Stahlbetonbemessung polygonal umrandeter Querschnitte - eine Implementierung in Java

1  Inhalt  

1  Inhalt  3

1.1  Abbildungsverzeichnis  5

1.2  Tabellenverzeichnis  5

1.3  Literaturverzeichnis  6

1.4  Bezeichnungen  9

1.5  Übersetzungshilfen  10

2  Einleitung  11

3  Zusammenfassung  12

4  Grundlagen  14

4.1  Ablauf einer iterativen Biegebemessung  14

4.2  Materialeigenschaften nach DIN 1045  15

4.3  Koordinatensystem und Transformation  17

4.4  Definition der Dehnungsebene  18

4.5  Querschnittswerte  19

4.6  Spannungsintegration  21

4.6.1  Integration des Parabelbereiches  22

4.6.2  Integration des Rechteckbereiches  23

4.6.3  Integration der Stahlflächen  24

4.7  Iteration  26

4.7.1  Starvektor  27

4.7.2  Iteration nach Lauer  28

4.7.3  Iteration nach Konrad  33

4.7.4  Konvergenz  39

4.8  Bemessung  40

5  Beispiele  43

5.1  Beispiel: Betonkalender  44

5.2  Beispiel: Fertigteil  48

5.3  Beispiel: Shedträger  49

5.4  Beispiel: einachsig belasteter Rechteckquerschnitt  50

5.5  Beispiel: zweiachsig belasteter Rechteckquerschnitt  52

5.6  Beispiel: InfoGraph  53

5.7  Beispiel: Ingenieurbau Bemessung  56

6  Programmbeschreibung  58

6.1  Erläuterung der Klassen  58

7  Java-Quelltext  63

7.1  CSValues  64

7.2  Material DIN1045  65

7.3  MatrixIteration  66

7.4  MatrixMath  67

7.5  QBody  68

7.6  QFibre  69

7.7  QDebugGUI  70

7.8  geometricAlgorithms  71

7.9  frame bemessGUI j3d TGAxis3D j3d panel j3d frame  72

1.1  Abbildungsverzeichnis  

  Abb 1: Spannungs-Dehnungslinien von Beton und Stahl nach neuer und alter DIN 1045  15

  Abb 2: positives Koordinatensystem mit positiven Kräften Querschnitt und Dehnungsebene  17

  Abb 3: Krümmung und Dehnung  18

  Abb 4: Beispiel eines Shedträgers  19

  Abb 5: Modelle zur Spannungsintegration  21

  Abb 6: Spannungs-Dehnungsfunktion des Betons mit Materialkonstanten C 1 und C 2  22

  Abb 7: lineare konstitutive Matrix  29

  Abb 8: lineare Transformationsmatrix  29

  Abb 9: Dehnungslinien der einzelnen Iterationsschritte  38

  Abb 10: zulässige Dehnungsbereiche nach DIN 1045 DIN 1045 1 EC2  40

  Abb 11: Schneiden sich zwei Geraden  62

1.2  Tabellenverzeichnis  

  Tab 1: Beton und Stahl nach DIN 1045 1 (neu)  16

  Tab 2: Beton und Stahl nach DIN 1045 (alt)  16

  Tab 3: Startvektor bzw Deformation bei linearem Materialgesetz (nach Konrad und Lauer)  27

  Tab 4: Gleichungssysteme der linearen Elastizitätstheorie  28

  Tab 5: partielle Ableitungen  36

  Tab 6 : Dehnungslinien in 5 Iterationsschritten nach Konrad  37

  Tab 7: Koordinaten und Dehnungen der Fasern  38

INHALT - LITERATURVERZEICHNIS 6

1.3 Literaturverzeichnis

Algorithmen und Java

[Job02] Jobst: Programmieren in Java, 4. Aufl., Hanser, 2002

[Krü98] [Lem97] [Sedw92] [Sol99]

[Tab01]

[Wol99]

Bemessung

[Avak01] R. Avak: Stahlbetonbau in Beispielen DIN 1045 und Europäische Normung – Teil

[Bem98]

[Beton01]

[Beton97]

[Boch95]

[DA220]

[DA415]

1990

[Fischer90] J. Fischer: Allgemeines Bemessungsprogramm für beliebig polygonal umrandete Stahlbetonquerschnitte unter Normalkraft und zweiachsiger Biegung, Diplomar-

