Ausgewählte handlungsorientierte Zugänge zu den schriftlichen Rechenverfahren

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  4

2  Die Rechenverfahren aus mathematischer Sichtweise  6

2  1 A d d i t i o n S  6

2  1 S u b t r a k t i o n S  7

2.2  Multiplikation  8

2  3 D i v i s i o n S  9

2.4  Eigenschaften der Zahlbereiche bezüglich der Rechenoperationen  10

2.5  Zum Stellenwertsystem in Bezug zu den Rechenverfahren  10

3  Die Grundrechenarten aus didaktischer Sichtweise  12

3.1  Nichtschriftliche Rechenverfahren als Grundlage des schriftlichen  12

  R e c h n e n s  

3.1.1  Nichtschriftliches Addieren  12

3.1.2  Nichtschriftliches Subtrahieren  19

3.1.3  Nichtschriftliches Multiplizieren  24

3.1.4  Nichtschriftliches Dividieren  28

3.2  Schriftliches Rechnen  30

3.2.1  Schriftliches Addieren  31

3.2.2  Schriftliches Subtrahiere n S 3  2

3.2.3  Schriftliches Multiplizieren  35

3.2.4  Schriftliches Dividieren  36

4  Arbeitsmittel im Grundschulunterricht  39

4.1  Charakteristika von Arbeitsmaterialien  39

4.2  Methodische Möglichkeiten zur Erarbeitung der nichtschriftlichen  

  Rechenoperationen mit Hilfe von Arbeitsmitteln  43

2

4.2.1 Erarbeitung der nichtschriftlichen Addition S. 43

4.2.2 Erarbeitung der nichtschriftlichen Subtraktion S. 48

4.2.3 Erarbeitung der nichtschriftlichen Multiplikation S. 52

4.2.4 Erarbeitung der nichtschriftlichen Division S. 56

4.3 Methodische Möglichkeiten zur Erarbeitung der schriftlichen Rechen-S. 59

operationen mit Hilfe von Arbeitsmaterialien 4.3.1 Erarbeitung der schriftlichen Addition S. 59

4.3.2 Erarbeitung der schriftlichen Subtraktion S. 63

4.3.3 Erarbeitung der schriftliche Multiplikation S. 69

4.3.4 Erarbeitung der schriftlichen Division S. 72

4.4 Kriterien zur Auswahl eines geeigneten Arbeitsmaterials S. 76

4.5 Einsatzgebiete und Grenzen einiger Arbeitsmittel S. 78

5 Der Felderabakus und seine didaktischen Einsatzmöglichkeiten S. 81

5.1 Zum Abakus S . 8 1

5.2 Die Einführung des Felderabakus S. 82

5.3 Nichtschriftliches Rechnen am Abakus als Basis S. 84

5.3.1 Nichtschriftliches Addieren S. 84

5.3.2 Nichtschriftliches Subtrahieren S. 85

5.3.3 Nichtschriftliches Multiplizieren S. 88

5.3.4 Nichtschriftliches Dividieren S. 91

5.4 Die Erarbeitung der schriftlichen Rechenverfahren mit Hilfe des S. 94 Felderabakus

5.4.1 Die Erarbeitung der schriftlichen Addition S. 95

5.4.2 Die Erarbeitung der schriftlichen Subtraktion S. 97

5.4.3 Die Erarbeitung der schriftlichen Multiplikation S. 102

5.4.4 Die Erarbeitung der schriftlichen Division S. 105

3

5.5 Geschaffene Zugänge mit Hilfe des Felderabakus S. 108 5.6 Vor- und Nachteile des Felderabakus S. 110 6 Schlussbetrachtung S. 112 7 Abbildungsverzeichnis S. 114 8 Literaturverzeichnis S. 116

4

1 Einleitung

Die Grundrechenarten bilden ein wesentlichen Teil des Fundamentes, der bekannten Mathematik und spielen somit eine bedeutende Rolle im Leben jedes Menschen. Die Wichtigkeit dieser Thematik darf vor allem auch den Kindern nicht vorenthalten bleiben, da die Grundrechenarten den Menschen im alltäglichen Leben begegnen und sie bewusst oder unbewusst verwendet werden. Deswegen ist eine frühzeitige Behandlung und behutsame Einführung der Thematik von enormer Bedeutung, um die Schüler bewusst darauf vorzubereiten und ihnen die Verfahrensweise nicht nur mechanisch zu erlernen, sondern auch verständlich zu verinnerlichen.

