INHALTSVERZEICHNIS

Inhaltsverzeichnis   II

Abk  ürzungsverzeichnis  III

Symbolverzeichnis   IV

Tabellenverzeichnis V   

1  Problemstellung  1

2  Die Methode der Data Envelopment Analysis  2

2.1  Produktionstheoretische Grundlagen  2

2.2  DEA als Verfahren zur Schätzung von Produktionsfunktionen  4

2.3  Unterschiede zu traditionellen Methoden  4

2.4  Das Basismodell vom Typ CCR  6

2.4.1  Die formale Darstellung  6

2.4.2  Ein erläuterndes Beispiel  8

2.5  Neuere Modelle und Methoden  10

3  Anwendung der DEA im Rahmen der Planungs- und Kostenrechnung  12

3.1  Einsatzmöglichkeiten in Benchmarking-Projekten  12

3.2  DEA als Tool zur Vereinfachung von Prozessanalysen  13

4  Kritische Würdigung der Data Envelopment Analysis  14

4.1  Vorteile der DEA  14

5  Fazit  15

6  Anlage 1: Herleitung des CCR-Grundmodells  16

7  Anlage 2: Outputorientierte Darstellung der DEA  18

8  Anlage 3: Rechenbeispiel  19

9  Anlage 4: Graphische Darstellung der DEA-Ergebnisse  22

10  Literaturverzeichnis  24

II

ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS

ADD additive Modelle Data Envelopment Analysis BCC Data Envelopment Analysis nach Banker, Charnes und Cooper BCC - I inputorientierte Data Envelopment Analysis nach Banker, Charnes und Cooper BCC - O outputorientierte Data Envelopment Analysis nach Banker, Charnes und Cooper bspw. beispielsweise CCR Data Envelopment Analysis nach Charnes, Cooper und Rhodes CCR - I inputorientierte Data Envelopment Analysis nach Charnes, Cooper und Rhodes CCR - O outputorientierte Data Envelopment Analysis nach Charnes, Cooper und Rhodes DEA Data Envelopment Analysis DMU Decision making unit Fn. Fußnote i.d.R. in der Regel

InvMult Data Envelopment Analysis mit unterstellter Cobb-Douglas-Produktionsfunktion m.E. meines Erachtens

VarMult Data Envelopment Analysis mit unterstellter logarithmischer Produktionsfunktion zit. zitiert

III

SYMBOLVERZEICHNIS

f 0 Inputeffizienzfaktor, Effizienzmaß g 0 gewichtete Summe der Input-Faktoren h 0 Grad der technische Effizienz, Produktivitätskennzahl i Laufindex des Inputs von 1, …, m I Input j Laufindex des Untersuchungsobjekts von 1, …, n O Output r Laufindex des Outputs von 1, …, s u Gewichtung des Outputs v Gewichtung des Inputs x 0 Wert des Inputs des gerade betrachteten Objekts 0 y 0 Wert des Outputs des gerade betrachteten Objekts 0 Outputeffizienzfaktor, Effizienzmaß Z0