[Göl91]

INHALT - LITERATURVERZEICHNIS 7

[Inf02] InfoCAD v5.8 Benutzerhandbuch [König98] N.Tue, G.König: Grundlagen des Stahlbetonbaus Einführung in die Bemessung nach Eurocode 2, Teubner, 1998 [Konrad88] A. Konrad: Beton- und Stahlbetonbau Heft 83 (1988); Ermittlung des Dehnungs-zustands beliebiger Stahlbetonquerschnitte mit dem Newton-Verfahren

[Lauer83]

[Loh94]

[Nau83]

[Wend96]

[Womm02] O. Wommelsdorf: Stahlbetonbau Bemessung und Konstruktion – Teil 1, 7. Auflage, Werner Verlag, 2002

Mathematik

[Bar01] Bartsch: Taschenbuch mathematischer Formeln, 19. Auflage, Fachbuchverlag

[Bar93]

[Leup91] W. Leupold: Lehr- und Übungsbuch Mathematik, Fachbuchverlag Leipzig, 1991 [Leup95] W. Leupold: Mathematik – Ein Studienbuch für Ingenieure, Fachbuchverlag Leipzig – Köln, 1995

[Pörs93]

INHALT - LITERATURVERZEICHNIS 8

Software

• Adobe Acrobat v4.0 (www.adobe.de)

• CorelDraw v10.0 (www.corel.de)

• InfoGraph v5.84std (www.infograph.de)

• Java SDK v1.4.0 (java.sun.com)

• Java3D API v1.3 (java.sun.com/products/java-media/3D/)

• Maple v6.0 (www.maplesoft.com)

• Maxon Cinema 4D v7.2 (www.maxon.net)

• Microsoft Office (www.microsoft.de)

• Nemetschek v15.1 (www.nemetschek.de)

• NetBeans IDE v3.4(www.netbeans.org)

• Photoshop v5.0 (www.adobe.de)

• Proton Editor v3.0 (www.meybohm.de)

• Together IDE v6.0 (www.togethersoft.de)

INHALT - BEZEICHNUNGEN 9

1.4 Bezeichnungen

ε: Dehnung ε 0 , κ y , κ z : Dehnung in x-Achse, Krümmung um y-Achse, Krümmung um z-Achse ε c1 , ε c1u , ε c2 , ε c2u , ε c3 , ε c3u : Dehnungsgrenzen des Betons σ: Spannung σ C (ε), σ B (ε): Spannung im Beton σ S (ε): Spannung im Stahl β R : Rechenfestigkeit der Betonfestigkeit β S : Fließspannung des Stahls E: E-Modul allgemein E cm , E C : E-Modul des Betons f ck : charakteristischer Wert der Betondruckfestigkeit f cd : Bemessungswert der Betondruckfestigkeit f ct : Zugfestigkeit des Betons f yk : charakteristischer Wert der Stahlstreckgrenze f yd : Bemessungswert der Stahlstreckgrenze N, M y , M z : Normalkraft, Moment um y-Achse, : Moment um z-Achse F: äußere Schnittgrößen S: innere Schnittgrößen γ: Sicherheitsbeiwert (DIN 1045) γc, γs: Teilsicherheitsbeiwerte für Beton, Stahl γG, γQ: Teilsicherheitsbeiwerte für ständige Einwirkungen, veränderliche Einwirkungen α: Faktor zur Berücksichtigung von Langzeitwirkungen, Winkel A: Flächenmoment 0. Ordnung (Fläche) A y, A z : Flächenmoment 1. Ordnung (statische Momente) A yy , A zz , A yz : Flächenmoment 2. Ordnung (Trägheitsmomente, Zentrifugalmoment) A yyy , A zzz , A yyz , A zyy : Flächenmoment 3. Ordnung A 1 , A 2 , A 3 : Matrizen der Flächenmomente A 4 : Matrix des Stahlanteiles C 1 , C 2 : Materialkonstanten DS(ε i ): Funktionalmatrix, Jacobi-Matrix

