noch in den Schulen bei der Behandlung der Schlussrechnung verwendet.

Ab dem 13. Jahrhundert wurden Zinsangaben im merkantilen Italien immer häufiger mit dem Nenner 100 notiert. Aus Italien stammt auch die Bezeichnung „Prozent“: Die früheste Aufzeichnung des italienischen „perceto“ (pro hundert) stammt aus dem Jahre 1481 (Smith 1925; nach Parker/Leinhardt 1995:432). Seit dem Anfang des 19. Jahrhunderts wurde Prozent erstmals auch außerhalb des kaufmännischen Bereiches verwendet, z.B. um Wahrscheinlichkeiten in der gerade entstehenden Statistik zu berechnen. Es war nun möglich, prozentuale Aussagen über Teile von beliebigen Größen zu machen, z.B. über den Anteil von Mädchen in einer Schulklasse oder den der Arbeitslosen unter den erwerbsfähigen Bürgern.

Zu bemerken ist, dass bis zu diesem Zeitpunkt der Prozentbegriff strikt auf ein Verständnis als eines Teils von einem Ganzen beschränkt war. Seit der Antike waren die Zinsen oder Zölle immer als Teil der geliehenen oder eingeführten Ware betrachtet worden. Der Zinssatz konnte demnach nie mehr als eben diese Menge betragen. Dem entspricht ein Verständnis von Prozent, bei dem der Prozentsatz nicht größer als 100 sein kann, eine Auffassung, die noch heutzutage bei vielen Schülern zu beobachten ist (vgl. Kap. 4). Nachdem im 19. Jahrhundert die Verwendung von Prozent nicht mehr auf den monetären Bereich beschränkt blieb, wurde auch die Möglichkeit der Anwendung als Vergleich zwischen unterschiedlichen Mengen geschaffen. Hierbei ist die Sicht von Prozent nicht mehr die eines Teils vom Ganzen, wie dies bei der Angabe z.B. der Frauenquote in der Arbeiterschaft der Fall ist. Vielmehr können Mengen, die nicht Teil voneinander sind, einander vergleichend gegenüber gestellt werden, etwa der Umsatz eines Geschäftes mit dem Umsatz einer Zweigstelle dieses Geschäftes oder mit dem Umsatz des

2. Die Grundlagen der Prozentrechnung 7

Vorjahres etc. Hieraus ist ersichtlich, dass nun auch Prozentwerte möglich sind, die mehr als 100 betragen. 4

Etwa ab 1860 hatte sich die Prozentrechnung zu der heutigen Form entwickelt (Parker/Leinhardt 1995:434).

1.2 Die Entstehung des % - Symbols

Das heute verwendete Prozentsymbol „%“ stammt - wie die moderne Prozentrechnung selbst - aus Italien.

Ursprünglich wurden Rechnungen und Rechenaufgaben nur durch Worte wiedergegeben und nicht in Symbolschreibweise verfasst. Im 17. Jahrhundert wurde in Italien der Ausdruck pro cento immer häufiger zu einem Wort verschmolzen und schließlich auch dekliniert. Procento wurde in Schriften abgekürzt durch p.c., p cento, p 100 oder pc°. In einer Symbolschreibweise hatte es handschriftlich in etwa die Form p. , die sich vermutlich im 18.

⁰ Jahrhundert aus drucktechnischen Gründen in p. 0 abwandelte. Später wurde

das vorangestellte p. auch ausgelassen. In der Mitte des 19. Jahrhunderts wurde der Bruchstrich - wie damals üblich - schräg gesetzt, sodass sich das noch heute gebräuchliche Prozentsymbol „%“ ergab (Tropfke 1980:531).

2. Die Grundlagen der Prozentrechnung

Die Prozentrechnung ist keine eigenständige mathematische Disziplin wie etwa die Bruchrechnung oder die Analysis. Vielmehr baut sie auf andere Teilbereiche der Mathematik auf, wodurch kein festgelegter Bereich als Grundlage der Prozentrechnung benennbar ist. Eine Einordnung stellt sich schwierig dar, und eine einheitliche Definition der Prozentrechnung existiert nicht; je nach Perspektive des Autors können Definitionen stark voneinander abweichen.

Hier soll dennoch der Versuch gemacht werden, den Begriff Prozent zu bestimmen: Sowohl der mathematische Hintergrund soll beleuchtet werden als auch mögliche Anwendungssituationen beschrieben werden.