Die vorliegende wissenschaftliche Arbeit soll einen Einblick in die Erarbeitung der schriftlichen Rechenverfahren verschaffen und zeigen wie dies mit Hilfe didaktischen Materials verwirklicht werden kann. Dabei möchte ich eine anschauliche und logische Verknüpfung zwischen der Arbeit mit didaktischen Material und der Erarbeitung der schriftlichen Rechenverfahren erstreben, welche wissenschaftlichen Aspekten entspricht aber auch pädagogisch sinnvoll erscheint.

So gliedert sich die Studie zu Beginn in eine allgemeine Betrachtung der Rechenverfahren aus mathematische Sichtweise, um die Grundlagen wieder zuspiegeln. Im zweiten Schritt liegt das Augenmerk auf den didaktischen Inhalten, wobei die nichtschriftliche Vorgehensweise mit einbezogen wird, da sie als Grundgerüst zwingend notwendig ist und eine Verknüpfung zwischen ihr und den schriftlichen Verfahren bildet. Deswegen ist auch eine Erarbeitung der nichtschriftlichen Rechenverfahren unumgänglich. Der Hauptteil bezieht sich auf die methodische Erarbeitung der Rechenverfahren, wobei verschieden Formen von Arbeitsmaterialien vorgestellt werden und mit ihrer Hilfe gezeigt wird wie diese zur Hinführung zu den schriftlichen Rechenverfahren dienen. Weiterführend ergibt sich eine Auseinandersetzung mit ihren Vor- und Nachteilen sowie der Auswahl des geeignetesten Materials. Der Schwerpunkt dieser Arbeit besteht in der Erarbeitung der Rechenverfahren mit Hilfe eines speziellen Arbeitsmittel, den Felderabakus. Hierbei wird er genauer betrachtet und aufgezeigt durch welche Methoden die schriftlichen Rechenverfahren erreicht werden können.

5

2 Die Rechenverfahren aus mathematischer Sichtweise

Unter der Arithmetik werden die Kenntnisse der Zahlen und des Rechnens verstanden. Die Menge der Zahlen mit denen gezählt wird, werden in der Mathematik als natürliche ganze Zahlen bezeichnet. Weitere Mengen von Zahlen sind die ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Zur Arithmetik gehören ebenso die vier Grundrechenarten: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

2.1 Addition

Bei der Addition handelt es sich um eine Rechenoperation, welche aus dem Zählen hervorgeht. Sie kann als eine Folge von Additionen mit dem Wert 1 angesehen werden. Angezeigt wird die Addition durch das Pluszeichen (+) und die Zahlen, welche zusammengezählt werden Summanden genannt. Das Ergebnis ist die Summe. Die Addition ist in sämtlichen Zahlbereichen uneingeschränkt und eindeutig ausführbar.

Summanden Summe I I I a + b = x

Innerhalb der Mengen von natürlichen Zahlen kann die Addition ohne Ausnahme ausgeführt werden.

(Abb. 1: Mengenbild Addition)

6

Definition der Addition:

- a + 0 = a ∀a ∈ N

+ +

- a + b = (a + b) ∀a,b ∈ N

(vgl. www.ilexikon.com/Addition.html)

Für beliebige Zahlen a, b, c des jeweiligen Bereiches gilt:

a + b = b + a (Kommutativgesetz)

a + (b + c) = (a + b) + c (Assoziativgesetz)

a + 0 = 0 + a = a (0 ist ein neutrales Element bezüglich der Addition)

Î Aufgrund der Kommutativität und der Assoziativität der Addition hat die Reihenfolge der Summanden keinen Einfluss auf die Summe (vgl. Frank; Schulz; Tietz; Warmuth 1996, S. 35-36)

2.2 Subtraktion

Als Subtraktion wird die entgegengesetzte Rechenoperation oder auch Umkehroperation der Addition bezeichnet. Sie wird durch ein Minuszeichen (-) angezeigt. Vom Minuenden wird der Subtrahend abgezogen und das Ergebnis ist die Differenz. Zu den gegebenen Zahlen a, b ist eine Zahl x mit b + x = a zu finden. Die Subtraktion definiert sich durch die Bestimmung von x. X lässt sich ermitteln, indem b von a subtrahiert bzw. abgezogen wird.

Die Subtraktion ist dabei nicht in allen Zahlenbereichen uneingeschränkt ausführbar. Jedoch ist sie im Falle einer Ausführbarkeit eindeutig.