INHALT - ÜBERSETZUNGSHILFEN 10

1.5 Übersetzungshilfen

area: Fläche

axial force: Längskraft behavior: Verhalten bending moment: Biegemoment bending: biegen bond: Verbund compression: Druck concrete: Beton force: Kraft modulus of elasticity: Elastizitätsmodul reinforcing steel: Betonstahl shear force: Querkraft solidity: Festigkeit solids: feste Körper steel: Stahl strain: Dehnung, Verzerrung strength: Festigkeit stress: Spannung tension: Zug usymmetric bending: unsymmetrische Biegung yield: Fließ-, Streckgrenze

EINLEITUNG - ÜBERSETZUNGSHILFEN 11

2 Einleitung

Stahl und Beton sind Verbundbaustoffe mit unterschiedlichen Materialeigenschaften. Die Biegebemessung häufig verwendeter Stahlbetonquerschnitte kann mit relativ einfachen Hilfsmitteln wie Tabellen und Nomogrammen erfolgen. Weisen die Querschnitte kompliziertere Formen auf, lassen sich diese Hilfsmittel nicht mehr verwenden und eine Rechnung von Hand ist in den meisten Fällen zu aufwendig. Hier bietet es sich an, die Bemessung mit Hilfe des Computers durchzuführen. Das in dieser Arbeit entwickelte Java-Programm erfüllt die Aufgabe der Biegebemessung von Stahlbetonquerschnitten mit beliebiger Form und unter zweiachsiger Biegung. Zur Erstellung des Programms wurde im Wesentlichen auf die Arbeiten von Lauer [Lauer83], Konrad [Konrad88], Zilch [Beton01] und Fischer [Fischer90] zurückgegriffen. Dort wird beschrieben wie unter Verwendung einer geschlossenen Integration die inneren Schnittgrößen zu einer gegebenen Deformation bestimmt werden und wie in einem Iterationsprozess auch die Deformation zu gegebenen Schnittgrößen errechnet wird.

Durch die Materialeigenschaften von Stahl und Beton entsteht ein nichtlineares Festigkeitsproblem, bei dem es keine direkte Möglichkeit gibt, zu gegebenen äußeren Schnittkräften die Deformation des Querschnitts zu berechnen. Da es hierfür der Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems mit mehreren Unbekannten bedarf, wird dieses Problem numerisch mit dem Newton-Iterationsverfahren gelöst. Durch die Möglichkeit, die inneren Schnittkräfte aus den Deformationen zu bestimmen, wird in einem Iterationsprozess versucht, die Deformation schrittweise so zu verändern, dass letztendlich die inneren mit den äußeren Schnittkräften übereinstimmen.

ZUSAMMENFASSUNG - ÜBERSETZUNGSHILFEN 12

3 Zusammenfassung

Bei der Erstellung des Programms wurde wert auf Erweiterungsfähigkeit gelegt, da das hier vorgestellte Java-Programm ein Teil einer Statiksoftware bilden soll. So sind z.B. alle Koordinaten für den dreidimensionalen Raum definiert, dies ermöglicht eine spätere Einbindung der Stabtheorie 2. Ordnung. Eine Bemessung von Querschnitten mit Spannstahl ließe sich dadurch realisieren, dass im Programm bereits jetzt jede Faser des Querschnitts mit einer Vordehnung versehen werden kann. Eine erwähnenswerte Erweiterung ist die Einbindung von hochfestem Normalbeton, der mit der neuen DIN 1045-1 hinzugekommen ist. Dies würde dazu führen, die Spannungs-Dehnungsfunktionen des Betons für die Spannungsintegration und der Iteration anzupassen. Fischer [Fischer90] beschreibt in seiner Diplomarbeit die Bemessung bei Verwendung eines beliebigen Materialgesetzes.

Obwohl bereits einige Betonklassen der neuen Normen implementiert sind, führt das vorliegende Java-Programm die Bemessung noch nach den 5 Dehnungsbereichen der alten DIN 1045 durch. Die neueren Normen (EC2, DIN 1045-1) weisen ein anderes Bemessungskonzept und veränderte Dehnungsgrenzen auf und sollten noch hinzugefügt werden.

Die Bemessung erfolgt nur für Stahlstäbe deren Lage vom Benutzer vorgegeben wird. Es ist denkbar, das Programm so zu erweitern, dass nach Vorgabe einiger Parameter die Verteilung der Stäbe automatisch erfolgt. Außerdem kann die Einschränkung nur Stahlstäbe zu verwenden durch hinzufügen von Stahlprofile erweitert werden, so dass sich z.B. auch Walzträger in Beton bemessen lassen, wie es in [DA415] aufgezeigt wird.