⁴ Beispiel: Der Umsatz eines Geschäftes in diesem Jahr liegt bei 800 000 Euro, während er im Vorjahr 750 000 Euro betrug. Der aktuelle Umsatz beträgt daher ca. 106,7 % des Vorjahresumsatzes.

2. Die Grundlagen der Prozentrechnung 8

2.1 Definitionen und Grundbegriffe

Berger (1989) stellt fünf verschiedene Definitionen von Prozent oder Prozentrechnung vor, die jeweils von einem unterschiedlichen Ansatz ausgehen und verschiedene Schwerpunkte setzen. Es ergibt sich eine weite Fächerung von Ansätzen hinsichtlich der Sichtweise, des Abstraktionsgrades und der Formulierung, die Berger als „Definitionschaos“ (1989:10) beschreibt. Während einige Definitionen auf eine mathematisch möglichst korrekte Darstellung der Prozentrechnung bedacht zu sein scheinen, haben andere Autoren ihr Augenmerk auf den Anwendungsbezug gerichtet und definieren die Prozentrechnung in Anwendungssituationen und Sachzusammenhängen. Hier sollen die verschiedenen Beispiele noch einmal kurz miteinander verglichen werden:

1. Die Prozentrechnung ist ein

Rechenverfahren, mit dem die Änderungen a1 und a2 dadurch verglichen werden können, daß sie auf die gleiche Grundzahl 100 bezogen werden; aus a1 : 100 = Δa1 : p1 bzw. a2 : 100 = Δa2 : p2 erhält man p1 = Δa1 *

100/a1 bzw. p2 = Δa2 * 100/a2 und kann die relativen Änderungen p1 und p2 vergleichen. Man nennt ai den Grundwert, Δai den Prozentwert und pi den Prozentsatz (Gallert 1978; nach Berger 1989: 9).

Diese Definition beschränkt die Anwendung der Prozentrechnung auf den relativen Vergleich von Änderung von Größen mittels der Angabe von Verhältnissen. Die Prozentrechnung wird somit bereits in einer bestimmten Sachsituation definiert.

2. Bruchteile von Größen kann man am besten miteinander vergleichen, wenn sie durch Brüche mit gleichem Nenner gegeben sind. Wählt man als Nenner 100, dann sind die Bruchteile in Hundertstel gegeben. Man schreibt dann 1/100 = 1% (lies: 1 Prozent) und entsprechend p/100 (lies: p Prozent). (...) Man berechnet also p% von der Größe G nach folgender Formel: p/100 * G = W. Dabei heißt G Grundwert, p Prozentsatz, W Prozentwert (Bibliographisches Institut 1985; nach Berger 1989: 9).

Auch diese Definition beschränkt sich auf die Angabe von Prozent als Rechenverfahren zur Ermittlung einer Vergleichsgröße, jedoch nicht zum Vergleich von Änderungen, sondern zum relativen Vergleich zweier Größen miteinander. Der Autor leitet die Prozentrechnung von der Bruchrechnung ab,

2. Die Grundlagen der Prozentrechnung 9

da er die Prozentangabe als einen Spezialfall dieser ansieht: Eine Prozentangabe ist ein Bruch mit dem Nenner 100, die Zähler zweier oder mehrerer dieser Brüche können dann miteinander verglichen werden. Auch eine Formel für die konkrete Anwendung wird angegeben. Interessanterweise bietet der Autor die Formel mit dem Hinweis an, durch sie könne p% berechnet werden. Die Formel selbst ist jedoch nach W aufgelöst. Dieser scheinbare Widerspruch wird auch durch keine sprachliche Erläuterung des Zusammenhangs zwischen p% und W aufgelöst.

3. Die Grundbegriffe der Prozentrechnung sind:

Die „Grundproportion“ der Prozentrechnung lautet:

Prozentwert : Grundwert = Prozentsatz : 100 (Bibliographisches Institut 1972; nach Berger 1989: 9).

Diese Definition lässt klar den Anwendungsbezug erkennen. Sie erläutert die Begriffe Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert ausführlich und mit Angabe möglicher Benennungen. Allerdings ist ersichtlich, dass Prozentwerte, die größer sind als der Grundwert, nicht möglich sind, denn der Prozentwert wird definiert als „ein Teil des Ganzen, also des Grundwertes“. Die Auffassung eines Teils beinhaltet aber, dass der Prozentwert dann notwendigerweise kleiner sein muss als der Grundwert, der Prozentsatz also 100 nicht überschreiten darf.