Minuend Subtrahend Differenz I I I ab = x

(vgl. Frank; Schulz; Tietz; Warmuth 1996, S. 36-37)

7

(Abb. 2, Mengenbild Subtraktion)

Bei der Rechenoperation des Subtrahierens können die Grenzen des Zahlensystems der natürlichen Zahlen überschritten werden. Im System der Natürlichen Zahlen ist eine Voraussetzung, dass der Subtrahend nicht größer als der Minuend sein darf. Ist dies gegeben, wird der Bereich der negativen ganzen Zahlen erreicht.

2.3 Multiplikation

Die Multiplikation entsteht aus der Addition zweier natürlicher Zahlen m und n, indem m-mal die Zahl n addiert wird. Angezeigt wird die Multiplikation durch das Malzeichen (*). A und b werden als Faktoren oder Multiplikanden bezeichnet, das Ergebnis als Produkt. Die Multiplikation ist in sämtlichen Zahlenbereichen uneingeschränkt ausführbar und eindeutig.

Faktoren Produkt I I I a * b = x

Eine anschauliche Darstellung der Multiplikation und ihrer dazugehörigen Gesetze werden durch das Betrachten eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b erreicht. Das Produkt a * b ist definiert als der dazugehörige Flächeninhalt.

8

(Abb. 3, Rechteck)

Rechengesetze zur Multiplikation:

Sie gelten für jede beliebigen Zahlen a, b, c des jeweiligen Bereiches. ´

a * b = b * a (Kommutativgesetz) a * 0 = 0 * a = 0

a *(b * c) = (a * b) * c (Assoziativgesetz) a * (b + c) = a * b + a * c (Distributivgesetz) a * 1 = 1 * a = a (1 als neutrales Element bezüglich der Multiplikation)

Aufgrund der erwähnten Kommutativität und Assoziativität hat die Reihenfolge der Faktoren keinen Einfluss auf das Produkt. (vgl. Frank; Schulz; Tietz; Warmuth 1996, S. 36)

2.4 Division

Die Division ist die entgegengesetzte oder umgekehrte Operation zur Multiplikation. Sie wird angezeigt durch ein Divisionszeichen (:), einen Bruchstrich oder Schrägstrich. Der Divisor teilt den Dividenten und ergibt den Quotienten. Bei der Division muss zu den gegebenen Zahlen a und b (b ≠ 0) eine Zahl x gefunden werden mit b * x = a. Die genannte Rechenoperation ist nicht in allen Zahlenbereichen uneingeschränkt ausführbar. Jedoch im Falle der Ausführbarkeit eindeutig.

Dabei gilt für jede Zahl a: a : 1 = a, und für jede Zahl a ≠ 0: a : a = 1 sowie 0 : a = 0.

9

Divident Divisor Quotient I I I a : b = x

In allen Zahlenbereichen ist eine Division durch 0 nicht ausführbar, da hierbei ein Quotient nicht existent oder nicht eindeutig bestimmt ist. Somit weist die Rechenoperation kein eindeutiges Resultat auf. (vgl. Frank; Schulz; Tietz; Warmuth 1996, S. 37)

2.5 Eigenschaften der Zahlbereiche bezüglich der

Rechenoperationen

(Abb. 4, Frank; Schulz; Tietz; Warmuth 1996, S. 37)

2.6 Zum Stellenwertsystem in Bezug zu den Rechenverfahren

Die heutige Zahlschrift basiert auf dem dezimalen Stellenwertsystem. Dabei werden zur Darstellung sämtlicher Zahlen nur 10 Zahlzeichen verwendet. Die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, und 9. Zur Darstellung von größeren oder kleineren Zahlen werden somit keine weiteren Zahlzeichen benötigt. Dies wird ermöglicht durch einen unterschiedli-

10

chen Wert der Ziffer je nach Stellung im Zahlwort. Folglich gibt jede Ziffer Aufschluss über ihren Zahlenwert und ihren Stellenwert. Hierbei müssen leer stehende Stellen durch eine Null angezeigt werden. Ein weiteres Merkmal ist die reine Zehnerbündelung. Durch die Kombination von Stellenwert und Zehnerbündelung sind auch große Zahlen leicht lesbar und beliebig große Zahlen sind immer durch die zehn Ziffern darstellbar. (vgl. Padberg 1996, S. 51-55)

11

3 Die Grundrechenarten aus didaktischer Sichtweise

Zur Erarbeitung der Operationsbegriffe kann gesagt werden, dass sie in einem engen Zusammenhang mit der Entwicklung des Zählverständnisses stehen. Dabei werden die einzelnen Rechenoperationen von verschiedenen Anwendungssituationen hergeleitet und sollen so verstanden werden. Oftmals sind viele Gegebenheiten, besonders in der Addition und Subtraktion, den Schülern schon bekannt aus vielfältigen Situationen des täglichen Lebens. (vgl. Radatz; Schipper 1983, S. 63)