Da Java eine objektorientierte Programmiersprache ist, lässt es sich gut vorstellen auch Querschnitte zu bemessen, die nicht zwingend aus den Materialien Beton und Stahl bestehen. Man denke hier an den Faser-Kunststoff-Verbund, der z.B. in [Bem98] beschrieben wird.

Die Arbeit beginnt mit den Grundlagen und Voraussetzungen die für eine Stahlbetonbemessung benötigt werden.

Zuerst werden die nötigen Materialgesetze der DIN 1045 und DIN 1045-1 aufgeführt und gegenübergestellt. Danach wird das Koordinatensystem beschrieben und an einem Beispiel gezeigt, welchen Einfluss die Wahl des Koordinatenursprungs hat. Im nächsten Kapitel wird gezeigt, welche Berechnungsmöglichkeiten die Voraussetzung der Bernoulli-Hypothese mit sich bringt und wie sich dadurch die Dehnung einer beliebigen Faser des deformierten Querschnitts errechnen lässt. Danach wird erläutert wie die benötigten Flächenmomente von 0. bis 3. Ordnung berechnen werden.

ZUSAMMENFASSUNG - ÜBERSETZUNGSHILFEN 13

Die 2 nächsten Kapitel bilden die Schwerpunkte dieser Arbeit und spiegeln die Überlegungen von Lauer und Konrad wieder. Das Kapitel über die Spannungsintegration zeigt, wie zu einer vorhandenen Querschnittsverformung die inneren Schnittgrößen ermittelt werden. Sowohl Lauer als auch Konrad verwenden dazu in ihren Abhandlungen die geschlossene Integration des Betonspannungskörpers. Im Kapitel über die Iteration des Deformationsvektors mit dem Newton-Verfahren gehen Lauer und Konrad verschiedene Wege um eine Iterationsvorschrift zu definieren. Während Lauer die konstitutiven Zusammenhänge der linearen Festigkeitslehre verwendet, um eine Art Sekantensteifigkeitsmatrix aufzustellen, bildet Konrad die Iterationsvorschrift für eine Tangentensteifigkeitsmatrix. Die Tangentensteifigkeitsmatrix besteht zum größten Teil aus partiellen Ableitungen der Flächenmomente und Spannungsfunktionen.

Im Kapitel über die Bemessung werden die zulässigen Dehnungsebenen der Normen DIN 1045, DIN 1045-1 und EC2 aufgezeigt und die Dehnungsbereiche kurz erläutert.

Die letzten Kapitel beschäftigen sich mit dem Java-Programm. Es werden Beispiele gerechnet, verglichen und deren Ergebnisse diskutiert. Anschließend werden die einzelnen Klassen beschrieben und beispielhaft gezeigt, wie sich Stahlbetonquerschnitte erstellen und bemessen lassen. Im letzten Kapitel ist der Java-Quelltext aufgeführt.

GRUNDLAGEN - ABLAUF EINER ITERATIVEN BIEGEBEMESSUNG 14

4 Grundlagen

4.1 Ablauf einer iterativen Biegebemessung

Da das Hooke’sche 1 Materialgesetz durch eine nichtlineare Spannungs-Dehnungsbeziehung ersetzt wird, lassen sich die inneren Schnittkräfte des Stahlbetonbauteiles nicht analytisch bestimmen. Durch diesen Austausch ist es nicht mehr möglich, die sich durch die äußeren Kräfte einstellenden Verformungen des Bauteiles zu berechnen. Das „Ausbalancieren“ der äußeren und inneren Schnittkräfte erfolgt in einem Iterationsprozess, der die Dehnungsebene allmählich so verändert, dass die über eine Spannungsintegration ermittelten inneren Schnittkräfte ausreichend genau den äußeren Schnittkräften angenähert werden. Die Iteration beginnt mit der Ermittlung eines geeigneten Startvektors, indem beispielsweise die Steifigkeiten des Bauteils geschätzt werden oder ein linear elastisches Werkstoffgesetz verwendet wird um eine erste Deformation zu berechnen.