λ Gewichtungsfaktor der j-ten Entscheidungseinheit j

µ Gewichtungsfaktor σ Grad der Skaleneffizienz

IV

TABELLENVERZEICHNIS   

Tabelle 1:  Ausgangslage im Beispiel.  7

Tabelle 2:  Lösungen des DEA-Algorithmus im 2-Input-1-Output-Fall  8

Tabelle 3:  Einordnung von DEA-Modellen.  10

Tabelle 4:  Ausgangslage im Beispiel.  17

Tabelle 5:  Lösungen des DEA-Algorithmus im 1-Input-1-Output-Fall  18

Tabelle 6:  Normierte Faktoreinsätze und -erträge.  19

V

1 PROBLEMSTELLUNG

Die Erfolgsmessung von Unternehmen stellt ein wesentliches Problem der betriebswirtschaftlichen Forschung und Praxis dar. Aufgrund von Unsicherheiten bezüglich der relevanten und objektiv bestimmbaren Erfolgsindikatoren, lassen sich allgemeine Verfahrensweisen relativ schwierig rechtfertigen. Häufig wird zwischen finanziellen und operativen Erfolgsaspekten differenziert. Erstere sind dabei i.d.R. mit einer Reihe von Problemen belastet, beispielsweise verursacht durch Bilanzierungswahlrechte und Unterschiede in nationaler Rechnungslegung. Aufgrund dessen ist es nicht möglich, allein aus einer finanziellen Erfolgsbetrachtung auf eine entsprechende interne produktionswirtschaftliche Effizienz zu schließen. Noch problematischer diesbezüglich sind öffentliche Organisationen, deren erbrachte Leistung gerade nicht durch monetäre Größen adäquat abgebildet werden kann. In Bezug auf die interne Planung und Kontrolle ist eine Erfolgsmessung jedoch unabdingbar. Diese erfolgte in der Vergangenheit häufig mittels spezieller Kennzahlensysteme. Allerdings garantieren eine Vielzahl gewonnener Kennzahlen nicht automatisch Zusatzinformationen. Dafür bedarf es gewöhnlich der Komprimierung der Einzeldaten zu aussagefähigen Spitzenkennzahlen. 1

Mit der in den siebziger Jahren entwickelten Data Envelopment Analysis (DEA) ² entstand ein Verfahren, welches die Effizienzbestimmung verschiedener Entscheidungseinheiten anhand von monetären und nicht-monetären Faktoren ermöglicht. Dies führte dazu, dass sowohl realwirtschaftliche als auch finanzielle Effizienzbestimmungen zwischen verschiedenen Organisationseinheiten ³ durchgeführt und in einer einzigen Kennzahl ausgedrückt werden konnten.

Ziel dieser Seminararbeit ist es, zunächst die Methode der DEA und wesentliche produktionsökonomischen Grundlagen ausführlich darzustellen. Unter Zuhilfenahme mehrerer Beispiele soll dabei die komplexe mathematische Formulierung der DEA anschaulicher vorgestellt werden.

¹ Vgl. Werner/Brokemper (1996), S. 164.

² Die in Deutschland noch weitgehend unbekannte Methode wurde erstmals 1978 öffentlich diskutiert.

Vgl. Charnes/Cooper/Rhodes (1978), S. 429-444.

³ Synonym werden in dieser Arbeit die Begriffe Organisationseinheiten, Untersuchungsobjekte und

Wirtschaftseinheiten sowie der in der Literatur häufig verwendete Begriff der „Decision making

units“, kurz „DMU’s“ benutzt. Vgl. dazu Charnes/Cooper/Rhodes (1978), S. 429.

1

Danach wird die Anwendbarkeit der DEA im Rahmen von Planungs- und Kostenrechnungen beurteilt bevor abschließend eine kritische Würdigung der dargestellten Form der Effizienzanalyse ⁴ erfolgt.

2 DIE METHODE DER DATA ENVELOPMENT ANALYSIS

2.1 Produktionstheoretische Grundlagen

Der Effizienzbegriff, welcher der DEA zugrunde liegt, stammt aus der Produktionstheorie und beruht auf dem ökonomischen Prinzip. Demnach bestimmt ein Effizienzmaß wie viel Input, das heißt Mitteleinsatz, notwendig ist, um eine bestimmte Menge Output zu erreichen, beziehungsweise wie viel Output aus einer bestimmten Menge Input erzielt werden kann. ⁵ Die Effizienz lässt sich dabei in zwei Bereiche unterteilen: 6

Die technische Effizienz (h 0 ) misst bei einem vorgegebenen Output die Relation von eingesetzten Mitteln und dem effizienten Produktionsinput. Damit lässt die technische Effizienz Aussagen darüber zu, ob die besten bekannten Verfahren im Produktionsprozess eingesetzt wurden.

Die Skaleneffizienz (σ ) hingegen gibt an, ob durch Veränderungen des Produktionsvolumens positive oder negative Skaleneffekte zu erwarten sind. Voraussetzung dafür, dass Skalenineffizienzen überhaupt auftreten können, sind Produktionsfunktionen mit nicht konstanten Skalenerträgen.

Abbildung 1 zeigt diese Zusammenhänge für den Ein-Input- und Ein-Outputfall. Die Gerade a beschreibt eine effiziente Produktionsfunktion ⁷ mit konstanten Skalenerträgen.