3.1 Nichtschriftliche Rechenverfahren als Grundlage des schrift-

chen Rechnens

3.1.1 Nichtschriftliches Addieren

Schulanfänger verbinden mit dem Addieren operative Handlungen. Diese beruhen oft auf bereits gesammelten Erfahrungen, wie das Hinzufügen, Hinzukommen, Zusammenlegen, Weitermachen, Vereinigen, Ergänzen, Angleichen, Verändern, Zuzählen, Vermehren, Wachsen, Gewinnen etc. . Die Vorteile können sich Lehrer zunutze machen und sie zu Beginn des Lernprozesses mit einbeziehen. Dabei treten zwei Lösungsmethoden als Grundstrategien in den Vordergrund: Zählstrategien und heuristische Strategien. (vgl. Radatz; Schipper 1983, S. 63)

Zählstrategien:

Sie dienen zum verständlichen Hinführen zur nichtschriftlichen Addition und sollen den Schülern den Weg zum Erlernen und den Umgang mit der Addition erleichtern. Dabei lassen sich verschiedene Wege unterscheiden, welche auf den Prinzipien des Zählens basieren. 1) Das vollständige Auszählen:

Es wird als einfachste Strategie angesehen und viel bei der Benutzung von unstrukturierten Arbeitsmaterialien verwendet, zum Beispiel beim Einsatz von Wendeplättchen.

12

(Abb. 4, Wendeplättchen)

Bei dem Vorgang werden zu Beginn 2 Plättchen gelegt und später 3 hinzugefügt. Durch ein vollständiges Auszählen aller Plättchen wird nun die Gesamtsumme ermittelt. Das Problem dieser Strategie liegt jedoch bei größeren Zahlen, hierbei verlieren die Schüler oftmals den Überblick und das Ergebnis wird ungenau.

2) Weiterzählen vom ersten Summanden aus:

Dies ist eine Weiterentwicklung vom Punkt 1. Die Schüler zählen hierbei nicht mehr komplett vom ersten Summanden an, sondern beginnen stets bei dessen Kardinalzahlbedeutung. Jedoch muss zum erfolgreichen Gelingen dieser Strategie eine sichere Zählerfahrung bereits vorhanden sein.

3) Weiterzählen vom größeren Summanden aus:

Diese Methode wird eingesetzt, wenn der zweite Summand größer als der erste ist, somit erfolgt eine wesentliche Erleichterung im Zählprozess. Jedoch ist dazu das Wissen über das Kommutativgesetz unumgänglich. Dieses sagt aus, das Summanden vertauschbar sind und somit gilt a + b = b + a.

4) Weiterzählen vom größeren Summanden in größeren Schritten: Hierbei erfolgt ein Weiterzählen, indem die Schüler einzelne Zählschritte weglassen und sich meist auf zweier oder vierer Zählschritte konzentrieren. Dadurch ist ein rasches und effektives Lösen möglich.

13

Die Vorgehensweise bei dem Erwerb der einzelnen Strategien darf jedoch nicht als ein Stufenmodell angesehen werden, in welchem die Schüler von einer Stufe zu nächst höheren gehen und dann nur noch mit dieser arbeiten. Oft greifen Schüler bei einfachen Aufgaben wieder auf unkomplizierte Strategien zurück. Während der Grundschulzeit setzen die Schüler aber nicht nur die Zählstrategien zum Lösen der Additionsaufgaben ein. Mit zunehmender Zeit verinnerlichen sie mehr und mehr Additionssätze des kleinen 1 + 1 und wenden diese bereits an. Parallel gehen sie dazu über, heuristische Strategien einzusetzen. Das bedeutet, sie benutzen bereits bekannte oder einfache Aufgaben um neue zu lösen. So erstellen gedankliche Ableitungen und Zurückführungen. Um den Schritt jedoch erfolgreich zu verrichten, muss ein Übergang vom Konkreten durch Anschauung geschaffen werden. Dadurch sollte das kleine 1 + 1 aspektreich mit Situationen eingeführt werden, welche aus dem täglichen Leben entstammen. Dabei darf nicht nur der Kardinalzahlaspekt angesprochen werden, sondern auch die Maßzahl und die Operatoren. Geldwerte, Längen und Gewichte sind Maße, die den Kinder aus ihrem Umfeld bereits bekannt sind und somit zum Vorteil genutzt werden können. Operatoren lassen sich durch den Zahlenstrahl, Pfeile oder Maschinen verdeutlichen und sprechen das Kind visuell an.