Kommt das Problem der Bemessung, also das systematische Erhöhen der Stahlflächen hinzu, muss nach jeder Veränderung des Querschnitts die Iteration neu durchgeführt werden. Wird die Bemessung oder Iteration unter den Sicherheitsaspekten der DIN 1045 geführt, verändern sich je nach Teilsicherheitsbeiwert die äußeren Belastungen. Die Veränderung der Ausgangssituation erfordert dann wiederum einen erneuten Iterationsprozess bis letztendlich äußere und innere Schnittkräfte übereinstimmen.

1 Robert Hooke (1635-1703), englischer Mathematiker und Physiker

GRUNDLAGEN - MATERIALEIGENSCHAFTEN NACH DIN 1045 15

4.2 Materialeigenschaften nach DIN 1045

In den folgenden Abbildungen und Tabellen sind die, für die Stahlbetonbemessung, nötigen

Materialeigenschaften nach der alten und neuen DIN 1045 aufgeführt.

Abb. 1: Spannungs-Dehnungslinien von Beton und Stahl nach neuer und alter DIN 1045

GRUNDLAGEN - MATERIALEIGENSCHAFTEN NACH DIN 1045 16

Tab. 1: Beton und Stahl nach DIN 1045-1 (neu)

Druck- und Zugfestigkeit, E-Modul in [MN/m²]; Dehnungen in Promille

Tab. 2: Beton und Stahl nach DIN 1045 (alt)

Druckfestigkeit, E-Modul in [MN/m²]; Dehnungen in Promille

GRUNDLAGEN - KOORDINATENSYSTEM UND TRANSFORMATION 17

4.3 Koordinatensystem und Transformation

Wichtig für die weiteren Betrachtungen ist der Bezugspunkt der Koordinaten des Querschnitts und seiner Belastungen. Alle Schnittgrößen (N, M z , M y ) beziehen sich auf den Nullpunkt, mit dem auch der Querschnitt definiert wurde. In vielen Bemessungsaufgaben sind die Belastungen im Schwerpunkt gegeben und müssen, wenn Schwerpunkt und Nullpunkt nicht übereinstimmen, auf den Nullpunkt des Koordinatensystems umgerechnet werden. Dies führt dazu, dass während der Iteration ein anderer Deformationsvektor berechnet wird. Das Verformungsbild bleibt dagegen gleich. Die Abbildung zeigt das Koordinatensystem und die positiven Belastungen sowie die zugehörigen Deformationen (ε 0 , κ z , κ y ). Das Beispiel ist dem Betonkalender [Beton97] entnommen. Die Belastungen sind für den Schwerpunkt gegeben (N=+550 kN, M y =+185 kNm) und werden mit dem Sicherheitsbeiwert γ=1.75 multipliziert.

Abb. 2: positives Koordinatensystem mit positiven Kräften, Querschnitt und Dehnungsebene

GRUNDLAGEN - DEFINITION DER DEHNUNGSEBENE 18

4.4 Definition der Dehnungsebene

Um die Spannung einer Querschnittsfaser bestimmen zu können, muss vorher die Dehnung

dieser Faser bekannt sein.

Unter Annahme der Bernoulli-Hypothese 2 , vom ebenbleiben des Querschnitts bei Längsbiegung,

lässt sich eine Dehnungsebene definieren. Diese Ebene kann durch drei nicht auf einer Geraden

liegenden Punkte aufgespannt werden. Eine andere, in der technischen Mechanik bevorzugte

Methode ist die Beschreibung des Dehnungszustandes über die Längsdehnung ε 0 und die

Krümmungen κ y , κ z um die Achsen des Koordinatensystems. Zilch empfiehlt im Betonkalender

[Beton01] als Bezugssystem der Deformation, den Schwerpunkt und die Hauptachsen des Quer-

schnitts zu verwenden. Dadurch verringert sich der Rechenaufwand in der sich anschließenden

Spannungsintegration, da hierbei das Zentrifugalmoment und die Flächenmomente 1. und 3.

Ordnung zu Null werden.