⁴ Statt der deutschen Bezeichnung Effizienzanalyse findet man im internationalen Sprachgebrauch auch

häufig den Begriff „Performance Measurement“. Siehe dazu Gleich (1997), S. 114-117.

⁵ Vgl. Meyer/Wohlmannstetter (1985), S. 262.

⁶ Vgl. Canter/Hanusch (1998), S. 229-230.

⁷ Eine Produktionsfunktion stellt den maximal erreichbaren Output bei gegebenem und so effizient wie

möglich eingesetzten Input dar. Vgl. Schefczyk (1996), S.168.

2

Output

T

Abbildung 1: Effizienzmaße

zienzwert h 0 von E beträgt 0,8. Dies besagt, dass die effizientere Vergleichseinheit D mit lediglich 80% des Materialeinsatzes gegenüber Einheit E auskommt und dabei dennoch dieselbe Menge an Output liefert.

Neben dieser technischen Ineffizienz treten noch Skalenineffizienzen auf. Zur Bestimmung dieser ist die Distanz zwischen der Technologie bei konstanten Skalenerträgen (Gerade a) und der Technologie mit variablen Skalenerträgen (Produktionsfunktion b oder c) ausschlaggebend. Für die Funktion b ergibt sich die Skaleneffizienz beispielsweise wie folgt: σ = TF / TD . 10

Es wird deutlich, dass bisher gewisse Kenntnisse oder zumindest Annahmen über die vorhandene Produktionsfunktion vorhanden sein mussten, um eine Effizienzanalyse durchzuführen. ¹¹ Ansätze, bei denen a priori ein Zusammenhang zwischen Inputs und Outputs angenommen wird, bezeichnet man auch als parametrisch. Zu schätzen sind dabei lediglich die Parameter der Funktion. ¹² Daneben gibt es jedoch auch nicht-parametrische Modelle, die ohne a-priori-Annahmen zur Produktionsfunktion auskommen. Die DEA ist ein solches nicht-parametrisches Verfahren, verbunden mit einem linearen Programmierungsmodell. 13

⁸ Zur ausführlichen Darstellung der Skalenertragsproblematik siehe Scheel (2000), S. 41-45.

⁹ Die relative Effizienz ist von der absoluten Effizienz zu unterscheiden. Da letztere i.d.R. nicht be-

stimmbar ist, wird im Folgenden nur noch die relative Effizienz beschrieben.

¹⁰ Mit Änderungen entnommen aus: Padberg/Werner (2005), S. 333.

¹¹ Vgl. Dyckhoff/Allen (1999), S. 415.

¹² Vgl. Scheel (2000), S. 50.

¹³ Siehe Jung (2002), S. 46.

3

2.2 DEA als Verfahren zur Schätzung von Produktionsfunktionen

Wird nicht lediglich der Fall von einem Input und einem Output, sondern eine Vielzahl von Ausbringungsmengen und Faktoreinsätzen betrachtet, erschwert sich die Feststellung von effizienten und ineffizienten Untersuchungsobjekten. Der Vorteil der DEA besteht nun gerade in der problemlosen Berücksichtigung mehrerer, auch unterschiedlich skalierter Daten. 14

Aus dieser Vielzahl von ex post beobachteten Daten vergleichbarer Wirtschaftseinheiten wird eine Referenzfunktion bestimmt, die aus denjenigen Untersuchungsobjekten besteht, die eine maximale Effizienz in Relation zu allen anderen untersuchten Objekten aufweisen. Diese Referenzfunktion stellt den effizienten Rand ¹⁵ dar, die alle ineffizienten Einheiten umhüllt. ¹⁶ Die Effizienzen der Organisationseinheiten werden also nicht absolut, sondern immer relativ im Vergleich zu den besten Einheiten bestimmt. Dadurch wird eine Quantifizierung des Grades der Ineffizienz ermöglicht. ¹⁷ Alle Organisationseinheiten, die sich auf der „best-practice“-Funktion befinden, erreichen ein gegebenes Outputniveau mit dem vergleichsweise niedrigsten Faktoreinsatzniveau bzw. das höchste Outputniveau bei gegebenem Inputniveau und tragen demzufolge den Effizienzfaktor h 0 = 1 bzw. 100%.