(Abb. 6, Operatoraspekt)

Ein Lehrer sollte jedoch bei der Einführung des kleinen 1 + 1 darauf achten, dass kein stures Auswendiglernen nach der Reihe erfolgt. Gut durchdachte und verstandene Strategien sind wesentlich hilfreicher und effektiver. Nachfolgende heuristische Strategien spielen dabei eine große Rolle.

14

Heuristische Strategien:

1) Weiterzählen um 1 bzw. 2:

Dabei erfolgt ein Einbringen der bereits bekannten Zählstrategie, in welcher um eine bestimmte Anzahl weiter gezählt wird.

2) Tauschaufgaben:

Die Tauschaufgaben dienen zur Verminderung des erlernenden Stoffes, die Aufgabenanzahl wird halbiert, indem die Schüler erlernen, dass Summanden vertauschbar sind und demzufolge die Aufgabe 3 + 4 das gleiche Ergebnis erzielt wie 4 + 3. Das zugrunde liegende Kommutativgesetz kann den Kindern anhand von Arbeitsmitteln demonstriert werden.

3) Verdoppeln:

Verdopplungsaufgaben prägen sich bei den Schülern besonders leicht ein und gewonnene Erfahrungen werden zu Eckpfeilern weiterer Aufgaben.

4) Fastverdoppeln:

Wird das Verdoppeln bereits beherrscht, kann ein Rückgriff auf fast ähnliche Aufgaben erfolgen. So zum Beispiel wissen die Schüler, dass 2 + 2 = 4 ist und schließen darauf, dass 2 + 3= (2 + 2) + 1 ergibt. Das Ergebnis wird nur um 1 vergrößert. Bei der Aufgabe 2 + 1 = (2 + 2) - 1 vermindert sich die Lösung um 1, im Gegensatz zur Verdopplungsaufgabe.

5) Nachbaraufgaben:

Die bereits erwähnten Fastverdopplungsaufgaben bedeuten im Grunde genommen schon eine Bildung von Nachbaraufgaben. Dabei kann jede beliebige Aufgabe durch ein Vermindern oder Vergrößern eines Summanden als eine neue Nachbaraufgabe gebildet werden, welche analog zur Fastverdopplungsaufgabe gelöst wird.

6) Analogieaufgaben:

Sind Aufgaben, welche eine Ähnlichkeit (Analogie) aufweisen. Die Schüler greifen auf bereits bekannte Aufgaben zurück. Zum Beispiel 2 + 7 = 9 und 2 + 17 = 19. Jedoch sollte hierfür schon ein Grundverständnis für das Stellenwertsystem vorliegen.

15

7) Gegensinniges Verändern:

Dabei erfolgt eine Verminderung des ersten Summanden sowie ein parallele Vergrößerung des zweiten Summanden um die gleiche Anzahl, demzufolge bleibt die Summe stets unverändert. Dadurch können schwere Zahlen umgangen und die Aufgabe erleichtert werden.

(Abb. 7, Berger; Fischer; Müller; Wittmann 2000, S. 10)

8) Zerlegung einer Aufgabe in leichtere Teilaufgaben:

Besonders bei Zehnerüberschreitungen bietet sich die genannte Strategie an. Die Schüler können sich die Aufgabe 6 + 8 in die wesentlich unkompliziertere Aufgabe 6 + 4 = 10 zerlegen und später zu den 10 einfach die restlichen 4 hinzu zählen, also 10 + 4 = 14.

16

Wie bereits schon erwähnt, dienen als Startpunkt zur Behandlung der Addition vielfältige Additionssituationen, welche sich durch etliche sprachliche Formulierungen ausdrücken. Der Schwierigkeitsgrad ist dabei jedoch nicht nur von den einzelnen 1 + 1 Aufgaben abhängig, sondern auch von ihren angewendeten Strategien und Strukturen. Es wird zwischen 4 verschiedenen Klassifikationen unterscheiden.

Vereinigen:

Hierbei ist die Vereinigungsmenge unbekannt, es liegen aber beide Teilmengen vor, z. B. Mick hat 2 Äpfel und Lisa 3. Wie viele Äpfel haben beide zusammen?