4. Unter einem Prozent einer bestimmten Größe versteht man ihren hundertsten Teil oder ihr 0,01faches, entsprechend unter 5; 18; 73 ... Prozent 5/100; 18/100; 73/100 ... (das 0,05; 0,18; 0,73 ...fache) der Bezugsgröße (Schupp 1967; nach Berger 1989: 10).

Schupp verbindet hier die Prozentrechnung mit Bruch- und Dezimalzahlen. Auch er definiert die Angabe 1% als den hundertsten Teil einer Größe. Diese

2. Die Grundlagen der Prozentrechnung 10

Beziehung lässt sich sowohl als Prozentangabe ausdrücken (er führt allerdings nicht das Prozentsymbol „%“ ein) als auch als Bruch mit dem Nenner 100 oder als Dezimalzahl. Ein Anwendungsbezug wird nicht angegeben, die Definition ist damit allgemeiner als die bisher genannten. Dennoch wird der Leser auch hier dazu verleitet anzunehmen, die Prozentangabe müsse kleiner sein als 100 bzw. kleiner als die Bezugsgröße, da auch bei Schupp von einem „Teil“ einer Größe die Rede ist. Unter einem Teil kann jedoch nicht mehr als das Ganze verstanden werden. Die Formulierung „...faches“ deutet allerdings wiederum darauf hin, dass auch Prozentsätze größer als 100 möglich sind. Der Definition ist daher leider keine Definitionsmenge entnehmbar, der p% angehören kann. Es ist nicht ersichtlich, welche Auffassung von Prozent der Autor tatsächlich vertritt.

5. Wird eine Größe P mit einer (gleichartigen) Größe G gemessen und beträgt dabei die Maßzahl p Hundertstel, so sagt man dafür kürzer: P beträgt p Prozent (p %) von G (Meschkowski 1972; nach Berger 1989: 9).

Hierbei handelt es sich um die allgemeinste der angegebenen Definitionen. Die Prozentrechnung wird nicht auf eine bestimmte Anwendung beschränkt, und die Prozentangaben können auch größer als die Größe G werden. Meschkowski benennt jedoch die drei Grundbegriffe der Prozentrechnung nicht, er definiert allein die Bedeutung der Aussage „P beträgt p% von G“. Durch die Allgemeinheit der Definition ist sie im konkreten Gebrauch wenig nützlich, da sie keine Rechenanweisung gibt.

Die von Berger in einer „mehr oder weniger willkürlichen Auswahl“ (1989:10) getroffenen Beispiele zeigen die Uneinigkeit der Mathematiker auf diesem Gebiet, da die Prozentrechnung von verschiedenen Positionen her betrachtet werden kann. Zwar schließen sich einige der Sichtweisen und damit der in den Definitionen ausgedrückten Ansichten von Prozent gegenseitig aus, das bedeutet jedoch nicht, dass nicht jede einzelne Definition ihre Berechtigung hätte. Vielmehr beleuchten alle Definitionen einen Teilaspekt des Konzepts Prozentrechnung. Allgemein stellt die Prozentrechnung ein Verfahren dar, das zwei Größen durch Vergleich miteinander in Verbindung bringen kann (vgl. Kap. 2.5). Es werden in dieser Arbeit keine eigenen Definitionen der Prozentrechnung angeben, da, wie durch die Vielfalt der

2. Die Grundlagen der Prozentrechnung 11

verschiedenen bereits vorhandenen Definitionen gezeigt wurde, entweder eine bestimmte, einschränkende Sichtweise der Prozentrechnung eingenommen werden muss, oder die Definition so allgemein ausfallen wird, dass sie für die praktische Verwendung kaum noch hilfreich sein kann. Ich möchte jedoch die Begriffe Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert noch einmal ausführlicher erläutern als dies in den obigen Definitionen geschehen ist.