2.3 Unterschiede zu traditionellen Methoden

Die zentrale Besonderheit der DEA liegt darin, dass der effiziente Rand ausschließlich auf Basis realer Beobachtungen gebildet wird. Auf diese Weise wird nicht ein theoretisch möglicher Optimalpunkt, sondern die am Markt und in anderen öffentlichen Sektoren oder auch in anderen Standorten realisierte Maximalperformance als Referenzmaßstab vorgegeben. Es erfolgt

¹⁴ Vgl. Schefczyk/Gerpott (1995), S. 336.

¹⁵ Dieser effiziente Rand wird in der Literatur auch häufig als „best-practice“-Produktionsfunktion be-

zeichnet. Vgl. dazu Schefczyk/Gerpott (1994), S. 939.

¹⁶ Vgl. Jung (2002), S. 46.

¹⁷ Im Abschnitt 2.1 konnte die technische Effizienz noch graphisch abgelesen werden. Im Fall von mehr

als 3 Dimensionen ist das hier nicht mehr möglich. Es erfolgt die Ermittlung der Effizienzen aller-

dings weiterhin auf Basis der Entfernungen zwischen effizienten Rand und ineffizienten Untersu-

chungsobjekten.

4

demzufolge keine schwer objektivierbare a-priori-Schätzung einer Produktionsfunktion, ¹⁸ wie dies bei parametrischen Verfahren der Effizienzbewertung der Fall ist. Darüber hinaus gehen die beobachteten Daten mit ihren absoluten Werten in die Effizienzberechnung ein. Bei Anwendung von Regressionsverfahren auf die beobachteten Daten kommt es dagegen zur Bildung einer Durchschnittsproduktionsfunktion. Abweichungen von diesem Durchschnitt werden demnach als zufällig und temporär aufgefasst und lassen keine eindeutigen Effizienzinterpretationen zu. ¹⁹ Dieser Sachverhalt wird durch die folgende Abbildung verdeutlicht.

Abb. 2: Ermittelte Produktionsfunktionen nach DEA und Regressionsverfahren 20

Ein weiterer Unterschied der DEA zu traditionellen Methoden besteht in der impliziten Berechnung von Input- und Outputgewichtungsfaktoren. Die Data Envelopment Analysis umgeht die Gewichtungsproblematik, indem für jedes zu beurteilende Untersuchungsobjekt eine individuelle Gewichtung zur Errechnung der Gesamteffizienz (h 0 ) errechnet wird. Damit wird berücksichtigt, dass es aufgrund der Vielzahl von vorhandenen In- und Outputs auch mehrere Wege gibt, effizient zu sein. Im Basismodell vom Typ CCR ²¹ hat das beispielsweise zur Folge, dass jede Organisationseinheit einen Effizienzwert von h 0 = 1 zugewiesen bekommt, wenn es in mindestens einer Leistungsdimension (ein bestimmter Output/bestimmten Input) besser oder zumindest gleichwertig gegenüber allen Vergleichseinheiten ist. ²² Aufgrund der systemimmanenten Priorisierung der einzelnen Gewichtungsfaktoren werden schwächere Leistungsdimensionen wenig bis gar nicht, bessere Output-Inputverhältnisse dagegen stärker bewertet, so dass für jede Organisationseinheit der maximale Effizienzwert errechnet wird. Damit verbunden

¹⁸ Insbesondere ist eine Schätzung der funktionalen Fakoreinsatz- und Faktorertragzusammenhänge in

den Fällen schwierig, in denen auf keine vorhandenen und gesicherten Studien und Erfahrungen zu-

rückgegriffen werden kann. Siehe hierzu Schefczyk (1996), S. 168.

¹⁹ Vgl. Canter/Hanusch (1998), S. 229.

²⁰ Mit Änderungen übernommen aus: Howard/Miller (1993), S. 884.

²¹ Siehe dazu Kapitel 2.4.

²² Zu den Ausführungen dieses Absatzes vgl. Werner/Brokemper (1996), S. 165.