Hinzufügen:

Es handelt sich um eine weitere Klassifikation, bei welcher eine Teilmenge vorliegt und eine weitere durch einen Zweiten erst später eingebracht wird. Klaus hat zum Beispiel eine Murmel, Frank kommt hinzu und gibt ihm jetzt 3 weitere. Wie viele Murmeln hat Klaus nun zum Spielen?.

Ausgleichen:

Durch eine Gegenüberstellung wird das Ergebnis gesucht, es muss zum Gleichgewicht aufgefüllt werden. Fritz hat z. B. 5 Stifte, Anja jedoch 7. Wie viele Stifte braucht Fritz noch, um genauso viele zu haben wie Anja?

Vergleichen:

Dabei gehen die Schüler statistisch vor. Sie stellen zwar beide Teilmengen gegenüber, aber diese werden nur verglichen. Es wird kein Teil wiederhergestellt. So z. B. hat Nicole hat 3 Aufkleber, Nadine besitzt nur einen. Wie viele Aufkleber hat Nicole mehr als Nadine?

All die genannten Strukturen und Strategien zeigen Wege zum schnellen und effektiven Erlernen der Addition, mit denen die Schüler positiv zum Ziel gebracht werden sollen. Besonders deutlich wird, dass alltägliche Situationen, die den Schülern nicht fremd sind, förderlich dienen. Allein durch das wecken des Interesses kann eine positive Einstellung zur Thematik erfolgen und somit können sich auch Erfolge einstellen. Ebenso ist ein sicherer Umgang der Addition im kleinen 1 + 1 und das Anwenden von den genannten Strategien für ein Weiterführen in größeren Zahlenräumen von im-

17

menser Bedeutung. Nur wenn die Grundlagen verstanden sind, ist ein sicheres Anwenden möglich. Für die Addition im Hunderter Zahlenraum ist eine gestufte Vorgehensweise unumgänglich. Die Schritte dürfen aber auch nicht zu klein ausfallen. Von daher ist empfehlenswert, den Schülern zu Beginn das Verständnis für das Stellenwertsystem näher zu bringen, damit sie später mit reinen Zehnerzahlen addieren und diese auf Zehnereinerzahlen übertragen können. Aber auch der Gebrauch von Strategien ist für eine erfolgreiche Behandlung der Addition wichtig, wobei eine Orientierung und teilweise Übernahme der bereits erwähnten heuristischen Strategien im kleinen 1 + 1 erfolgt.

a) Einsatz von Analogieaufgaben:

4 + 3 = 7 3 + 5 = 8 40 + 30 = 70 23 + 5 = 28

b) Schrittweise Zerlegung einer Aufgabe:

27 + 14 Hierbei wird der zweite Summand zerlegt, in die Terme 27 + 10 = 37 10 und 4. Die 10 zum ersten Summanden dazugerechnet 37 + 4 = 41 und das Ergebnis mit dem zweiten Term addiert. 27 + 14 = 41

c) Gegenseitiges Verändern beider Summanden:

23 + 34 In dieser Strategie wird ein Summand um die gleiche Anzahl 22 + 35 vermindert, wie der Zweite vermehrt wird. Diese Vorgehens-21 + 36 weise erfolgt so lange, bis das Ergebnis leicht zu ermitteln ist. 20 + 37 = 57

(vgl. Padberg 1996, S. 75 -94)

18

3.1.2 Nichtschriftliche Subtraktion

Schulanfänger verbinden mit dem Subtrahieren, analog des Addierens, operative Handlungen. Diese beruhen oft auf bereits gesammelten Erfahrungen, wie Wegnehmen, Vermindern, Abtrennen, Abnehmen, Verkürzen, Schrumpfen, Kleiner - werden, Zurückzählen etc. Diese Vorteile sollte ein Lehrer nutzen und sie zu Beginn des Lernprozesses mit einbringen. Es treten drei Lösungsmethoden als Grundstrategien in den Vordergrund: Zählstrategien, heuristische Strategien und bekannte Grundaufgaben. (vgl. Radatz; Schipper 1983, S. 63)

Eine erste Vorgehensweise findet über alltägliche Situationen statt. Dabei werden verschiedene Typen von Subtraktionsaufgaben vorgestellt:

- Abziehen oder Wegnehmen:

Von einer Grundmenge wird eine Teilmenge entfernt, z. B. Nicole hat 6 Äpfel und gibt davon 2 ihrer Schwester. Wie viele Äpfel hat Nicole nun noch übrig?

- Vergleichen:

In diesem Typus werden zwei Mengen gegenüber gestellt und verglichen. Eine Aufgabe könnte dementsprechend aussehen: Hans hat vier Bausteine, sein Freund Lars 3 Bausteine. Wie viele Bausteine hat Hans mehr?