Die Längsdehnung einer beliebigen Faser lässt sich somit bestimmen aus der Gleichung:

κ κ ε ε ⋅ + ⋅ + = 0

Abb. 3: Krümmung und Dehnung

Man erhält somit die Dehnung in Längsrichtung einer beliebigen Faser;

κ ε ⋅ = infolge M z , bei Krümmung um die z-Achse:

infolge M y , bei Krümmung um die y-Achse:

infolge N, bei Verschiebung in x-Richtung:

2 Jacob Bernoulli (1655-1705), Schweizer Mathematiker

GRUNDLAGEN - QUERSCHNITTSWERTE 19

4.5 Querschnittswerte

Die Berechnung der Flächenmomente 0. bis 3. Ordnung eines Polygons sind in den Arbeiten von Lauer [Lauer83], Konrad [Konrad88] oder im Wendehorst [Wend96] zu finden. Die Aufgabe wird durch numerische Integration gelöst. Dabei sind die Koordinaten der Eckpunkte (y, z) gegen den Uhrzeigersinn anzugeben. Die Flächenmomente werden zur Spannungsintegration benötigt, bzw. verwendet Konrad die Ableitungen der Flächenmomente zur Iteration mit dem Newton-Verfahren.

n 1

Abb. 4: Beispiel eines Shedträgers

A Flächenmoment 0. Ordnung (Fläche)

A y, A z A yy , A zz , A yz A yyy , A zzz , A yyz , A zyy Flächenmoment 3. Ordnung

Bei der Spannungsintegration finden die Matrize A 1 , A 2 und A 3 Verwendung. Sind die Eckpunkte des Betonquerschnitts in Bezug auf den Schwerpunkt und den Hauptachsen gegeben, vereinfachen sich die Matrizen A 1 , A 2 und A 3 wie folgt:

GRUNDLAGEN - QUERSCHNITTSWERTE 20

GRUNDLAGEN - SPANNUNGSINTEGRATION 21

4.6 Spannungsintegration

Sind Deformation und Material des Querschnitts gegeben, lassen sich die inneren Schnittkräfte

aus den Spannungsresultierenden seiner Betonteilflächen und Stahleinlagen errechnen.

⎤ ⎡ ⎤ ⎡

Im Betonkalender [Beton01] empfiehlt Zilch die Verwendung eines Fasermodells, bei dem der

Querschnitt mit ausreichend vielen Fasern aufgefüllt wird und in jeder einzelnen Faser die Span-

nung konstant verläuft. Mehlhorn beschreibt in [Bem98] neben dem Fasermodell noch ein

Schichtenmodell, in welchem die Betonfläche in einzelne Schichten unterteilt wird. Bei zweiach-

siger Biegung sollte das Fasermodell und bei einachsiger Biegung das Schichtenmodell zur An-

wendung kommen.

Abb. 5: Modelle zur Spannungsintegration

Lauer [Lauer83] und Konrad [Konrad88] errechnen in ihren Arbeiten die resultierenden Kräfte

über eine geschlossene Spannungsintegration entsprechend der σ-ε-Beziehung des Betons. Dazu

wird der Betonquerschnitt in zwei Teilflächen zerlegt, die dem Parabel- (0 bis -2 ‰) und dem

Rechteckbereich (-2 bis -3.5‰) der σ-ε-Beziehung des Betons entsprechen. Die dritte Teilfläche

wird nicht benötigt, da der Beton definitionsgemäß keine Zugkräfte aufnehmen kann.

für ε≥0 ⎧

0

⎪ ⎪ β ε σ ⋅ = ⎨ ) (

R B ⎪ für -0.002≥ε≥-0.0035 β ⎪ ⎩ R

mit ε Fb = -0.002

GRUNDLAGEN - SPANNUNGSINTEGRATION 22

Da der Parabel- und Rechteckbereich durch unterschiedliche Funktionen abgebildet werden, ist

es zweckmäßig, eine getrennte Integration durchzuführen.

4.6.1 Integration des Parabelbereiches

Der Parabelbereich der Querschnittsfigur wird nach DIN 1045 durch die Dehnungsnulllinie und

der Dehnungslinie für -2‰ eingegrenzt. Nach der neuen DIN 1045-1 sind die Begrenzungslinien

von den Betonfestigkeitsklassen abhängig. Für normalfesten Normalbeton (C12/15-C50/60)

ändert sich aber dadurch nichts. Die Fläche des Parabelbereichs erstreckt sich ebenfalls von 0 bis

ε c2 = -2‰. Die Dehnungsgrenzen ε c2 für hochfesten Normalbeton (C55/67-C100/115) erstre-

cken sich von ε c2 =-2.03 bis ε c2 =-2.20. Die Fläche unterhalb der Parabelfunktion beschreibt das

elastische Verhalten des Betons.