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ergeben sich für jedes ineffiziente Untersuchungsobjekt Rückschlüsse auf die vorbildlichen Referenzeinheiten, die am besten mit der Struktur und den Eigenschaften, dass heißt mit den Stärken und Schwächen des ineffizienten Objektes vergleichbar sind. Dadurch wird eine faire und realistische Bewertung gesichert. 23

Zugleich kann mittels DEA ein weiteres Problem gelöst werden, nämlich die Zusammenfassung verschiedener Erfolgskriterien auf eine einzige Dimension, die Effizienzkennzahl h 0 . Dadurch wird, im Gegensatz zu vielen anderen Effizienzanalysen ²⁴ , eine unüberschaubare Anzahl von Einzelkennziffern vermieden. Dies hat zur Folge, dass eine Gesamtaussage sowie ein schnellerer Vergleich zwischen den untersuchten Objekten ermöglicht werden. 25

2.4 Das Basismodell vom Typ CCR

2.4.1 Die formale Darstellung

Das folgende mathematische Modell stellt, chronologisch betrachtet, die erste Variante der DEA-Modellfamilie dar, die 1978 publiziert wurde. ²⁶ Benannt wurde diese Ursprungsvariante nach ihren Erfindern Charnes, Cooper und Rhodes, wodurch man auch vom CCR-Modell spricht. Alle weiteren Modelle sind von diesem „Urtyp“ abgeleitet. 27

Das ursprüngliche Modell bezieht sich auf den mehrdimensionalen Fall für m nicht-negative Inputs x i und s nicht-negative Outputs y r . Wesentlich für dieses Modell sind die folgenden vier Annahmen:

für die jeweiligen Produktionstechnologien aller Untersuchungseinheiten liegen konstante Skalenerträge vor,

es gilt das Ineffizienzpostulat, dass heißt eine Erhöhung des Inputs darf keine Verringerung des Outputs (und umgekehrt) bewirken,

die zugrunde liegende Produktionsfunktion ist eine konvexe Funktion,

²³ Vgl. Schefczyk/Gerpott (1995), S. 337-338.

²⁴ Einen Überblick über wesentliche Performance Measurement-Konzepte liefert Gleich (2002),

S. 449, Abb. 1.

²⁵ Weibler/Lucht (2003), S. 230.

²⁶ Vgl. Charnes/Cooper/Rhodes (1978), S. 430-435.

²⁷ Zu den Weiterentwicklungen siehe das folgende Kapitel 2.5.

6

die durch die effiziente Randfunktion umschlossene konvexe Menge an Produktionsmöglichkeiten enthält alle Input-Output-Kombinationen. 28

Ausgangspunkt der DEA-Methode ist die Produktivitätskennzahl (h 0 ) , die sich aus den gewichteten Verhältnissen von Outputs (y r ) zu Inputs (x i ) ergibt. Deren Gewichtungen (v i und u r ) sind zunächst unbekannt. Sie ergeben sich jedoch, indem man h 0 maximiert. Die Produktivitätskennzahl einer Untersuchungseinheit j = 0 kann nur Werte im Intervall (0;1] annehmen. Beträgt h 0 = 1, so heißt dies, dass die optimalen Gewichtungsfaktoren (v i und u r ) für alle In- und Outputs einer Untersuchungseinheit gefunden wurden. Jede andere Gewichtung führt zu einer geringeren Produktivität in der Untersuchungseinheit. Wie hoch diese Produktivität im Vergleich zu anderen Entscheidungseinheiten ist wird durch diese Formulierung allerdings noch nicht ganz deutlich.

unter den Nebenbedingungen:

mit: u r , v i ; r = 1, …, s; i = 1, …, m. ≥ 0

Da linear arithmetische Aggregationsfunktionen für die Inputs und Outputs verwandt werden, handelt es sich hier um ein Problem der linearen Quotientenprogrammierung. Dieses lässt sich allerdings in ein leichter lösbares lineares Programm transformieren. Dessen Endergebnisse liefern dann alle benötigten Informationen zur Beurteilung der einzelnen Untersuchungseinheiten, Effizienzparameter und Referenzobjekte. 29

²⁸ Zu diesen Annahmen siehe Schefczyk/Gerpott (1994), S. 941.

²⁹ Eine detailliertere Darstellung der notwendigen mathematischen Schritte erfolgt in Anlage 1.