Wie bereits beschrieben, wurde die Verwendung der Prozentrechnung seit dem 19. Jahrhundert von reinen Anteilsberechnungen auch auf andere Gebiete ausgeweitet: Sie wird primär beim relativen Vergleich zweier Größen miteinander, ^- zurBeschreibung der Veränderung einer bestimmten Größe zu ^- unterschiedlichenZeitpunkten,

zur Gegenüberstellung von Veränderungen verschiedener Größen ^- oderauch

zur Angabe von Wahrscheinlichkeiten ^- angewendet.Bei all diesen verschiedenen Verwendungen liegt ein Vergleich vor. Eine Bezugsgröße dient als Ausgangswert für den Vergleich, eine andere Menge ⁵ wird auf diese bezogen. Dieser Ausgangswert heißt in der Prozentrechnung der Grundwert, der Vergleichswert der Prozentwert. Der Prozentsatz ist damit jene Zahl, die folgende Gleichung erfüllt: Prozentsat =

(1)

Grundwert 100

Das Verhältnis von Prozentwert zu Grundwert wird damit auf ein Verhältnis mit dem Nenner 100 übertragen. Durch die stete Verwendung von 100 als Nenner erhält man somit eine Vergleichsgröße, die zudem im Dezimalsystem sehr gut anwendbar ist. Wie in Definition 2 bemerkt wurde, kann nun für unterschiedliche Grundwerte das jeweilige Verhältnis zum Prozentwert relativ miteinander verglichen werden, indem das Verhältnis des Prozentsatzes zu 100 untersucht wird.

Beispiel: Die Steigerung der Jahresumsätze zweier Filialen einer Kaufhauskette soll miteinander verglichen werden. In Filiale A betrug der Vorjahresumsatz 350 000 Euro, der aktuelle Jahresumsatz 375 000

⁵ Ob dies nun in der Tat eine unterschiedliche Menge oder die gleiche Größe zu einem anderen Zeitpunkt ist, spielt keine Rolle.

2. Die Grundlagen der Prozentrechnung 12

Euro, während für Filiale B die Werte 260 000 Euro und 300 000 Euro

vorliegen. Filiale A: Grundwert = 350 000 Euro

Prozentwert = 375 000 Euro

p ≈ ⇔ = ³⁷⁵⁰⁰⁰ 107 p

100 350000

Der Umsatz des aktuellen Jahres entspricht damit etwa 107 Prozent des Vorjahres, das ist eine ungefähre Umsatzsteigerung von 7 Prozent. Filiale B: Grundwert = 260 000 Euro Prozentwert = 300 000 Euro p ≈ ⇔ = ³⁰⁰⁰⁰⁰ 115 p

100 260000

Der Jahresumsatz dieser Filiale liegt bei 115 Prozent des Vorjahres, also ist eine Umsatzsteigerung von ca. 15 Prozent zu verzeichnen. Der Vergleich dieser beiden Prozentangaben zeigt somit, dass Filiale B ein größeres Umsatzplus erwirtschaftet hat als Filiale A, was bei direktem Vergleich der angegebenen Zahlen nicht ohne Weiteres ersichtlich gewesen wäre.

Zum Verständnis der Bedeutung von Gleichung (1) ist es wichtig zu

verstehen, dass dem konkreten Wert des Grundwertes ein abstrakter Wert 100

gegenüber gestellt wird. Dadurch, dass alle verschiedenen Grundwerte jeweils

auf die gleiche Zahl 100 bezogen werden, können relative Vergleiche zwischen

den Verhältnissen von Prozentwert zu Grundwert gezogen werden. Diese

Übertragung der konkreten auf die relativen Werte sieht wie folgt aus: ≙ (2) Grundwert 100 % Prozentwert ≙ Prozentsatz

Als Bruch lässt sich dieses Verhältnis dann schreiben als:

(3)

Wird der Kehrwert der beiden Brüche gebildet, so erhält man wiederum

Formel (1), die damit auch inhaltlich hergeleitet ist. Die Formel für die

geläufigste Problemstellung, die Berechnung des Prozentwertes, lässt sich

damit durch Umformen erhalten:

⋅ (4) Grundwert

Für die Bruchschreibweise mit Nenner 100 wird allgemein üblich auch die

Schreibweise p% verwendet, wobei p der Prozentsatz ist. Abkürzungen für den

Grundwert sind G und für den Prozentwert W oder P. Damit ergibt sich zur

2. Die Grundlagen der Prozentrechnung 13

Berechnung des Prozentwertes bei gegebenem Grundwert und Prozentsatz folgende Formel in Kurzschreibweise: = ⋅ % W p G (5)

Aufgrund dieser Notation wird einsichtig, dass p% auch als Prozentoperator p (z.B. Hollmann verstanden werden kann, wobei p% gleichbedeutend ist mit 100

1975). Der Prozentoperator bildet dabei den Größenbereich des Grundwertes auf sich selbst ab. Hollmann (1975) propagiert daher auch im Unterricht die Operatorschreibweise, die diese Funktion von p% deutlich macht: G p ⎯ ^% ⎯→ (6) W

Ob dies eine geeignete Behandlungsweise der Prozentrechnung für Schüler sein kann, wird in Kapitel 3.2 erneut aufgegriffen und diskutiert.