- Ergänzen:

Eine Teilmenge wird in der genannten Vorgehensweise zu einer Gesamtmenge aufgeschlossen, z. B. Lea hat 2 Lutscher. Wie viele Lutscher braucht sie noch, um insgesamt 5 Stück zu besitzen?

- Vereinigen:

Eine unbekannte Teilmenge wird mit einer bekannten Teilmenge zusammengeführt, um die vorgegebene Gesamtgröße zu erreichen, z. B. Ernst hat 5 Luftballons, 3 davon sind rot, der Rest blau. Wie viele blaue Ballons hat Ernst?

(vgl. Padberg 1996, S. 96)

19

Zählstrategien:

Sie werden als erster Einstieg genutzt und dienen zum verständlichen Hinführen zur nichtschriftlichen Subtraktion, dabei soll den Schülern eine Erleichterung zum Erlernen und Hantieren mit der Subtraktion ermöglicht werden. Diese Zählstrategien variieren je nach Aufgabentyp und Erfahrungen der einzelnen Schüler. Eine Unterscheidung findet allerdings noch einmal in der Trennung zwischen reinen Zählstrategien und Strategien mit Materialeinsatz statt.

a) reine Zählstrategien

Vorwärtszählen:

Die Lösung der gewünschten Aufgabe erfolgt durch ein Weiterzählen. Leider treten hierbei oft Fehler durch Verzählen oder Durcheinanderkommen auf, wie zum Beispiel bei der Aufgabe 6 - 4 = X. Der Schüler beginnt bei der vorgegebenen 4 und zählt nun weiter 5 (1 weiter), 6 (2 weiter), erhält infolgedessen 2 als Lösung.

Rückwärtszählen (um eine gegebene Zahl von Schritten):

Es erfolgt ein simultanes Zählen in entgegengesetzte Richtung sowie ein gleichzeitiges Zusammenfassen des Subtrahenden in positive Richtung. Bei der Aufgabe 9 - 4 = X wird um 4 Schritte rückwärtsgezählt, also (9), 8 (1 weniger), 7 (2 weniger), 6 (3 weniger), 5 (4 weniger), daraus ergibt sich 9 - 4 = 5.

Rückwärtszählen (bis zu einer gegebenen Zahl):

In dieser Zählstrategie erfolgt erneut ein doppeltes Zählen. Im Beispiel 9 - 4 = X wird rückwärts bis 4 gezählt, somit (9), 8, 7, 6, 5, 4 und dementsprechend durch die Anzahl der erfolgten Schritte das Ergebnis ermittelt.

(vgl. Padberg 1996, S. 98)

b) Strategien mit Materialeinsatz

Wegnehmen:

Die Vorgehensweise beginnt mit dem Legen der größten Grundmenge von Elementen. Dieser wird die kleinere Teilmenge entnommen und die verbleibenden Elemente

20

bilden durch Auszählen das Ergebnis.

(Abb. 8, Elementen Menge zur Subtraktion)

Ergänzen:

Es wird nur die kleinere Teilmenge von Elementen gelegt und weitere Elemente hinzugefügt bis die gewünschte größere Menge liegt, die Anzahl der hinzugefügten Elemente liefert das Ergebnis.

(Abb. 9, Elementen Menge zur Subtraktion)

Zuordnen:

In dieser Strategie wird zu Beginn die größere Grundmenge an Elementen und darunter die jeweils kleinere Teilmenge gelegt. Es erfolgt eine eindeutige Zuordnung der Elemente beider Mengen, bis eine der Mengen vollkommen erschöpft ist. Durch ein anschließendes Auszählen der verbleibenden Elemente wird das Ergebnis erlangt.

21

(Abb. 9, Elementen Menge zur Subtraktion)

(vgl. Padberg 1996, S. 96-97)

Heuristische Strategien:

Wie bereits erwähnt, besteht ein großer Zusammenhang zwischen der Addition und Subtraktion und deshalb ist ein analoges Vorgehen ratsam. Auch in der Subtraktion stehen die Kardinalzahlen im Vordergrund, jedoch sollten Maßzahlen und Operatoren nicht zu geringe Aufmerksamkeit bekommen. Das kleine 1 - 1 sollte immer über bekannte Alltagssituationen den Kindern nähergebracht werden, um ein Grundverständnis zu erreichen und einen erfolgreichen Einsatz der heuristischen Strategien zu ermöglichen.