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

Anhand der Bernoulli-Hypothese lässt sich die Längsdehnung ε auch durch die Deformationen

des Querschnitts darstellen:

κ κ ε ε ⋅ + ⋅ + = 0

Für die Spannung ergibt sich dann:

( ) ( ) 2

σ

bzw. nach dem Ausmultiplizieren der Formel:

GRUNDLAGEN - SPANNUNGSINTEGRATION 23

∫ ∫ ∫ κ κ ε + + = dA C N

0 1 ∫ ε + 2 dA C

0 2

∫ ε =

C M

0 1 z ∫ ε + 2 ydA C

0 2

ε =

C M

y 0 1 ∫ ε + 2 zdA C

0 2

∫ = mit

dA A

ε + =

A C N

0 1

ε =

A C M

y z 0 1

ε =

A C M

z y 0 1

Nach sortieren der Koeffizienten lässt sich der Schnittkraftvektor des Parabelbereichs mit fol-

gender Matrixgleichung bestimmen:

( ) ⎤ ⎡

N

⎥ ⎢

M ⎥ ⎢ z ⎥ ⎢

M ⎦ ⎣ y Parabel

Die Flächenmomente ergeben sich aus der numerischen Integration der Koordinaten der Eck-

punkte des Querschnitts. Grundlage bildet der Gaußsche Integralsatz, bei dem die Flächeninteg-

rale in Umfangsintegrale umgewandelt werden ([Wend96], [Lauer83, [Konrad[88]). Die Ermitt-

lung der Flächenmomente wird im Kapitel Querschnittswerte gezeigt.

4.6.2 Integration des Rechteckbereiches

Im Dehnungsbereich ε=-2‰ bis -3.5‰ verhält sich der Beton plastisch und ist durch einen

konstanten Spannungsverlauf σ B (ε)=β R (Bezeichnung nach DIN 1045) gekennzeichnet. Der

Schnittkraftvektor aus dem Rechteckbereich lautet somit:

GRUNDLAGEN - SPANNUNGSINTEGRATION 24

4.6.3 Integration der Stahlflächen

Die Schnittgrößen aus allen Bewehrungsstäben ergeben sich aus: ⎤ ⎡ ⎤ ⎡

Um die, von den Bewehrungsstählen, verdrängte Betonfläche zu berücksichtigen, muss noch die Differenz zwischen Stahl- und Betonspannung gebildet werden. ⎤ ⎡

Ist der Stahldurchmesser gegeben errechnet sich die Fläche des Stahls aus

4

Die Summe der einzelnen Integrationen ergibt die resultierende Schnittkraft zu einer gegebenen Verformung. Konrad bezeichnet die Matrizen und Vektoren zur Spannungsintegration mit A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , b 1 und b 2 . Da diese Bezeichnungen auch im Quelltext verwendet werden, folgt hier eine Zusammenfassung der Matrizen.

[ ]

GRUNDLAGEN - SPANNUNGSINTEGRATION 25

GRUNDLAGEN - ITERATION 26

4.7 Iteration

Die inneren Schnittgrößen wurden bis jetzt bei gegebenem Deformationszustand über die Spannungsintegration berechnet. Eine direkte Ermittlung der Deformation und somit der inneren Schnittgrößen anhand der einwirkenden Kräfte ist aufgrund des nichtlinearen Materialverhaltens nicht möglich. Diese Aufgabe lässt sich aber auf iterativem Wege lösen. Zur Anwendung kommt hier das Newton-Verfahren, welches in einem iterativen Prozess das Gleichgewicht zwischen inneren und äußeren Schnittgrößen herstellen soll. Dieses Verfahren wird in den Arbeiten von [Lauer83] und [Konrad88] zur Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems verwendet - wenn auch die Iterationsvorschrift unter anderen Voraussetzungen geführt wird. Lauer verwendet dazu eine Art „Sekantensteifigkeitsmatrix“ [Konrad88] und Konrad eine „Tangentensteifigkeitsmatrix“. Nach jedem Iterationsschritt wird die Konvergenz des Systems überprüft, um eine Aussage treffen zu können, inwiefern der vorhandene Querschnitt bzw. die Bewehrung zur Aufnahme der Schnittgrößen geeignet ist. Damit das Newton-Verfahren zu einem Ziel kommt, wird ein Startwert benötigt, der Nahe genug an der Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems liegt. Als Startwert wird ein Deformationsvektor (ε 0 , κ z , κ y ) bestimmt, der sich unter Annahme eines linearen Materialgesetzes ergibt (Zilch [Beton01], Konrad [Konrad88], Lauer [Lauer83], Quast [DA415]).