2.2 Prozentangaben als Bruch- und Dezimalzahlen

Prozentangaben müssen in der modernen Prozentrechnung nicht mehr notwendigerweise mit dem Prozentsymbol % verknüpft sein. Sie lassen sich ebenso als Bruch oder als Dezimalzahl ausdrücken. Zu bemerken ist, dass bei diesen Schreibweisen nicht von vornherein ersichtlich ist, dass es sich um eine relative Angabe handelt, die erst durch einen Bezugswert Sinn erhält und wieder in eine absolute Zahl umgewandelt werden kann. Die Bruchschreibweise von Prozentangaben ist weithin geläufig. Zumindest

^{50 1} für einige häufig vorkommende Prozentzahlen, wie 50 % = 2 (= 100 ) oder 75 % = ^{75 3} = ) ( 100 , fällt es auch Schülern leicht, Prozentangaben in Bruchschreibweise

4

auszudrücken oder Bruchzahlen in Prozente umzuwandeln (z.B. Parker/Leinhardt 1995). Häufig wird der Zusammenhang zwischen Prozentangaben, Bruch- und Dezimalzahlen jedoch nicht verstanden. Tatsächlich handelt es sich bei Prozent-, Bruch- und Dezimalschreibweise um drei verschiedene Möglichkeiten der Darstellung einer Prozentangabe:

1. In Symbolschreibweise wird einer Dezimalzahl das Prozentzeichen „%“ angehängt. Die Dezimalzahl ist dabei der Prozentsatz p.

2. In der Notation als Bruch mit dem Nenner 100 ist der Zähler der Prozentsatz p. Ein beliebiger Bruch kann in eine Prozentangabe

2. Die Grundlagen der Prozentrechnung 14

verwandelt werden, indem man ihn zum Nenner 100 erweitert. Der erweiterte Zähler ist dann wiederum der Prozentsatz p.

3. Die Dezimalschreibweise stellt den mit 100 dividierten Prozentsatz p dar. Diese Darstellung ermöglicht einfaches Rechnen mit dem Taschenrechner, da keine Brüche oder das Prozentzeichen vorkommen. Breinlinger und Schlesinger (1983) sehen in Dezimalzahlen gar „ein universelles Mittel zur Erzeugung numerischer Lösungen“ und behaupten: „Wer routiniert rechnet, sieht in anderen Zahldarstellungen, im Bruch oder in der Prozentangabe, intuitiv die [...] Dezimalzahl“ (1983:44).

Wie bereits erwähnt, ist es jedoch bei den Darstellungen 2. und 3. problematisch, dass aus der Zahl selbst nicht ersichtlich ist, ob sie nun eine relative Prozentangabe ist oder eine konkrete Größenangabe. Verwechslungen können hier zu großen Fehlern führen, denn auch der Prozentsatz p kann ja sowohl als Dezimal- als auch als Bruchzahl dargestellt werden. So ist es (z.B. für den Geschäftsführer der im obigen Beispiel erwähnten Kaufhauskette) ein Unterschied, ob sich der Umsatz des Vorjahres um 50% gesteigert hat oder um = ⁵⁰ nur 5 , 0 (in diesem Fall vermutlich Euro).

100

2.3 Die Struktur von Prozentaufgaben

In welchen Kontexten kann nun welche Auffassung der Prozentrechnung Gültigkeit haben? Offensichtlich ist es ja nicht möglich, Prozent gleichzeitig als Bruchteil einer Größe (z.B. Definitionen 2 und 3) und dennoch als beliebiges Vielfaches (z.B. Definition 4) dieser Größe aufzufassen. Daher ist nicht jede Sichtweise von Prozent in jeder Anwendungssituation sinnvoll. Bei einem Prozentbegriff als Anteil einer Menge ist es beispielsweise nicht möglich zu bestimmen, wie viel Prozent der Grundmenge eine Vergleichsmenge beträgt, wenn diese Vergleichsmenge größer ist als die Grundmenge, wenn sie also nicht ein Bruchteil der ursprünglichen Menge darstellt.