Strategien:

- Rückwärtszählen um 1 bzw. 2:

Die Schüler gelangen durch ein Zählen um 1 bzw. 2 zum Ergebnis.

- Weiterzählen um 1 bzw. 2:

Es erfolgt ein Einbringen der bereits bekannten Zählstrategie, in welcher um eine bestimmte Anzahl weiter gezählt wird, um später auf das Ergebnis schließen zu können.

- Nachbaraufgaben:

Dabei kann zu jeder beliebigen Aufgabe durch ein Vermindern oder Vergrößern eines Subtrahenden eine neue Nachbaraufgabe gebildet werden, welche in den Zusammenhang zu einer bereits bekannten Aufgabe genommen werden kann.

22

- Analogieaufgaben:

Sind Aufgaben, welche eine Ähnlichkeit (Analogie) aufweisen, die Schüler greifen folglich auf bereits bekannte Aufgaben zurück, zum Beispiel 7 - 2 = 5 und 17 - 2 = 15. Jedoch sollte hierfür schon ein Grundverständnis für das Stellenwertsystem vorliegen.

- Zerlegung des Subtrahenden:

Es erfolgt eine Zerlegung der Aufgabe in zwei leichtere Teilaufgaben, angewendet wird dies meist bei Aufgaben mit Zehnerübergang, so z. B. 13 - 5 in 13 - 3 = 10 und daraus resultierend 10 - 2 = 8.

- Zusammenhang von Addition und Subtraktion:

Hierbei machen sich die Schüler ihr Wissen zum kleinen 1 + 1 zu nutze und erhalten durch einen Rückgriff darauf ihr gewünschtes Ergebnis, z. B. 13 - 4, durch Assoziation auf die Aufgabe 4 + 9 = 13.

(vgl. Padberg 1996, S. 103-104)

Während der Behandlung der Subtraktion im Grundschulunterricht stehen eigentlich nur zwei Verfahrensweisen im Vordergrund: Das Abzieh- und das Ergänzungsverfahren.

Das Ergänzungsverfahren geht dabei auf die Plussprechweise ein, welche von den Kindern auch positiver angenommen wird. Bei der Lösung wird im Sinne des Ergänzens oder Vorwärtszählens vor gegangen. Das Wegnehmen bzw. das Rückwärtszählen basiert auf dem Abziehverfahren (Minussprechweise). Ebenso ist ein sicherer Umgang der Subtraktion im kleinen 1 - 1 und das Anwenden von den genannten Strategien für ein Weiterführen in größeren Zahlenräumen von immenser Bedeutung. Nur wenn die Grundlagen verstanden und gefestigt sind, ist ein sicheres Anwenden dieser möglich. Für die Subtraktion im Hunderter Zahlenraum ist eine gestufte Vorgehensweise unumgänglich. Dabei dürfen die Schritte nicht zu klein ausfallen. Der beste Weg ist der, den Schülern zu Beginn das Verständnis über das Stellenwertsystem näher zubringen, um später erst reine Zehnerzahlen subtrahieren zu können und diese auf Zehnereinerzahlen zu übertragen. Aber auch der Gebrauch von Strategien ist für eine

23

erfolgreiche Behandlung größerer Zahlen wichtig, wobei eine Orientierung und teilweise Übernahme der bereits erwähnten heuristischen Strategien im kleinen 1 - 1 erfolgt.

Strategien:

- Analogiebildung:

8 - 5 = 3 7 - 6 = 1 68 - 5 = 63 70 - 60 = 10

- Schrittweise Zerlegung einer Aufgabe:

34 - 27 34 - 27 34 - 20 = 14 34 - 4 = 30 14 - 7 = 7 30 - 20 = 10 34 - 27 = 7 10 - 3 = 7 34 - 27 = 7

- Gleichsinniges Verändern der Glieder einer Differenz:

Hierbei wird Minuend und Subtrahend um den selben Betrag vergrößert oder verkleinert. Somit entsteht eine Umwandlung in leichter zu lösende Aufgaben.

+5 +5 -3 -3

43 - 35 43 - 35 48 - 40 = 8 40 - 32 = 8 43 - 35 = 8 43 - 35 = 8

(vgl. Padberg 1996, S. 107)

3.1.3 Nichtschriftliches Multiplizieren

Bereits vor der offiziellen Erarbeitung der Multiplikation in der Grundschule besitzen die Schüler vielfältige Erfahrungen mir ihr. Der Lehrer sollte dies berücksichtigen und die genannten Aspekte bei der Begriffserarbeitung mit einfließen lassen. Schon im

24