7

Da das finale Modell ³⁰ die Outputseite als konstant betrachtet und die Effizienz anhand der dazu benötigten Inputs errechnet, bezeichnet man es auch als inputorientiert. Die Effizienz kann nach dieser Auffassung bei einem Effizienzwert f 0 < 1 dadurch auf eins gesteigert werden, dass statt dem bisher verwendeten Input x i0 eben nur noch f 0 ·x i0 Input eingesetzt wird. ³¹ Daher bezeichnet man f 0 auch als Inputeffizienzfaktor. Zu betonen ist, dass die Inputreduzierung bei allen Inputarten der Entscheidungseinheit gleichermaßen proportional um den Faktor f 0 zu erfolgen hat.

Neben dieser inputorientierten existieren noch die outputoriente Sichtweise sowie sogenannte unorientierte Modelle, die sich sowohl auf die Input-Minimierung als auch auf die Outputmaximierung konzentrieren. 32

2.4.2 Ein erläuterndes Beispiel

Es sein angenommen, ein mittelständiges Unternehmen oder eine öffentliche Verwaltung hat acht Standorte (j = 8), die jeweils zwei verschiedene Inputs (x 1 und x 2 ) zur Generierung einer Outputleistung (y) benötigen. Faktoreinsatz und -ertrag fallen zwar in den verschiedenen Objekten in unterschiedlicher Höhe an, sind aber homogen und damit untereinander vergleichbar. Diese acht Standorte sollen nun mittels DEA unter Effizienzgesichtspunkten verglichen werden. Die Ausgangslage stellt sich wie folgt dar:

Es ist erkennbar, dass bereits im 2-Input-1-Output-Fall ohne weitere Hilfsmittel keine Aussagen über die effizientesten Entscheidungseinheiten getroffen werden können. Mit Hilfe der formalen Herleitung ist es möglich, die Effizienzwerte der Decision making units’s (A bis H)

³⁰ Siehe dazu Anlage 1, formale Darstellung (4).

³¹ Natürlich lässt sich das Grundmodell auch in outputorientierter Form beschreiben. Siehe dazu die

Anlage 2.

³² Vgl. Greißinger (2000), S. 100-101. Zur Genauigkeit der unterschiedlichen Varianten der Orientie-

rung siehe Jung (2002), S. 49-50.

³³ Vgl. Fn.3.

8

zu bestimmen. Aufgrund von umfangreichen Rechenschritten, die sich mit steigender Zahl von einbezogenen In- und Outputs sowie Untersuchungseinheiten um ein Vielfaches erhöhen, verwendet man dazu in der Praxis fertige Softwarelösungen. ³⁴ Zur besseren Nachvollziehbarkeit der mathematischen Formulierung aus Kapitel 2.4.1 ist der Rechenweg im 1-Input-1-Output-Fall (x 1 und y) für vereinzelte Entscheidungseinheiten in Anlage 3 dargestellt.

Für die in Tab. 1 dargestellte Ausgangssituation ergeben sich nach dem inputorientierten CCR-Modell folgende Ergebnisse:

Die in den Spalten v 1 , v 2 und u aufgeführten Daten stellen die bereits erwähnten optimalen Gewichtungen der Inputs (x 1 und x 2 ) und des Outputs (y) dar, die mittels der Formel (1) aus Kapitel 2.4.1 gewonnen werden. Nur mittels dieser Gewichtung ergibt sich für jede Entscheidungseinheit die maximale Produktivität. Wie diese im Vergleich zu der Produktivität der anderen Entscheidungseinheiten einzuschätzen ist, kann man anhand der Effizienzwerte (f 0 ) ablesen. Nur bei drei Einheiten (A, B, C) betragen diese 100%; alle anderen Einheiten sind ineffizient. Ein Effizienzwert von 75% bedeutet im inputorientierten CCR-Modell, dass der Input bei unverändertem Output um 25% reduziert werden muss, um effizient zu sein. 36

³⁴ Einen ausführlichen Einblick in verfügbare DEA-Software liefert Allen (2002), S. 93-95.

³⁵ Durchgeführt wurde diese Analyse mit der Software „EMS“ in der Version 1.3.0 von Holger Scheel.

Diese ist im Rahmen akademischer Benutzung kostenlos und unter http://www.wiso.uni-

dortmund.de/lsfg/or/scheel/ems/ frei zum Download verfügbar (eingesehen am 26.10.2005).

³⁶ Eine graphische Darstellung des Ergebnisses erfolgt in Anlage 4.

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