Einige numerische Verfahren zur Lösung nichtlineare Gleichungssysteme:

1. Fixpunktiteration

2. Regula falsi (Sekantenmethode, Sehnennäherungsverfahren)

3. Einschlussverfahren a. Bisektionsverfahren (Intervallverschachtellung)

4. Newton-Verfahren (Tangentennäherungsverfahren)

5. modifiziertes Newton-Verfahren

6. Quasi-Newton-Verfahren

7. BFGS-Verfahren (Broyden, Fletcher, Goldfab und Shanno)

GRUNDLAGEN - ITERATION 27

4.7.1 Starvektor

Unter Voraussetzung eines linearen Materialgesetzes ergibt sich der Startvektor (Deformation)

aus der Lösung eines Gleichungssystems, bestehend aus Flächenmomenten (0. bis 2. Ordnung),

den äußeren Schnittkräften (N, M y , M z ) und dem Verhältnis zwischen Dehnung und Spannungen

(E-Modul des Betons).

ε 0 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡

Tab. 3: Startvektor bzw. Deformation bei linearem Materialgesetz (nach Konrad und Lauer)

Sind die Koordinaten des Querschnitts auf den Schwerpunkt und die Hauptachsen bezogen

(Zilch, [Beton01]), vereinfacht sich die Matrix, da das Zentrifugalmoment (A yz =J yz ) und die stati-

schen Momente (A y =S z , A z =S y ) zu Null werden. Damit kann der Deformationsvektor bei vorge-

gebenen Schnittgrößen nach dem folgenden Gleichungssystem errechnet werden.

− ε ⎤ ⎡

0 ⎢

κ

⎢

z

⎢ κ

⎣

y

GRUNDLAGEN - ITERATION 28

4.7.2 Iteration nach Lauer

Der grundlegende Zusammenhang zwischen innerer Schnittkraft, Verformung, Material und

Querschnitt lässt sich bei der linearen Elastizitätstheorie durch Gleichungen bzw. Gleichungssys-

teme ausdrücken. σ =

ε σ ⋅ =

ist wobei E

ε 0 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡

N

⎥ ⎢ =

M

⎥ ⎢

y ⎥ ⎢

⎦ ⎣ M

z

ε ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎢ κ = ⎥ ⎢ z ⎥ ⎢ κ ⎦ ⎣ y

⎡

A A

⎢

A A ⎢ y ⎢

A A ⎣ z

⎡

0 A

⎢

0 A ⎢

ηη ⎢

0 0 ⎣

Tab. 4: Gleichungssysteme der linearen Elastizitätstheorie

Lauer benutzt die beiden letzten Gleichungssysteme, um zuerst die Flächenmomente der Teilflä-

chen auf ihre jeweiligen Schwerpunkte und Hauptachsen zu berechnen und transformiert diese

dann zurück auf das globale Koordinatensystem. Die Transformationsformeln finden sich z.B.

im Wendehorst [Wend96] oder Bochmann [Boch95]. Da über dem Betonrechteckbereich und

dem Stahlanteil die Spannungen konstant verlaufen vereinfachen sich die Transformationen auf

das globale Koordinatensystem für diese beiden Anteile [Lauer83].

Lauer führt die Iterationsvorschrift auf eine konstitutive Matrix zurück. Sie wird aus der konstitu-

tiven (grundlegenden) Beziehung zwischen Schnitt- und Dehnungsgrößen nach dem Vorbild der

linearen Elastizitätstheorie hergeleitet. Infolge der nichtlinearen Materialgesetze kann diese Be-